第3章 圆的基本性质 重难点检测卷（解析版）

第3章圆的基本性质重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（）A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系，对的半径与的长度进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵的半径为4，，又∵，∴点P与的位置关系是点P在内部，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解本题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的倍D．圆是轴对称图形【答案】B【分析】根据圆的特征即可求解．【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】将图按照对角线分成四个相同的基本图形，利用旋转的性质求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：

正方形对角线将图形分成四个完全一样的基本图形，可看作由这个基本图形旋转所组成，将图绕其中心最小旋转角后会与原图形重合，该图形绕其中心旋转的正整数倍后会与原图形重合，从而确定这个角不能是，故选：B．【点睛】本题考查图形旋转，分析出图中的基本图形是解决问题的关键．4．（2023·浙江杭州·校考一模）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆的内接四边形对角互补和等边的每一个内角是，求出即可．【详解】解：四边形是内接四边形，∴，∵等边的顶点在上，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题的关键．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（）

A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】先根据垂径定理得出，故可得出是的中位线，再根据中位线定理即可得出结论．【详解】解：于于，，是的中位线，．故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上的点E处，若，则（

）

A．40° B．50° C．55° D．65°【答案】B【分析】首先连接，由折叠的性质可得：，结合已知，由三角形内角和定理得出的度数，再由同弧上圆周角相等求得的度数．【详解】连接，如图所示：由折叠的性质可得：，∴，∵（同弧所对的圆周角相等），∴．故选B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键，注意数形结合思想的应用．7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，利用勾股定理求出，根据，计算即可．【详解】解：如图，连接，

四边形是平行四边形，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分，与矩形组合而成的图形（点，在上），其中；已知的半径为25，，，，则香水瓶的高度是（

）

A．56 B．57 C．58 D．59【答案】B【分析】作交于点G，延长交于点H，连接、，利用垂径定理，得到，，再利用勾股定理，求得，，即可求出香水瓶的高度．【详解】解：如图，作交于点G，延长交于点H，连接、，，，，，在中，，，，，，在中，，，故选B．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．9．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当、时，对应的函数值，进行判定即可．【详解】解：由已知，则抛物线的顶点为，由旋转可知，抛物线的顶点为，则抛物线解析式为：，由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次，由可知，的函数值等于时的函数值，∴时，，由可知，的函数值等于时的函数值，∴时，，故可知，点在图像上．故选：C【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应的函数解析式以及图像的循环规律．10．（2023·浙江湖州·统考二模）年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，根据题意可知耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，再分别求出、，问题得解．【详解】根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，如下图所示：

∵耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，∴当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，如图，

∵点是边的中点，∴，∴，如图，连接，过D点作，

根据等腰直角三角形的性质可知：，即，利用勾股定理可得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，明确题意，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出各边是解答本题的关键．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（2023·浙江温州·校联考三模）一个扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为．【答案】【分析】根据扇形面积公式（其中n是扇形圆心角，r是半径）进行计算即可．【详解】解：扇形的面积＝．故答案为：．【点睛】此题考查了扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．12．（2023·浙江衢州·三模）如图，在中，，则的度数为．

【答案】/度【分析】根据圆周角定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可求得答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【答案】26【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．【详解】解：连接，

，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．14．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为．

【答案】5【分析】作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，则，，设，则，在中，，即，在中，，即，，解得：，则，刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5，故答案为：5．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，正确作出辅助线是解题的关键．15．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为．【答案】/【分析】延长交于点G，连接、，先由同弧或等弧所对的圆周角相等得，得，由直径所对的圆周角等于得，勾股定理得，则，再由勾股定理求出，则，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：延长交于点G，连接、，如图所示：∵点D是弧的中点，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵是的直径，的半径为2，∴，∴，，∴，∵∴，∴；即：，∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．16．（2023·浙江台州·统考二模）如图，在中，，，，点是边的中点．点为边上的一个动点，将点绕点逆时针旋转得到点，则的取值范围为．

【答案】【分析】过点作交射线于点，设，先证明，可得，，然后分两种情况：当时，点在线段上；当时，点在射线上，利用勾股定理表示出，再利用二次函数的性质可得出的最大值和最小值，从而得出的取值范围．【详解】过点作交射线于点，设，∴，∵在中，，，点是边的中点，∴，，∵点为边上的一个动点，，∴，∵将点绕点逆时针旋转得到点，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，当时，点在线段上，如图，在中，，，∴，当时，有最小值，此时的最小值为，当时，有最大值，此时的最大值为，

当时，点在的延长线上，如图，在中，，，∴，当时，有最大值，此时的最大值为，综上所述，的取值范围为，故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，运用了分类讨论的思想．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（8小题，共66分）17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．【答案】【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵的直径，∴，∴．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，(1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为．(2)求出圆的直径【答案】(1)(2)【分析】（1）连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得即可求解．（2）由（1）为半径，即可求出直径．【详解】（1）解：连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得，如图所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心，∴点P的坐标为：，故答案为：．（2）由（1）得：点P是过A，B，C三点的圆的圆心，∴圆的直径为：．【点睛】本题考查了垂径定理，根据垂径定理确定圆心的位置是解题的关键．19．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的直径和弦相交于点E，且B是的中点，连接，.

(1)判断与是否全等，并说明理由；(2)连接.已知，，，求的长．【答案】(1)与全等；理由见解析(2)【分析】（1）根据圆周角定理可得、，再结合运用即可解答；（2）先求得，进而得到、，如图，过点O作于点G，连接OD，则；再根据直角三角形的性质可得；由勾股定理可得，进而求得．【详解】（1）解：与全等；理由如下：∵B是的中点，∴，∴，，∴.又∵，∴；（2）解：∵，，∴.∵AB是的直径，∴，.如图，过点O作于点G，连接OD，则.∵，，∴.由勾股定理得，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、圆的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．20．（2023·浙江·九年级假期作业）已知在中，，点平分平分，过点的⊙分别交于点．

(1)求的度数；(2)连接，求证：是等边三角形；(3)若，则⊙的半径______________．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；（2）连接，根据三角形的内角和定理得到，由（）知，推出是等边三角形，根据圆内接四边形对角互补得出，即可得到结论；（3）连接，，根据圆周角定理得到是的直径，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，求得，设根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在中，，点平分，，，平分，，；（2）证明：连接，

在中，，，由（1）知，是等边三角形，，，又是等边三角形．（3）解：如图所示，连接，，

，是的直径，，由（）知，，是等边三角形，，，，，平分，，，，，

，设，，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（2023·浙江台州·统考一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．(1)_______°；(2)若的半径为10，小圆的半径都为1；①当圆心H到l的距离等于时，求OH的长；②求证：在旋转过程中，的长为定值．【答案】(1)60(2)①；②见解析【分析】（1）将平均分6份即可；（2）①设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可；②先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得．【详解】（1）解：，故答案为：60；（2）①解：如图，设的挂点为K，过点H作于点T，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，K，H，T在同一直线上，圆心H到l的距离等于，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，，；②证明：如图所示，连接，，由（1）知，又，是等边三角形，，小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，，，四边形是平行四边形，，的长为定值．【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型．22．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．【答案】(1)①②；③；理由见解析（答案不唯一）(2)【分析】（1）任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合圆当中的基本性质和定理进行证明即可；（2）结合条件可推出，从而结合弧长计算公式直接求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵点为的中点，∴，，情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下：∵为直径，∴，∴为等腰直角三角形，，∵，∴，∴条件是①②，结论是③，该命题为真命题；情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下：∵为直径，∴，∴为等腰直角三角形，，∵，∴，∴条件是①③，结论是②，该命题为真命题；情况三：选择条件是②③，结论是①，是真命题；理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∵是圆上的弦，∴为直径，∴条件是②③，结论是①，该命题为真命题；故答案为：①②；③（答案不唯一）；

（2）解：由（1）可知，，如图所示，连接，∴，∵的长为，设的半径为，∴，解得：，∴的半径为．

【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，弧长计算，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，理解直径所对的圆周角为直角及其推论，掌握弧长计算公式是解题关键．23．（2023·浙江·九年级假期作业）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日作三角形的高线已知：如图1，．求作：的高线．今天，我们组的小明和小红的作法和我不同．小明：如图2，①作线段的垂直平分线找到线段的中点O；②以点O为圆心，的长为半径作圆；③延长交于点D；③连接．则线段就是的高线。小红：如图3，①以点B为圆心，的长为半径作弧；②以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线，延长与相交于点D．则线段就是的高线．我有如下思考：以上两种办法依据的数学原理是什么呢？任务：(1)填空：小明的作法依据的一个数学定理是______；(2)根据小红的操作过程，求证：是的高线；(3)在图2中，若延长线段交于点E，，，，请你直接写出的长．【答案】(1)直径所对的圆周角是直角；(2)见解析(3)【分析】（1）根据作图，结合直径所对的圆周角是直角即可作答；