专题18 相似三角形的判定与性质（10大题型）（原卷版）

专题18相似三角形的判定与性质（10大题型）【题型目录】题型一证明两三角形相似题型二选择或补充条件使两个三角形相似题型三重心的有关性质题型四相似三角形的判定与性质综合题型五利用相似三角形的性质求解题型六证明三角形的对应线段成比例题型七利用相似求坐标题型八在网格中画与已知三角形相似的三角形题型九相似三角形——动点问题题型十相似三角形的综合问题【知识梳理】知识点一、相似三角形的判定预备定理平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1有两个角对应相等的两个三角形相似．判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定3三边对应成比例的两个三角形相似直角三角形的特殊判定若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．知识点二、相似三角形的性质性质1相似三角形的对应边成比例，对应角相等。性质2相似三角形的周长比等于相似比。∽，则由比例性质可得：类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。性质3相似三角形的面积比等于相似比的平方。∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：相似多边形面积的比等于相似比的平方。性质4相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。【经典例题一证明两三角形相似】1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（

）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对2．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E，F分别在上，且，将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，则下列判断不正确的是（

）

A．是等腰直角三角形 B．垂直平分C． D．是等腰三角形3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是．

4．（2023秋·九年级课时练习）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；(2)与相似吗？为什么？【经典例题二选择或补充条件使两个三角形相似】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（

）

A． B．C． D．2．（2023秋·山东滨州·九年级校考期末）如图，在中，是上一点，连接，添加下列条件中的一个，不能判断的是（）A． B． C． D．3．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是．(填序号)4．（2023春·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是（写出一个即可）．5．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期末）如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？【经典例题三重心的有关性质】1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（）

A．12 B．14 C．18 D．242．（2023秋·九年级单元测试）如图，在等腰中，，点是的重心，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，若的周长为6，则的周长是（）A． B．3 C．4 D．3．（2023·山东滨州·统考一模）如图，点是的重心，过点作交，于，，交于点，若，，则四边形的周长为．4．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．①若，则；②若，则四边形的面积最大值为．5．（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______；(2)性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；(3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由．【经典例题四相似三角形的判定与性质综合】1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（

）A． B． C． D．152．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边和上，连接，点关于的对称点是点，连接和分别交于点和，若，，若和四边形面积相等，则的长为．4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O在的延长线上取一点E，连接交于点F，延长交于点H．若，，，则的值为．

5．（2023春·广东·九年级专题练习）综合与探究在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，当，且时，求的长；(3)如图③，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，请直接写出的值．【经典例题五利用相似三角形的性质求解】1．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（

）

A．1 B． C．2 D．2．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）如图已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则（

）

A． B． C． D．3．（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接，；4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，若的面积是4，则四边形的面积是．

5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，．

(1)求边上的高的长度；(2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上，求正方形的边长．【经典例题六证明三角形的对应线段成比例】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·九年级单元测试）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，若，，，则的长为.

4．（2022春·九年级课时练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为.5．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．

(1)设的面积为，的面积为，且．①如图①，连接．若，求证：；②如图②，若，，求的值．(2)如图③，若，，，，直接写出的值．【经典例题七利用相似求坐标】1．（2022·九年级单元测试）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（

）.A． B． C． D．2．（2021·广东广州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．3．（2021春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为．5．（2021·广东湛江·统考三模）已知，如图，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），于点N，连接CM．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求点N的坐标；（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题八在网格中画与已知三角形相似的三角形】1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A． B． C． D．2（2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（

）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤3．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是．4．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于．5．（2023·浙江温州·校考三模）如图，在6×6正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画格点三角形（顶点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点A，B，C重合．

(1)在图1中，作一个格点，使得与相似（相似比不等于1），且；(2)在图2中，作一个格点，使得与全等，且每条对应边都互相垂直．注：图1，图2在答题卷上．【经典例题九相似三角形——动点问题】1．（2023春·吉林长春·九年级校考开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（

）

A．2或 B． C．3或 D．32．（2023·河北邯郸·校考三模）在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023春·九年级课时练习）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作交于点．设点运动路程为，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是．

4．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为．

5．（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．

(1)当移动几秒时，的面积为？(2)当移动几秒时，四边形的面积为？(3)当移动几秒时，与相似？【经典例题十相似三角形的综合问题】1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.23．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为．4．（2023·山东德州·统考一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________

(写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．5．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．【重难点训练】1．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（）

A． B． C． D．3．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则值为（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，记与点A重合点为，则的面积与该矩形的面积比为（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南安阳·校考二模）在四边形中，，，，点为边上一点，，且．连接交对角线于点．下列结论正确的有（

）个．①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．46．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，D、E为的边上的点，当时，．

7．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．

（1）若平分，则与是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）图中与相似的三角形有（写出两个即可）8．（2023春