高等数学（第2版）课件：函数

二、函数一、集合

函数三、函数的几种特性四、反函数五、复合函数六、初等函数七、函数的分解

一、数集与邻域

N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集例如：10对于数集,记──正整数集──非零实数集──正实数集20由于实数集中的元素（数）与数轴上的点一一对应，故我们也称数为“点”．

1.数集——元素都是数的集合注开区间闭区间无穷区间半开区间２.区间——一类特殊的数集．３.点a的

邻域其中,a称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:

定义域二、函数的概念1.函数的定义定义.设x

和y是两个变量,D是一个给定的数集，则称对应法则f是定义记作f(D)={y|}称为值域自变量因变量如果按照某个法则f，对于每个数x∈D，变量y都有唯一确定的值和它对应，在D上的函数。

函数的两要素定义域对应规则对两个函数，只有当它们的定义域与定义域相同，对应规则与对应规则也相同时，它们才是同一个函数

2.函数的定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.求函数定义域的方法♦有分母时要使分母≠0♦有偶次根式时要使被开方数≥0♦有对数时要使真数＞0♦有arcsinx，arccosx时要使|x|≤1当函数表达式中有多个因素时，最终考虑它们的交集

例1.设，求函数的定义域

解:要使函数有定义，必须即故函数的定义域为例2.已知f(x)的定义域为(0,1]，求函数f(lnx

)的定义域．解：

由得，故函数f(x)的定义域为[1,e].例3

判定下列各组函数是否为同一函数（1）f(x)=x,（2）f(x)=sinx,（3）f(x)=x,（4）y=f(x),u=f(t)

x与t的取值范围相同不同定义域不同不同对应规则不同相同相同

例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域

例5

设f(x)=12xx<0x=00<x≤4，求f(x2

)

解：

３.反函数定义注1.解析法（公式法）三、函数的表示法20分段函数──在定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子表示的函数．2.表格法3.图形法注10显函数与隐函数显函数──因变量由自变量的解析式直接表示出来的函数．隐函数──自变量与因变量的对应关系由一个二元方程来表示的函数．四、函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称函数无界的定义为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.

(2)单调性,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.

设，且(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有

判定函数奇偶性的方法♦按奇偶性的定义判定♦按奇偶函数运算的性质判定♦按奇偶性的特殊结论判定设f(x)是任意函数，：当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数sinx：奇函数cosx：偶函数常数C：偶函数奇偶函数运算的性质奇偶然函数之间四则运算后的奇偶性与正负号运算的结论类似特殊结论则一定是奇函数

一定是偶函数，又如,奇函数例如,偶函数

(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).

五、复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合

两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:

例6

设|x|<1|x|=1|x|>1，求f[g(x)]，g[f(x)]

解:例7

设，求例8设，求解解

令则于是，即因为所以六、初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.非初等函数的情形：主要是分段函数