高等数学（第2版）课件：中值定理

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一、罗尔(Rolle)定理

二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理

一、罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.若M=

m,则因此则在(a,b)内至少存在一点设

若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件不全具备时,结论不一定成立.例如,

2)定理条件只是充分性条件.abξ1ξ2ξ3xyo

例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设

二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续设满足:(2)在区间(a,b)内可导则至少存在一点使作辅助函数证:问题转化为证

几何意义作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立证毕

拉格朗日定理的常用形式称为拉格朗日定理的有限增量形式推论:若函数在区间I上满足则在

I上必为常数.证:在I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

上为常数.令则

例2.函数解:

在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,求中值

例3.证明等式证:设由推论可知(常数)令,得故所证等式在定义域上成立.经验:欲证时只需证在I上

例4.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有

三、柯西(Cauchy)中值定理设及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导，且则至少存在一点使满足:

柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率

内容小结微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

作业P872，3（2）,4

拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.

柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影

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