高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语2四种命题和充要条件

第一章集合与常用逻辑用语1/41第2课四种命题和充要条件2/41课前热身3/411.(选修21P8习题1改编)命题：“若x2<1，则－1<x<1”逆否命题是______________________________________．2.(选修21P7练习改编)命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题个数为________．【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假．激活思维若x≥1或x≤－1，则x2≥124/413.(选修21P20习题改编)判断以下命题真假．(填“真”或“假”)(1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则C>B”否命题为__________命题．(2)命题“若ab＝0，则b＝0”逆否命题为________命题．4.(选修21P9习题4(2)改编)“sinα＝sinβ”是“α＝β”_____________(从“充分无须要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也无须要”中选填一个)条件．真假必要不充分5/415.(选修21P20习题改编)已知p，q都是r必要条件，s是r充分条件，q是s充分条件，那么r是q____________条件，p是q____________条件．【解析】q⇒s⇒r⇒q，所以r是q充要条件；q⇒s⇒r⇒p，所以p是q必要条件．充要必要6/411.记“若p则q”为原命题，则否命题为“_______________”，逆命题为“_________”，逆否命题为“______________”．其中互为逆否命题两个命题同真假，即等价，原命题与___________等价，逆命题与________等价．所以，四种命题为真个数只能是偶数．知识梳理若非p则非q若q则p若非q则非p逆否命题否命题7/41充分必要非充分非必要8/41充分无须要必要不充分充要既不充分也无须要充分性必要性9/41课堂导学10/41 写出命题“若x＝3且y＝2，则x＋y＝5”逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们真假．【思维引导】本题考查四种命题之间转换，要抓住条件与结论进行改写．【解答】逆命题：“若x＋y＝5，则x＝3且y＝2”；假命题．否命题：“若x≠3或y≠2，则x＋y≠5”；假命题．逆否命题：“若x＋y≠5，则x≠3或y≠2”；真命题．四种命题及其真假判断例111/41【精关键点评】四种命题转换，首先要改写成“若p则q”形式，其次要注意常见否定转换．注意：互为逆否命题两个命题真假相同．12/41 给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”逆命题；②“全等三角形面积相等”否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实数根”逆否命题；④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数．其中真命题是________．(填序号)【解析】①显然正确；②不全等三角形面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它逆否命题也正确；④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数或都是奇数，故④不正确．变式①③13/41【精关键点评】对命题真假判断，真命题要加以论证；假命题要举出反例，这是最基本数学思维方式．在判断命题真假过程中，要注意简单命题与复合命题之间真假关系，要注意四种命题之间真假关系，原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．所以，四种命题中真命题个数只能是0,2或4.14/41 从“充分无须要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也无须要”中选填一个．(1)(·泰安期末)已知a∈R，则“a2＜a”是“a＜1”______________条件；【思维引导】求出不等式a2＜a解集为(0,1)，然后依据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断．【解析】因为由a2＜a，可得0＜a＜1，所以“a2＜a”是“a＜1”充分无须要条件．充要条件判定例2充分无须要15/41(2)(·保定时末)若集合A＝{0,1}，B＝{－1，a2}，则“A∩B＝{1}”是“a＝1”____________条件．【思维引导】判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足；若由结论能推出条件，则必要性满足．【解析】若A∩B＝{1}，则a2＝1，a＝±1，所以充分性不满足，必要性满足，故“A∩B＝{1}”是“a＝1”必要不充分条件．必要不充分16/41【精关键点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面即“充分性”与“必要性”分别考查．判定时，对于相关范围问题也能够从集合观点看，如p，q对应范围为集合A，B，若A⊆B，则A是B充分条件，B是A必要条件；若A＝B，则A，B互为充要条件．17/41 从“充分无须要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也无须要条件”中选填一个．变式充分无须要条件18/41充分无须要条件19/41必要不充分条件20/41(4)(·南京学情调研)已知直线l，m，平面α，若m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”______________；【解析】由直线与平面垂直定义知“l⊥m”推不出“l⊥α”，不过由定义知“l⊥α”能推出“l⊥m”，所以是必要不充分条件．必要不充分条件21/41充要条件22/41【精关键点评】在判断时注意反例应用；在判断“若p则q”较繁琐时，能够利用它逆否命题“若非q则非p”，判断其是否正确；有时将一些条件转化为与它等价条件再与另一条件进行判断会更简单．23/41 已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．(1)求实数a取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}充要条件；【思维引导】求a取值范围使它成为M∩P不一样条件，可借助集合观点，依据要求，求出成立时a取值范围．【解答】由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，所以M∩P＝{x|5<x≤8}充要条件是－3≤a≤5.结合充要条件求参数例324/41(2)求实数a一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}一个充分无须要条件；【解答】在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值即可，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求一个充分无须要条件．25/41(3)求实数a取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}一个必要不充分条件．【解答】即求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q一个真子集．假如{a|a≤5}，那么未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，不过M∩P＝{x|5<x≤8}时，必有a≤5，故a≤5是所求一个必要不充分条件．26/41【精关键点评】处理这类问题普通是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间关系，然后依据集合之间关系列出关于参数不等式求解．27/41变式[1，＋∞)28/41 已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根充要条件是ac<0.【思维引导】证实充分性，由“ac＜0”推出“方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根”，证实必要性是由“方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根”推出“ac＜0”，主要依据判别式、一元二次方程根与系数关系进行论证．充要条件证实例429/4130/4131/41【精关键点评】充要条件证实应注意：(1)普通地，条件已知，证实结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性．(2)相关充要条件证实问题，要分清哪个是条件，哪个是结论．32/41 已知函数f(x)是R上增函数，a，b∈R，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)充要条件是a＋b≥0.【解答】充分性，即已知a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．因为a＋b≥0,所以a≥－b，b≥－a，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．必要性，即已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，求证：a＋b≥0.变式33/41假设a＋b<0，所以a<－b，b<－a，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与已知矛盾，所以必要性成立．综上，可得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)充要条件是a＋b≥0.34/41课堂评价35/411.命题：“若a>1，则a2>1”逆否命题是________________．【解析】由原命题与逆否命题关系知，其逆否命题为“若a2≤1，则a≤1”．若a2≤1，则a≤136/412.(·安徽卷)若p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q____________(从“充分无须要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也无须要”中选填一个)条件．【解析】由q：2x＞1＝20，解得x＞0，所以p⇒q，但q⇒/p，所以p是q充