高考数学一轮复习讲义：子数列问题

子数列问题

子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点,

一般方法是构造新数列，利用新数列的特征（等差、等比或其他特征）求解原数列.

题型一奇数项与偶数项

例1（2023・南通模拟）在数列｛an｝中,a„=嗽「盗方"数’

（1）求Q1，如的；

（2）求数列｛四｝的前〃项和

名刀一[2〃一1,〃为奇数，

解⑴因为5“为偶数,

2

所以QI=2X1—1=1,6z2—2=4,43=2X3—1=5.

用之_[2〃-1,〃为奇数，

（2）因为斯一12",〃为偶数，

所以。1，劭，。5,…是以1为首项，4为公差的等差数列，

。2,44，即，…是以4为首项，4为公比的等比数列.

n-\~1n—1

当〃为奇数时，数列的前〃项中有----个奇数项，有----个偶数项.

22

所以8篦=。1+。2+。3+…+。〃=（。1+。3+…+恁-2+斯）+（。2+。4+…+。〃-3+%-1）

〃+1/〃+1,\RI

«+12\2-1/14（143）_序+〃।2〃+i—4

----XI><4

22-\7423

,n,n

当〃为偶数时，数列｛。力的刖〃项中有a个奇数项，有&个偶数项.

所以51=41+。2+。3+…+。”=（。1+的+…+。〃-3+。〃-1）+（。2+。4+…+册-2+。”）

1.

n?\24/14?\/一n2"+2—4

=-Xl+——X4+乂二=-----+-------

221-423

所以数列｛四｝的前几项和

,n2-\~n2n+1—4

2+-3-"为奇数,

Sn=n2-n2"+2—4

,，”为偶数.

思维升华解答与奇偶项有关的求和问题的关键

⑴弄清〃为奇数或偶数时数列的通项公式.

（2）弄清"为奇数时数列前〃项中奇数项与偶数项的个数.

跟踪训练1（2021・新高考全国I）已知数列｛斯｝满足5=1,%1=04盆

(1)记儿=。2〃，写出仇，①，并求数列｛①｝的通项公式;

(2)求｛&｝的前20项和.

斯+1,〃为奇数,

解（1）因为b=a2n>且〃i=l,a\=

nn+a+2,〃为偶数,

所以仇=〃2=。1+1=2,

/>2=。4=的+1=〃2+2+1=5.

因为bn=Cl2n，所以儿+1=。2"+2=。2〃+1+1=。2/1+1+1=〃2"+2+1=。2"+3,

所以儿+i—儿=〃2”+3—。2〃=3,

所以数列也｝是以2为首项，3为公差的等差数列，与=2+3(〃一1尸3〃一1,〃金N*.

⑵因为砧=［："*髓：所以当年N*时,

。2左=。2"1+1=。2"1+1，即。2左=。2k-1+1，①

。2无+1=。2左+2,②

。2后+2=。2k+1+1=。2左+1+1，即。2无+2=。2左+1+1，③

所以①+②得。2左+1=1+3,即。2左+1—1=3,

所以数列｛四｝的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

②+③得。2左+2=。24+3,即a2k+2—a2k=3,

*2=2,所以数列｛斯｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

所以数列｛。〃｝的前20项和$20=（41+的+。5-|----FQ19）+（Q2+Q4+a6^------^。20）=1。1

10X9

X3+20H-----------X3=300.

2

题型二两数列的公共项

例2数列｛恁｝与步力的通项公式分别为恁=4〃一1,b〃=3〃+2,它们的公共项由小到大排列

组成数列｛金｝,求数列｛。〃｝的通项公式.

解方法一设四=%=%则4左一1=3加+2,

所以左=-3^(——m+1)

4

因为3,4互质，

所以加+1必为4的倍数，即加=4夕一1,

所以cp=bm=3(4p—l)+2=12p—l,

即数列｛金｝的通项公式为cn=12n-l.

方法二由观察可知，两个数列的第一个公共项为11,

所以Ci=ll.

设Qk=bm=Cp,则4左一1=3加+2,

所以四+1=4(左+1)—1=4左+3=3加+6=3(加+]1+2不是数列｛bn｝中的项,

四+2=4(左+2)—1=4左+7=3加+10=3(加+]]+2不是数列｛6“｝中的项，

0左+3=4(左+3)—1=4左+11=3根+14=3(/n+4)+2是数列｛b„｝中的项.

所以Cp+i=a*+3，则Cp+i—Cp=ctk+3-0)1=3X4=12,

所以数列｛6｝是等差数列，其公差为12,首项为11,

因此,数列｛<:"｝的通项公式为C"=12"—l.

思维升华解决两个等差数列的公共项问题时，有两种方法：

(1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项,

并解出相应的通项公式；

(2)周期去即寻找下一项.通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公

差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之

间的关系，从而得到通项公式.

跟踪训练2(1)已知数列｛%｝,｛%｝的通项公式分别为恁=4"—2(1W〃W1OO,〃GN*),b„=6n

—4(〃GN*),由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列｛备｝,则数列｛c“｝的

各项之和为()

A.6788B.6800C.6812D.6824

答案B

解析由题意可得句=①=2,等差数列｛0“｝的公差为4,且aioo=398,

等差数列｛6“｝的公差为6,且比00=596,

易知数列｛金｝为等差数列，且公差为数列｛斯｝和｛6〃｝公差的最小公倍数，

由于4和6的最小公倍数为12,所以等差数列｛金｝的公差为12,

则c„=2+12(«-l)=12«-10,

fcWmoo，(12〃110W398,

由卜〃nWbioo，即T2〃-10W596,

\neN*,「£N*,

解得〃W34,〃£N*,

34X33

所以等差数列｛c〃｝共有34项，则该数列各项之和为34X2+--—X12=6800.

⑵我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二,

五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学问题，所有被3除余2的自然数

从小到大排列组成数列｛。〃｝,所有被5除余2的自然数从小到大排列组成数列｛儿｝，把｛劣｝和

协〃｝的公共项从小到大排列得到数列｛金｝,贝!]()

A.的+/>5=。3B.岳8=。10

C.。5岳>。8D.C9-bg=。26

答案B

解析根据题意，数列｛Q〃｝是首项为2,公差为3的等差数列，册=2+3(〃一1尸3孔一1,

数列｛仇｝是首项为2公差为5的等差数列，儿=2+5(〃-1)=5〃—3,

数列｛〃〃｝与｛儿｝的公共项从小到大排列得到数列｛6｝,故数列｛6｝是首项为2,公差为15的等

差数列，cn=2-\~15(n—1)=15〃-13.

6Z3+Z?5=(3X3-1)+(5X5-3)=30,Q=15X3—13=32,a3+b5^c3,A错误；

628=5X28—3=137,,0=15X10—13=137,b^=cx^B正确；

45=3X5—1=14,62=5X2—3=7,c8=15X8-13=107,6z562=14X7=98<107=c8,C错

误；

09=15X9—13=122,仇=5X9—3=42,^6=3X26-1=77,出一为=122—42=80W77=

。26,D错误.

题型三分段数列

2+几

例3(1)记S〃为数列｛斯｝的前〃项和，S=——,则即=________.

n1十〃

[3

〃=1,

答案1

一■,〃22

n(n+1)

2+〃3

解析S=—1一,当〃=1时，ai=Si=-

n1+n29

2+〃1~\~n1

当〃22时，an=Sn—Sn_i=—1-----------=----------,显然对于〃=1不成立，

1+nnn(n-r\)

[3

5，〃=i'

则an=']

一:，n>2.

I〃(几+1)

3

(2)已知数列｛〃〃｝是公差不为o的等差数列，〃1=3,数列出〃｝是等比数列，且d=的，b2=-

的，仇=〃4,数列出篦｝的刖〃项和为S”.

①求数列｛①｝的通项公式；

C

②设-=tn求｛金｝的前〃项和Tn.

154"，Tl勺0，

解①设数列｛。〃｝的公差为d,dWO,

因为数列也〃｝是等比数列，

所以房=仇仇，所以*=卅4,

所以(。1+2(7)2=4[(4[+3(/),

所以Q/+4屋=0,

因为dWO,所以Qi+4d=0,

33

又。1=一，所以d=---，

28

3、bi一的一(QI+2〃)/1\1

所以仇二可=一，数列｛儿｝的公比---=---------=—1—2X――=――,

2b\a\a\\4/2

3

所以b〃=biq〃T=a义

思维升华（1）利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比

数列的公比，进而可得所求通项公式.

（2）对n分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和.

1

跟踪训练3(1)已知数列｛“满足斯=犬=1)'若数列小｝的前〃项

[1+2-(—l)2]6z«-i+2(n22),

和为S〃，则当4=1时，Su等于()

3122221

A.—B.—C.—D.—

22132

答案D

解析当2=1,时，an=-tzn-i+2,

即a篦+a1=2,

121

则Su=（Qu+〃10）+（。9+。8）+（。7+。6）+（。5+。4）+（的+。2）+。1=2X5+~=~.

⑵已知数列：1,1,2,1,2,4,124,8,124,8,16,…，即此数列第一项是2。，接下来两项是2。,21,

再接下来三项是2。,21,22,依此类推，设S〃是此数列的前几项和，则S2024等于（）

A.264+190B.263+190

C.264+62D.263+62

答案A

解析将数列分组：

第一组有一项，和为2。；

第二组有两项，和为2。+2、

•••9•

,L2”

第〃组有〃项，和为2。+2]+…+2"T=------=2"—1,

1-2

63X64

则前63组共有一--=2016(项)，

所以32024=2°+(2。+21)+-+(2。+21+―+262)+2。+21+22+23+24+25+26+27

=(2*1-l)+(22-*l)H——1-(263-1)+(28-1)

=(2+22H——H263)—63+255

2(1一263)

=---------+192=264+190.

1-2

课时精练

立基础保分练

1.(2023・南京模拟)已知等差数列｛斯｝的前"项和为S.("GN*),数列也“｝是等比数列,』=3,

Z?2+S2=l。，。5-2/>2=。3・

⑴求数列｛.“｝和｛b„｝的通项公式；

12、，

(2)若Q=工'"为奇数’设数列｛金｝的前"项和为T“，求心.

bn，〃为偶数，

解(1)设等差数列｛〃〃｝的公差为d,

等比数列｛几｝的公比为q(qWO),

•的=3,仇=1,62+82=10,452/?2=。3,

.[q+3+3+d=10,碗声]d=2,

□+4(7—2g=3+2d,牛年11=2,

/.an=2n-\~\,儿=2〃T.

〃(3+2〃+1)

(2)由(1)知，—-——-=n(«+2),

211

〃为奇数,

n(n+2)n〃+2'

2"-i,〃为偶数，

/11111

+(21+23+25+,**+22w-1)

2n-\2n+1

12(l-4w)_l+22w+11

2〃+11—432〃+1

2.（2023・潍坊模拟）已知等比数列｛〃〃｝的前〃项和为国,公比9>1,满足&=13,晶=3恁.

⑴求｛Q〃｝的通项公式;

e、几7_［欧，几为奇数，

（2）以九一［瓦」+〃，几为偶数,求数列｛儿｝的前2〃项和72〃.

解（1）方法一因为｛诙｝是公比的等比数列,

§3=13,a\+02+03=13,

所以由得

42=3Q6,(41q3)2=3〃闻5,

tzi(l+q+q2)=13,

即

&iq=3,

］+q+q213

两式相除得一・-=一

q3

整理得为2—10乌+3=0,

即(3q—l)(q—3)=0,

1

解得q=3或q=w，

3

又q>l,所以q=3,故的=—=1,

q

nini

所以an=aiq-=3-.

方法二因为｛“〃｝是公比9>1的等比数列,

S=13,。1+。2+。3=13,

所以由得

,晶=3〃6,。2。6=3。6，

QI+02+03=13,则。1+。3=10,

即

42=3,石=9,

。1+的=10,=1，K二:‘（舍去），

故解得03=9或

。1的=9,

故［2=—=9,则4=3,

a\

所以为=q©〃—I=3〃T.

(2)当/为奇数时,b〃=a〃=3〃T,

当〃为偶数时，=4_1+〃=3"-2+〃,

所以T2n=bi+b2+b3+b4-\----^b2n-i+b2n

=(仇+仇H---1"岳〃—1)+(3+b4H----Hb2n)

=(3°+32H-----|-32«-2)+(30+2+32+4H-------l-32«-2+2n)

=2X(3。+32H------P32"-2)+Q+4H------P2〃)

]—32"-2.32«(2n+2)

=2义---------+-------

1-322

9«-1

=-------Fn(n+1).

3.已知数列｛““｝和出,｝的通项公式分别为。=3〃+6,6“=2"+7.将集合已a=斯，〃GN*｝U｛x|x

=b”,〃GN*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列ci，c2,c3,cn,

(1)求三个最小的数，使它们既是数列｛四｝中的项，又是数列｛6“｝中的项；

(2)数列C1，C2，。3，…，C40中有多少个不是数列｛4,｝中的项；

(3)求数列｛c„)的前4n项和S4n.

解将数列｛%｝和他"｝的公共项从小到大排列组成数列｛4｝.

设欧=6,”，则3左+6=2加+7,

3人一1

即加=——,所以人为奇数，

2

==

设左=2〃-1,Mm3n—2,dna/i=3(2n—1)+6=6〃+3.

⑴三个最小的数依次为9,15,21.

(2)由数列C1，C2，C3，…，C",…的构成可知，

d„,—6m+3与d,n+i—6m+9均为数列｛＜；”｝中的项，

在力和4+1中还有以下项:6m+5,6m+6,6m+7,

又C\=d[=9,

因此数列｛金｝中的项从第1项起，连续的4项中只有第3项是数列｛&｝中的偶数项，不是数

列也“｝中的项,

所以数列Cl，C2,C3,…，C40中有10个不是数列｛勾｝中的项.

(3)由(2)可知,数列｛金｝的前4”项中,

由数列｛6"｝中的前3〃项和数列｛为｝中的前〃项偶数项构成，

3〃(9+6〃+7)«(12+6«+6)

因此St”=-------------------1-----------------=12泳+33〃.

22

4.韩信采用下述点兵方法：先令士兵从1〜3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1〜

5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1〜7报数，结果最后一个士兵报4；这样，韩

信很快就算出了自己部队士兵的总人数.已知士兵人数不超过500人，那么部队最多有多少

士兵？

解根据士兵报数结果可得，士兵的总数是三个等差数列｛3〃+2｝,｛5n+3｝,｛7"+4｝的公共

项所组成的数列中的项.

记%=3〃+2,bn=5n+3,c„=7«+4,新数列记为｛4”｝.

从小到大列举数列｛金｝中的项，并判断是否为数列｛四｝与｛儿｝中的项，

可得数列｛4｝的首项为4=53,

设ak=bm=cp=dn,则3左+2=5加+3=7夕+4,

所以cp+i=7(p+1)+4=72+4+7=5］冽+3不是数列｛6〃｝中的项；

。2+2=7。+2)+4=7夕+4+14=5卜+3不是数列｛儿｝中的项；

%+3=7。+3)+4=7/+4+21=5(加+11+3不是数列｛6〃｝中的项；

%+4=7。+4)+4=7/+4+28=5,+3不是数列｛6〃｝中的项；

%+5=7。+5)+4=7/+4+35=5(加+7)+3=3W+gj+2不是数列｛四｝中的项；

Cp+6=7(/?+6)+4=7夕+4+42=5,+3不是数列｛儿｝中的项；

•••9•

%+15=7g+15)+4=70+4+105=5(加+21)+3=3(左+35)+2是数列｛。“｝和｛6〃｝中的项.

所以d"+i=Cp+i5，则d.+i—<7„—105,

所以数列｛4,｝的通项公式为服=105〃-52.

当n=5时，办=473<500,

当«=6时，型=578>500,

所以最多有473个士兵.

立综合提升练

5.已知数列&｝的前〃项和为S“，且ai=a(aGR),%尸］："3,"史3,〃中*.

(1)若0<为式6,求证：OVQ〃+1W6；

(2)若a=5,求S2024；

3

⑶若a=----(加£N*),求S2的值.

2加一］4w+

⑴证明当。〃£(0,3］时，

则a+1=27£(0,6］,

当&£(3,6］时,则a什1=4一3£(0,3］,

故&+i£(0,6］9

所以当0<%W6时，总有0V斯+1W6.

(2)角1当。］=。=5时，。2=。1-3=2,。3=2。2=4,。4=。3-3=1,。5=2。4=2,。6=2。5=4,

。7=。6-3=1,

所以数列｛斯｝为524,1,2,4,1,2,4,1,…,

所以从第2项起，｛册｝中的项以3为周期，其和为2+4+1=7,

所以52024=5+7X674+2=4725.

(3)解由加£N*,可得2加一121,

3

故a-------W3,

2^-1

3X2加[3X2冽]3X2加一1

当ICkWm,左GN*时，--------=-------——<--------=3.

2机—]2加一1+2加―]—[2加―]

故延=2后Tq且。机+1=2%.

3X2加

Q加+1-—-~>3,

2W-1

3

以。加+2=。加+13=3=2"'3=〃.

2m-l

故^S4加+2-$4(m+1)44加+3〃4加+4

=4(可+做+…+。洲+1)—(2加t+2冽)。

=4(1+2H-----|-2W)6Z-3X2加%

=4(2加+1—1)Q—3X2加一1Q

39X2加一1—12

=—3X2”>=>7

或西展冲刺练

6.(2022•天津模拟)已知在各项均不相等的等差数列｛四｝中,句=1,且可，02,%成等比数

列,数列他“｝中，/>i=log2(a2+l),儿+1=也+2'+1,nGN*.

(1)求｛斯｝的通项公式及其前n项和SM

⑵求证：｛6“+2〃｝是等比数列，并求｛勾｝的通项公式；

ak

-n=2k,左£N*,

(3)设Q=/X2左求