福建省某中学2024-2025学年高三年级上册1月期末数学试卷（含答案）

福建师大附中2024-2025学年上学期期末考试

数学试卷

试卷：120分钟满分：150分：

命题：第I卷选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合幺={》|x〉l},8={x[—2<x<2},贝！|（dN）c5=（）

A.(-8,2)B.(l,2]C.(-2,l)D.(-2,l]

2.若复数z满足（2—i）z=3+i,则z的共朝复数彳=（）

A.l-iB.l+iC.2+iD.2-i

3

3.若0=sin],b=log垃G,c=,则()

K.a<c<bB.c<a<b

C.b<a<cD.c<b<a

4.设等差数列{4}的前〃项和，者%=2,S”=66,则数列，前99项和为)

A.7B.8C.9D.10

5.下列命题错误的是（）

A.两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B.设，~3（〃,夕）,若E（?）=30,。（，）=20,则〃=90

C.线性回归直线>=%+,一定经过样本数据的中心点（亍，歹）

D.袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从从中不放回地随机摸出20个球，用随

机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E（?）=8

6.如图，对4民。,。,£五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色,

且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）

A.480种B.640种C.780种D.920种

7.从重量分别为1,2,3,4,…,10克的祛码（每种祛码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数

为m,下列各式的展式中X5)的系数为机的选项是()

A.(1+X)(1+X2)(1+X3)---(1+X1°)

B.(1+X)(1+2X)(1+3X)---(1+10X)

C.(l+X)2(1+X2)2(1+/J0+/J…0+彳10)2

D.(1+X)(1+X+X2)(]+X+X~--+储。)

8.已知函数/(x)=与一+sin(2x-4)+4,若/(a—2)+/(2/)〉8,则实数a的取值范围是

e

()

A.(2,+”)B.1—2,|JD]”,—|Ju(2,+⑹

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知S“为等差数列｛%｝的前〃项和，若%>0,邑013=S2024,则()

A.｛a“｝为递增数列

B.｛%｝为递减数列

C.当〃=2018或2019时，S“的值最大

D.使得S,>0成立的n的最大值是4038

10.如图，在棱长为1的正方体4BCD—44。口中，M,N分别是48,2。的中点，P为线段CQ】上的

动点，则下列说法正确的是()

一定是异面直线

B.存在点P,使得儿尸田

C.直线NP与平面BCC出1所成角的正切值的最大值当旦

5

D.过M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值巫

4

11.记函数/（X）=sinxcos2xsin3x在区间［og］的极值点分别为％，%（/<%），函数

8（%）=武2%一1）（4%一3）的极值点分别为处,尸2（4<尸2），则（）

A.^+A=|Bj（aJ=g（»）（z-=l,2）

o

C./（«2）„/（%）„/（«1）D.%£I<:

第n卷非选择题（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（x）=sin（x+0）（e〉O）,若/=则°的一个取值为.

13.如图，己知48,CD是圆O的两条直径，E是。4的中点，R是/E的中点，若

FCFD+ECED=kOCOD则上=.

14.已知抛物线C：/=2/（2〉0）的焦点/到其准线的距离为2,圆/:（x—ly+j?=1,过/的直线

/与抛物线C和圆M从上到下依次交于4尸,。,8四点，则|幺尸土415a的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，

15.（本题13分）

如图，在等边三角形△ABC中，。为边BC上一点，8。=2。。，点M，N分别是边上的动点

（不包括端点），若/MQN=120°,且设NCN0=6.

QM

（1）求证：不论。为何值，二］为定值.

QN

（2）当ABMQ和ACN。的面积相等时，求tan。的值.

16.C本题15分）

如图，在四棱锥尸―Z8CD中，BDLPC,NBAD=12。。,四边形Z8CD是菱形,

PB=J2AB=41PA>E是棱PD上的动点，且丽=/丽.

（1）证明：尸幺，平面48CZ）.

（2）是否存在实数2,使得平面尸48与平面ZCE所成锐二面角的余弦值是独9?若存在，求出X的

19

值；若不存在，请说明理由.

17.（本题15分）

22

焦距为2c的椭圆=+==1（。〉6〉0）,如果满足23=a+c,则称此椭圆为“等差椭圆”.

ab

22U

（1）如果椭圆T：t+」=l（a〉b〉O）是等差椭圆，求一的值;

crba

（2）对于焦距为6的等差椭圆T,点力,5分别为椭圆的左、右顶点，直线》=叼+3交椭圆于P,。两

点，（P，。异于Z,B）,设直线/P,8。的斜率分别为尢，k2,是否存在实数X,使得左=4左2,若

存在，求出2,不存在说明理由.

18.（本题17分）

高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包

括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等.最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为27.9%,大概每

三位成人中就有一位是高血压患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血

压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.

（1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，

健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计.

季度x12345

血压明显降低

（或治愈）人数V

若血压明显降低（或治愈）人数V与季度变量x（季度变量x依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，

请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？

（2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组

都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为工，若甲组挑战乙组，则

2

下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为2,-；若挑战权在丙组，则挑战甲

33

组、乙组的概率分别为2,

33

（i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望；

（ii）定义:已知数列｛%｝,若对于任意给定的正数£（不论它多么小），总存在正整数或，使得当

〃>N0时，14-旬<£（/是一个确定的实数），则称数列｛%｝为“聚点数列”，/称为数列｛%｝的聚

点.经过〃次挑战后，挑战权在甲组的概率为4,证明数列｛%｝为“聚点数列”，并求出聚点力的值.

附：回归方程j=+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

%一元）（人一歹）Ex.j,--nx-y

,a=y-bx.

19.C本题17分)

已知函数/(x)=2smx—cosx.

a）求曲线y=/（x）在点（兀,/（兀））处的切线方程;

（2）证明：/（X）是周期函数；

（3）判断/（X）在（0,4兀）上的零点个数,并说明理由.

高三数学试卷答案

题号1234567891011

答案DABCDCCBBCDADABD

兀711y

12.-（答案不唯一<p=-+kn）13.—14.4

3316

QM°5A/3

15.（1）之7=2（2）任

QN3

TT27r

【详解】（1）在AOCN中，NNQC=TT—1―£=§—

又NMQN=：,所以/“。8=夕—1,

在△BA/0中/即=兀一。，所以sin/8A10=sin/CW0,

MQBQ,„BQsinB

在△BM。中，由正弦定理得，即Q=sinZBMQ

sinBsinNBMQ

在AC厂O…N中’由正弦定理得；N^Q=嬴CO&'即皿"八=意CQsi前nC

QMBQ\QM

所以之7=/=2,即不论。为何值，'丁=2恒成立；

QNQCQN

（2）因为S.cN°=gc0QNsinNC0N=；C0QNsin]，—e

S^MQ=^BQ-QMsmZBQM=^BQ-QMsm[o-^,

又SABMQ~S&CNQ，BQ=2CQ,由（1）可得0M=20N,

所以gsin[会一9]=2sin[9—,

口匚1r.2兀八2兀.八）.八兀八,乃、

即一sin—cos6*-cos—sin"=2sin6coscossin—,

2（33J{33）

sC

整理得3sin0=5Gcos8，所以tan0=---.

3

16.(1)证明见解析(2)存在实数4=工，理由见解析

3

【详解】(1)

因为四边形4BC。是菱形，所以

因为8。，尸C,AC,尸Cu平面R4C,且NCcPC=C,所以5。/平面R4C.

因为R4u平面R4C,所以RD_LPN.

因为PB=6AB=6PA，所以尸^2=482+尸幺2,即

因为45,ADu平面45C。，且ABcBD=B,所以尸幺，平面45CD.

(2)

取棱C。的中点/，连接4F,因为四边形48c。是菱形，ZBAD=120°,

所以△NCD为等边三角形，故4FLC。，

又尸幺，平面NBCO,平面N8CD,

所以PA1AF,故48,AF,4P两两垂直，

故以/为原点，分别以刀，衣，方的方向为x,V,z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设48=2,则2(0,0,0),C(l,V3,0),Z)(-l,V3,0),P(0,0,2),

故k=(1,百,0),P5=(-l,73,-2),下=(0,0,2),

所以次=Q+而=石+彳丽=卜％&,2_24

设平面ACE的法向量为五=(x,y,z),

n-AC=x+V3y=0

则一——,/、，

ri-AE=+(2-2X)z=0

平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),设面PAB与面ACE所成的锐二面角为。,

则cos'.cos伍昉卜踹]2M

3^-19

4H------------

22-22+1

整理得3^2+24—1=0,解得几=；或2=—1(舍去).

故存在实数2=-,使得面PAB与面ACE所成锐二面角的余弦值是名攸.

319

一4一।1

17.(1)—；(2)存在，4=—.

54

22

【详解】(1)因为椭圆3+京=1伍〉6〉0)是等差椭圆，所以26=a+c,

所以。=26-〃，又c1=$,

所以(2b—a)2=/—

b4

化简得一=一.

a5

b4

(2)由2。=6且一=—可知。=5,6=4,c=3.

a5

联立直线、二町+3得(16加之+25)歹2+96叼-256=0,

-4(-5,0),8(5,0),设尸(X”%),0(%,%),

-96m-256

则%+%=------9-------'乂%=---；-------

16m2+25-----1216m2+25

xx-myx+3,x2=my2+3,

%%町%—2%

K=西+

5myx+8x2-5my2-2k2myxy2+8y2

-64m

-96m-256+2%1

把％=16m2+25"^2'-16/+25代入,得

+8%4

16m2+25

所以存在实数％=使得占=状2・

192

18.(1)42人(2)(i)分布列见解析，—(ii)证明见解析，一

185

【详解】(1)由已知可得元=1+2+3+4+5=3,

5

320+270+210+150+100十八

y=-----------------------------------=210.

5

5

又因为2项乂=1x320+2x270+3x210+4x150+5x100=2590,

i=l

5

222222

^xz=l+2+3+4+5=55,

5

,次％一5双

i=l2590-3150一

所以b=5----------------=—56,

2255-45

ZXZ-5X

i=l

所以&=歹一送=210+56x3=378,

所以/=-56x+378,

当x=6时，j=-56x6+378=42,

所以预测第6季度血压明显降低(或治愈)的大约有42人.

(2)(i)由题知X的所有可能取值为0,1,2,

1711

尸(X=0)=—x—x—=一

,72326

P(x=i)=g211121112111

X—X——|——X—X——I——X—H——X—X—二—

322332323218

c、1211112

尸(X=2)=—x—x—+—x—x—二一

i72322339

所以X的分布列为

111219

所以E（X）=Oxq+lx痴+2义§=正

(ii)设经过〃次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为“，c”

,,工2,2,1111,

则当"》2时，an=-&„_1+-C,T，bn=-a,-+-C“T,cn=-a,-+-b-i,

JJ乙J乙D

由后两个等式相加，得b"+cn=an_x+g(〃.i+%T).①

2233

因为4+]C"T，所以〃T+C"—I=5%，a+g=5%+「

31

代入①式得5%+i=an_x+-an,

12/、

即4+1=34+]%一

222

所以%+i+y«,=an+y"T…=2+§.

因为Q]=0,a）=­x—i—x_=一,

223233

22

所以%+i+=-^

22

所以数列J%-2]是首项为-M，公比为-§的等比数列,

2

所以由an~~^<£，spz?-l>log2

3

所以对任意给定的正数£(不论它多么小)，总存在正整数N。=([x]表示不超过X的

最大整数)，使得当"〉No时，an

所以数列｛%｝为“聚点数列”，聚点/的值为|.

19.(1)xln2+j-2-7rln2-0(2证明见解析(3)3,理由见解析

【详解】

smjc

⑴因为/(兀)=1+1=2,(x)=In2-2cosx+sinx,/'(兀)=一ln2,

所以所求切线方程