高考数学一轮复习考点总结-函数的对称性（含解析）

函数的对称性(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展

冲刺练)

ni【考试提醒】

1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论2会利用对称公式解决问题.

1.奇函数、偶函数的对称性⑴奇函数关于原点对称,偶函数关于，轴对称.

(2)若於一2)是偶函数，则函数段)图象的对称轴为三二2；若於一2)是奇函数，则函数人x)

图象的对称中心为(一2,0).

2.若函数>=/(x)的图象关于直线对称，则/(q—x)=/(q+x)；

若函数〉=/3)满足八。一%)=~Aa+%)，则函数的图象关于点(4,0)对称.

3.两个函数图象的对称

(1)函数y=%)与歹=A—%)关于y轴对称；

(2)函数y=/(x)与y=一")关于x轴对称;

(3)函数y=/(x)与y=一4一x)关于原点对称.

区【核心题型】

题型一轴对称问题

函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称oy(x)=/(2a—x)o/(q—x)=/(q+x);

若函数歹=/(x)满足｛a+x)=/(b—x),则N=於)的图象关于直线成轴对称.

【例题1】(2024•辽宁•一模)已知函数/(%+2)为偶函数，且当了22时，

〃x)=logj/-4x+7),若/⑷>〃6),贝u()

7

A.(a+b-4)(a-b)<0B.(a+b-4)(a-/7)>0

C.(a+6+4)(a—6)<0D.(a+6+4)(a—6)>0

【答案】A

【分析】由题意判断了(x)的图象关于直线x=2对称，结合当XN2时的函数解析式，判断其

单调性，即可判断“X)在直线x=2两侧的增减，从而结合可得|a-2|<|b-2],

化简，即得答案.

【详解】因为函数/(x+2)为偶函数，故其图象关于y轴对称，则Ax)的图象关于直线x=2

对称，

2

当尤22时，/W=logi(x-4x+7)；因为y=/-4x+7在[2,+⑹上单调递增且了27,

7

而y=log：在(0,+8)上单调递减，故"X)在[2,+8)上单调递减，

则/(X)在(-8,2]上单调递增，

故由八。)>“6)可得即|0-2「<|6-2「，

则/—4a+4<〃一46+4,故(。+6—4)(。-ft)<0,

故选：A

【变式1】(2024•四川泸州,二模)定义域为R的函数〃x)满足/(尤+2)=/(x-2),当

xe[-2,2]时，函数〃x)=4_，,设函数g(x)=e*2(_2<x<6),则方程/(x)-g(x)=0的

所有实数根之和为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】首先得到/(x)是以4为周期的周期函数，g(x)关于x=2对称，在同一平面直角坐

标系中画出产g(x)与>=/何卜«-2,6])的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称

性计算可得.

【详解】因为定义域为R的函数/(尤)满足/(尤+2)=〃x-2),即/(尤+4)=/(尤)，

所以/'(x)是以4为周期的周期函数，

又g(x)=e*N(-2<x<6),则g(4-x)=eTUN=e*』=g(x),

所以g(x)关于x=2对称，又g(_2)=g(6)=e+2T=5>o,

p(、-\x-2\e'+-,2<x<6

又g(x)=e।।*2cc，

e,-2<x<2

又当xe[-2,2]时,函数〃x)=4_「2,所以/(—2)=/(2)=0,则/(6)=/⑵=0,

令/(x)-g(x)=0,即/(x)=g(x),

在同一平面直角坐标系中画出了=g(x)与y=/(%)(%e[-2,6])的图象如下所示：

由图可得了=g(x)与>=/(祖xe[-2,6])有4个交点，交点横坐标分别为国,工2/3，匕，

且X]与％4关于％=2对称，才2与13关于X=2对称,

所以再+%=4,%3+工2=4,

所以方程/(尤)-g(x)=O的所有实数根之和为国+%+毛+匕=8.

故选：D

【变式2](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(无)=|尤-1|,公差不为。的等差数列｛%｝的

前〃项和为S..若/(%012)=/(%013)，贝”2024=()

A.1012B.2024C.3036D.4048

【答案】B

【分析】先根据题中条件得到为□+《33=2,故％+出024=2,结合等差数列的前〃项和公

式可得.

【详解】由题可知函数/(无)的图象关于直线尤=1对称，

因为｛。“｝的公差不为0,所以4012,"1013

又因2)="，3)，所以"现旦=1,

所以«1012+。皿3=2,故S2024=2024("；+嗫4)=2024(.32+—3)=2024,

故选：B

【变式3](2024,全国•模拟预测)已知函数及其导数/'(x)的定义域为R,记

g(x)=r(x),且〃x),g(x+l)都为奇函数.若〃-5)=2,则/(2023)=()

1

A.0B.——C.2D.-2

2

【答案】C

【分析】根据g(x)的性质结合导数运算分析可知/(x)的图象关于x=l对称，结合奇函数分

析可知/(X)的周期为4,根据周期性运算求解.

【详解】因为g(x+l)为奇函数，则g(l+无)=-g(l-尤)，

即g(l+x)+g(I)=O,可知g(x)=/'(x)的图象关于点(1,0)对称,

可得/'(1+无)+C=/(1-无)+C,即/'(1+尤)=/(1一力，

可知〃尤)的图象关于X=1对称，则f(x)=f(2-x),

又因为/(“为奇函数，则/3=-/(-尤)，

可得/(x+4)=x+2)=/(x),可知/(尤)的周期为4,

所以/■(2023)=/(507x4_5)=/(-5)=2.

故选：C.

题型二中心对称问题

函数y=/(x)的图象关于点(q,Z?)对称分/口+汾+火々-%)=26台26—y(x)=/(2a—%);若函数y

pz+bcl

=危)满足加+x)+/(6—x)=c,则尸於)的图象关于点2］成中心对称.

【例题2】(2024•全国•模拟预测)设/(%)是定义域为R的偶函数，且/(2x+l)为奇函数.若

/I、1/111E/2023)/2023、/、

1155

A.—B.—C.—D.-

6666

【答案】A

【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解

【详解】由/(2x+l)为奇函数，得〃2x+l)+〃-2x+l)=0,

得了⑺的图象关于点(1,0)对称，所以/(x)=-/(2-尤).

又因为是定义域为R的偶函数，所以/■(x)=-/(2-x)=-/(x-2),

f(x)=-f(x-2)=f(x-4),

所以〃无)的周期为4,

所以

20232023=/l168x4+2+|j+/l252x4+3+11

322

6

故选：A.

【变式l】(2024•全国•模拟预测)定义在R上的偶函数/(x)满足〃2-x)=-/(x),则()

A.〃x）=/（2+x）B.f（-x）=f（2-x）

C./(x)=/(4-x)D.f(x-2)是奇函数

【答案】C

【分析】根据题中条件，可知/(鲁)—(f)J(2+x)=-/(—),故A、B错误;

对于C,令x=x+2,可得/(4+尤)=/(尤)，继而/'(4-x)=/(无)，C正确；对于D,/(x-2)

的图象可由“X)的图象平移得到，从而得到了(尤-2)的对称中心，即可判断D.

【详解】因为〃2-x)=-〃x),为偶函数,

所以「(2-x)=-/(-x),/(2+x)=-/(-x)=-/(x),

所以A、B错误；

因为〃尤)是偶函数，所以〃2+x)=-/(x),

所以/(4+X)=-/(X+2)=/(X),

而/(4一尤)=/(r)=/(x),所以C正确;

因为/(2-尤)=-/(力,

所以/'(x)的图象关于(1,0)中心对称，

的图象可由/'(X)的图象向右平移2个单位长度得到，

则的图象关于(3,0)对称，不是奇函数，所以D错误.

故选：C.

【变式2】(2024•四川南充,二模)已知函数/("=?则函数y=/(x-l)+l的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点对称

C.关于点(-1,0)对称D.关于点(1,0)对称

【答案】A

【分析】首先判断函数/(x)=；为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.

【详解】函数/(x)=:的定义域为{x|xw0},又/(_x)=—=_/(x),

所以/(x)=B为奇函数，则函数“X)的图象关于原点(0,0)对称，

又y=y(x-l)+l的图象是由/(x)=j的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，

所以函数y=/(x-i)+i的图象关于点(1,1)对称.

故选：A

【变式3](23-24高三下•江苏扬州•开学考试)定义在R上的函数了=/(x)和y=g(x)的图象

关于〉轴对称，且函数y=/(尤-2)+1是奇函数，则函数＞=g(x)图象的对称中心为()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.

【详解】由题意得函数＞=/。-2)+1是奇函数，则，=f(x)关于(-2,-1)对称，

另知函数了=/(尤)和y=g(x)的图象关于J轴对称，故＞=g(x)关于(2,-1)对称，

故选：D

题型三两个函数图象的对称

函数y=/(a+x)的图象与函数x)的图象关于直线x=\£对称.

【例题3】(2024上•北京•高二统考学业考试)在同一坐标系中，函数7=/(x)与y=-f(x)

的图象()

A.关于原点对称B.关于x轴对称

c.关于y轴对称D.关于直线y=x对称

【答案】B

【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.

【详解】当x=。时，＞与了=-/伍)互为相反数，

即函数＞=/(x)与了=-/(x)的图象关于x轴对称.

故选：B.

【变式1】(2024下•江苏扬州•高三统考开学考试)定义在R上的函数了=/(尤)和V=g(x)的

图象关于V轴对称，且函数＞=/。-2)+1是奇函数，贝！|函数y=g(x)图象的对称中心为()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.

【详解】由题意得函数y=/(x-2)+l是奇函数，则了=/(x)关于对称，

另知函数y=和＞=g(x)的图象关于y轴对称，故y=g(尤)关于(2,-1)对称，

故选：D

【变式2](2020上•安徽•高一校联考期末)已知函数y=/(x-l)是定义在R上的奇函数，

函数y=g(x)的图象与函数了=/(尤)的图象关于直线x-y=o对称，那么y=g(x)的对称中

心为()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【答案】D

【解析】由奇函数的性质以及函数图象的平移变换法则得出函数了=/(x)的图象关于(-1,0)

对称

再根据函数V=g(x)的图象与函数了=〃x)的图象关于直线=0对称，求出函数

y=g(x)的对称中心.

【详解】函数＞=/(无-1)是定义在R上的奇函数，则其图象关于原点对称

由于函数＞=的图象向左平移一个单位得到函数y=/(x)的图象

则函数y=/(%)的图象关于(-1,0)对称

又因为函数y=g(x)的图象与函数y=的图象关于直线x-y=0对称

所以函数＞=g(x)的图象关于(0,-1)对称

故选：D

【点睛】本题主要考查了奇函数图象的对称性、函数图象的平移变换以及反函数图象的关系，

属于中档题.

【变式3](2024高三•全国・专题练习)若函数尸加)的定义域为R,则函数y=/U—1)与丁

=/(l—x)的图象关于直线()

A.x=0对称B.y=0对称C.x=1对称D.y=l对称

【答案】C

【详解】因为函数/(X—1)的图象是7U)的图象向右平移1个单位长度得到，

—1))的图象是大一x)的图象也向右平移1个单位长度得到；因为7U)与大-x)的图象是关于y

轴(直线x=0)对称，所以函数y=/(x—1)与y=/(l—x)的图象关于直线x=l对称.故选C.

B【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.(23-24高三上•宁夏银川•阶段练习)函数了=/(x)满足对任意xeR都有/(x+2)=〃-x)

成立，函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，且/'(1)=4,贝IJ

/(2018)+/(2019)+/(2020)=()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性及周期性，逐步转化计算，即可得到本题答案.

【详解】因为函数了=/(x-l)的图象关于点(L0)对称，

所以函数了=〃尤)的图象关于(0,0)对称，即y=〃x)为R上奇函数，

所以〃-x)=-/(x),且以0)=0,

又因为2)=f(-x)=-f(x),所以/(x+4)=-f(x+2),

所以〃x+4)=/(x),则y=/(x)的周期为4,

因为/(x+2)=/(-x),令x=0得，/(2)=/(0)=0

所以，/(2018)+/(2019)+/(2020>/(2)+/(3)+/(4)

=/(0)+/(-l)+/(0)=-/(D=-4.

故选：A

2.(2023•宁夏银川•模拟预测)已知函数〃x)=x3+办2+x+b的图象关于点(],1)对称，贝同=

()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根据对称性可得/(x)+/(2-x)=2,由此可构造方程求得结果.

【详解】•."(x)图象关于点(1,1)对称，・・J(x)+/(2-x)=2,

又/(2-x)=(2-x)3+a(^2-x)2+(2一勾+b

——%'+(〃+6)x?—(4a+13)x+10+4(2+b,

/.f(x)+f(2-x)=伽+6,2_伽+12卜+10+4。+2/?=2,

2。+6=0

.,.<4。+12=0,解得：a=—3,b=2.

10+4。+2Z)=2

故选：D.

:；=2"：一1，则〃力的图象关于(

3.(23-24高三上•全国•开学考试)已知函数/'(x)=)

/—Z,X>—1,

A.点(1,-2)对称B.点卜1,2)对称C.直线x=l对称D.直线尤=-1对称

【答案】B

【分析】根据g(x)是奇函数，可得g(x)关于原点对称，进而根据〃x)=g(x+l)+2即可根

据平移求解.

【详解】因为g(x)=/(x-l)-2=］；；x<?

由于g(x)的定义域关于原点对称，且g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数，

所以/(x)=g(x+l)+2的图象关于点(-1,2)对称.

故选：B.

4.(2023•云南•模拟预测)已知函数/(X),g(x)的定义域均为R,/(x+l)+/(x-l)=2,

g(x+2)是偶函数，且〃x)+g(2+x)=4,g(2)=2,贝l]()

A.关于直线x=l对称B.〃x)关于点。,0)中心对称

15

C.7(2023)=1D.(4)=15

k=l

【答案】c

【分析】对于A,由g(x+2)是偶函数，且/■(x)+g(2+x)=4,可得为偶函数，可求

得其对称轴，对于B,再结合〃x+l)+/(x-l)=2,可得〃x)关于点(1,1)中心对称，对于

CD,由前面的计算可得的周期为4,然后根据已知条件求出〃0)J⑴J(2)J(3),从

而可判断.

【详解】对于A,•；g(x+2)是偶函数，...g(2-x)=g(2+x),

又〃x)+g(2+x)=4,/(-x)+g(2-x)=4,

；"(f)=/(x),，/⑴是偶函数，.•./(X)关于直线x=0对称，所以A错误，

对于B,：/(x+2)+/(x)=2,.•./(x+2)+/(-x)=2,.../(x)关于点(1,1)中心对称，所以B

错误，

对于CD,又f(-x+2)+/(-x)=2,Af(-x+2)=f(x+2),即f(x+4)=f(x),：.4是/(%)的

一个周期；

令x=0,可得〃0)+g⑵=4,

•••/(0)=2,〃2)=0,又/(I)=1,/(3)=1,

A/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=1,

15

Ef(k)=4x3+/(l)+/(2)+/(3)=12+2=14,

k=l

所以C正确，D错误，

故选：C.

5.(2023•甘肃张掖・模拟预测)已知函数〃x)的定义域为R,7(x-l)的图象关于点(1,0)对

称，/(3)=0,且对任意的再,x,e(-甩0),西片马，满足"")一"%)〈任则不等式

x2一再

(x-l)/(x+l”0的解集为()

A.(-8532,+8)B.[-4,-l]o[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]o[2,+^)

【答案】C

【分析】首先根据/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任

意的多,马€(-巩0),x尸迎，满足＜0,得出/⑴在(-8,0)上单调递减，然

后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可.

【详解】••・/(X-1)的图象关于点(1,0)对称，.••/(尤)的图象关于点(0,0)对称，，/(x)是定义

在我上的奇函数，

:对任意的毛，x2e(-»,0),x尸％，满足<0，；J(x)在(-叫。)上单调递减，

所以〃x)在(0,+®)上也单调递减，

又〃3)=0所以/(-3)=0,且/(0)=0,

所以当xe(-8,-3)5。,3)时，/(x)>0；当尤e(-3,0)u(3,+s)时，/(x)<0,

、八/\__

所以由(z1)/(川"°可得Ifx—1-<0,或f.x—1+>01,43或1"

解得-4-1或14x42,即不等式(x-l"(x+l”0的解集为［-4,-1卜［1,2］.

故选：C.

二、多选题

6.(2024•全国•二模)己知/(尤)是定义在R上不恒为0的函数，/(尤-1)的图象关于直线尤=1

对称，且函数>=」二的图象的对称中心也是/(x)图象的一个对称中心，则()

A.点(-2,0)是〃x)的图象的一个对称中心

B.“X)为周期函数，且4是/")的一个周期

C./(4-)为偶函数

D./(31)+/(35)=2

【答案】AC

【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数/(x)的性质，再逐项推理判断得解.

【详解】由/。-1)的图象关于直线尤=1对称，得函数/(x)关于夕对称，即/*)为偶函数，

/(-无)=/(x),

显然函数>=工图象的对称中心为原点，则函数了=」二的图象的对称中心为(2,0),即

Xx-2

/(2+x)+/(2-x)=0,

对于A,/2+x)+/(-2-x)=/(2-x)+/(2+x)=0,则(-2,0)是/(%)图象的一个对称中心，

A正确；

对于B,由/(2+x)+/(2-x)=0,#/(4+x)+/(-x)=0,即/(x+4)=-/(x),

/(x+8)=-/(x+4)=/(x),〃x)是周期函数，8是该函数的一个周期，

若4是〃x)的一个周期，则〃x+4)=/(x),而/(x+4)=-/(，),从而是x)=0与已知矛盾,

B错误；

对于C/(4-x)=/[-8+(4-x)]=/(-4-x)=/(4+x),因此/(4-x)为偶函数,C正确；

对于D,由〃2+x)+/(2_x)=0,得/(3)+/⑴=0,

则/(31)+/(35)=/(8x4-l)+/(8x4+3)=/(-1)+/(3)=/(1)+"3)=0,D错误.

故选：AC

7.(2024•江苏南通二模)已知函数“X),g(x)的定义域均为R,7(x)的图象关于点(2,0)

对称，g(0)=g(2)=l,g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),则()

A./(x)为偶函数B.g(x)为偶函数C.g(-l-x)=-g(-l+x)

D.g(l-x)=g(l+x)

【答案】ACD

【分析】由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案.

【详解】令>=->,!iBJg(x-y)+g(x+y)=g(x)/(-y),注意到g(x)不恒为o,

故/(力=/(-力,故A正确；

因为/"⑺的图象关于点(2,0)对称，所以/(2)=0,

令x=0/=2,得g(2)+g(-2)=g(0)/(2)=0,

故g(-2)=-lWg(2),故B错误；

令X=y=-1，得g(-2)+g(0)=g(-l)/(-l)=o,

令x=y=l,得g(2)+g(0)=g(l)/⑴=2,故g(l)J⑴片0,

从而〃T)wO,故g(T)=O,

令x=-l,得g(-l+y)+g(-l-y)=0,化简得g(-l-y)=—g(T+y),故C正确；

令V=2,得g(尤+2)+g(x-2)=0,而8(1-幻=一8(》-3)=8。+力，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性常有以下结论

(1)/卜+/=/(6-尤)=/卜)关于》=苫^轴对称,

(2)/(x+a)+/(b-x)=2c=/(x)关于中心对称，

三、填空题

8.(2024•宁夏银川•一模)已知偶函数/'(x)的图象关于直线x=2对称，/(2)=2,且对任意

士,马«0』，均有〃XI+X2)=〃xj+/(X2)成立，若/⑺+++…

对任意«eN,恒成立，则t的最小值为.

【答案】5

【分析】先得到函数的周期，赋值法得到"1)=1,/(；]=；，/1,=：，从而得到

"7)=1,4£[=；,进而得到当“22时，=f，从而利用求和得到

++…+/1)=5-金7，从而得到，的最小值.

【详解】因为函数/(x)的图象关于直线x=0和x=2对称,

所以〃x)=〃4-x)=〃x-4),所以其周期7=4,

/(X1+X2)=/(XJ+/(X2)中，令%=X2=1得，/(2)=2/(1),

又〃2)=2,解得"1)=1,同理可得了

所以/■⑺=，(3)=〃1)=1J

7

4

d畀W同。解得

依次类推，可得当“22时，/三〕=二，

7__7_

所以+…+/(向=1+4^^=5-♦，

2

又/⑺++-+</对任意〃eN*恒成立，故障5.

故答案为：5.

【点睛】关键点点睛：关键是得到/(7)=l,/[g)=g,以及由此即可顺利得

解.

9.(23-24高三下•河南濮阳•开学考试)已知函数/(x)的定义域为R,且/'(4x+l)的图象关

100

于点（0,2）中心对称，若/（2+x）-/（2-x）+4x=0,则.

Z=1

【答案】-9700

【分析】先根据条件证明/。+力+/（1-力=4,然后由I（2+x）-/（2-x）+4x=。证明

/（»-2）+/（«）=12-4«,再由此证明/（4〃―3）+/（4〃-2）+/（4.—1）+/（4〃）=28—32”,

10025

最后由£/（，）=3（/（4-3）+/任_2）+/（4_1）+/依））得到结果.

i=li=\

【详解】对任意xeR,由于4x+lcR,且函数〃x）的定义域为R,

故点（xj（4x+l））在曲线＞=/（4无+1）上，且曲线y=/（4x+l）关于点（0,2）中心对称，

故点（r,4一〃4x+l））也在曲线y=/（4x+l）上，从而4一7'（4x+l）=/（-4x+l）,

从而对任意xeR有〃l+4x）+/（l-4x）=4.

从而对任意xeR,由:eR知"1+4.；|+/11_4.|=4,即/（l+x）+/（l-x）=4.

根据条件又有/（2+力-/（2—尤）+4尤=。,即/（2+x）-/（2-x）=-4x.

现在对任意的整数〃，我们有：

/（M）=/（2+（M-2））

=/（2-（H-2））-4（«-2）

=/（4-M）+8-4K

=/（1+（3-H））+8-4H

=4-/（1-（3-M））+8-4M

=-/（«-2）+12-4H,

所以/（〃-2）+/（〃）=12-4〃,从而有：

/（4«-3）+/（4W-2）+/（4M-1）+/（4H）

=（/（4n-3）+/（4/7-l））+（/（4n-2）+/（4n））

=12-4（4M-1）+12-4（4H）

=28-32”.

故有：

100

^/(z)=/(l)+/(2)+...+/(100)

Z=1

=(7(l)+/(2)+/(3)+/(4))+(/(+X+仆)+…+X9)+/9>+f9>+f嘲

25

=^(/(4/-3)+/(4Z-2)+/(4/-l)+/(4z))

1=1

25

=[(28-32i)

Z=1

25

=2825-32〉

=28-25-32-1-(l+25)-25

=-9700.

故答案为：-9700.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对函数方程的处理，通过其中x取值的任意性，代入合

适的值得到关键条件.

四、解答题

10.(2024高三・全国•专题练习)下列函数是否存在对称轴或对称中心？

、x2+x+l

(1W)=-------；

X

(2\f(x)=(ex—ex)2；

4

(3)f(x)=2x+—.

【答案】⑴存在对称中心

⑵存在对称轴

⑶存在对称轴

【详解】(1)加)=。'l=x+l+l,/(X)的图象关于点(0,1)中心对称.

r/

(2)因为/(x)=(ex—5满足力一万/回，所以7(x)的图象关于夕轴对称.

(3)因为/W=2x+：满足/(I—x)=/(l+x),所以/W的图象关于直线x=l对称.

【考查意图】函数对称性的判断.

11.(2024•湖南•二模)已函数=+6X+C(Q/,C£R),其图象的对称中心为(1,-2).

⑴求a-6-c的值；

⑵判断函数/(%)的零点个数.

【答案】⑴-3

（2）答案见解析

【分析】（1）由/（x）的图象关于（L-2）对称，得到/（》+1）+〃一尤+1）=一4,列出方程组即

可求解；

（2）由⑴得到函数/（x）的解析式，求出了'（x）,利用A判断，'（x）=0根的情况,,分类讨

论确定零点的个数.

【详解】（1）因为函数f（x）的图象关于点（L-2）中心对称，故了=/（x+l）+2为奇函数，

从而有/(x+l)+2+f(―x+l)+2=0,即/'(尤+1)+/(—x+1)=—4,

/(尤+1)=(x+1)，+a(x+1)~+6(X+1)+C=X3+(0+3)丫2+(2a+b+3)x+a+6+c+l,

/(1—尤)=(1—+a(l—x)~+b(l—x)+c=—尤3+(a+3)x?—(2a+6+3)尤+a+b+c+l,

2。+6=0a=-3

所以2a+26+2c+2=Y'解得

b+c=O'

所以。-6-。=-3；

(2)由(1)可知，f(^x^=x3—3x2—cx+c,f'[^x^=3x2—6x—c,A=36+12c>

①当c4-3时，A=36+12c<0,/'(x"0,所以/(可在R上单调递增，

/⑴=一2<0,［（3）=27-3x9-3c+c=—2c>0,

，函数/（无）有且仅有一个零点；

②当一3<c<0时，玉+%2=2>0,Xj-x2=->0,

，/'（x）=0有两个正根，不妨设再<马，则3才-6再-c=0,

・二函数/⑴在项）单调递增，在（再/2）上单调递减，在（％，+。）上单调递增，

,/=_（七一1）（3%；—6%）=（%；—3项+3）<0,f（3）=-2c>0,

二•函数/(x)有且仅有一个零点；

③当c=0时，/(x)=x3-3x2,

令/(x)=—3x2=0,解得x=0或％=3,

，/（x）有两个零点；

④当c>0时，X,+x2-2,X1-x2=-1-<0,

（x）=0有一个正根和一个负根，不妨设X]<0<尤2,

二函数/（无）在（-8,项）上单调递增，在（尤1户2）上单调递减，在（尤2,+8）上单调递增，

•・•/（玉）>/（0）=c>0,/（x2）</（1）=-2<0,

•••函数无）有且仅有三个零点；

综上，当c>0时，函数/（x）有三个零点；

当c=0时，函数/（无）有两个零点；

当c<0时，函数/（X）有一个零点.

丫+7

12.（2024高三下•浙江杭州•专题练习）已知函数/■（%）=--关于点（一口）中心对称.

x+a

⑴求函数/（x）的解析式；

（2）讨论8（尤）=》（/卜））2在区间（0,+3）上的单调性；

（3）设％=1,/+产/（%）,证明：2"-2|21n«„-ln7|<l.

【答案】⑴/（%）=%Y+7

x+1

⑵答案见解析

⑶证明见解析

【分析】（1）由中心对称函数的性质得出即可；

（2）利用导数分析其单调性即可；

（3）将要证明的不等式利用对数运算变形为In与〈白，再用数学归纳法结合（2）证明

即可.

【详解】（1）因为函数〃关于点（一口）中心对称，

x+a

所以/'（-1一x）+/（-l+x）=2,即T-：+7+；+X+7=2,

a—1—x—1+x+a

48

取x=2,可得----H----7=2,解得Q=]或Q=7（舍去），

。-3a+\

所以“=1,〃x)=*.

(2)因为g(x)=x(/(x)/，x>0,

所以53=段+2-.><

因为x+7>0,(x+iy>0,(x-2『+323,所以g'(x)>0恒成立,

所以g(x)=x(/(x))2在区间(O,+s)上单调递增.

〃।

(3)证明：要证2"321na.一ln7|<l,即证In,<产,

当〃=1时，In。<白nln<=ln7<lnS=2,成立,

即证In净<J,即证M9<(In亨，

2

由题意得为＞0,则即证历胡＜

%+7

因为％=1'。〃+1=f(%)~

。〃+1

%+1%+1

由%＞0,即〃〃一J7与%异号,

当知〉J7,0<a<V7,即证InJ-vln今,7an

n+i即证不(3'

a

n+iW

即证即证＞7近,

U+«J

由(2)可知，当%>0,g(%)>g(")=7"成立.

22

当an+\〉0<4〃<手，即证In—<In----,即证—<---,

7%74

即证。/3＜7不，即证＜7近，

U+«J

由(2)可知，当0＜%＜不心(。,)＜8(")=7"成立

综上，得证.

【点睛】关键点点睛：(1)若函数/(X)满足/(m-x)+/(m+x)=①,则对称中心为(加,〃)；

(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；

(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当”=1时的特例和的一般情况证

明.

综合提升练

一、单选题

1.(2024•云南昆明•一模)已知函数/(x)=e'+e2r,则下列说法正确的是()

A.1(X)为增函数B.1(X)有两个零点

C./(X)的最大值为2eD.y=/(x)的图象关于x=l对称

【答案】D

【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.

【详解】A：/V)=ex-e2-\令/'(x)=0,得x=l,

当x<1时，f\x)<0,当x>1时，f'(x)>0,

所以函数"X)在(--1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故A错误；

B：由选项A知，函数/(X)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

且/(l)=2e>0,所以函数〃X)在R上没有零点，故B错误；

C：由选项A知，函数/(X)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(x)1mn=〃l)=2e，即函数f(x)的最小值为2e，故C错误；

D:f(2-x)=e2~x+ex=f(x),所以函数/(x)图象关于直线x=1对称，故D正确.

故选：D

2.(2024•河南新乡•二模)已知函数/(x)满足/'(x+y+l)=/(尤)+/(了)，则下列结论一定

正确的是()

A.f(x)+l是奇函数B./(尤-1)是奇函数

C.〃x)-l是奇函数D./(x+1)是奇函数

【答案】B

【分析】利用赋值法推得/(刈+/(-2-x)=0,从而得到/(x)的对称性，再利用函数图象平

移的性质可判断B,举反例排除ACD,由此得解.

【详解】因为〃x+y+l)=〃x)+/(y),

令x=y=_l,可得47)=/(T)+/(_1),贝|J〃_1)=O；

令y=-2-x,则〃-l)=/(x)+〃-2-x)=0,

故/⑴的图象关于点(-1,0)对称，

则/'(x-1)的图象关于点(0,0)对称,即/'(x-1)是奇函数,故B正确；

对于C,令无=了=0,可得〃1)=〃0)+/(0),则〃0)=g/⑴，

当/(1)N2时，/(0)-1^0,此时了(切-1不可能是奇函数，

由于无法确定了⑴的值，故“X)-1不一定是奇函数，故C错误；

对于AD,取/(x)=x+l,满足题意，但易知D错误；

故选：B.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=」\,g(x)=ex-1-e-x+1+l,则/(x)与g(x)

的图象交点的纵坐标之和为()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】分别判断函数［(X)与g(x)的对称性与单调性，进而求解即可.

【详解】因为函数〃(x)=g为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，且P(x)在(-双。)，(0,+e)

上单调递减，

而“可=六=—^=I+T4=P(I)+I，

所以/(X)的图象关于点(1,1)对称，且/(尤)在(-8,1),(1,+8)上单调递减.

因为函数q(x)=e*-eT为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，且为R上的增函数，

所以g(x)=q(xT)+l的图象关于点(U)对称，且为R上的增函数.

从而「(X)与g(x)的图象有两个关于点(U)对称的交点，故两交点的纵坐标之和为2.

故选：B.

4.(2024•全国•模拟预测)若定义在R上的函数“X)满足/(W)=〃x),且

/（2+x）+/（2-x）=6,/（3）=6,则下列结论错误的是（）

A./（8+x）=/（x）B.〃x）的图象关于直线x=4对称

C."201）=3D.>=/（x+2）-3是奇函数

【答案】C

【分析】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件/（|x|）=/（x）和

/（2+x）+/（2-x）=6,/（3）=6,以及x的任意性结合函数奇偶性和周期性概念、对称性的

判定知识去进行转化推理即可.

【详解】由/（|x|）=/（x）n/（-x）=/（x）,所以〃2-x）=/（x-2）

X/（2+x）+/（2-x）=6,所以〃4+x）+/（x）=6,且〃8+x）+44+x）=6,

所以/（8+x）=/（x）,故A正确

由A可得，/（8+x）=/（-x）,所以的图象关于直线x=4对称，故B正确

由A可得，是周期为8的函数，/（201）=/（1）,

又由〃2+x）+〃2-x）=6,"3）=6,得/⑶+/⑴=6,所以〃201）=/⑴=0,故c错

误

对于D,由/（2+x）+〃2-x）=6nf（x）的图象关于点（2,3）对称,

所以y=/（x+2）-3的图象关于原点对称，故D正确，

故选：C.

5.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）已知函数/（x）定义域为R,且

/（2+x）-/（2-x）=-4x,/（1+3尤）关于（0,2）对称，则/（2025）=（）

A.-4046B.4046C.1D.0

【答案】A

【详解】令g（x）=/（x）+2x,通过条件得到g（x）的对称性，进而得到其周期，再通过赋值

求出g⑴，进而通过7（2025）=g（2025）-2x2025计算求解即可.

【解答】由题设条件得/（2+x）+2（2+x）=/（2-x）+2（2-x）,

令g（x）=/（无）+2x,有g（2+x）=g（2-尤）,

则g（无）的图象关于直线x=2对称，

因为〃l-3x）+/（l+3无）=4,有/（l-3x）+2（l-3x）+/（l+3x）+2（l+3x）=8,即

g（l-3x）+g（l+3x）=8,

则g（x）的图象关于（1,4）对称•

所以g（x）+g（2-x）=8,又g（2+x）=g（2-x）,

所以g（x）+g（2+x）=8,