高考数学一轮复习考点总结-同角三角函数基本关系式及诱导公式（含解析）

同角三角函数基本关系式及诱导公式(3种核心题型+基础保

分练+综合提升练+拓展冲刺练)

01【考试提醒】

1.理解同角三角函数的基本关系式sir^a+cos2a=1,^-^=tan"W.

cosa

2.掌握诱导公式，并会简单应用.

111【知识点】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

、、「、t”、,‘sinn|a*FAji'

(2)商数关系：----=tan(xl2J.

cosa

2.三角函数的诱导公式

公式―-二三四五六

71

角2fai+a/£Z)兀+a~a7i—a—a-+a

22

正弦sina一sina一sinasinacosocosc

余弦cosa一cos。cosc一cos。sina—sina

正切tanatana—tana—tana一

口诀奇变偶不变，符号看象限

【常用结论】

同角三角函数的基本关系式的常见变形

sin2(x=1—cos2a=(l+cosoc)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sin(x)(l—sina)；

(sin。±cosa)2=l±2sinoccosa.

唱【核心题型】

题型一同角三角函数基本关系

(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sincccosafsina—cosa这三个式子,

利用(sina土cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

(2)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

【例题1］（2024•河南信阳•一模）若cos（a—、非一1,贝！|sin%+cos,a=（）

sin2a2

.H-V5R5+V5_5+V5n11-V5

12121616

【答案】D

【分析】根据题意，由二倍角公式化简可得cosa=®l再由同角的平方关系可得sin2a

4

的值，代入计算，即可得到结果.

【详解】"二得《^=咛1,

sin2a2sinacosa2cosa2

mil23+V5.2125—A/5

叫IIcosa=--------,sma=1-cosa=---------

88

故sin4a+cos4a=(sin2a+cos2a)2-2sin2acos2a=l-2x-—-x”旧11-V5

8816

故选：D.

【变式1］（多选）（2023•海南•模拟预测）已知cosa=①，且sina<0,则（）

4

A.tana〉一1B.tan2a<lC.sin2a>0D.cos2a<0

【答案】BD

【分析】由同角三角函数的平方关系与商数关系结合二倍角公式计算即可.

【详解】由已知及sin2a+cos?a=1nsina=-A/1-cos2a=

4

故tana=2^=—行<—1,A错误;

cosa

c2tanaJ7,干加

tan2a=------------=——<LBo正确；

1-tana3

因为sina<0,sin2a=2sinacosa<0,C错误;

3

cos2a=2cosa-\=——<0,D正确；

4

故选：BD

【变式2］（2024高三・全国•专题练习）已知cosa=-得，则

13sina+5tana=

【答案】0

【分析】利用同角的三角函数关系直接求解，注意分类讨论.

【详解】因为cosa=-』<0且cosaw-1,可知a为第二象限角或第三象限角,

13

由sin2a+cos2a=1得sina=土Jl—cos2a=±一

13

1212

(1)当。为第二象限角时，sina=—,tana=-----,13sin(7+5tana=0；

135

,12I?

(2)当。为第三象限角时，sin^z=,tancr=—,13sin(7+5tana=0；

综上可知：13sina+5tana=0.

故答案为：0.

【变式31（2024•山西朔州・一模）若tan.=2,则tan1—+cos2（戊一一g=

【答案】-鲁+,内

【分析】根据同角三角函数关系求出cos21a-*=利用正切差角公式得到tan（a-3

从而求出答案.

71

【详解】由题意得sina——=2cosa--

6l6

兀711

a22a

又sin2~~+COScos~~

"FJT，解得5

[7171

tana—-tan—

7171I66

tanf=tana————8+-^-^,

6671

1+tanLz--tan—

l66

71711二83

tana—+cos2a---=-8+5/3-4—

I325210

故答案为：-*5百

题型二诱导公式

诱导公式的两个应用

⑴求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

（2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

3R

【例题2】⑵-24高三上・江苏南通・期末）已知xe%sinx+cosx=,则tan

()

A.3B.-3C.-V5D.2

【答案】A

【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得tan[x+：）=3,然后利用诱导公式

求解即可.

【详解】因为sinx+cosx=£L所以gsin[x+q]=35,所以sin[x+q]=丽，

5I4J5I10

D八兀r-rJM71兀兀{兀、L.2[71]A/10

又工£0,--,所以x+,所以cosx-\—=J1—smXH——-----

[4」4142」I4)VI4)10

所以tan[x+j=3,

故选：A

【变式1］（多选）（22-23高一下•河南焦作•阶段练习）已知角45,C是锐角三角形48。的

三个内角，下列结论一定成立的有（）

A+BC

A.sin(5+C)=sin力B.sin=cos—

22

C.cos(^4+5)<cosCD.sinA<cosB

【答案】ABC

【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.

【详解】由题易知/+2+。=兀卜、3、C<目=sin0+C）=sin（kN）=sin4,

sin（/；5J=sinj=cos；,cos（A+B）=cos（7i-C）=-cosC<0<cosC,

即A、B、C结论成立.

JTTTIT

对于D,由锐角二角形知，A+B>—,^0<——5<A<—,

222

因此5皿力>5皿］1-8］=0。53,所以错误.

故选：ABC

【变式2］（2024・全国・模拟预测）在。8。中，12117,12118是方程--6苫+7=0的两个根,

则C的值是.

【答案】114s

4

【分析】根据根与系数的关系及两角和的正切公式求得tan（/+B）,再利用诱导公式求解.

【详解】由题意，tanA+tanB=6,tan^[-tan5=7,

tan/+tanB

所以tan(/+B)=

1-tanA•tanB

在一BC中，tanC=tan[7i-（4+B）]=-tan（4+8）=l,

IT

由0＜。＜兀，可知C=一.

4

故答案为：~~

4

【变式3](2023•湖南邵阳•模拟预测)在“5C中，角A,5,。所对的边分别是。，b,c,

若3cos(4+5)=cos2C+2.

⑴求角。的大小；

⑵若c=6,求的面积S的最大值.

【答案】⑴2?兀

(2)36

【分析】(1)根据内角和关系和诱导公式，二倍角余弦公式化简方程，可求cosC,由此可

得角C的大小；

(2)由条件根据余弦定理可得-36=-"，结合基本不等式求处的最大值，结合三

角形面积公式求S的最大值.

【详解】(1)因为COS(N+8)=COS(TI-C)=-COSC,cos2C=2cos2C-l,

所以3cos(/+8)=cos2c+2可化为2cos?C+3cosc+1=0,

所以(2cosC+l)(cosC+l)=0,又因为cosCe(-l,l)

解得cosC=-g,又因为Ce(0,7i),

兀

所以C=?2.

(2)由余弦定理得cosC=6^^=—L,^\^a2+b2-c2=-ab,

2ab2

又c=6,所以a'+/-36=-,

所以/+〃=36-ab,

又因为仍，当且仅当“=b时等号成立，

所以36-MN2仍，所以成412,当且仅当°=6=26时等号成立，

所以三角形的面积s=-absine=储bK36,当且仅当a=b=26时等号成立，

24

所以三角形面积的最大值为3K.

题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联

系，灵活使用公式进行变形.

(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.

【例题3】(22-23高三上•陕西安康•阶段练习)在AABC中，"tan/tanB=l"是

"sin?N+sin?8=1"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.

【详解】若tan/tan8=1,则包E.包包=j,

cosAcosB

即cosAcos5-sin^4sinB=cos(Z+B)=-cosC=0,

所以。后，所以4+5=',即/=1—所以sin4=sing—5),

所以sin?A=sin?(万-5]=cos?B=1-sin2B,所以sin?A+sin2B=1,

所以"tan/tanB=1"是"sin?N+sin?B=1"的充分条件.

sin2A+sin25=1,贝Ucos2Z+cos28=1,贝!J---------z-----1-----z---------々—=1,

sin4+cosAsin5+cosB

即——J------+——』----=1,所以tai?%taifBul,所以tan/tanB=1或tan力tan8=-l,

tan2^+ltan2B+1

所以"tan/tan5=1〃不是〃cosz4+cos?B=1〃的必要条件,

所以"tan/tan5=1"是"cos?N+cos?B=1〃的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1](2024•广西•二模)已知siYa=sin2a,则tan[a+：]=.

【答案】1或-3

【分析】由已知可得sina=0或sina=2cosa,从而可求出tan[。+的值.

【详解】由si/a=sin2a可得sin2a=2sinacosa,所以sina=0或sina=2cosa,

即tana=0或tana=2,

、r,八一，/兀、tana+1.

当tana=0时，tana+—=----------=1

I4)1-tan«

WcQ4r兀、tana+l

当tana=2时，tan\a+—\=----------=-3o,

I4)1-tana

故答案为：1或-3.

【变式2](2024•全国•模拟预测)已知点/(cos(尸-a),sin(£-0)与点

B^cos,sin^13+关于原点对称，则sintz+cosa=.

【答案】qRe

22

【分析】根据题意，列出方程组，求得c-尸=2版+177-r£,左eZ,得至lja=2hr+]77r,左eZ,

结合sine+costz=&sin[a+：],即可求解.

【详解】因为点/(cos(/F),sin(/_a))与点0cos"哥,sin"+书]关于原点对称,

cos(/?-a)=cos(a-7?)=cos

所以,叫

sin(-a)=sin(6r-/7)=sin

..7兀，7IT

所以a-夕=2E+五一/?,左£Z,解得a=2E+五，左£Z,

所以sina+cosa=亚sin

故答案为：交.

2

【变式3](23-24高三上•北京•阶段练习)已知a是第二象限内的角，tana=-1

2

⑴求cos12-3的值；

(2)已知函数/'("=5出：W)57-5诒2：+1，求/[a+白]的值.

乙乙乙乙A乙J

【答案】⑴-迪

3

(2)^1-1

122

【分析】⑴利用同角三角函数之间的关系以及平方和关系即可求得sina=且,cosa=-逅,

33

再利用诱导公式及二倍角公式可计算出结果.

(2)根据二倍角公式化简可得/(x)=¥sin[x+；],代入计算可求出答案.

【详解】（1）因为a是第二象限内的角，tana=-包,即包吆旦

2cosa~T

又sin2a+cos2a=1，所以可得sina,cosa=—.

33

所以cos(2a=sin2a=2sinacosa=

3

/、口\1.1-cosx1

(2)易知f(%)=—sinx--------F—

」3+」噜=与.用，

222{4）

6(1.V3

所以「—sma+——cosa

2122

7

口【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024•江苏扬州■模拟预测）若一;<&</?<：,且cosasin£=],=|,则

442tan£3

COS(6Z-/?)=(

叵而V35

A.RD.---------------D.

66~6~

【答案】C

【分析】利用切化弦可得sinacos夕=；,再由两角和差公式先求sin（a-£）,最后由同角基

本关系式求解.

sina

【详解】因为舞=1，则ft4则2YT

COSP

所以sin(a—尸)=sinacos万一cosasinP=----=一,

326

jrjrTT

而——<a<B<—,贝!]——<a—6<0,

442

所以cos(a_0)=yjl-sin2(a-{5■

故选：C

2.(2024•广东•二模)tan7.5°-tan82.50+2tan15°=()

A.-2B.-4C.一2百D.-4A/3

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.

sin75°sin825°

【详解1tan7.5°-tan82.50+2tan15°=----:-----------:---b2tan15°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°sin27.5°-cos27.5。

+2tan15°=卜2tan15^

cos7.5°sin7.5°sin7.5°cos7.5°

cos1502sin15°2(sin75o-cos215。)_-4cos30。_也

---------1--------

-sin15°cosl50sin15°cos15°sin30°、

2

故选：D

3.（2024•全国•模拟预测）已知cos|弓-a；则2sin2o+l+cos2a-2tana

sina

11272D5672022472280

------D.C.

17--------------17---------------------1717

【答案】A

【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形,已知式由两角差的余弦公式

展开化简得sina-cosa,再利用同角间三角函数关系变形得出sinacosa,代入待求式变形

后的式子计算可得.

【详解】

2sina

222

2sincif+1+cos2«-2tan_2sinctf+2cosa-2tana_2-2tana_C0S6r_4(cosa-sina)

sinasinasinasina2sinacosa

(X)

而<4型"一g°sc+与na」,

则sina-cosa=----

I4J2277

、3217

两侧平方可得l—2sinacosa=—,贝!J2sinacosa=—

Zsin2a+l+cos2a-2tana16A/249112A/2

代入（X）式可知---x——二

sina7---1717

故选：A.

已知。£（0,兀），且sina+cos。=：,贝ljtan2a=（）

4.（2024•辽宁沈阳•二模）

121224

A.——B.D.---

7T7

【答案】C

【分析】根据sina+cosa="结合。£（0,兀）可得sina,cosa与tana,进而可得tan2〃.

【详角星】sina+cosa=（则（sin[（Q+cos〃y=i+2sinQCOS。=:

12

即sinacosQ=一

25

又因为。£（0,兀），故sin〃〉0,COSQ<0,

2497

故(sin〃-cos〃)=l-2sintzcostz=—,因为a,贝[]sina-COSQ=1

1.434

结合sino+cosa=)可得sina=《，cos<2=,贝!jtana=-

3

8

2tan。24

故tan2〃=3

1-tan2a2-7.

1

故选：C

二、多选题

5.（23-24高三上•江西•阶段练习）下列结论正确的是（）

71

A.若a-0=3,贝[]sina=cos尸B.2sin2a+y/3sin2a=1+2sin\2a--

3

1.3

C.若nsina—cosa=一,贝|sin2a=一D.若锐角。满足cosa=,则

245

tan—+a

(4

【答案】ACD

【分析】利用诱导公式化简即可判断A；利用二倍角公式和辅助角公式化简等式即可判断B；

两边平方，结合二倍角公式可判断C；利用基本关系式求tana,结合正切的两角和公式可

判断D.

【详解】因为a=/7+|兀>所以sina=sin[/7+]]=cos£,A正确.

2

因为2sin之2十>/3sin2<z=1-cos2a+^3sin2<z=1+2sin2a所以B错误.

113

将方程sina-cosa=-两边平方，得l—sin2a=-,解得sin2a=—,C正确.

244

因为]cosct——，所以sincc------，tana=2,

55

„,(TiA1+tana1+2八一人

贝Utan:二^-------=〔1。二一3，D正确.

(4)1-tana1-1x2

故选：ACD

6.(2024•河南周口•模拟预测)设ae(0,(),"(09,则下列计算正确的是()

A.cos(cif+/?)<cos(a-0

兀711

B.右sin(a+—)cos(a+—)=——,则tana=2

446

171

C.tana+tanp=-------,贝|2/7-a=一

cosa2

tl,cos2a1八Ec3兀

D.右J.o~万=0，贝l」a+/?=丁

1+sm2atanp4

【答案】AD

【分析】由两角和差的余弦公式判断A,利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B,化弦

为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C,利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判

断D.

兀7T

【详解】对于A,因为。£(0,]),/?G(0,-),则85(0+尸)=85℃05/7-5m。5亩尸，

cos(a-P)=cosacos/?+sincrsinp,故cos(a-/?)-cos(a+夕)=2sinasin夕〉0,

所以cos(a+/)<cos(a—/)，正确；

对于B,因为5111(0+[)85(0+；)=；5足(20+5)=；8520=一：，所以cos2a=-g,

而cos2a=l-2sin2a,所以siYan：,又aw(0,1),所以sina='^，cosa=^~,

3233

所以tana=V^，错误；

]sinct,sin131

对于C,由tana+tan/?=-------得，-----+----=----，所以sinacos/?+cosasin/?=cos/3,

cosacosacospcosa

即sin(a+£)=sin修一/],因为ae(0,$,左(0币，所以a+te(0,无)夕e(0,$,

则a+/?=g-/7或a+尸+g-£=兀，即a+2夕或(不合题意，舍去)，错误；

对于D,

2222

cos2a1coscr-sina(cos0_cosa-sina(cos，_cosa—sinatcos#

----；------1-------

1+sin2atan0l+2sinacosasin/?卜ina+cosa)sin,sina+cosasin(3

一,cos2a1八所~以,EcosaR-sin+a总cosB=°八，

因为--------+-----=0,

1+sin2atanP

即cosasin尸一sinasin夕+sinacos/3+cosacos4=0,即sin(a+/?)+cos(a+/)=0,

所以V2sin(a+Z?+—)=0,即sin(a+/7+—)=0,

44

因为a+?e(0,7t),所以&+£+；€(/,停)，

444

jr37r

所以&+6+:=兀，所以a+£=工，正确.

44

故选：AD

三、填空题

7.（2024•全国•二模）已知tana=6cosc,贝|cos2a=______.

7-sina

7

【答案】—/0.28

【分析】切化弦，然后整理可得sina,再利用倍角公式计算即可.

6cosasina

【详解】-----；=tana=--------

7—sina-----------cosa

得(7—sina)sina=6cos2a=6(1-sin2a),

3

解得sina=《或sina=-2（舍）

所以cos2a=1-Zsii？a=1-=—.

故答案为：

8.（2024•广东惠州•一模）若角a的终边在第四象限，且cose=；则tan。-"=.

【答案】7

3

【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得tana=-再利用两角差的正切公式代

4

入计算可得结果.

4I--------------------

【详解】由cosa=M可得sina=±Jl-cos2a

33

又角a的终边在第四象限，可得s-b即tana二-"

71

1一tana4-

--------=——=7.

1+tana]_3

~4

9.（2024•全国■模拟预测）已知tan（x+m（户为第二象限角，贝ijsin]x+10兀

~1\

【答案]上坐

O

【分析】由tanx+5V2及同角三角函数的基本关系可求得sin[x+/,cos[x+712,再

7

TT\TT

根据X+*X+,J+731并结合两角和的正弦公式即可得解.

3

旦

【详解】•••tanx+y

行

/.sin——cosX+5

4

2

•2X+；2兀2

/.sin+COS尤+:+COS

47

3。/

尤+楙=1,

8

2虚

•••x为第二象限角，；.cosx+m,/.sin!x+y1=£

亍3

M+咋inX+；71=sinfx+/71.71

+—COS—FCOS%+7lsin—

I21J333

112V2V31-276

=—X-------X=--------

32326

故答案为：上逑

O

四、解答题

10.（2023•广东珠海•模拟预测）在三角形48c中，内角A、B、C对应的边分别是。、b、

c,已知。=1,6=2,c=&.求:

(l)sin3的值：

(2)cos28-sin(/+C)的值.

【答案】⑴巫

4

⑴i+Vio

⑷-----------

4

【分析】。)利用余弦定理求出cosB的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得sinB的

值；

(2)利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】(1)解：在中，因为内角A、B、C对应的边分别是。、b、c,已知。=1,

6=2,c=,\/6，

1A八Q2+c2-b21+6-4-\/G

由余弦定理z得ncos5=--------------=----------尸=-,

2ac2xlxV64

由sin?B+cos?5=1且0<8<兀，得sinB=Jl-cos?B=

(2)解：由(1)可得sin5=典,

4

cos23—sin(/+C)=l-2sin2B-sin(兀一B)

=l-2sin23—sin5=l-2x

44

11.(2023•河南•模拟预测)已知函数/卜)=2＜：0强卜11»+60次)-忑~.

⑴若/(。+；)=存求/，-5)的值;

(2)设g(x)=/^-x+—+^-―/^x+—,求函数g(x)的最小值.

，小心、,,238

【答案】⑴丽

(2)-272-1

【分析】(1)先把函数化成/(x)=/sin(。尤+/)的形式，在结合诱导公式和两角和与差的三

角函数公式求值；

(2)先化简g(x)得表达式，用换元法把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.

【详解】(1)因为/'(x)=2sinxcosx+6(2cos~x-l)=sin2x+3cos2尤=2sinf2x+yj.

7110_.f.717110(兀715

(XH----=-——=>2sin2a+—+—=——=>cos2a+—

4132313313

2238

=-2cos22cr+—=—22cosl26z+yj-l

I3169

/、._...„।7T।_.|_717C।__„I71I_.|_7171\_

(2)因：/1%+~Y2,J=2s'。1~~~H~I—2cos2x,/——1—2sinI2x—~~F—I—2sin2x,

所以：g(x)=2sin2x+2cos2x-2sin2xcos2x.

设sin2x+cos2x=/,则/=V^sin12%+/J且2sin2x，cos2x=/-1,

所以：y=—〃+2/+1=—(%—1)+2,

当仁-亚时，^=-272-1.

所以g（x）的最小值为-272-1.

【综合提升练】

一、单选题

1.（2024高三・全国•专题练习）已知sine=变，则c°s[g_2al（）

4.

tana

771

A.——B.-C.-D.一

444

【答案】A

【分析】由同角三角函数的基本关系求出cos?a,再由诱导公式、二倍角公式化简所求式即

可得出答案.

【详解】由sina二也得7

cos2a=1——

488

cosP-2a

I2-sin2a2sinacosa八7

则------；---------=-2cos2a=-----

tanatanasma4

cosa

故选：A.

1贝Ucosf^x~~

2.(2024•河南•二模)已知sinx+cosx=)

3

3388

A.--B.一C.一D.——

5599

【答案】D

【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.

【详解】

.1/•、21.c1.c8(c兀、.c8

sinx+cosx=(sinx+cosx)=1+sm2x=—smzx=——cos2x——=sinzx=——.

399I2j9

故选：D.

3.(2024•全国•模拟预测)若smacosc=_1,贝ijsin2a=()

sma+cosa+15

161699

A.—B.-----C.——D.------

25252525

【答案】B

■八.、上sinacosa1.八一r,口.3k、-LF

【分析】法一：由已知得-------------二—(zsina+coso-l),可得sina+cos。=一，两边平

sina+cosa+125

方化简可求结论.

法二：由已知得551116^0$戊+5111戊+005戊+1=0，利用辅助角公式可得

10sin2(a+；j+2&sin]e+：j-3=0,可求得+,进而可求结论.

【详解】法一：由题知sina+cosa+lwO,

zR一1sma+cosa)-111.

得smacosa7Lv7J1/.n1,

—-----------=------------------二—(sma+cosa-1)=------

sina+cosa+1sina+cosa+125

39

22

所以sina+cosa=一,两边同时平方，RTsina+2sincrcosa+cosa=一

525

916

所以1+sin2a=一,所以sin2a=-----.

4一.sinacosa1.

法一：由------------=—,得ZA5smacosa+sina+cosa+1=0,

sina+cosa+15

所以5sin2a+2A/5sin[a+：