概率与分布列大题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题11-2概率与分布列大题归类

目录

【题型一】两人比赛型............................................................................1

【题型二】三人比赛型............................................................................1

【题型三】图表型................................................................................2

【题型四】摸球型................................................................................3

【题型五】放球型................................................................................3

【题型六】药物分组型............................................................................4

【题型七】设备购销型............................................................................4

【题型八】“数列”型............................................................................5

【题型九】传球与游走型..........................................................................6

【题型十】“导数应用”型........................................................................6

真题再现........................................................................................7

模拟检测........................................................................................9

热点题型归纳

【题型一】两人比赛型

【典例分析】

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获

胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分

的概率为04各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结

束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【提分秘籍】

基本规律

两人比赛型多涉及到独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意

对不同事件的合理表述，便于书写过程.X服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗

列方式进行，是对运算能力的常规考查.

【变式演练】

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概

1

率是士外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是二.假设各局比赛结果相互独立.

23

(I)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；

(II)若比赛结果为求3:0或3:1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、

对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.

【题型二】三人比赛型

【典例分析】

2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，

掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，

已知每局比赛甲赢乙的概率为:，甲赢丙的概率为：，丙赢乙的概率为:.因为甲是最弱的，所以让他

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决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未

比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

（1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

（2）请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.

［变式演练］

2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，

掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，己

知每局比赛甲赢乙的概率为g,甲赢丙的概率为:，丙赢乙的概率为:.因为甲是最弱的，所以让他决定

第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛

的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.

（1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；

（2）为使甲最终获得冠军的概率最大，请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），并说明理

由.

【题型三】图表型

【典例分析】

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时

间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、

乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为工,工；两

42

小时以上且不超过三小时还车的概率分别为工,工；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人

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所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量求J的分布列.

【提分秘籍】

基本规律

图表型有两类：

1.“时间轴”型。如【典例分析】

2、“区域链”型，如【变式演练】

【变式演练】

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图,

A

甲上有两个不相交的区域A,3,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上

的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在。上记3分，在。上记1分，其它情况记。分.对落点在A

上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为工，在。上的概率为1；对落点在8上的来球，小明

23

13

回球的落点在C上的概率为不，在。上的概率为二.假设共有两次来球且落在A,3上各一次，小明的两

次回球互不影响.求：

（I）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（II）两次回球结束后，小明得分之和4的分布列与数学期望.

【题型四】摸球型

【典例分析】

试卷从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性

相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列。

（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；

（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；

（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中。

【变式演练】

一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为

1,2,3,4,从袋中任意取出3个球.（I）求取出的3个球编号都不相同的概率；

（II）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望.

【题型五】放球型

【典例分析】

某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一

个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：

（I）恰有2人申请A片区房源的概率；

（II）申请的房源所在片区的个数J的分布列与期望

【变式演练】

为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参

加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字"马""上""有""钱".顾客从中任意取出1个球，

记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出"钱"字球，

则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有"马〃"上""有""钱"字的球为一等奖；不分顺序取到标有

"马""上""有""钱"字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有"马""上""有"三个字的球为三等奖.（I）求

分别获得一、二、三等奖的概率；

(II)设摸球次数为求4的分布列和数学期望

【题型六】药物分组型

【典例分析】

春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按30名学生一批，组织学生进行某种

传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门］做进一步检测.学校综合考虑

了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作

如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血

样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测.现有两个分组

方案：方案一：将30人分成5组，每组6人；方案二：将30人分成6组，每组5人.已知随机抽一人

血检呈阳性的概率为0.5%,且每个人血检是否呈阳性相互独立.

(I)请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？

(II)已知该传染疾病的患病率为0.45%,且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为99.9%,若检测

中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率.(参考数据：(0.9955=0.975，0.9956=0,970)

【变式演练】

冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征

CSARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠

状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在

较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需

要检验血液是否为阳性，现有“("©N*)份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验〃次.

方式二：混合检验，将其中左(左eN"且左之2)份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这人份的血液全为阴性，因而这左份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果

为阳性，为了明确这左份血液究竟哪几份为阳性，就要对这左份再逐份检验，此时这左份血液的检验次

数总共为左+1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每

份样本是阳性结果的概率为p(O</?<l).

(1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把

阳性样本全部检验出来的概率.

(2)现取其中左(左eN*且左之2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为。，

采用混合检验方式，样本需要检验的总次为占2.

⑴若E&i=E短,试求。关于左的函数关系式0=/优)；

,1

(«)若p=1-77=,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次

弋e

数期望值更少，求大的最大值.

参考数据：In2®0.6931,ln3«1.0986,ln5«1.6094.

【题型七】设备购销型

【典例分析】

某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X

的分布列为：

X234

P0.4ab

其中0<a<l,O<Z?<1

（I）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

（II）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，

则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利

润记为F（单位：元）

（i）求F的分布列；

（ii）若P（F4300）20.8,求F的数学期望£（丫）的最大值.

［变式演练］

某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台

9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维

修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的

频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.

维修次数23456

甲设备5103050

乙设备05151515

（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为x和y,求x和y的分布列；

（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少,

则需要购买哪种设备？请说明理由.

【题型八】“数列”型

【典例分析】

为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比

赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，

两人有I人命中，命中者得I分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次

投篮命中的概率为工，乙每次投篮命中的概率为3,且各次投篮互不影响.

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（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X,求X的分布列及期望；

（2）若经过"轮投篮，用“•表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.

①求pl,p2,p3

②规定p0=0,经过计算机计算可估计得pi=api+l+bpi+cpi-1（b/1）,请根据①中pl,p2,p3值分

别写出a,c关于b的表达式，并由此求出数列｛pn｝的通项公式.

【变式演练】

新冠抗疫茄由我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动.某数学小组希望通过将所学的知识应用于我

们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控.过程如下：假设小盒中有8个黑球，2个红

球.模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入

2倍的红球.此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生2

倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该

红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊

治.（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）

(1)分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率;

(2)在模型②的前提下：

(i)记在第n{n22)次时，刚好抽到第二个红球，试用n表示刚好第〃次抽到第二个红球对应的概率;

(ii)若规定无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记抽到

第二个红球时所需要的次数为X,求X的数学期望.(精确到个位)

9k10▼

参考数据：E’2、"95,合2.19,

15叫y

左=21<10,k=2JjojI

n

9k-1，八k-\\m\I、

)-fl13,58.

k=27k=2

【题型九】传球与游走型

【典例分析】

棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第。站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷

出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游

戏结束.设棋子位于第〃站的概率为q.(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数

之和X的分布列与数学期望；

(2)证明：P1+1-P=-1(P-P_1)(l<n<98)；(3)求仆、加的值.

［变式演练］

为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有

影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：

锻炼

性别

不经常经常

女生4060

男生2080

(1)依据a=0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；

(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动

的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可

能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第〃次传球后球在甲手中的概率.

附：/=______〃皿-32_______

(Q+b)(c+d)(〃+c)(力+d)

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【题型十】“导数应用”型

【典例分析】

新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒.我们把与

这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者.已知每位密切关联者通过

核酸检测被确诊为阳性后的概率为。（0＜。＜1）.一旦被确诊为阳性后即将其隔离.某位患者在隔离之

前，每天有左位密切关联者与之接触（而这女个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为

X（O＜XVA）.

（1）求一天内被感染人数X的概率p（x）的表达式和X的数学期望；

（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期,在这14天内患者无任何症状,则为病毒传播的最佳时间.设

每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k位密切关联者接触.从某一从名患者被带新型冠状病

毒的第1天开始算起，第«天新增患者的数学期望记为耳（«＞2）.

①当％=10,=求Eg的值；

②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后

被感染患病的概率"满足关系式p'=ln（l+p）-称.当"取得最大值时，计算夕'所对应的和。

所对应的石6值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取左=10）.

19

（参考数据：In2ao.7,ln3«l.l,ln5»1.6,-«0.3,-«0.7,6$=46650计算结果保留整数）

33

【变式演练】

某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有k（keN*#22）份

血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验上次；方案二：混合检验，将发份血

液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则左份血液样本均为阴性，若检验结果为阳

性，为了确定#份血液中的阳性血液样本，则对#份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一

次检验费用都是a（。＞0）元，且上份血液样本混合检验一次需要额外收，。元的材料费和服务费.假设

在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为

,（0vp＜l）.

（1）若左,wN*,左22）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X,求X分布列及数学

期望；

（2）①若左=5,0＜夕＜1-而石，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；

②若。=1-京，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求兀的最大值.

参考数据：ln2=0.7,ln3=Ll,ln7=1.9,In10=2.3,lnH=2.4

真题再现

1.（2020•全国•统考高考真题）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被

淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者

下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一

人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

2.(2019•全国•高考真题)为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为

此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一

只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠

比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约

定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施

以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药

均得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和人一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(i=(U,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲

药比乙药更有效''的概率，则2)=0,P8=l,Pi=aPi-i+bPi+cpM(z=1,2,,7),其中a=P(X=-l),

b=P(X=0),c=P(X=l).假设。=0.5,#=0.8.

⑴证明：｛Pm-pJ(i=0」,2,,7)为等比数列；

(ii)求以，并根据的值解释这种试验方案的合理性.

3.(2021.全国•统考高考真题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为

第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互

独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).

(1)已知Po=04PI=0.3,02=0.2,P3=0.1,求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于尤的方程：Po+△尤+必尤2+P3/=尤

的一个最小正实根，求证：当召(X)V1时，p=l,当召(X)>1时，p<\.

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

4.(2020•江苏•统考高考真题)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、

乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复几次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X”，恰有2

个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.

(1)求P7,qi和P2,"2；

(2)求2pn+qn与2pn-i+qn-i的递推关系式和Xn的数学期望E(X〃)(用n表示).

5.(2021.北京・统考高考真题)在核酸检测中，"合1”混采核酸检测是指：先将上个人的样本混合在一

起进行1次检测，如果这上个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，

检测结束:如果这女个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每

人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

(I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为5.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，

试判断数学期望E(D与⑴中E(X)的大小.(结论不要求证明)

小模拟检测,

1.现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞

行物与否相互独立.已知射击训练有A,8两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行

物的概率均为p(0<p40.4),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6,击中两弹目标飞行物必坠段；

对子8型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q(。<4<1),且击中一弹目标飞行物坠毁的概

率为0.4,击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8,击中三弹目标飞行物必坠毁.

(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的

概率不低于0.936；

(2)若。+4=1,试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？

并说明理由.

2.袋中有。个白球和匕个黑球，从中任取一球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该黑球

不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复〃次这样的操作后，记袋中白球的个数为X”.

⑴求X1的数学期望E(XJ；

⑵设尸(X“=a+左)=2，求P(X“+i=a+左)，k=0,l,---,b.

3.投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷"次不连续出现三次正面向上的概率为匕.

(1)求:，P2,(和2;

(2)写出匕的递推公式，并指出增减性.

4.一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其

中顺时针的概率为:，逆时针的概率为:，设蚂蚁经过"步回到A点的概率为P“.

⑴求Pl，P2；

(2)设经过〃步到达C点的概率为服，求P“+%的值；