概率知识点梳理及专项练习-2025年中考数学一轮复习

专题16概率

1.事件可以分为和.确定事件又包括和.在每次试验中，事先知道其一定会发

生的事件叫作_______.在每次试验中，事先知道其一定不会发生的事件叫作________.在每次试验中，事先都无法确

定其会不会发生的事件叫作.

2.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且发生的可能性相等，其中使事件A发生的结果有m（m

<n）种，那么事件A发生的概率为.

3.概率的计算方法有：,:.

4.可以通过计算来评判游戏是否公平.如果游戏双方相同，说明游戏公平，否则可以通过修改

游戏规则或者得分标准使游戏公平.

5.较复杂事件的概率估算：可以通过_______估计复杂事件的概率，要求选用合理的在相同条件下

进行试验，试验次数越________试验获得的估计值相对就越准确.

实战演练

1.某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺

序.主持人将表示出场顺序的数字1,2,3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅

匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽.下列说法中正确的是（）

A.小星抽到数字1的可能性最小

B.小星抽到数字2的可能性最大

C.小星抽到数字3的可能性最大

D.小星抽到每个数的可能性相同

2.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇

匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4324

3.班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位,

则A,B两位同学座位相邻的概率是（）

4.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小

正方形组成的“口口口”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形

的概率为（）

1312

AyByC.-D.-

5.不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然

事件的是（）

A摸出的2个球中至少有1个红球

B.摸出的2个球都是白球

C.摸出的2个球中1个红球、1个白球

D.摸出的2个球都是红球

6.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同才巴这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两

张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）

7.如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签，她从1-8号中随机抽取一签，则抽到6

号赛道的概率是_______.

8.如图，已知。。是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影

部分的概率是.

0

9.质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：

抽检产品数n1001502002503005001000

合格产品数m89134179226271451904

合格率m0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）.

10.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地召专上.每块地砖的大小、质地完全相同，

那么该小球停留在黑色区域的概率是一

11.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动

从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机

调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.

等级时长t（单位:分钟）人数所占百分比

A0<t<24X

B2<t<420

C4<t<636%

Dt>616%

人数

20

8

ABCD等级

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数为表中x的值为；

⑵该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；

⑶本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用

画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

12.2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合

治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取

了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.

成绩X/分频数频率

60<x<70150.1

70<x<80a0.2

80<x<9045b

90<x<10060C

请根据图表中所给信息，解答下列问题：

(1)表中a=,b=,c=;

⑵请补全频数分布直方图；

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请

用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.

13.小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小

球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，

称为摸球一次.

(1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

⑵若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.

压轴预测

1.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是()

A.两枚骰子向上一面的点数之和等于1

B.两枚骰子向上一面的点数之和小于2

C.两枚骰子向上一面的点数之和小于6

D.两枚骰子向上一面的点数之和等于13

2.在一个不透明的袋子中有三个黑球和两个白球，它们除了颜色不同外都相同，随机从中摸一个球，记录颜色

后，放回袋子中，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是()

A.—B.——C.D.—

25162525

3.某园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计

这种树苗成活的概率约为.(结果精确到0.1)

植树总数n40035007000900014000

成活数m36932036335807312628

成活的频率-mn0.9230.9150.9050.8970.902

4.如图是一个可以自由转动的两色转盘其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120。和240。.若让转盘自由转

动一次，则指针落在白色区域的概率是.若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红

色区域的概率是________.

5.为了响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，镇海区各校在周六开展了丰富多彩的社团活动.某校为

了了解学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向，在全校各个年级抽取了一部分学生

进行抽样调查（每人选报一类）,绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）.

社团选择意向情况扇形统计图

4篮球社团

B.动漫社团

C文学社团

D摄影社团

请根据图中信息，解答下列问题.

⑴求扇形统计图中m=并补全条形统计图；

（2）已知该校共有1600名学生，请估计有意向参加“摄影社团”共有多少人？

⑶在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原

创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中乙、丙两位同学的概率.

参考答案

1.确定事件随机事件必然事件不可能事件必然事件不可能事件随机事件

2.P⑷=-

n

3.列表法求概率画树状图法求概率利用频率估计概率

4.概率获胜的概率

5.试验的方法替代物多

1.D【解析】本题考查随机事件的可能性.小星抽到数字1,2,3的可能性相同故选D.

2.A【解析】本题考查用列表法或画树状图法求概率.由题意，列表如表，

第二次

红绿

第一次

红（红，红）（红，绿）

绿（绿，红）（绿，绿）

由表可知，共4种等可能的结果，其中只有一种满足要求，故所求概率为点故选A.

4

由题意，画树状图如图，

开始

第一次红绿

AA

第二次红绿红绿

由图可知，共4种等可能的结果，其中只有一种满足要求，故所求概率为；故选A.

4

3.C【解析】本题考查画树状图求概率.根据题意画树状图如图所示.由图可知，四人依次坐下共有24种等可

能情况，其中A，B两位同学座位相邻的情况共有12种，所以A，B两位同学座位相邻的概率是g=义,故选C.

开始

A①④

B五③④/③④后①④②③①

AAAAAAAAAAAA

C③④②④②③③④①④①③①④⑥④◎①⑤①6①⑥③

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

D④③④②③②④③④①③①④①④②①②①③①②③②

4.B【解析】本题考查用画树状图法求概率.根据题意，画树状图如图：

开始

第一个小正方形黑色白色

第二个小正方形黑色白色黑色白色

AAAA

第三个小正方形黑色白色黑色白色黑色白色黑色白色

从树状图可知，一共有8种等可能的情况，其中涂成两黑一白的有3种情况，，恰好是两个黑色小正方形和一

个白色小正方形的概率为|,故选B.

O

5.A【解析】本题考查必然事件的概念根据题意知袋子中共有3个球，其中有2个红球和1个白球，，任意

摸出2个球，有两种等可能的情况，分别是两个都是红球，1个红球1个白球，，在摸出的2球中至少有1个红球

是必然事件，故选A.

6.A【解析】本题考查列举法求随机事件的概率.根据题意，从4张卡片中随机抽取两张的等可能情况有（北

斗,天问），（北斗，高铁），（北斗，九章），（天问，高铁），（天问，九章），（高铁，九章），共6种，其中恰好是“天问”

和“九章”的只有一种情况，，P（恰好是天问”和“九章”尸:，故选A.

7.5【解析】本题考查随机事件的概率.琪琪从1—8号中随机抽取一签，抽到6号赛道的概率是

OO

8.T【解析】本题考查扇形的面积公式、随机事件的概率.由图可知，大正方形的边长等于小正方形的对角

4

线长.设大正方形的边长为2a，则圆的半径为a，，大正方形的面积为4a2,s=4x（驾—》a?）=（兀-2）a2,：.

P（这个点取在阴影部分=左等=詈.

9.0.9【解析】本题考查用频率估计概率.根据合格率可知在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约为

0.9.

10.I【解析】本题考查求随机事件的概率.根据已知图形，设每个小正方形的边长都为1,则大正方形的面积为

9,其中黑色区域的面积为2一..P（小球停留在黑色区域尸|,即该小球停留在黑色区域的概率是|

2

11.（1）508%（2）200（3）|

⑴根据D等级的人数及其所占的百分比，求出本次调查的学生总人数；根据总人数和A等级的人数，求出其

所占的百分比x；（2）用等级为B的学生占调查人数的比例乘全校学生总人数，即可估计全校等级为B的学生人数；

⑶先列表求出所有等可能的结果数，再确定抽到一男一女的结果数，代入概率公式，即可求解.

解:⑴508%.

本次调查的学生总人数为

8X6%=50;

4+50=8%,即x=8%.

（2）500X^=200（名），

即估计等级为B的学生有200名.

（3）根据题意，列表如下：

男1男2女1女2

男1（男2男1）（女1,男1）（女2,男1）

男2（男1,男2）（女1，男2）（女2,男2）

女1（男1,女1）(男2女1)（女2,女1）

女2（男1,女2）（男2.女2）（（女1,女2）

从表中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的有8种情况，••.P(恰好抽到一

名男生和一名女生=^=|.

12.(1)300.30.4⑵略(3)|

⑴由频率的定义即可求出a,b,c;⑵由⑴中a的值.即可补全频数分布直方图；(3)根据题意，画树状图或列表求出

所有等可能的结果，再求出选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果数，利用概率公式，即可求解.

解:(l)a=150x0.2=30,

b=45月50=0.3,

c=60-150=0.4.

(2)补全频数分布直方图如图所示.

(3)解法一：画树状图如图所示,

开始

女I女2女3男女2女3男女I女、男女I女2

由树状图知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，

选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为静后

解法二：列表如表所示，

男女1女2女3

男—男、女1男、女2男、女3

女1女1、男—女1、女2女1、女3

女2女2、男女2、女1—女2、女3

女3女3、男女3、女1女3、女2—

由表知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为1名男生、1名女生的结果有6种，

..•选出的2名学生恰好为1名男生、1名女生的概率为忘=/

31

13.（1）（b⑵gO

⑴由频率的定义计算；⑵根据题意，利用列表法或画树状图法得出所有等可能的结果数和所求结果数，利用

概率计算公式求解即可.

解：⑴摸出红球的频率为^=|.

（2）解法一：列表如下：

第二次

红1红2白黄

第一次

红1（红1红1）（红1,红2）（红1,白）（红1,黄）

红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白）（红2，黄）

白（白，红1）（白，红2）（白，白）（白，黄）

黄（黄，红1）（黄红2）（黄，白）（黄，黄）

由上表可知，共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黄的结果有2种,

.••P（摸出一白一黄）=套=/

解法二：画树状图如下：

开始一

-----------------------

红，红2-------白-------------黄

红，红，白黄红,红冷黄红,红汨黄红，红，白黄

由上图可知，共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黄的结果有2种，

P（摸出一白一黄）=卷=今

压轴预测

1.c【解析】本题考查随机事件的判断.由题知，两枚骰子向上一面的点数之和最小为2,最大为12，结合选

项可知，选项A,B,D均为不可能事件，只有选项C是随机事件，故选C.

2.C【解析】本题考查随机事件、概率和树状图.列出树状图可知两次摸到黑球的概率为蔡故选C.

3.0.9【解析】本题考查用频率估计概率.从表中实验频率可以看出，成活率在0.9周围波动，，这种树苗成活

的概率约为09

4.1.J【解析】本题考查随机事件的概率.由题意可知，白色扇形的圆心角为120°,则白色扇形面积等于圆

的面积的］,转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率为|；易知红色区域的面积是白色区域面积的2倍