高考数学易错题：导数及其应用（含解析）

易错点04导数及其应用

易错题［01］不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线

求曲线的切线方程一定要注意区分'过点/的切线方程”与'在点/处的切线方程”的不同.虽

只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一

定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线，求过某点的

切线条数一般也是先设切点，把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.

易错题［02］对极值概念理解不准确致

对于可导函数於)：X。是极值点的充要条件是在劭点两侧导数异号，即/(x)在方程/(x)=0的

根无0的左右的符号："左正右负"〈咏X)在Xo处取极大值；“左负右正在X。处取极小值,

而不仅是/(xo)=O/(xo)=O是Xo为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的

条件,一定要既考虑了(必)=0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根.

易错题【03】研究含有参数的函数单调性分类标准有误

若函数的单调性可转化为解不等式a(x——%)〉。(或<0)(x>0)

求解此类问题，首先根据a的符号进行讨论，当a的符号确定后，再根据下,马是否在定义域内

讨论，当项,超都在定义域内时在根据西，马的大小进行讨论.

易错题【04］不会利用隐零点研究函数的性质

函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；

另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.

利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题，若导数零

点存在，但无法求出，我们可以设其为须，再利用导函数的单调性确定/所在区间，最后根据

/'(x0)=0,研究/(x0),我们把这类问题称为隐零点问题.注意若/(X)中含有参数a,关系

式/'(X。)=0是关于x0,a的关系式，确定与的合适范围往往和a的范围有关.

易错题01

(2022新高考1卷T7)若过点(a1)可以作曲线的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【警示】不会把切线条数有2条，转化为关于a的方程有2个实根.

【答案】D

【问诊】设过点(a,6)的切线与曲线y=e"切于尸e)对函数>=/求导得V=1,所以

曲线y=e”在点尸处的切线方程为y-e'=e'(x-t)，即y=e'x+(1-l)e',由题意可知，点

(a,b)在直线y=e'x+(17)e'上，所以6=ae'+(1—f)e'=(a+1—f)e，过点(a,6)可以

作曲线>=e*的两条切线,则方程Z)=(a+1—t)e'有两个不同实根，令/(。=(4+1-。1,

则/'(。=(aT)e'.当/<a时,/'⑺〉0，此时函数/«)单调递增，且/(。〉0,当/〉a时,

/'«)<0，此时函数单调递减，

所以，〃')max=/(a)=e',如图所示，当直线卜=，与曲线歹=/(。的图象有两个交点时，当

Q<b<ea时，直线y=6与曲线y=/«)的图象有两个交点.故选D.

【叮嘱】过某点的切线条数一般也是先设切点，把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个

数问题.

变式练习

1.(2021届陕西西安中学高三期中)若函数〃x)=；/-ax+lnx存在平行于x轴的切线，则实

数a取值范围是(）

1

B.（0,+8）C.[2,+⑹D.—,+00

2

【答案】C

【解析】因为函数/(x)=；/-^+inx存在平行于x轴的切线，所以-@)=、-。+^=0在

(0,+功上有解，即a=x+，在(0,+s)上有解，因为x

H—22.xx—=2，所以a22.

XxVx

2.(2021届江苏苏州市高三月考)若过点(见6)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()

A.lnb<aB.Ina<bC.0<a<\nbD.0<Z?<In«

【答案】B

【解析】设切点为其中"0,因为夕=lnx,则了=±故切线斜率为左=1,

Xt

所以，曲线>=lnx在点处的切线方程为y-lnf=1(％一),即y=L+hw-l,

tt

将点的坐标代入切线方程可得6+1=亍+In/,

设/⑺=>lnf,则直线尸b+1与曲线y=/+lnf有两个交点.

①若建0,则/''(/)=；-m=宁>0,即函数八。在(0,+功上单调递增,不合乎题意;

②若a>0,则/宣，

当0<t<0时J'⑺<0,此时函数/⑺单调递减，

当然。时/(。>0,此时函数/⑺单调递增，所以J⑺1nm=l+lna.

由题意可知b+1>1+ln。,即6〉Ina.故选B.

易错题吧

已知外)=13+办2+乐+解在％=1处有极值为10,则a+b=.

【警示】忽视了条件的等价性；/(1)=0"是。=1为-)的极值点”的必要不充分条件.

【答案】-7

【问诊】了(x)=3N+2办+6,由x=l时,函数取得极值10,得

⑴+。+。+/

I/；,(1=)1=3+2"6==。10’解得a=4,a=~3

或

b=—\\,6=3.

当。=4力=-11时/(x)=3x2+8x—11=(3x+11)(%—1)在x=1两侧的符号相反，符合题意.当

〃=-3,6=3时/(x)=3(x—1)2在x=1两侧的符号相同，所以〃=—3,6=3不符合题意，舍

去.综上可知a=4,b=—ll,，a+b=-7.

【叮嘱】处理可导函数/(x)在％=而有极值问题，除了保证/(%)=0,还要检验在/左右两

侧函数值的符号.

变式练习

(2022全国1卷T12)设中0,若x=a为函数/(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】令/(%)=0,解得I=。或、=6,即1=。及％=6是f(x)的两个零点，

当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=。是/(%)的极大值点,则函数/(%)的大致图象如

下图所示，

当。<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点,则函数/(%)的大致图象如

下图所示，

则6<"0；综上,ab>a2.故选D.

2.(2021届山西长治市高三月考)已知函数/(x)=x3-3/m:2+nx+niitx=-1处取得极值0,

贝U加+〃=()

A.2B.7C.2或7D.3或9

【答案】B

【解析1/(X)=X3-3TH¥2+HX+m2,/(x)=3x2-6mx+n，根据题意：八一1)=3+6机+〃=0,

[m=-1fm=-2fm=-1

/(-l)=-1-3/n-»+m2=0X或当｛时，

[n=3[n=9[«=3

r/、2[m=-2

"x)=3f+6x+3=3x+l&0,函数单调递增，无极值点，舍去.当0时，

/'(x)=3x2+12了+9=3(_¥+1)(》+4),在工€(-00,-4)和工€(-1,+8)时,/''(x)>0,函数单调递增;

在xe(-4,-1)时,/'(x)<0,函数单调递减，故函数在x=-1出有极小值，满足条件.

综上所述：〃?+〃=9-2=7.故选B.

易错题E

(2021新高考2卷T22(l))已知函数f(x)=(x-l)ex-ax2+b.

⑴讨论/(x)的单调性；

【警示】讨论是分类标准不合理导致解题失误.

【问诊】⑴由函数的解析式可得：f\x)=x(ex-2a),

当a<0时，若xe(―叫0)JiJ/'(x)<0,/(x)单调递减，

若xe(0,+s)，则/''(》)>0,/(x)单调递增；

当0<a时，若xe(-oo』n(2a))，则/'(x)>0,/(x)单调递增,

若xe(ln(2a),0),则/(x)<OJ(x)单调递减,

若xe(0,+功，则尸(x)>0,/(x)单调递增；

当。=!■时,/'(X)20J(x)在R上单调递增；

当a>；时，若xe(一%0)，则/'⑴>0,/(x)单调递增，

若xe(0,ln(2a)),则/(x)<0,/(x)单调递减，

若xe(ln(2a)，+°°),则/'(x)〉0,/(x)单调递增.

【叮嘱】此类问题通常根据导函数零点个数及零点大小进行分类讨论

变式练习

1.(2021届河南高三月考)已知函数〃x)=lnx-；办2+x-l(aeR)

⑴已知点尸(11)为曲线y=/(x)上一点，若该曲线在点p处的切线方程为x-y+机=0(6,

加€尺),求〃力，加的值；

⑵讨论函数〃X)的单调性；

(3)若/(X)在区间(0,3)上有唯一的极值点％，求a的取值范围.

［解析］(1)/卜)=，_办+1=_^^,由题意知/'(1)=一.+2=1,所以q=l,

XX

所以/@)=12-32+工-1,所以〃1)=-3+1-1=6,所以6=-3，

将点(1,-gj代入方程x-y+加=0,得加=一|■，所以。=1，6=一3，"=—1.

(2)由题意知函数的定义域为(0,+动,/(切=-丝三匕1,

当av0,/'(x)>0在(0,+功上恒成立，所以〃x)在(0,+功上单调递增；

当。>0时，因为方程ax2-x-l=Q的判别式/=l+4a>0，该方程的两根分别为匕迎I,

2a

1+J4a+1

2a

令/，")=_办2^1>0,得0<工<1+7^,令/，")=_办2芯1<0,得工>112^1

x2ax2a

所以/(X)在［0,叶孚包］上单调递增，在f1+于口,+/上单调递减.

2a2a

⑶由⑴知/=令g(x)=-aV+x+l,因为/(x)在区间(0,3)上有唯一的极值

点%,

所以/(无)在(0,3)上存在唯一零点，即g(x)在(0,3)上存在唯一零点，且在该零点两侧g(x)

的符号不一致.

当aV0时，由⑵知,/(x)在(0,3)上单调递增，/(x)无极值点，

当a>0,因为g(O)=l>O,g(x)的称轴为直线x=(>0j'(x)在(0,3)上存在唯一零点，必有

8(3)=-9<2+4<0,解得。>：,所以0的取值范围为［：,+=0］

2.(2021届天津市第二H^中学高三期中)已知函数/(x)=tzx2+(2a-l)x-lnx.

(1)当a=；时,求函数/(x)的单调区间和极值；

(2)讨论函数〃x)单调性.

【解析】⑴当时,/(x)=:x2-inx(x>0),所以/，(x)=x」=(x+l)(l).

故当xe(O,l)时,_f(x)<0J(x)为减函数;

当xe(l,+oo)时,广(x)>0J(x)为增函数.

所以当尸1时，/卜)极小值=1/'⑴无极大值.

2

(2)由/(x)=ax+(2a-l)x-lnx,(x>0)可得：/⑴=2”+(21)1=(x+1)(2办—1)

XX

①当a<0时,/'(x)<0J(x)在(0,+。)为减函数；

②当a>0时,时/(x)<0,故/(x)为减函数时，/(x)>0,故/(%)

为增函数.

多错题四

(2021届福建省龙岩高三月考)已知函数/(x)=ln(x+l)+cosx+s.

⑴若x=0为〃无)的极值点，求实数叫

⑵若/(x)W1在(-1,0］上恒成立,求实数加的范围.

【警示】不会引入隐零点研究函数单调性

【问诊】因为/'(x)=9j-sinx+"z,

令/'(0)=0,则，j-sin0+%=0,

所以=

即/'(x)=—^-j--sinx-l(x>-l),

当-l<x<0时，设g(x)=/，(x)=9j-sinx-l,

所以=~XI-cosx<0

(x+1)

故尸(X)在(-1,0)上单调递减,

所以/，(x)>/，(0)=0,

当0vx<兀时,<1,-sinx<0,

x+1

所以/(x)<0.

终上所述,m=T时,X=0为/(X)的极值点成立,

所以机=-1.

(2)由⑴知尸(X)=——j--sinx+m,

当T<X<0时,；r(x)在(-1,0)上单调递减,

・••/'(x)>/'(O)=l+加，

①加2-1时,•・・/,(x)>/,(0)=l+m>0,

在(-1,0］上单调递增，

所以〃x)4/(0)=l,

②加<-1时,因为/''(》)在(-1,0］上单调递减，

r

存在X。e(-1,0)使f(xo)=O,

即xe(x0,0)J(x)<0J(x)递减,

当xe0,0)时J(x)>/(O)=l,与/(x)Wl矛盾.

综上：加2-1时在(T0］上恒成立.

所以实数加的范围是［-1,+8).

【叮嘱】求解不等式恒成立或证明不等式一般要利用函数单调性，研究函数单调性要确定导

函数的零点，若导函数有零点，但无法具体确定，可引入隐零点.

支式练习„>

1.(2021届内蒙古海拉尔高三期中)已知函数〃x)=alnx+尤.

⑴若X=1是/(X)的极值点，求〃X)的单调区间；

(2)若4=1,求证：f[x)-xex+a<0.

【解析】(1)由已知,/(x)的定义域为(o,珏)且/'(X)=£+1；

又》=1是〃x)的极值点，则/'(1)=。+1=0,解得a=-1,

1_1

此时/3=-；+1=r彳：当0<x<l时,/牡)<0；当X>1时,/右)>0；

易知：x=l是/(无)的极小值点，且的单调递增区间为(1,传)，单调递减区间为(0,1)：

(2)

若a=1有/(x)=lnx+x,设/z(x)=lnx+x-xeX+1,xe(0,+co)；

/.〃(x)=，+l_(x+l)靖=(x+l)[L_e]；

令/(%)=5-/,工€(0,+00),则/(村=-《-/<0对任意工€(0,+20)恒成立,

=：-/在(0,珏)上单调递减；又(£|=2-五>0/⑴=1-e<0,

比e1,1],使得/-e'。=0,即工=*，则In工=Ine'。，即一Inx°=x°；

\2)%。4%

因止匕，当o<X</时f(x)>0,即，(x)>0,〃(x)单调递增；

当x>七时,(无)<0,即"(x)<0,/?(%)单调递减；

故〃(%)(〃(%0)=111%+迎-/e'。+1=0-1+1=0,即得证.

2.已知a>0,函数/(x)=Inx-aS^nX+—.

XX

(1)证明：/(x)在(0,%)上有唯一的极值点；

(2)当a=2时，求f(x)在(0,+8)上的零点个数.

x-ax-cosx+(2sinx-1

【解析】(1)证明:/，W=

记g(x)=x-办cosx+asinx-l,xe(0,%),

贝Ijg'(x)=axsinx+1.

由。>0得g'(x)>0在(0,»)上恒成立，从而g(x)在(0,兀)上为增函数,

并且g(0)=-l<0,g(〃)=»+a〃-l>0.

根据零点存在性定理可知，存在唯一的X。e（0,兀）使得g（x0）=0,

并且当xe（O,%）时,g（x）<0,当xeg,万）时,g（x）>0.

由于/。）=岁,因此当xe（O,%）时J（x）<0,

当xe（尤0,1）时/（x）>0,当尤=%时，当（尤）=0,

所以看是/（x）在（0,万）上唯一的极值点.

⑵当a=2时,/'（x）=x-2xcos2smx-1,并且根据⑴知

存在不€（0，万）使得/（X）在（0,不）上为减函数，在（国，万）上为增函数.

由于/'⑴=2sin1-2cos1>0,从而占e（0,1）.

由于/（l）=l-2sinl<0,/（^-）=ln^+—>0,

71

根据零点存在性定理可知J（x）在（1，万）上存在唯一的零点，在（41）上无零点；

、“一、12sinx111

当x>万时,/（x）=Inx-------1-—>Inx——>1口万--->0,

xXX71

因此函数在（兀，+⑹上无零点；

当％£（0,西）时,1己y=sin'—%，贝|了=cosx—1<0,

所以〉=sinx-x在（0,再）上为减函数，所以sinx-x<0,

即x>sinx〉0对％£（0，士）恒成立.

2QinX1|

因此当x«0,演）时有f（x）=Inx-------+—>Inx+——2,

XXX

因此/卜一2）>02_4>0,结合/（占）<0知函数/（》）在常，不）上存在唯一的零点,

在（o,e-2）上无零点.

综上所述，函数/⑴在（0,+8）上共有2个零点.

易错题通关

1.若点P（L〃）不在函数/（x）=d-办的图象上，且过点尸仅能作一条直线与了（X）的图象相

切，则〃的取值范围为（）

1

(-8,0)U—,+00

4

1

C.(-oo,0]u-,+ooD.(-oo,0]u—,+00

4

【答案】A

【解析】已知点P(l,。)不在〃x)=/-依的图象上，则/■⑴=1-r,所以“色，

而/'(x)=3/-a,设过点P(l,a)的直线与/(x)=V-办的图象切于点0«,户-.,

则切线的斜率左=/'«)=%,

3

则3产-a=f~at~a，整理得2-一3/+2a=0,

t-1

设g(，)=2/-3/+2a,

由于过点户仅能作一条直线与/(x)的图象相切，

则问题可转化为g⑺=2/-3/+2.仅有1个零点，

g'⑴=6r-6t，令g'(?)=0,解得：，=0或f=1,

令g'(r)>0,即6/2-6/>0,解得：1<0或/>1,

令g'(f)<0,即6〃一6/<0,解得：

所以函数g⑺在区间(-*0),(1,+8)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减，

可知g(f)在区间(-叱。)或区间(L+8)上必有一个零点，

所以可知g(0)与g⑴同号，

则g(O)・g⑴>0,即(2a)-(-l+2a)>0,解得：。<0或

所以a的取值范围为(-s,0)U(g,+8]故选A.

2.(2021届安徽六安市高三月考)函数〃x)=lnx+ax存在与直线2x7=0平行的切线，则实

数。的取值范围是()

A.(-oo,2]B.[2,+QO)C.(一8,2)D.(2,+8)

【答案】C

【解析】由题意，函数〃x)=lnx+ax的定义域(0,+co),且/(x)=^+a,

X

因为函数/Xx)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，

即La=2有解，即a=2」在(0,+◎有解，

XX

因为x>0,可得工>0,则-,<0,可得2-工<2,

XXX

所以a<2,即实数。的取值范围是(-*2).故选C.

3.(2021届辽宁沈阳市高三月考)若直线V=x+加与曲线了二/⑦相切，则()

A.机+〃为定值B.g加+"为定值

C.加+为定值D.加+为定值

【答案】B

【解析】设直线厂工+加与曲线尸e一切于点卜"。口)，

因为V=,为所以e'f=1,尤。=2〃,所以切点为(2%1)，代入直线方程得：1=2〃+加,即

工加+〃」.故选B.

22

4.(2021届云南高三月考)已知。为函数/(x)=21nx+；x2-3x的极小值点，则。=()

A.1B.2C.3D.In2

【答案】B

ry,z\2x2—3x+2(x—l)(x—2)

【解析】fr(x)=-+x-3=-------------=——-------:

XXX

所以当xe(0,l)”2,+8)时/'(x)>0,当xe(L2)时/(x)<0

则/(无)在(0,1)和(2,+8)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故a=2.故选B

5.(2021届河南南阳高三期中)已知函数/(尤)=/+加+6x+2在x=l处取得极小值0,若

VX]e[m,n],3x2€[加,〃],使得/(为)=/(工2),且占x々,则”一他的最大值为()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】函数f(x)=x3+ax2+bx+2^.x=\处取得极小值0

[7■'⑴=0]+a+6+2=0

所以6\n，即必八n，解得：a"一

=0[3xl+2axl+6=0

/(x)=d-3x+2由(x)=3/-3=0得：x=±1

当xe(-巩-1)和。,丑)时,/(无)>0,即/⑴单调递增

当xe(-1,1)时,/'(x)<0,即“X)单调递减

所以〃x)的极大值为/(-1)=4，极小值为/(I)=0

由/(x)=f-3x+2=4得：苫=-1或工=2

由/(x)=Y-3x+2=0得：x=l或x=-2

若"却使得/(再)=/(工2),且x产乙,

则("m)g=2-(-2)=4，故选C.

6.(2021山西太原高三期中)若x=2是函数”x)=；ax2-x-21nx的极值点，则函数()

A.有最小值-2In2,无最大值B.有最大值-2In2,无最小值

C.有最小值-2In2,最大值21n2D,无最大值，无最小值

【答案】A

2

【解析】由题设J'(x)="——1且/'(2)=0,

x

2a—2—0，可得。=1.

「,/、2[(x+l)(x-2)l八

・•・f\x)=x----1=-——-——-Sx>0,

XX

当0<x<2时/'(x)<OJ(x)递减；当x>2时/'(x)>OJ(x)递增;

/(x)有极小值/(2)=-21n2，无极大值.

综上，有最小值-2In2，无最大值.故选A

7.(2021北京四中高三期中)设函数〃x)=(x-l)e*+ax2,其中aeR.

⑴若无=1是函数“X)的极值点，求。的值；

⑵当a<0时,求函数“X)的单调区间；

⑶当a=0时,设函数g(x)=lnx+x-e*+l,证明：/(x)-g(x)>0.

【解析】(D/'(x)=xS+2a),

因为x=l是函数的极值点，所以/⑴=e+2a=0,解得

当。=-1时,检验符合题意，

所以a的值为-5；

⑵/。)=可/+2.),("0),

令/'(x)=0,得x=0或ln(-2a),

当-g<a<0时，令/,(x)>0,^fx<ln(-2<7)^x>0,4'/'(x)<0Jf4n(-2a)<x<0；

当。=彳时J'(x)20恒成立；

当时，令/(x)>0,得x>ln(-2a)或x<0,令/<x)<0,得0<x<ln(-2a)；

综上，当一<°<0时,〃x)在(-应ln(-2”))和(0,+s)单调递增，在(in(-2a),0)上单调递减;

当。=时"(x)在(-叫”)上单调递增；

当时,〃x)在(-*0)和(ln(-2«),+a))单调递增，在(0,ln(-2a))上单调递减；

(3)

证明：当Q=0时,/(%)-g(x)=xex-lnx-x-1,

x

设h(x)=xe-lnx-x-l(x>0)?

V+11

因为〃(%)=(%+1)，-—,h"(x)=(x+2)ex+—>0,

XX

所以函数Mx)在(0,+8)上单调递增，

又〃(0.1)<0,/(1)>0,

一x1

所以存在与£(。,1),使/(%0)=。,即？°二一,%=-1口%,

当0<x</时,h'{x)<0；当%/时,h\x)>0,

所以〃(无)在(0,%)上单调递减，在(%,+⑹上单调递增，

所以函数〃(X)的最小值为力(七)，

x

所以h(x)...M?)=xoe°-Inx0-x0-1=1+x0-x0-1=0?

从而得证/W-gW-0.

8.(2021河南南阳高三期中)已知函数/(x)=(x-2)ex-x2-2ax+1,tzGR.

⑴当〃