高考数学专项复习练习卷：5类概率统计选填（含解析）

5类概率统计选填解题技巧

(古典概率、概率的基本性质、条件概率、全概率、贝叶斯公式)

r----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I技法01古典概率解题技巧

I技法02概率的基本性质解题技巧

|技法03条件概率解题技巧

|技法04全概率解题技巧

।技法05贝叶斯公式解题技巧

I______________________________________________________________________________

技法01古典概率解题技巧

知识迁移

1.古典概型特点

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.

(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.

2.古典概型概率公式

»八/包含的基本事件的个数m

基本事件的总数n

02

例1-1.(2022•全国•统考高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入

选的概率为____________

技巧点拨

【法一】：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=面.

【法二】：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=历

例1-2.（2022•全国•统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率

为（）

技巧点拨o

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

01—7?

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6*4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，故所求概率尸=*=：

213

唁翁福•知识迁移强化

1.（2021•全国•统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A.—B.-C.-D.一

3535

【答案】C

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有C；=5种排法，若2个。不相邻，则有以=10种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为一-=

5+103

故选：C.

2.（2022•全国•统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为

【答案】卷.

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有机=6+6=12个,

故所求概率尸='=312=26.

n7035

故答案为：卷.

3.(2022•全国•统考高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()

1122

A.—B.—C.-D.-

5353

【答案】C

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】［方法一］:【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字

之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为假=|.

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(

6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况,

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为

12_2

30-5-

故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

4.(2023•天津•统考高考真题)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这

三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球

的概率为;将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.

3

【答案】0.05j/0.6

【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；

根据古典概型的概率公式可求出第二个空.

【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5”,4”,6”，所以总数为15〃，

所以甲盒中黑球个数为40%X5〃=2〃，白球个数为3"；

乙盒中黑球个数为25%X4〃=〃，白球个数为3〃；

丙盒中黑球个数为50%x6〃=3〃，白球个数为3”；

记"从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球"为事件A,所以，

尸⑷=0.4x0.25x0.5=0.05；

记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件5,

黑球总共有2"+〃+3”=6〃个，白球共有9〃个，

所以，尸（的=得=}

_,3

故答案为：0.05；—.

5.（2023・全国•统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题

准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

5211

A.7B.-C.?D-j

【答案】A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

乙

123456

甲

1(1,1)(1,2)。,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能,

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率。=弓30=：5.

366

故选：A

6.(2023・海南•校考模拟预测)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽

取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()

1132

A.—B.—C.—D.一

105105

【答案】D

【分析】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.

【详解】记"抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数"为事件

则事件/共包含以下10种情况：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

而有放回的连续抽取2张卡片共有5x5=25(种)不同情况，

贝|］尸(/)=?10=；2

故选：D

技法02概率的基本性质解题技巧

喟线♦常见题型解读

在概率的基本性质中，互斥事件、对立事件、概率加法公式是新高考卷的常考内容，难度中等偏易，是

概率中的基础内容，在小题和大题中都有考查，需重点复习..

知识迁移

1.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(/)W1.(2)必然事件的概率尸(£)=1.(3)不可能事件的概率尸(£)=0.

(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则尸(NU8)=P(/)+P(8).

②若事件3与事件4互为对立事件，则P(A)=l-P(B).

概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P(/1U/2U…u/“)=尸(/1)+P(/2)H-----

02

跟我学•解题思维剖析

11O

例2-1.(2023・全国•高三专题练习)已知事件B,C两两互斥，若P(/)=丁P(C)=§，尸(Nu8)=西,

贝1JP(8UC)=().

技巧点拨

Q11

因为事件4B,C两两互斥，所以尸(8)=尸(NuB)-尸(4)=百一］=§，

119

所以P(8uC)=P(3)+尸(C)=§+§=『

例22(2022•全国•高三专题练习)一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个

球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是

A.0.3B.0.55C.0.7D.0.75

技巧点拨

因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,

所以摸出黑球的概率是1-(0.45+0.25)=0.3,因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，

所以摸出黑球或红球的概率尸=0.3+0.45=0.75

例2-3.(2022秋•山东聊城・高三山东聊城一中校考阶段练习)我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀

算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容,

是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著

中选择2部作为"数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率

为.

技巧点拨

设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,

所以陶哈=>—114

因此PQ)=1-尸(4)=1——二一

唱篇i•知识迁移强化

1.(2023・全国•高三专题练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示"小于5的偶数点出现”，事

件B表示“不小于5的点数出现"，则一次试验中，事件4或事件B至少有一个发生的概率为()

2115

A.—B.—C.—D.一

3326

【答案】A

【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为

互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和.

【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现"，事件B表示“不小于5的点数出现"，

2121

：.P(A)=-=~,p(B)=-=-,

6363

又小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6,

所以事件A和事件B为互斥事件，

则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为

112

P(AUB)=P(A)+P(B)=-+-=-,

故选：A.

【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题.

2.(2023春•新疆乌鲁木齐•高三校考阶段练习)某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为响第

321

二声时被接的概率为历，响第三声时被接的概率为j，响第四声时被接的概率为-，则电话在响前四声内被接

的概率为()

1934

A.-B.—C.—D.一

210105

【答案】B

【详解】设"电话响第一声被接"为事件A,"电话响第二声被接"为事件B,"电话响第三声被接"为事件C,"电话响

13219

第四声被接"为事件D,则A,B,C,D两两互斥，从而P(AUBUCUD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=^+而++z=.故

选B.

点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解

为四个互斥事件,P(AUBUCUD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).

3.(2023•全国•高三专题练习)从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不

21

放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件"两个球都是红球"的概率为百，"两个球都是白球"的概率为

则“两个球颜色不同”的概率为()

47811

A.—B.—C.—D.—

15151515

【答案】C

【分析】设"两个球都是红球"为事件4"两个球都是白球"为事件瓦"两个球颜色不同”为事件C,则4B,

C两两互斥，C=A<JB，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.

【详解】设"两个球都是红球”为事件/，”两个球都是白球”为事件2,“两个球颜色不同”为事件C,

71—

则尸(/)=尚，尸(8)=丁且仁=

因为N,B,C两两互斥，

所以尸(C)=l一尸©=1-尸(48)=1-［尸⑷+/(即=1一怖_；=\

故选：C.

技法03条件概率解题技巧

喟3•常见题型解读

条件概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需

重点复习.

知识迁移

1.条件概率

条件概率的定义条件概率的性质

已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时人发生的条件概率，记为P(A|B).(1)OW7W)W1,

(2)如果3和C是两

当P(B)>0时，我们有尸.(其中，/A3也可以记成AB)

个互斥事件，则尸(8

类似地，当P(/)>0时，/发生时8发生的条件概率为「出⑷二曹;^C\A)=P(B\A)+

尸(。⑷

P(3⑷与P(/|3)易混淆为等同

前者是在/发生的条件下3发生的概率，后者是在8发生的条件下/发生的概率.

2.条件概率的三种求法

先求P(N)和P(AB),再由尸/⑷=个)求P(B\A)

定义法

借助古典概型概率公式，先求事件/包含的基本事件数”(4),再求事件所包含的基本事

基本事件法件数〃(48),得PCB⑷一阳为

缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，

缩样法

它能化繁为简

02

跟我学•解题思维剖析

例3-1.2023•全国•统考高考真题)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的

同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰

的概率为()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

.工技7巧工点地拨。%

同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=0.4,记"该同学爱好滑雪”为事件A,记"该同学爱好滑冰〃为事件3,

则尸(/)=0.5,尸(即=0.4,所以尸(回A)=马华="=。-8

尸(4)0.5

例3-2.(2022•天津•统考高考真题)52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到工

的概率为;已知第一次抽到的是4则第二次抽取N的概率为.

解题

技巧点拨

由题意，设第一次抽到4的事件为5第二次抽到4的事件为C,

1

则0（5C）=&x」=」-,R^=f=1，尺CI9=2211

v752512215213vP（B），1；

13

你来练•知识迁移强化

1.（2024•湖南邵阳•统考一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是060.7

和0.5,且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条

件下，乙没有达优秀等级的概率为（）

157517

A.—B.—C.—D.—

298829

【答案】A

【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.

【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件4SC,三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件。,

:.P（/）=0.6,P（S）=0.7,P（C）=0.5,P（D）=P^ABC^ABC^ABC）=P{ABC（4BC^）

=0.4x0.3x0.5+0.4x0.7x0.5+0.6x0.3x0.5=0.29,

P（BD]=P（ABC）+P（ABC）=0.3x0.4x0.5+0.3x0.5x0.6=0.15,

Z-,P(BD\0.1515

：.P(B\D\x=\/=

v17P(D)02929

故选：A.

2.（2024•全国•模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游,

他们分别从“太湖章头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中

随机选择1个景点游玩.记事件N为"两位游客中至少有一人选择太湖富头渚"，事件8为"两位游客选择的

景点相同”,则同等于（）

121

A.—B.—C.一

11119

【答案】A

【分析】利用条件概率公式即可求得P（2|/）的值.

【详解】由题意，知尸（4）=6x：：x5=）=',

6x6366x636

1

所以尸（8⑷

H

故选：A.

3.（2023•湖南郴州•统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广

大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受"走遍五大洲，最美有郴州"绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万

华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记

事件/为"甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为"甲和乙选择研学线路不同”,

则尸(切/)=()

1431

A.-B.一C.一D.-

5544

【答案】B

【分析】利用古典概率求出事件4/B的概率，再利用条件概率公式计算即得.

【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有32个基本事件，

事件/含有的基本事件数是2x2+1=5,则P(A)=|,

4

事件45含有的基本事件数为2x2=4,则=

所以W卜瑞T

故选:B

4.(2023•广东佛山•统考模拟预测)现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，

要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件N="甲参加跳高比赛”，事件2="乙参加跳

高比赛”，事件。="乙参加跳远比赛”，贝U()

A.事件/与2相互独立B.事件/与C为互斥事件

C.尸(1/)=(D.P3/)=(

【答案】C

【分析】根据条件求出尸(⑷,尸(3),尸(/8),尸(/C),由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公

式进行逐一判断即可

c；c；c；

【详解】对于A,每项比赛至少一位同学参加，则有=36不同的安排方法,

事件"甲参加跳高比赛〃，若跳高比赛安排2人，则有A；=6种方法；

若跳高比赛安排1人，则有C；C；A；=6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6+6=12种,

121I?1

则尸(/)=—=_,同理尸(8)=—

363363

若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有A；=2

21

种不同的安排方法，所以尸（48）=*=%；,

3618

因为P（AB）丰P（A）P（B）,事件/与8不相互独立故A错误；

对于B,在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件4与C可以同时发生，故事件工

与C不是互斥事件，故B错误；

对于C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有C；+C；=5种，所以

5

尸（/C）=],所以尸（串）=今黑=乎=/,故c正确;

3

1

对于D,尸（却/）=乌当=毕=上故D错误.

'7P（A）J_6

3

故选：C

5.（2023•浙江,校联考模拟预测）标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回

地随机抽取两次，每次抽取一张，A表示事件“第一次取出的数字是3”,8表示事件”第二次取出的数字是2”,

C表示事件"两次取出的数字之和是6",。表示事件”两次取出的数字之和是7",则（）

A.P（C）=1B.尸（/©）=尸（/）

C.P（A^C）=P（A）D.P（BC）=P（B）P©

【答案】B

【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立事件的概率公式判断

即可.

【详解】由题意，

尸⑷

6

尸⑻=落]_

6

对于。事件的可能组合有：

（1,5）,（5,1）,（2,4）,（4,2）,（3,3）,共5种,

0（0）=@]=奈，故A错误；

对于。事件的可能组合有:

（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）0,3）,共6种,

5C&6

对于/。事件的组合只有(3,4)一种,

对于/C事件的组合只有(3,3)一种,

对于BC事件的组合只有(4,2)一种,

则尸（HD）=*^=:=P（N）,B正确;

「3c)=%=+尸(40错;

又尸(*)=■=>P⑻尸©=卜齐抵

JUOJOZ10

则尸(BC)WP(3)P(C),D错.

故选：B

技法04全概率解题技巧

喟线♦常见题型解读

全概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重

点复习.

知识迁移全概率公式

一般地，设4,A2,4是一组两两互斥的事件，/1U/2U…U4=Q,且尸(4)>0,，=1，2,n,

_n

则对任意的事件8=。，B(3=B(A1+A2+-+A^=BA1+BA2+-+BA„,有尸(8)=2尸(4)尸(3|4)

Z=1

,此公式为全概率公式.

(1)计算条件概率除了应用公式P(3|/)=i叱外，还可以利用缩减公式法，即/W)=f,其

P(A)n(A)

中〃（/）为事件/包含的样本点数，"（N5）为事件包含的样本点数.

（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件/的概率的求解问题，转化为了在不同情况

下发生的简单事件的概率的求和问题.

02

跟我学•解题思维剖析

例4.（2023•广东深圳•校考二模）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一

个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号

球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒

子中任取一个球，设事件4为第一次取出的球为z.号，事件瓦为第二次取出的球为，号，则下列说法错误的

是（）

1113D.尸@4）$

A.mi4）=TB.P（4）=7C.尸（鸟）=——

64348

技巧点拨

由题意可得P（4）=；,尸（4）=尸（4）=；，故B正确；

对于A,尸（尾|4）表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率,所以尸（尾|4）=:，

故A正确；

对于C,网名）表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以p（aI4）=5

P（尾区）表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以尸（囚4）=：，

应用全概率公式，有尸（4）=/（4尸（&言，故C错误；

/=]24444O4o

/।、尸4）1,、1

对于D,利用条件概率可得尸（层|4）=方'=%，解得网易4）=五，故D正确

故选：C

喘普福•知识迁移强化

1.（2023•湖南郴州•统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有

两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个

绿球（球的大小质地相同）.若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色

的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（）

11511

A.-B.—C.—D.—

644848

【答案】D

【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解.

【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为4,4,4，

则P（4）=；，P（4）=尸（4）=；，

记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为昂巴，员，

而4,4,4两两互斥，其和为。，

所以p（月14）=；,尸（当14）=；，尸（层14）=：，

446

记第二次抽到黄球的事件为B,

则尸（8）=EP（44）=E［尸（4）・尸（即4）］=；x；+：x；+：xg=*，

故选:D.

2.（2023・辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测）甲单位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙

单位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取1名志愿

者，则取到男性志愿者的概率为（）

131511

A.—B.-C.—D.—

2421824

【答案】A

【分析】由条件，根据全概率公式求解即可.

【详解】设事件取到男性为B,事件所抽到的单位为甲单位为4，

事件所抽到的单位为乙单位为4,

则P（B）=P（A\B+&B）=P（AlB）+P（A2B）,

所以尸（3）=尸（4）尸（叫4）+尸（4）尸但4）,

故选：A.

3.(2023•吉林・长春十一高校联考模拟预测)长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫,

松江雾淞，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是:，夏季来的

概率是g,如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾淞和查干冬

捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的

概率为()

1116171

A.—B.—C.—D.一

1545453

【答案】C

【分析】根据古典概型分别求出冬季去了"一眼望三国"和夏季去了"一眼望三国”的概率，再结合全概率公式

即可求解.

【详解】设事件4="冬季去吉林旅游"，事件4="夏季去吉林旅游"，事件8="去了一眼望三国”，

71

则尸(4)=§,P(4)=§,

r'C1?

在冬季去了"一眼望三国”的概率p(*4)=M=w，

ll

在夏季去了"一眼望三国”的概率P(5|4)=Mcc=[1

所以去了“一眼望三国”的概率p(3)=尸⑷尸⑻4)+产区户团4)=*'}}F

故选：C.

4.(2022•山东泰安・统考模拟预测)2022年北京冬奥会吉祥物"冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧,

引来国内外粉丝争相购买，竟出现了"一墩难求"的局面.已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为90%.现

引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测

结果有90%的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有5%的可能为不合格.现从生产的

冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是()

A.0.805B.0.815

C.0.865D.0.885

【答案】C

【分析】由全概率公式求解

【详解】设事件8="任取一件产品用该设备进行检测，检测结果为合格"，事件/="抽取的该产品为正品”,

事件工="抽取的该产品为次品"，则

尸(4)=0.9,P(A)=0.1,P(B|A)=0.95,尸(刃7)=0.1,由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B\A)+P⑷P(B|4)=0.9x0.95+0.1x0.1=0.865.

故选：C

技法05贝叶斯公式解题技巧

%;i•常见题型解读

贝叶斯公式是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的重点内容，在小题和大题中都有考查,

需重点复习.

知识迁移贝叶斯公式

一般地，设4,4，一，4,是一组两两互斥的事件，有4。45-。4,=。且「（4）＞0，'=1，2,3,〃,则对

任意的事件8qQP（8）〉0有

（）£P（4）P（川4）

1=1

02

跟我学•解题思维剖析

例5.（2023•云南•校联考模拟预测）"狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊"狼来了"，

大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊"狼来了"，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼

真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他

出于某种特殊的原因说谎的概率为0」；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小

孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩

的概率是（）

3

A.-

5

技巧点拨

【详解】设事件A表示"小孩诚实"，事件B表示"小孩说谎”,

则尸（同））=0.1,P（5|2）=0.5,尸（/）=0.9,Pp）=0.1,

贝1J尸（/8）=P（/）尸（同/）=0.9乂0.1=0.09,

P（AB^=P（A）P[B\A）=0.1X0.5=0.05,

故P（B）=P（48）+/（彳3）=0.14,

故中吐塞=黑9

14

故选：D

吟丸•知识迁移强化

1.（2023•广东佛山,华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球,

乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以4,4和4表

示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以8表示由乙口袋取出的

球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A.P（同4）=打B.事件4与事件8相互独立

13

C.P（4|8）=]D.P（S）=-

【答案】D

【分析】A选项，根据题意求出P（MH）=：，判断A选项；

B选项，利用全概率公式求出尸（8）=乙，得到尸传）尸（4）H尸（网），判断事件事件4与事件2不相互独立,

得到D选项正确；

C选项，利用条件概率公式求解即可.

aa

【详解】由题意得尸（川4）=不一一==，所以A错误；

因为P（网4）=：,

尸⑻=尸⑷尸国4）+尸⑷尸修⑷+尸⑷尸W⑷=土0：*.+1/=3所以

P（2）wP（同4）,即尸（团尸（4）w尸（网），

故事件事件4与事件2不相互独立，所以B错误，D正确;

53

——x一

尸（48）尸（4）网同4）q,所以c错误；

p(4⑻1011

P网P(B)3

10

故选：D

2.（2023•浙江杭州•统考模拟预测）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球,

3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以4,4和4表示由甲箱取出的球是红球，

白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以3表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的

是（）

A.事件8与事件4。=1,2,3）相互独立B.尸（4可=卷

2Q

C.P（B）=-D.P（A2\B）=-

【答案】BD

【分析】由题设求出尸（4）、尸（切4）（，=1,2,3）,利用条件概率公式、全概率公式判断B、C、D,根据

是否相等判断事件的独立性.

【详解】由题意P（4）=］，尸（4）=丁。（4）*，

先4发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则尸（见4）=：,

4

先4发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则尸（314）=曾，

4

先4发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则尸（B|4）=n，

546

所以尸（48）=尸⑷4）尸（4）=瓦，B正确；尸（48）=尸（814）尸（4）=Q，P（AiB）=P（B\A3）P（A3）=—,

a

P⑻=