高考数学二轮复习专练：点到平面的距离（原卷版+解析版）

点到平面的距离(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：等体积法求点到平面的距离......................2

题型二：利用向量法求点到平面的距离....................4

三、专项训练.............................................6

一、必备秘籍

1、等体积法求点到平面的距离

(1)当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从

而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法

(2)在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有

时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系(线面平行，

面面平行)转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平

行也可以变换顶点

2、利用向量法求点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为Z是平面戊内的定点，尸是平面a外一点.过点尸作平面

a的垂线/,交平面戊于点。，则［是直线/的方向向量，且点尸到平面戊的距离就是不

——*nAP•nAPtn\

在直线/上的投影向量QP►的长度.PQ=|AP--^-1=|—|=I1,1

l«l\n\\n\

二、典型题型

题型一：等体积法求点到平面的距离

1.(23-24高三下•陕西西安•期中)如图，在圆台中，4/3g为轴截面，AB=2A&i=4,

ZA,AB=60°,C为下底面圆周上一点，P为下底面圆。内一点，4月垂直下底面圆。于点E,

ZCOF=ZEFO.

/6加冰:沃士--个B

⑴求证：平面open平面AEF；

(2)若△EFO为等边三角形，求点E到平面4。尸的距离.

2.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，在四棱台/3CD-44中，底面四边形/BCD为

菱形，48c=60。,42=2/4=2^4，/4,平面/BCD.

A)Dy

(1)证明：BD1CQ；

⑵若四棱台43MB的体积为呼，求点A到平面“QQ的距离.

__7T

3.(2024・四川•模拟预测)如图，四棱锥S-48CD中，底面/BCD为菱形，ZDAB=-,侧

面ASCD是边长为4的正三角形，&4=2V10.

AyB

(1)证明：平面SCD_L平面4BCD；

(2)求点A到平面SBC的距离.

4.(2024高三•上海•专题练习)如图，在四棱锥尸-/BCD中，尸平面48cD,ABI/CD,

PA=AB=2CD=2,ZADC=90°,E,尸分别为48的中点.

DC

(1)求证：CE〃平面尸ND；

(2)求点B到平面PCF的距离.

题型二：利用向量法求点到平面的距离

1.(23-24高三上•山东日照•期中)如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为

底面直径，为底面圆。的内接正三角形，点£在母线PC上，且48=NE=3,CE=g.

(1)求证：平面平面

(2)若点M为线段尸。上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M

到平面/BE的距离.

2.(23-24高二上•山东济宁•期中)如图所示，正方体的棱长为3,动点M

在底面正方形CU8C内，且“与两个定点。，A的距离之比为g.

⑴求动点”的轨迹方程，并说明轨迹的形状;

(2)求动点M到平面O/C的距离的取值范围.

3.(2023•山东潍坊•三模)如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，/C为底面直径,

△48。为底面圆。的内接正三角形，且边长为百，点E在母线PC上，且/£=6,CE=\.

(2)求证：平面2£Z)_L平面A8Q

⑶若点”为线段尸。上的动点.当直线DM与平面Z8E所成角的正弦值最大时，求此时点

M到平面ABE的距离.

4.(23-24高三下•江苏连云港•阶段练习)如图，直四棱柱的底面为平行四

边形，”,"分别为/瓦。口的中点.

⑴证明：DM〃平面45N；

(2)若底面/BCD为矩形，AB=2AD=4,异面直线。”与-N所成角的余弦值为巫，求

5

。到平面48N的距离.

三、专项训练

1.(2024•青海•模拟预测)如图，在三棱锥尸-4BC中，平面尸48,E、尸分别为BC、

(1)证明：工平面取C.

(2)求C到平面/跖的距离.

2.(23-24高二下•上海金山•期中)如图，在三棱柱A8C-4BG中，底面48C是以“C为

斜边的等腰直角三角形，侧面44CC为菱形，点4在底面上的投影为/C的中点。，且

AB=2.

B

⑴求证：BD1CC1；

(2)求点C到侧面的距离.

3.(2024高三•全国•专题练习)如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48co为矩形，侧面

为正三角形，AD=2,AB=3,平面尸平面48CD,E为棱尸3上一点(不与尸，3重

合)，平面4DE交棱尸。于点F.

⑴求证：ADHEF■,

(2)若二面角E-AC-B的余弦值为,求点B到平面AEC的距离.

20

4.(23-24高二下•广东广州•期中)如图，三棱柱ZBC74G所有棱长均为2,ZC,CA^60°,

侧面NCG4与底面48c垂直，D、E分别是线段/C、C。的中点.

B

(1)求证：Afi1BE-

(2)若点F为棱3c上靠近用的三等分点，求点F到平面BDE的距离.

5.(2024•陕西铜川•二模)如图，在四棱锥E-48CD中.侧面底面4BCD,"BE为

等边三角形，四边形/BCD为正方形，且NB=2.

⑴若尸为CD的中点，证明：ABLEF；

(2)求点B到平面CDE的距离.

6.（2024•陕西•二模）在四棱锥尸-ZBCD中，

ABIICD,AB=2.,BC=CD=1,^ABCAPD=90,=PL,平面/尸。_L平面/BCD.

⑴证明：平面P48_L平面尸BD；

(2)求点C到平面PBD的距离.

7.（2024・全国•模拟预测）如图，在直四棱柱48co-44GA中，底面/3CZ）是直角梯形,

ABYBC,AD//BC,且AB=BC=BB、=2AD=2.

（1）求证：/d，平面45C；

⑵求点8到平面48的距离.

8.（2024•陕西西安•模拟预测）在长方体4BCD-4B|CQ|中，AD=^AB=\,E在线段。

上，且满足OE=EC.

⑴求证：平面防片，平面ZE%；

⑵若异面直线AD｛与DC,所成角的余弦值为平，求耳到平面AEDt的距离.

9.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)如图，在多面体/8COE中，A,B,E,。四点共

面，Z)/_L平面48C,AB=AC=2,DA=—,EB=C,BEIDE,b为3C的中点.

2

⑴求证：平面4DF_L平面2CE；

(2)求点E到平面ABC的距离.

10.(21-22高二上•北京•期中)在如图所示的几何体中，四边形/BCD为正方形，AF\\BE,

AFinABCD,^.AB=BE=2AF=2.

(1)求证：/C//平面。昉；

⑵求直线AC与平面CDE所成角的大小；

⑶求点A到平面CDE的距离.

点到平面的距离(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：等体积法求点到平面的距离......................2

题型二：利用向量法求点到平面的距离....................4

三、专项训练.............................................6

一、必备秘籍

1、等体积法求点到平面的距离

(1)当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从

而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法

(2)在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有

时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系(线面平行，

面面平行)转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平

行也可以变换顶点

2、利用向量法求点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为Z是平面戊内的定点，尸是平面a外一点.过点尸作平面

a的垂线/,交平面戊于点。，则［是直线/的方向向量，且点尸到平面a的距离就是不

—►—»nAP•nIAP•n\

在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=|NP•=1=|一」|=1-1

\n\\n\\n\

二、典型题型

题型一：等体积法求点到平面的距离

1.(23-24高三下•陕西西安•期中)如图，在圆台。。中，为轴截面，=4=4,

ZAtAB=60°,C为下底面圆周上一点，尸为下底面圆。内一点，4月垂直下底面圆。于点E,

ZCOF=ZEFO.

⑴求证：平面OQC〃平面4E尸；

(2)若为等边三角形，求点£到平面4。尸的距离.

【答案】⑴证明见解析；

(2)—.

5

【分析】(1)依题意可得EF//CO,即可得到EFH平面O0C,再由圆台的性质得到4E//QO,

即可得到/£〃平面QOC,从而得证；

(2)由心。=了”利用等体积法求出点£到平面AOF的距离.

【详解】(1)因为=所以EF//CO,

又平面O0C,COu平面QOC,所以EF〃平面O0C.

因为&E垂直下底面圆。于点E,。。垂直下底面圆。于点O,所以4E〃OQ,

又A[E(Z平面OtOC,Oflu平面OfiC,

故A.EH平面OQC.

又A、EcEF=E,A.E,斯u平面4跖，

所以平面Q。。〃平面同£尸.

(2)在等腰梯形44B3]中，易知/E=OE=1,所以4七=4£'121160。=3'.

所以乙一MO=；4上.邑MO=£x?xl2=­.

易知”=40=2，OF=1,所以S9=；xlx卜:：=手.

设点E到平面A.OF的距离为h,

因为^AX-EFO~*3，所以VE^OF=|x孚〃=:,

所以4=姮，即点E到平面4。尸的距离为姮.

55

2.(2024•陕西安康•模拟预测)如图，在四棱台MCD-4片中，底面四边形/BCD为

菱形，43。=60。,幺8=2/4=244，平面43CD.

(1)证明：BD1CQ；

(2)若四棱台ABCD-A^D,的体积为竺Y1,求点A到平面CCQQ的距离.

3

【答案】⑴证明见解析

(2)应

7

【分析】(1)由线面垂直的性质得到44J的，由菱形的性质得到/Cl3D,即可得到22〃

平面NCC4，即可得证；

(2)设/3=24<=24耳=2a(a>0),由棱台的体积公式求出。，取的中点连接

DXM.CM,即可得到AM,平面/BCD,再由匕一°即=七-⑺利用等体积法计算可得.

【详解】(I)在四棱台/3CD-4耳GA中，M，CG延长后必交于一点，故4C，G，4共

面,

因为441_L平面ABCD,8。u平面ABCD,

所以

连接/C，4G，因为底面四边形/BCD为菱形，故4OBD,

%c4C=/,四,4Cu平面/CG4,

所以8。1平面NCG4，

因为CGu平面NCC;4,所以BD/cq.

(2)设48=2/=24吕=2a(a>0),又/ABC=60°,

i

所z1以S4RCn=2S=2x—x2tzx2tzxsin60°=2co,

'/，ADI^UAA4BBDn2

SS

则AB]C]Dl=:ABCD=^-a，

=

所以ABCD-AXB{CXDXAXBXCXDXABCD,AXBXCXD})，4='

即32品2+3i+/2。1•*f4=与8,解得a=2,

\7

所以S“〃=gx4x4x等=46，贝U%-c"=LTs=gx4Gx2=孚，

取的中点M,连接A"、CM,

则A.DJ/AM且AXD}=AM,所以AXDXMA为平行四边形，所以AXAIIDXM,

又_L平面N8CD,所以平面/BCD,

又MCu平面/BCD,所以2M_LMC,

因为/BCD为菱形且N4BC=60。，所以△/DC为等边三角形，

22

所以CM=信-2?=26，DDI=^（4-2）+2=272,DtM=2,

所以Cp="+（26『=4,

所以邑S=:x2亚x殍同=26，

又‘A-CDDi=-ACD，

设点A到平面CGA。的距离为d,

所以+="四•凡皿，贝IJ；dx2V7=；x2x46,

解得4=迪1,即点A到平面CCQQ的距离为生旦.

77

__TT

3.(2024•四川•模拟预测)如图，四棱锥S-/3CD中，底面42。为菱形，ZDAB=-,侧

面ASCD是边长为4的正三角形，SA=2厢.

(1)证明：平面SCD_L平面/BCD；

(2)求点A到平面SBC的距离.

【答案】⑴证明见解析；

⑵孚

【分析】(])取CD中点£,通过证明即可由线线垂直证明线面垂直;

(2)根据八T8C=叱―结合ASBC的面积，即可由等体积法求得结果.

【详解】(1)证明：取CD中点E,连接SE,AE,BE,

兀

因为/B=BC=4,ZDAB=-

3

所以CE=2,ZBCD=,ZABE=^,故BE=SE=26,

又AE?=AB?+BE?=28,SA=2回,

所以“z=/后2+5£2,故NE_LSE,

因为N£u平面4BCD,CDu平面4BCD,AEcCD=E,

所以S£_L平面48c£>,又因为SEu平面SCD,

所以平面SCD1平面ABCD.

(2)由(1)知S£_L平面且SE=2V?,

在“3C中，AB=BC=4,

所以%Bc=：/8xBCxsinNNBC=；x4x4xsing=4VL

故VS-ABC=1xS^ABCxSE=；x4&x=8.

在△SBC中，SC=BC=4,SB=^SE2+BE2=276-

所以SB边上的高h=,呵=Vib.

所以$垓30=3义2新*厢=2而・

设点A到平面SBC的距离为d,

则叱-SBC=%TBC，即:XSASBCX4=8,解得"=生叵，

35

所以点/到平面SBC的距离为名叵■

5

4.（2024高三•上海•专题练习）如图，在四棱锥中，尸平面4BCD,AB//CD,

PA=AB=2CD=2,ZADC=90°,E,尸分别为的中点.

DC

（1）求证：CE7/平面尸4£（；

（2）求点8到平面PCF的距离.

【答案】（1）证明见解析

（2）宜1

5

【分析】（1）根据面面平行的性质定理，转化为证明平面CM//平面E/D,即可证明线

面平行；

（2）方法一，利用等体积转化七尸，即可求点3到平面PCF的距离；方法二，同

样利用等体积转化/依=VA-PFC1即可求解.

【详解】（1）证明连接E尸，

E

尸分别为的中点，二废7/P4,

:直线E尸不在平面尸ND内，P/u平面END,EF〃平面尸/。，

,/ABHCD,AB=2CD,：.AF//CD,且/尸=。。.

四边形ADCF为平行四边形，即CFHAD,

,：直线CF不在平面PAD内，4Du平面PAD，,CFH平面PAD,

斯门叱=尸,所,Wu平面EFC,

平面尸4。〃平面£FC,CEu平面EFC,则CE7/平面尸4D.

（2）方法1：设3到平面尸CF的距离为〃，

因为尸/_!_平面/BCD,所以尸

由于C/）〃4F,CD=AF,所以四边形4DCF是平行四边形，

由于24DC=90°,所以CFJ.4B,由于48cP/=u平面川5,

所以CF_L平面尸48,而P尸u平面尸48,则CF_1_尸尸，

由%-PCF=%-PBF得§XS-PCFxh=—XSAPBFxCF,

—BFxPAxCF力厂n,1cc£

即〃=So"XCF_2____________=BFXPA=lx2_2..

S“CE—CFxPFPF+2?-5

2

方法2：•.•N/OC=90。，AB//CD,AB1AD,CF1AB,

又尸/_L平面/BCD,.•.尸/_LCF,又尸/C|48=/,尸/,/Bu平面p/B,

CF_L平面尸N8,而尸尸u平面尸48,，C/_L尸尸.

x

设CF=x,则S/FC=/xlxx=5,S^PCF=—xV5xx=~~,

设点A到平面PCF的距离为〃,由VP_AFC=VA_PFC,

xh,

得」x±x2=14则T

—X

323

••・点/为"的中点，.・•点5到平面2的距离等于点A到平面尸CF的距离为亭.

题型二：利用向量法求点到平面的距离

1.（23-24高三上•山东日照•期中）如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AC为

底面直径，为底面圆。的内接正三角形，点£在母线PC上，且48=NE=3,CE=g.

（1）求证：平面平面

（2）若点M为线段尸。上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M

到平面/BE的距离.

【答案】（1）证明见解析

【分析】

（1）利用余弦定理与勾股定理推得尸C,再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性

质定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示得到关于4的表达式，从而求得彳的值,

进而利用点面距离公式即可得解.

【详解】（1）

如图，设/C交加）于点尸，连接EF,由圆锥的性质可知尸。，底面48。，

卜:J......

（：•===：：：：

因为/Cu平面所以尸O_L/C,

又因为△的是底面圆的内接正三角形，由力。=3,可得4尸=述，-^-=AC,

sin60°

解得4C=2A/^，乂4E=3,CE=出，

所以炉+蠹2,即乙4EC=90。，AELPC,

AJ7Q、W

所以在RtA^EC中，cosZ.EAC==——产=—，

AC2732

在尸中，由余弦定理：

27%巧巧n

EF2=AE2+AF2-2AE-AF-cosZEAF=9+——2.3-—•—=-）

4224

所以E尸=/£?，故EF_LAC.

因为P。，底面43。，尸Ou面RIC,所以平面RIC_1_平面23。，

又所u面必IC,NC=面尸/CPI面48。，EF1AC,故斯」面48。,

又斯u平面BE。，所以平面AED_L平面N8Z）；

（2）

易知PO=2好=3,以点尸为坐标原点，FA,FB,EE所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

、

所以句一呼可，3LIULU

AE==。。二（0,0,3）,

「升2DO，

ITT°7

-T-Z一3A/33

AB-n=-------xH——y=0

22

设平面的法向量为〃=（%,乃z）,则V

-3拒3

AE,n=-------xd——z=0

22

令x=l,贝!J〃=(1,0,6),

设丽=2而（04X41）,可得前=55+而=与打2,

ri-DM

设直线DM与平面4BE所成的角为。，则sin6»=}osG，丽^卜

n^DMV7XA/9A2+3

9万+122+41(12A+1

BPsin20==13+

7(3万+1)7322+l)'

12x+l

令y=XG[0,1],

3f+l'

X+U1

XH------

12x+l124

V=-----------=412,4

则3—+11-21~79

%2+-11

XH-----+---------1

3）12123X--------F

12X+li6

4

<=4

「49、

11

2XH------144

1216

XH------

12；

49

当且仅当x+g=144,即户；时，等号成立，

1

XH------

12

所以当V时,12x+l

有最大值4,

、

即当党1时，sm。的最大值为1,此时点”高V3,。,||,

27

所以M4=

所以点”到平面N3E的距离\MA-n\_叵,

«V714

故当直线DM与平面/BE所成角的正弦值最大时，点M到平面48E的距离为YU.

14

2.（23-24高二上•山东济宁•期中）如图所示，正方体CU3C-Oa耳G的棱长为3,动点M

A的距离之比为g.

⑴求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状;

(2)求动点M到平面O/C的距离的取值范围.

【答案】(1)见解析

c\4m-2屈/“2出

(2)----------------<d<----

33

【分析】

(1)建立平面直角坐标系根据平面上轨迹的求法求解；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求点面距离，再由三角代换求取值范围即可.

。4。。所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图,

四j7777_i

由画2,.(732

化简得x?+「+2x—3=0,

即(x+l『+「=4(0<x<l,0<y<V3),

故曲线C是以(-1,0)为圆心，2为半径的圆在正方形O/8C内一段圆弧9.

(2)以。为坐标原点，O4OC,OQ所在直线分别为尤J/轴建立平面直角坐标系，如图,

则4(3,0,0),C(0,3,0)，a(0,0,3),

所以就=(-3,3,0),AOt=(-3,0,3)，

设平面O/C的法向量五=(x//),

n-AC=-3x+3y=0

则—.,令X=l,贝Ijy=l,Z=l,故为=(1,1,1),

n-AOt=-3x+3z=0

由(1)可设M(a,6,0),其中(a+l『+62=4(O4“wi,ov64百),

则AM=(a-3,b,0),

设M到平面O/C的距离为d,

nI\n-AM\—

贝IJd=J------1|<23+|3—(a+b)

\n\

TT

由(1)可令。+I=2cos6,b=2sin。，其中

则Q+b=2cos9+2sin0-l=2\/"^si«6q)-1,

因为四(。+工《卫，所以正<sin(6+4]<l,

44122I4)

日口r~p-r-K,4,\/3—2^/63—(CI+b)2\/~3

BPl<t7+/?<2V2-b所以——-——<—:―-<——，

3V33

故的2父公空.

33

【点睛】关键点点睛：第二问中求圆弧上动点到平面距离范围时，首先利用向量法表示出动

点到面的距离是解题的第一个关键点，再根据圆的性质进行三角代换求距离的取值范围是第

二个关键点，本题难度较大，属于难题.

3.(2023•山东潍坊•三模)如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，4c为底面直径,

△4BD为底面圆。的内接正三角形，且边长为百，点E在母线PC上，且ZE=G，CE=\.

⑵求证：平面BED，平面

⑶若点M为线段尸。上的动点.当直线。河与平面/8E所成角的正弦值最大时，求此时点

M到平面43E的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(])设NC交8。于点尸，连接E尸，利用三角形相似证得£尸工/C,从而证得

PO//EF,进而证得直线POH平面BDE；

(2)通过尸。工平面ABZ>,证得E/1平面A8。，所以平面AED_L平面/5£(；

(3)建立空间直角坐标系，0M=XOP(0<A<1),通过向量力向和平面ABE的法向量建

立直线。M与平面/BE所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值.

【详解】(1)如图，设ZC交3。于点尸，连接E尸，由圆锥的性质可知尸0人底面N3。，

3

又因为△48。是底面圆的内接正三角形，由40=6，可得/尸=],

-^-=AC,解得ZC=2,

sin60

又AE=5CE=1,所以/。2=/片+尊2,即/NEC=90。，AE1PC,

又因为芷=苑=",所以“CESAQE,

ACAE2

所以/AFE=NAEC=9。。,即E/工/C,

又尸O,/C,EFu平面上4C,直线EV〃尸O,尸Ou平面犯£,斯u平面5DE,

所以直线尸平面瓦乃.

(2)因为尸。〃£尸,尸。_1_平面/瓦)，所以跖1平面力3D,

又EPu平面8即，所以平面2£7)_L平面/皿；

(3)易知PO=2EF=5以点尸为坐标原点，尸2,尸E所在直线分别为x轴，了轴，z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则彳1,0,0；B0,^~,0，D0,-

2JI

闫东。1♦3。间

所以次=AE=

22

设平面/BE的法向量为〃=(x,'z),

ABn=-。一》二0

22则£=(1,百,6卜

则V令％=1,

~AE-n=-z=0

22

T^OM=2OP(0<A<1),=DO+OM=⑨I

设直线。M与平面/BE所成的角为。,

ri-DM\|3A+2|

则sin6=cos(〃

n\\DM\V7xV32*2+1

.922+122+41<122+1)

即sin-2f/i1>==yl3+322+lJ，

人12x+l

[0』,

则

(u

12x+lX+124

249

3x+lx2+l

4十”L

6

<=4

当且仅当x=:时，等号成立，所以当x=:时，v=f富有最大值4,

223x+1

即当"［时'SI"的最大值为L止匕时点"；,。,T

所以南=1,0,-手,

I2,

所以点M到平面/3E的距离而』_、1，°，一三］（1，"，百）一疗，

心〒二布F

故当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，点M到平面ABE的距离为也.

14

4.（23-24高三下•江苏连云港•阶段练习）如图，直四棱柱NBCD-451GA的底面为平行四

边形，加；"分别为么瓦。2的中点.

（1）证明：ZW//平面43N；

（2）若底面/BCD为矩形，AB=2AD=4,异面直线DM与&N所成角的余弦值为巫，求

5

。到平面4BN的距离.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量的夹角得异面直线所成的角求得“4的长,

然后由空间向量法求点面距.

【详解】（1）连接/耳，交于点£,连接NE,ME,

则E为的中点,

因为M为48的中点，所以腔//月4，且

因为N为。A的中点，所以DN//AA1,DN=；A4,

所以MEUDN,SLME=DN,

所以四边形EMDN为平行四边形，

所以EN//DM,

又因为DM<z平面&BN,ENu平面AtBN,

所以。M//平面4BN；

(2)由题意(1)及几何知识得，

在直四棱柱ABCD—48c中，AB=2AD=4,

然,3,阳两两垂直，以/为坐标原点，分别以居,3,阴所在直线为x轴、了轴、z轴建立如

图所示的空间直角坐标系.

设/4=29>0),

则8(4,0,0),。(0,2,0),4(O,O,Q),M(2,O,O),N(O,2J),4(4,02),

故加=(2,-2,0),旃=(0,2,-?),

设异面直线DM与4N所成角为。,

।-----------.1|-4|J2J10

贝I]cos0=cosDM,=I1____-II___.=I/=—

可,4M^22+(-2)2-^22+(-/)2"+"5

解得：1=1,

故4(0,0,2),N(0,2,l),Z>(0,2,0)

则需=(4,0,-2),AjV=(0,2,-1),BD=(-4,2,0)

设平面4氏¥的一个法向量为行=(x,y,z),

。到平面48N的距离为d,

A{B-n=Q,4x—2z=0,

所以<即2y-z=0,取z=2得加=(1,1,2).

4?V-M=0,

|-4xl+lx2+0x2|_巫

所以d=

|«|jF+0+223

即B［到平面&BN的距离为逅

3

三、专项训练

1.（2024・青海•模拟预测）如图，在三棱锥尸-4BC中，平面P4B,E、尸分别为3C、

尸C的中点，且尸/=/C=2,AB=\,EF=旦.

P

⑵求C到平面/跖的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵如

3

【分析】（1）先利用勾股定理得出“8,尸再利用/C，平面尸证最后

根据线面垂直的判定定理即可证明/平面HC；'

（2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可.

【详解】（1）因为E、F分别为8。、PC的中点，所以E尸为APBC的中位线，

所以PBHEF,PB=2EF,因为EF=旦,所以尸3=6；

2

在AP/B中,PA=2,AB=1,PB=45,所以尸片+4B?=PB2，

所以/尸48=90。，即/3，尸/；

因为ZC_L平面P/8,NBu平面P/8,所以481ZC；

又尸/u平面R4C,/Cu平面R4C,PAP\AC=A,所以481平面R4C.

(2)

由（1）可知48、AC./P两两垂直，

建立如图所示分别以/B、AC,”为x、V、z轴的空间直角坐标系,

^（0,0,0）,„1，0；尸（0,1,1），c（0,2,0）,

AC=（0,2,0）,左=&,1,0；AF=（0,1,1）,

/、（AE-n=0

设平面NEF的法向量为万=（尤i，%zj,则有一，

AF-n=0

,2%+必°,令弘=],则再=-2,z；=-1,所以元=（一2,1,-1）,

即《

ji+Z]=0

困可2

设C到平面NEF的距离为d,则〃=

\n\V6

2.（23-24高二下•上海金山•期中）如图，在三棱柱NBC-44G中，底面是以NC为

斜边的等腰直角三角形，侧面44CC为菱形，点4在底面上的投影为NC的中点。，且

AB=2.

（1）求证：BD±CC；；

（2）求点C到侧面的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵出

【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）由点4在底面上的投影为/C的中点。，知4。，平面A8C,

又2Z）u平面N8C,，/。，月。，

・••A/8C是以/C为斜边的等腰直角三角形，.一CLBD,

VAtDcAC=D,AXD,ACu平面ACCXAX,,-.BD1平面ACC,A,,

•••CC]u平面/CG4,BD±cq.

（2）AXD±AC,Z）是/C中点，侧面44cle是菱形，.〔4。=//=4C,

•・・△ABC是以4C为斜边的等腰直角三角形，AB=2,

:.DB=DA=DC=6,DA[=&,

由（1）知直线DB,DC,两两垂直,

...以。为坐标原点，DB,DC,所在直线分别为无轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

则0（0,0,0）,/（0,一屈0）,8（e0,0）c@&o）4a0,£）

则为=（行,后,0）,瑟二（0,母,而），就二（0,2拒,0）,

设平面N44B的一个法向量为元=（x,y,Z）,

n-AB=V2x+Jly=0

则取z=l,得万=（△「6』）

n-44]=~j2y+Vfe=0

|4C•万|2\/62742

点C到平面AAXB}B的距离为：d==举=舍.

L4C|-|»777

3.（2024高三•全国•专题练习）如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面/BCD为矩形，侧面尸4D

为正三角形，AD=2,AB=3,平面尸/O_L平面4BCD,£为棱尸3上一点（不与尸，8重

合），平面交棱PC于点尸.

p

(2)若二面角E-4C-B的余弦值为反羽，求点B到平面AEC的距离.

20

【答案】⑴证明见解析

而

10

【分析】(1)由线面平行的性质定理证明线线平行；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角确定E点位置，再由空间向

量法求点面距.

【详解】⑴证明：因为四边形N8CD为矩形，所以/。//5c.

又平面P8C,BCu平面PBC,

所以/£>//平面P3C.

又平面PBCC平面AEFD=EF,