高考数学总复习《最值与范围问题》专项测试卷及答案

高考数学总复习《最值与范围问题》专项测试卷及答案

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重难题型<‘全线突破题型探究-提能力

题型7最值问题

典例1）已知直线无―2》+1=0与抛物线C:产=2/3。）交于A,B两点，lAgrNU

可直接应用弦长公式求出p=2.

⑴求P；

（2）设E为C的焦点，M,N为C上两点，且就.前=0,求面积的最小值.

x—2y+1=0,

解：⑴联立,■

[y-=2px,

消去y并整理得N+（2—8p）x+1=0,

由（2—802—4>0得p>3,

设A（X1,M）,3（尤2,72）,则Xl+X2=80—2,X1X2=1,

11

+-

所以|AB|=4-4

解得。=2（负值舍去）.

（2）由题知，直线的斜率不为0,设直线项的方程为尤=然丫±6,由（1）知，抛物线

C的方程

第一步：设的方程.

伏不存在时，

【易错提醒】若设MN:y=kx+b,需讨论M-

〔左存在时.

x=my-\-b9

为/2=4工，联立<消去x并整理得y一4。=0,A=16m2+16Z?>0,

y=4x,

22

设M（尤3,券），N（X4,J4）,则>3+>4=4祇，y3y4=-4b,所以X3+x4=4m+2b,X3X4=mj3y4

+mb（yj,+74）+b2=b2.

因为抛物线/=4x的焦点为网1,0）,

所以品=（X3-1,>3）,前=（X4-1,»4）,

所以或同=（%3—1）•（尤4-1）+>3y4=

X3X4—（X3+X4）+^4+1=0,

所以尤二4退一2二2白二42土1q土

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左-6b+1

所以占此时4=43—1)2.若/>0,则厚1,

所以尻-6b+G0,解得后3-2陋或尼3+2地,

[l-b[

设点F到直线MV的距离为4则4=…，

"A71+m2

第三步：求出点F到直线MN的距离d及弦长|MN|.

=1+m2N16;〃2+16b=21+m2-\b—l\,

所以鼠飒三初业曰二1匕

第四步：表示SAMFN,然后研究最小值.

所以当6=3-2也时，△MFN的面积取得最小值(3-2w-1)2=12—8W.

圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来

解决，这就是几何法.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函

数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单

调性法等.

对点练1(2024.广东韶关模拟)已知椭圆C:£+5=1的左、右顶点分别为A,B,点

。(不在x轴上)为直线x=6上一点，直线AD交曲线C于另一点P.

(1)证明：PBLBD-,

(2)设直线8。交曲线C于另一点。，若圆0(0是坐标原点)与直线尸。相切，求该圆半

径的最大值.

⑴证明:2,0),8(2,0),设尸(的,州),

•.•人=条，直线短的方程为尸武齐+2),

.xo+22yo又:丘=黄^'且学+"1，

令x=6,得。6kBD==

"6-2x0+2,

2yo.yo2应=_]

kBD,kBP=：.PB±BD,

xo+2%o—2—4

(2)解：当直线尸。不垂直x轴时，设直线PQ方程为>=履+机，P(xi,yi),e(x2,m)

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x2+2y2=4,

由方程组J得(1+2R)N+4切a+2加2—4=0,

y=kx-\-my

A=(4加©2-4(1+2R)(2m2—4)>0,

4女2+2>m2,

-4km2m2—4

Xl+X2=]+2乃'xe=1+2烂'

ViV?

由(1)可知，kBD'kBP=-1,_*_=-1,X\-X2-2(X1+X2)+J1J2+4=0,

X1ZX29/

又yrj2=(Axi+m)(kx2+m)=J^xyX2+km(x\+xi)+m2,代入上式得

(1+^2)%I-X2+(km—2)(xi+x2)+m2+4=0,

2m2—21+^2km—24km

即i।z-—,,_-+m2+4=0,得至!|3m2+8m^+4^2=0,

1+2H1+2Hz9

2

m=-g左或m=-2%(舍去)，

二直线P。的方程为y=(x—|)恒过点《|,o),当尸。垂直x轴时，同样成立.

22

设点O到直线PQ的距离为d,则把OS=?.•.半径的最大值为5

题型范围问题

典例2已知椭圆C::+方=1(。泌>0)的离心率为芋，椭圆C与y轴交于A,3两点，

且|4B|=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线朋，尸8与直线x=4分

别交于M,N两点.若以为直径的圆与x轴交于E,尸两点,求点尸横坐标的取值范围

及医尸|的最大值.

圆中的弦长问题，注意半径、半弦、弦心距构成的直角三角形的应用.

解:⑴由题意,得b=l,e=a=~^f

—13

所以丁=不解得〃=4.

所以椭圆C的标准方程为会+产=1

(2)方法一：设点尸的坐标为(犹，jo)(O<xo<2),点A的坐标为(0,1),点8的坐标为(0,一

1).

Vo—1

所以如=^—,

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Vo—1

直线PA的方程为y=--x+1.

AO

yo+1

同理可得，直线依的方程为y=^—x—l.

直线PA与直线x=4的交点为《4,出『+1),直线PB与直线x=4的交点为

因为线段MN的中点坐标为(4,野),

“---"-V—及/——k―XQJ.

由圆的直径MN的端点M,N的坐标可写出圆的标准方程.

令y=O,得(L4)2+-^-=

因为x牛W+说=1,所以-1-1=/1

Q

所以。-4)2+T-5=0.

Q

因为这个圆与X轴相交，所以该方程有两个不同的实数解,(x-4)2=5-->0.

AQ

O/g

所以5—鼠>0,解得2.

设交点坐标分别为Q1.0),(X20),

则|EF|=|XI-X2|=2^5-^(J<XO<2^.

所以该圆被x轴截得的弦长|EE|的最大值为2.

方法二：设点P的坐标为(沏，yo)(O<xo<2),点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,-1).

一"一]

所以如=%1，

Vo—1

直线PA的方程为y=——x+1,

AO

yo+1

同理可得，直线依的方程为y=^—%一1.

直线PA与直线A=4的交点为M14,出『+1)，直线PB与直线x=4的交点为

X0)

若以幽为直径的圆与工触II交总则地口+1X包里_1<0

-----一&__|吐XQ-J

由于M,N在直线x=4上，贝iJyM'NVO.

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16y§—14yo_14yo+1

即一^_-KO,

即b16y+§'-1l8＜。•_①

x?ty8—11

因为彳+说=1,所以=一不②

O/Q'

②代入①得5一尸0,解得xoG不2

•A-0.

该圆的直径为曳F+i-j塾里一i

XoL%0

圆心到X轴的距离为3~~+1+4-vo+1-1=管

NXoLXoJ%0

该圆在X轴上截得的弦长为

\EF\=2如“2).利用直角三角形解决圆中的弦长问

题.

所以该圆被x轴截得的弦长|EP|的最大值为2.

方法三：设点P的坐标为(期，yo)(O<xoW2),点A的坐标为(0』)，点B的坐标为(0,-1).

/州-1

所以kpA=——,

yo—1

直线PA的方程为)；=-—x+1,

yo+1

X-1.

同理可得，直线尸8的方程为>=X0

直线PA与直线x=4的交点为肥，七1+1y直线PB与直线x=4的交点为

皿_]

心,X0)

圆心到X轴的距离为g与，+1+产°+1_1]|=答

，xoLxoJI%0

I黑黑

圆心到X轴的距离〈半径QlMNl)

xfiy§-11

因为W+M=l，所以一正一=一不②

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O/Q'

②代入①得5一尸0,解得xoG不2

•A-0.

该圆在X轴上截得的弦长为

所以该圆被X轴截得的弦长ER的最大值为2.

方法四：设直线0P与直线x=4交于点T.

因为MN〃y轴，

“、一APAQOPBPBOOP

771匕sRPJ^—Tlyl'—PT*—PN“—TN,—PT'

平行线分线段成比例定理.

所以笠=赛，TN=TM,即T是MN的中点.

又设点尸的坐标为(xo,yo)(O<xo<2),则直线。尸的方程为>=岁.

40

令x=4,得>=普，所以点T的坐标为。，普).而厂=0=?—1,

若以MN为直径的圆与x轴相交于点E,F,则归|誓<厂=.一1,

I迎人0

圆心T(4,空)到x轴的距离为|普.

即16y8<(xo-4)2.

因为呼+网=1，所以

所以5焉—8x0>0,解得xo>,或x0<0.

Q

因为O<xoS2,所以m<xoW2,

所以该圆被x轴截得的弦长|£日的最大值为2.

I解题感悟I

圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

⑴利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间

的等量关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数

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的取值范围.

：2

对点练2(2024・湖北十堰模拟)已知抛物线Cix=y,C2:尤2=一力点/(尤0,州)在C2

上，且不与坐标原点。重合，过点M作Ci的两条切线，切点分别为A,B.记直线MA,

MB,MO的斜率分别为左1,k2,k.

(1)当X0=l时,求—+左2的值;

(2)当点M在C2上运动时，求*的取值范围.

解：(1)因为必=1,所以yo=-L

设过点M并与