高考数学复习突破训练：导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（解析版）

第11讲导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问

题

【知识点总结】

一、证明不等式常用的方法和思路

作差构造函数，转化为最值问题

二、不等式恒成立问题常用的方法和思路

(1)直接法

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

三、零点问题常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后

数形结合求解.

【典型例题】

例1.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(x)=(x2-2x)e，+aex-e21nx,其中e为自然对

数的底数，曲线V=了(力在(2)(2))处切线的倾斜角的正切值为|/+2e.

(1)求。的值；

(2)证明：/(%)>0.

【详解】

2

解：(1)因为/(%)=(Y-2%)e'+aex—/lnx,所以广(工)=卜之一2)/——,

/'(2)=+=+2e,解得a=2.

(2)由(1)可得=—2x)e"+2ex-e21nx

即证/(%)=(必—2xjex+2ex—e2Inx>0o(x—2)ex-1+—>.

令g(x)=(x-2"2+；g<x)=(x_l)eL2,于是g(无)在(0,1)上是减函数，在。收)上

是增函数，所以g(x)2g⑴=,(无=1取等号).

e

又令可k=处，则"(X)=匕坐，于是/i(x)在(0,e)上是增函数,在(e,—)上是减函数，

XX

所以Mx)4/7(e)=1(x=e时取等号).

所以g(x)>〃(x)，KP/(x)>0.

例2.(2022•全国•高三专题练习)已知关于x的函数〃元)=依-瓦-(l+ln2).

(1)讨论〃力的单调性；

(2)证明：当“wN*时，In(lx2x3x…x〃)<〃2一〃ln2.

【详解】

(1)由/(x)=ox-lnx-(l+ln2)得尸(x)=a--(x>0)

知当“MO时((x)<0n〃x)在(0,+动上单调递减

当a>0时，、ax-\

・•・当X>!时/(x)>o"(x)在仕,+8)上单调递增,

a)

当。〈龙<工时尸(x)<0,“X)在I0,-|上单调递减.

a\a)

(2)由⑴知”2时在上单调递减，在上单调递增,

/(x)>/l|Uo,即有lnx42A：—l—ln2(%>0),

/.Inl<2-l-ln2=l-ln2,

In2<4-l-ln2=3-ln2

In3<6-l-ln2=5-ln2

lnn<2n—l-ln2

以上相力口:Ini+ln2+ln3+.......+Inn<(l+3+5+.・,+(2〃-1))—nln2,

In(lx2x3x---xn)<zt2-/tln2.

例3.(2022•浙江•高三专题练习)已知函数〃x)=x3+2V+尤+2.

(1)求函数“X)的极值；

(2)若对任意的xe-1,1都有f(x)<c成立，求c的取值范围.

【详解】

(1)因为〃x)=V+2x?+x+2,所以=+4x+l,.

令/'(同=0,解得x=—;或x=-l,

当/''(x)〉。，即或X<—1；当((x)<0,即.

33

故〃力的单调递增区间为和,5+”!，单调递减区间为，1,-；

所以，%=-1时,“X)有极大值〃-1)=2,.

当』;时，〃x)有极小值(jw.

(2)由⑴知〃x)在卜上单调递减，在上单调递增，.

又di,『ax，.

1

所以内-p时，〃x)1mx=6,.

2

因为对任意的xe-1,1都有〃x)<c成立，所以c>6.

例4.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=e'—ar—1.

(1)当。=2时，求曲线在(1,/。))处的切线方程；

(2)若g(x)=/(x)-尤2,且g(x)在[0,y)上的最小值为0,求。的取值范围.

【详解】

解：(1)当a=2时，f(x)=ex—2x—l,f(1)=e—3

Af'(x)=ex-2,r(l)=e-2,

•••切线方程为y-(e—3)=(e—2)(xT),

即(e-2)x-y-l=0

(2)Vg(0)=/(0)-0=0)

...原条件等价于：在(。,+8)上，gG)=，—f一6一120恒成立.

pX—Y2―]

化为aw，'

X

令心)

则〃⑺=尤(，2同一!/一无2—1)=(尤T(e；"l)

令机(X)=/-X-1,贝U加(％)=/-1

在(0,+力)上，m(x)>0,

・••在(0,+8)上，ex—x—l>0

故在(0,1)上，〃(x)<o；在(1,+8)上，//(x)>0

，的最小值为/z(l)=e-2,/.a<e-2

例5.(2021•北京市第八中学怡海分校高三阶段练习)已知函数/(X)=X3+3X2-9X+〃7

(me7?)

(1)求“X)在(1，〃1))处的切线方程；

(2)当有3个零点时，求加的取值范围.

【详解】

(1)/(l)=m-5,切点为(l,〃z—5).

/,(X)=3X2+6X-9,后=/(1)=0,

所以切线方程为：y=m-5.

(2)/,(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-l),

令/'(x)=0,解得无1=一3,x2=1.

XW(YO,-3),/,(x)>0,为增函数，

xe(-3,l),/,(x)<0,为减函数，

xe(l,+oo),/(x)>0,f(x)为增函数,

所以的极大值为〃-3)=27+帆，极小值为〃=

/、f27+m>0

因为〃尤)有3个零点时，所以加_5<0，解得一27<7”<5.

例6.(2021•黑龙江・牡丹江市第三高级中学高三阶段练习(理))已知函数

/(x)=ax+lnx(aeR).

(1)若4=2,求曲线y=/(x)在X=1处切线的方程；

(2)求/(x)的单调区间；

(3)设g(x)=d-2x+2,若对任意匹((0,+oo),均存在使得,

求。的取值范围.

【详解】

(1)由已知((x)=2+,(x>0),

X

/(1)=2+1=3,/(1)=2

曲线，=/(》)在尤=1处切线方程为y-2=3(x-l),即3x—y—l=0.

(2)r(x)=a+^=无>0).

XX

①当a20时，由于x>0,故ax+l>0,>0

所以，/⑴的单调递增区间为(0,+s),无单调递减区间.

②当。<0时，由尸。)=。，得X=-L

a

在区间(0,-上1)上,/V)>0,在区间(——1,+8)上广。)<0,

aa

所以，函数f(x)的单调递增区间为(。,-3,单调递减区间为(-L+8).

aa

(3)由已知,转化为FOOmax〈gOOmax,gCOmax=2

由(2)知，当“20时，/(X)在(0,+8)上单调递增，值域为R,故不符合题意.

(或者举出反例：存在//)=碇3+3>2,故不符合题意.)

11

当a<0时，/(九)在(0,)上单调递增，在(,+°°)上单调递减,

aa

故F(X)的极大值即为最大值，/(--)=-1+ln(—)=-1-In(-fl),

a-a

所以2>-l-ln(-“)，

解得av--.

e

例7.(2020.四川省内江市第六中学高三阶段练习(理))已知awR,函数

/(尤)=+g(a-2)x?+。,g(x)=2alnx.

(1)若曲线>=/(力与曲线y=g(x)在它们的交点(l,c)处的切线互相垂直，求。,6的值;

(2)设P(x)=/'(x)-g(尤)，若对任意的占,%«0,收),且国/%,都有

F(jq)-F(x2)>a(^-x,),求。的取值范围.

【详解】

(1)•."'(x)=gx2+(a-2)x,;./''⑴=。-3，：8'(尤)=彳，，811)=2。,依题意有

117

尸(1)=一1,且/(l)=g(l),可得｛，解得。=1/=§,或。=5/=五

(2)/⑺=^/+但/卜/.也厂不妨设占卜，*%)—*%)”^-马),

等价于/(龙2)2>/(西)-以1.设G(x)=P(尤)-改,则对任意的西，当e(0,+oo),且无产马,

都有等价于G(x)=/(x)一如在(°，+8)上是增函数•

G(x)=!无2-2aInx-2x,可得G'(x)=x—四一2=厂f"，依题意有，对任意x>0,

2xx

_2]

有好一2x—2a20恒成立.由2。4元2一2了=(尤-1)-1,可得

【技能提升训练】

1.(2021•西藏・拉萨中学高三阶段练习(文))己知函数〃x)=x+6—alnx在x=l处的极

值为2,其中a>0.

(1)求。，6的值；

(2)对任意的xe[l,+co),证明恒有v/-2x+l.

【答案】(1)a=l,b=l.(2)证明见详解.

【分析】

(1)先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.

(2)由于礼2-〃切-x2+2x-l=-2x2+3x+xlnx_l,要证不等式成立，转化为求解

g(0=-+3x+xlnX-1在x21时的最值，结合导数分析函数性质即可求解.

【详解】

(1)(红)=1-幺，

X

⑴

由题意可得717(1)==lj+b==2。,

解得。=1,6=1.

(2)x[2—/(%)]—炉+2x—1=—2x2+3x+xlnx—1,

令g(x)=—2%2+3%+xlnx-l,%>1,

贝！Jg'(x)=-4x+lnx+4,

令〃(x)=-4%+lnx+4,贝ij7i(x)=—4+，<0,恒成立，

x

所以在口,+8)上单调递减且g”)=0,

所以兄21时，g(x)<g(l)=。，

所以冗[2—〃切4炉—2x+l,即证.

2.(2021・新疆师范大学附属中学高三阶段练习(理))已知函数/(尤)=詈，

g(尤)=w-£,曲线y=〃x)与曲线y=g(x)在x=i处的切线互相平行.

(1)求。的值;

(2)求证：“力2g(尤)在(0,+8)上恒成立.

【答案】(1)a=l；(2)证明见解析.

【分析】

(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解;

(2)转化为证〃x)-g(x)20,构造函数，结合导数分析函数的性质，可证.

【详解】

解:⑴因为，(小詈，g(上看/

X+11

--------Inx—2a

所以r")=Y,g，3=^717+/

(尤+1)2

由题意得八l)=g'(l),

所以品〃一.解得"1;

证明(2)〃龙)-8(尤)=吟一告+:=x\nx-x+l

人i-L人"IA人x(x+l)

令〃(力=%1口%-％+1,x>0,

贝[J/zr(x)=lnx,

当xe(l,+co)时，/i,(x)>0,无⑺单调递增,当xe(O,l)时，//(x)<0,力(无)单调递减,

故当x=l时,可力取得最小值〃。)=0,

所以力(力20,

故"X)-g(x)20,

所以f(x)Zg(x).

3.(2021,全国•高三专题练习(理))已知函数/⑶=lnx+--ax.

(1)若函数f(x)在定义域内为增函数，求实数”的取值范围；

(2)若<7=0且xe(0,l),求证：尤-口+V-/(*)]<(l+x-d).".

【答案】(1)(-OO,272];(2)证明见解析.

【分析】

(1)函数〃x)在定义域内为增函数，则/'。)20恒成立，分离参变量，利用基本不等式

得出最值，可得实数〃的取值范围；

3x

(2)要证『口+V-/(x)]<(1+x-尤3).",即证：x-(1-Inx)<(1+x-X)-ef构造

g(x)=B(l-lnx),/i(x)=(l+x-x3)-e\分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命

题成立.

【详解】

(1)函数/(X)的定义域为(0，+⑹，f'(x)=-+2x-a,又F(X)在定义域内为增函数，

X

则/'(X)NO恒成立，即。41+2尤恒成立，即。4d+2XU，

XX

又当尤>0时，-+2x>242,当且仅当关=也时等号成立，/，

即实数，的取值范围是；

(2)*.,a=0,则/(x)=lnx+尤z,要证x-U+f-/(x)]<(l+x-x'Ae”,

即证：x-(l-lnx)<(1+尤-/>靖，

设g(x)=x-(l-lnx),其中xw(0,l),贝I]g<x)=—Inx,当xe(0,1)时g，(x)>0,

故g(x)在(0,1)为增函数，；.g(x)<g(l)=1,

设〃(无)=(1+彳-尤3).",其中xe(0,l),

则当0<x<l时x>x，1+x—x3>1,又l<e"<e，二"(无)>1,

贝I]g(x)<1</i(x),；.『(1一111尤)<(1+X-了3)./恒成立，即原不等式成立.

4.(2021•全国•高三阶段练习(文))已知/(x)=lnx+ax,aGR.

(I)讨论”x)的单调性；

(II)若。<T,证明:

【答案】(I)答案见解析；(n)证明见解析.

【分析】

(I)分。20,〃<0进行讨论，再利用导数研究函数的单调性即可求解；

(II)由“<-1结合(I)可得/(x)max=ln，J+a，£|=-ln(-a)-l,构造新函数，利

用导数研究函数的单调性即可得证.

【详解】

(I)由题可知尤>0,/(x)=—+a.

X

当“20时，/'(%)>。恒成立，.•・函数/⑴在(0,+8)上单调递增；

11

当avO时，令/'(%)=—Fa=0,解得％=—.

xa

当0<x<」时，.•"(无)在(0,二]上单调递增；

当x>二时，八尤)<0,.•.函数/(X)在jL+s]上单调递减.

a\a)

综上可知，当时，函数/（X）在（。,+8）上单调递增；当a<0时，函数f（x）在［。，-:）上

单调递增，在上单调递减.

（II）证明：若“<-1,则由（I）可知，/（工）在了=-工处取得极大值,

a

f(x)

令g(%)=-ln%-l.vx>0,=<0,

x

函数g（%）在（。,+8）上单调递减.

又...一a>l,，/(尤)1mx=——1=-1,

fM<-1.

【点睛】

关键点点睛：第问的关键点是：通过构造函数证得

（H）Ax）1mx<-1.

5.（2021・宁夏•青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数/（尤）=依Tnx（°是常

数）.

（1）当a=2时，求A©的单调区间与极值；

（2）若Vx>0J（x）>0,求a的取值范围；

【答案】

（1）在上单调递增，在（0，；］上单调递减，极小值是l+ln2,无极大值

⑵

【分析】

（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）参变分离可得<4,令g（x）=U"，利用导数求出函数的最大值，即可得解;

\%/max%

(1)

解:当［=2时，f（x）=2x-］nx,定义域为（。,+8）,

f（%）—2—,

xx

令/'（x）>0,解得x>L,令/'（x）<0,解得0（尤<_L,

22

所以函数/（x）在］:,+8）上单调递增，在上单调递减,

所以/(X)的极小值是/gj=l+ln2,无极大值.

(2)

解：因为Vx>0J(x)>0,即<a.

设g(x)=也，可得/(元)=心。

XX

当0cx<e时g'(x)>0,当x>e时g'(x)<0,

所以g(元)在(0©上单调递增，在(e,+s)上单调递减，

所以g(x)max=g(e)=L所以a>，，即“e化+81.

ee\e)

o

6.(2021・福建・莆田第二十五中学高三阶段练习)已知函数〃力=丁+/+区+。在彳=-1

与x=l处都取得极值.

(1)求。，b的值；

(2)若对任意xe[-1,2],不等式/(X)〈，恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】(1)0=-：,b=-2；(2)(F,-l)U(2,y).

【分析】

(1)对f(x)求导，根据极值点列方程组求参数即可.

(2)由(1)有了'(x)=(3x+2)(x-l),进而判断〃x)的单调性并确定最值，结合不等式

恒成立求参数范围.

【详解】

(1)由题设，f\x)=3x2+2ax+b,又《一。/刎&=0,1(l)=3+2a+b=0,解

得〃=--,b=—2.

2

(2)由⑴，知/(X)=d—2%+c,gp=3x2—x—2=(3x+2)(x—1),

当％目-1,2]时，f^x),/(%)随”的变化情况如下表:

I_2

a11(1,2

X口-：一§H,

+0-0+

x极大极小递

/()递增递减

值值增

在T-劣上单调递增，在上单调递减，在(1,2］上单调递增,

7(2\22

..•当X=时，/=旨+C为极大值，又『(2)=2+C,则/(2)=2+c为/(尤)在[-1,2]

上的最大值，

要使对任意x«T,2］恒成立，则只需C2>/(2)=2+C,解得C<—1或C>2,

•••实数c的取值范围为(f,-l)U(2,心).

7.(2021.全国•高三阶段练习(文))已知函数+(］_q)x_inx.

(1)当a=-2时，求函数的单调区间；

(2)当时，证明：彳>1时，当〃x)>(l-a)x+J-l+ga恒成立.

【答案】(1)单调递增区间为g，l),单调递减区间为［o,g］,(1,+?)；(2)证明见解析.

【分析】

(1)利用导数研究“X)的单调性即可.

(2)由分析法：只需证5a(尤?—1)-Inx---F1>0即可，构造=—^x2—-Inx---nl,

利用导数证明g(x)>o结论得证.

【详解】

(1)函数4％)的定义域为(0,+?),当°=一2时，/(x)=-x2+3x-lnx,

：.f'(x)=-2x+3--=,(2x-1)(-y-1),go),

XX

.♦.当0<尤<：或X>1时，/^x)<0,“X)在(1,+?)单调递减,

当;〈尤<1时，在/,1］单调递增.

故“X)的单调递增区间为gj，单调递减区间为(L+?).

(2)要证无)>(1—----1H—a,只需证一a(尤2—1)—Inx---1-1>0,

x22'，x

.,«>1,%2一1>。，

-1)—Inx--+1,

x2)x

设g（无）=;（尤2_i）_1nx—1+i,贝!]g，（尤）=彳_：+《=（x+i）（,I+]>]>0,

2元XXX"

.•.g（x）在（L+?）单调递增，g（x）>g（l）=o,

/（无）>（1—O）XH--1H—a,得证.

x2

8.（2019•山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知f（x）=4-lnx.

（1）求的单调区间；

（2）若存在x使，（无）<〃?成立，求实数小的取值范围.

【答案】（1）“X）的递减区间为（。，4）,递增区间为（4,一）；（2）心2—ln4.

【分析】

（1）求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.

（2）根据存在性问题转化为求机>/（幻的,结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可.

【详解】

解：（1）Vf（x）=\fx-lnx,x>0

•___1-4X-2

.•八卜26x一2x-

则当五-2>0,即x>4时，/。）>0；

当石-2<0,即0cx<4时，尸（%）<。，

•••的递减区间为（0,4）,递增区间为（4,^0）.

（2）若存在了使〃x）（加成立,则加〉〃彳心,

由⑴可知/（xLrHbZ-lna

m>2-ln4.

【点睛】

本题主要考查函数单调性的应用，结合函数单调性，最值和导数之间的关系进行转化是解

决本题的关键.

9.（2021・陕西礼泉•高三开学考试（文））已知函数/（无）=!丁一：62一2武。€0在x=2处

取得极值.

（1）求Ax）在[-2,1]上的最小值；

（2）若函数g（尤）=/（x）+，SeR）有且只有一个零点，求b的取值范围.

【答案】

⑵〔f飞刈丁，+，

【分析】

(1)首先求出函数的导函数，依题意可得1(2)=0,即可求出参数。的值，即可求出函

数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值;

(2)依题意-6=-gf-2x(beR)有唯一解，即函数>=-匕与y=/(x)只有1个交点，

由(1)可得函数/(x)的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；

(1)

解：因为/(x)=：尤3-g依2-2x(。eR),所以/'(x)=/-办-2,

・・•/(X)在x=2处取得极值，.•"'(2)=0,即22—2a—2=0解得a=l,

:.f(x)=^x3-^x2-2x,所以尸(幻=尤2_彳_2=(苫+1)。_2),所以当x<-L或x>2时

广(尤)>0,当一l<x<2时/(无)<0,

fkx)在［-2,-1)上单调递增，在(-1,1］上单调递减，

121,113

X/(-2)=-X(-2)3--X(-2)92-2x(-2)=--,/(l)=-xl3--xl92-2xl=--,

.♦./(%)在［-2,1］上的最小值为-q13.

6

(2)

解：由(1)知，/(尤)=1丁—Qf—lx,

若函数g(x)=/(%)+b(beR)有且只有一个零点，

则方程-b=eR)有唯一解，即-6=-g/-2无(6eR)有唯一解，

由(1)知，/⑴在(-G-1),(2,+«0上单调递增，在(-1,2)上单调递减，

710

又/(T)=7〃2)=-丁，函数图象如下所示：

63

10.（2021・安徽安庆•一模（理））函数/。）=/-2办-4.

（1）讨论函数的极值；

（2）当。>0时，求函数的零点个数.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】

（1）求得，'（无）=产-2a,分和。>0两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概

念，即可求解；

（2）由（1）得到当a>0时，/（尤）的单调性和极小值，结合京小值与。的关系，三种情

况讨论，即可求解.

【详解】

（1）由题意，函数/'（x）=/-2依-a,可得广（x）=e"-2a,

当aVO时，广（力=炉-2a>0,〃x）在R上为单调增函数，此时无极值；

当a>0时，令/'（x）=e*-2a>0,解得x>ln（2a）,

所以/（X）在（M（2a）,+8）上为单调增函数，

令/'（x）=e*-2a<0,解得x<ln（2a）,/（x）在（f,ln（2a））上为单调减函数，

所以当x=ln（2a）时，函数取得极小值力及小值=f（ln（2a））="-2aln（2a）,无极大值.

综上所述:

当aKO时，/(x)无极值，

当。>0时，方及小值^(ln(2a))=a-2〃ln(2a),无极大值.

(2)由(1)知当〃>0时，"X)在(ln(2〃),+oo)上为单调增函数，在(ro,ln(2a))上为单

调减函数，且其及小值=〃-2aln(2a),

又由/(%)=，一。(21+1)，若%--00时，/(%)-收；

若X—>+30时，于(%)—>+oo；

当a-2aln(2a)>0,即o<a<当时，无零点；

当a-2aln(2a)=0,即°=等时,有1个零点;

当a-2aln(2a)<0,即0>9时，有2个零点.

综上：当0<°<当时，〃尤)无零点；

当时，””有1个零点；

当时，〃x)有2个零点.

11.(2019・山东日照•高三期中(理))己知函数r(x)=xlnx-ox,g(x)=-cix^+2x-2.

⑴证明：当。>1时，厂(x)'g(x)对xe[l,y)恒成立；

⑵若函数="•孚+X?+/恰有一个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)a=-2e或。>0

【分析】

⑴令/z(x)=r(x)-g(x),要证r(x)?g(x)在[1,+=0)上恒成立，只需证人(尤)111taNO,

xe[l,+oo)；

(2)函数/(x)=alnr+d,定义域为(0,+o)),f(x)=q+2x=生土勺对a分类讨论,

XX

研究函数的单调性及最值，以确定图象与X轴的交点情况.

【详解】

(1)证明：令〃(尤)=r(x)-g(x),

要证r(x)Ng(x)在[1,+co)上恒成立,

只需证MxL2O,%e[l,+oo),

因为/z(x)=Hnx+dx2一初一2%+2,

所以//(x)=lnx+l+2G;-a-2=lnx+2办一4一1.

令根(％)=lnx+2办一a—1,无+oo),

贝(Jm'(x)=—+2<i,

因为所以加(x)>0,

所以用(力在［1,+8)上单调递增，

所以m(x)N机(1)=〃一1,即h!^x)>a-\,

因为a>l,所以〃一1>0,所以/z'(x)>0,

所以7z(x)=%11比+依2-依_2%+2在［l,+oo)上单调递增,

所以/z(犬)之九(1)=。，r(x)-^(x)>0,

故r(%)2g(x)在［l,+oo)上恒成立.

(2)函数〃%)=alnx+%2,定义域为(0,+oo),

f'(x\=-+2x=^^.

XX

①当a=0时，/(X)=X2,XG(0,+oo)无零点.

②当〃>0时，Z(x)>0,所以〃力在(O,y)上单调递增,

1…(-1YLI

取％0=6*则/ea=-1+ea<0,(或：因为0〈尤ovJa且X。〈-,所以

kJ\Je

/(%())=叫+No2<tzlnx0+q<ain—+a=0.)

因为/(1)=1，所以/(/)・/(1)<。，此时函数〃X)有一个零点.

③当a<0时，令>f(x)=0,解得x=.

当0＜x＜『］时,r（x）＜o,所以〃x）在上单调递减;

三+8上单调递增.

当时，f'（x）＞0,所以〃x）在

所以"Ho™

若aln.----<0,即av-2e时,

V22

取外=.<1<Ji，fej=l+e">0,即函数/(%)在区间上存在一个零

点；

当%时，因为J—I〉，所以1m<%—1,

则有alnx>ox-a,f(x)=a\nx+x2>x2+ax-a,必然存在%>C|,使得/(司)>0,

即函数f(x)在区间］，•，+1»存在一个零点；

故当aln竹-■!<()时，函数〃x)在(0,内)上有两个零点，不符合题意.……11分

所以当a<0时，要使函数〃x)有一个零点，必有了［忖>•竹-£=0,

即a——2e.

综上所述，若函数“X)恰有一个零点，则a=-2e或a>0.

【点睛】

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数

形结合求解.

12.(2020•江西・南昌市第三中学高三阶段练习)已知函数『(x)=xlnx,

g(x)=-：A%2+(i-左)尤+1,曲线y=〃x)与曲线y=g(x)在％=1处的切线互相垂直，记

F(x)=/(x)+g(x).

(1)求实数上的值；

(2)若方程f(x)="有两个不相等实根，求小的取值范围；

(3)讨论函数歹(x)的单调性.

【答案】(1)1；(2)--<m<0；(3)—(x)在(0,+S)上单调递减.

e

【分析】

(1)求出两函数的导函数，根据g'(l)=-l即可求解.

(2)利用导数判断函数的单调性，进而可得的值域，从而可得-!<相<0,

(3)求出F'(x)=lnx—x+1,再求导函数,判断尸'(x)的符号即可求解.

【详解】

(1)/'(x)=l+lnx,尸(1)=1,g'(x)=—依+1-左

由题意得，g'⑴=T，即g")=—左+1-左=-1,.•.左=1

(2)由广(x)=l+lnx,可知在［o,j上单调递减，在J,+8)上单调递增,

.,.当x=，时，“X)有最小值/『|=」，

eyeye

又,•,x-0时，〃x)fO；x—时，/(x)f+co,

函数的大致图像，如图：

若方程/«=机有两个不相等实根，则有-J<加<0.

e

(3)由(1)可知，F(x)=xlnx-^x2+l,x>0,

ii_r

F,(x)=lnx-x+l,R"(x)=--1=—,

易知，当xe(O,l)时尸(力>0,9(x)单调递增，

当xe(L”)时，F"(x)<0,9(x)单调递减，

所以k(x)V尸⑴=0

即尸'(x)V0恒成立，所以尸⑺在(0,+功上单调递减.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根，解题的关键是求出函数

F(尤)的值域、单调性，作出函数的大致图像，考查了转化与划归的思想.

13.(2020.全国•高三专题练习(文))已知函数〃乃=63-法2在点(1"⑴)处的切线方

程为3x+y-l=0.

(1)求实数a,b的值；

(2)若过点(T,附#7)可做曲线y=/(x)的三条切线，求实数机的取值范围.

\a=l

【答案】(1),0;(2)(-4,4).

[6=3

【分析】

(1)根据切线方程可知/(D和/⑴，由此构造方程组求得a,b；

(2)将问题转化为V=根与〃(x)=-2x3+6x(xw-l)有三个不同的交点，利用导数可得到

/?。)的图象，利用数形结合的方式可求得结果.

【详解】

(1)由切线方程知：/(l)=-3xl+l=-2,/(1)=-3,又/'(x)=3凉-2法,

[ci—b——2[ci=1

鼻，解得：k

[3a-2b=-3[b=3

(2)由(1)知：f(x)=x3-3x2,则[。)=3/_6x,

•・•加wT,(一1,M不在/(%)上,

又/'(-1)=3+6=9,可知切点横坐标不为-1,

设切点坐标为(%0芯-3片)，/#-1,

则切线斜率左=止可'=3芯-6%,整理得：m=-2xl+6x0,

无o+l

过(-1,m)可作/(%)三条不同的切线，.•.m=-2x；+6x0有三个不为-1的解;

令h{x}--2九3+6x(%。一1),贝!JA(x)=-6x2+6=-6(x+l)(x-1),

.,.当x£(-00,-1)和(1,+00)时,hr(x)<0；

.,.当X£(-1,1)时，/(X)>0,

h(x)在(-0),-1)和(1,+a))上单调递减，在(-1,1)上单调递增，

由此可得力(%)图象如下图所示：

m=-2片+6无。有三个不为-1的解等价于y=：〃与h{x}有三个不同的交点,

由图象可知：-4<m<4,

••・实数机的取值范围为（T,4）.

【点睛】

本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析

式、根据过某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交

点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.

14.（2021•陕西・西安一中高三期中（文））已知函数/（x）=工-尤+olnx.

（1）若/（x）在（0,—）上为单调函数，求实数。的取值范围；

（2）记/（X）的两个极值点为再，X],求证：++X2-2.

【答案】

（1）«<2；

（2）证明见解析.

【分析】

（1）对/'（%）求导得/（力，由题设将问题转化为aWx+J（尤>0）恒成立，即可求a的取

值范围；

（2）由（1）有玉，尤2是无2-ax+l=0的两个根，应用根与系数关系易得%+%=。>2,

西尤2=1，进而可得/（占）+/（々）=。，即可证结论.

（1）

“力的定义域为（。,内），/（耳=一±-1+3=，办+1,又〃%）单调，

XXX

：.V—6+1N0对％>0恒成立，即。4芯+工（%>0）恒成立，

X

而x+^»2,当且仅当x=l时取等号，

X

a<2.

（2）

由（1）知：%，％是Y—ax+l=0的两个根，则再+%=<7>。，再％=1,且公=合一4>。，

a>2,故国+々=。>2,

/（%）+/（尤2）=:一占--z+aln%=aln（玉Xz）=。，而a—2>0,

；./（药）+/（%）<%+》2—2,得证.

15.（2022・全国•高三专题练习（文））证明⑶+Gsiiw+l（xN0）.

【答案】证明见解析

【分析】

构造=X—1(%K)),利用导数判断/(X)的单调性，求得最小值，即可得证；构造g(x)

sinx(x>0),利用导数判断g(x)的单调性，求得最小值