广东某中学2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试卷（解析版）

2024学年第一学期高二年级12月阶段测试

皿「、、九

数学

本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟

注意事项：

1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答

题卡指定区域内.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相

应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设iz=4+3i,则2=（）

A.4+3iB.-4+3iC.3-4iD.-3-4z

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】解：由题意可得：z=i±^=（4+『）’=^^=3—

ii2-1

故选：C.

2.下列结论正确的是（）

A.a,b,。为实数，且〃〉6〉0,则

B.VXGR,x+—>2

x

C.若x满足犬2_3%+2<0，piijlog2xe（2,4）

D.正数。力满足。+匕=1,则0<a。

【答案】D

第1页/共24页

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断选项A；利用基本不等式判断选项B,D；利用一元二次不等式的解法和对数

函数的性质判断选项C.

【详解】对A,当c=0时，ac2=bc2,A错误;

对B,当x〉0时，x+->2Jx--=2,当且仅当了=工，即x=l时取等号,

x\xx

当x<0时，x+—=-(-x+—)<—2J(—x)•f—j=-2,

当且仅当一x='，即x=—1时取等号，B错误;

-X

对C,由丁―3X+2<0,解得1<X<2,

所以log21<log2X<log22,gplog2xe(0,l),C错误；

对D,由基本不等式可得而W”=工，即

224

当且仅当a=6时等号成立，

2

又因为正数a,b,所以ab>0,所以0<。。〈工，D正确；

4

故选:D.

3.设a,b为两条直线,a,£为两个平面，且bLp”,则刃是a,6的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C,必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用直线与平面、平面与平面的垂直关系判断.

【详解】因为bLp,且所以a_L£,

又由a_La,bL(3,aL/3,所以；_|_刃，

所以"，族是a的充要条件，

故选:A.

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4.若向量％=(1,2)与3=)-1怖力的夹角为锐角，贝心的取值范围为()

A.(4,+co)B.C.100，；]D.Q,4^U(4,+OO)

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的数量积的坐标表示以及共线的坐标表示求解.

【详解】由。=l+3f＞0，解得/＞：，

4

3

当之小时，lx]]—2”—1)=0,解得/=4,

此时1=(1,2),囚=(3,6),则标共线且同向，

所以要使向量％=(1,2)与3=上一1，9’的夹角为锐角，

则。〉,且,

4

故选:D.

22

5.设点月，居分别是双曲线a：三一二=i(。＞0)的左、右焦点，过点片且与x轴垂直的直线/与双

a2

曲线C交于A,B两点.若AAB乙的面积为2C，则该双曲线的渐近线方程为()

A.y=±V3xB.y=±^-xC.y=±y/2xD.y=

32

【答案】D

【解析】

【分析】利用抛物线的方程求得4-G43(

-C,--),再利用三角形面积公式求出a=2,即可求渐近线方

aa

程.

222,2

【详解】点片(一C,0),将x=-c代入会—]=1-可得二-乙=1,

。22

292

解得y=±—,所以A(—g—),5(—G——),

aaa

所以S0BF2=|x|A5|x寓用=;x±x2c=竺=2鲂

22aa

第3页/共24页

所以c=Y5a

2

3

又因为。2=/+/=/+2=—所以片=4，则。=2,

2

又因为廿=2,所以b=J5，

所以该双曲线的渐近线方程为y=+-x=+—X，

a2

故选:D.

6.如图，在正三棱柱ABC—A与G中，AB=2BB1=4,点。是棱BC的中点，则点G到直线的距

A.gB.2sC.572D.10V2

【答案】A

【解析】

【分析】取AC的中点。，取4G的中点区。以为坐标原点，所在直线为X轴，0C所在直线为了

轴，。£所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量求法可得答案.

【详解】取AC的中点O,取AG的中点E，连接OE，贝U44/0E,所以。E,平面ABC,

连接。8,因为AABC是等边三角形，所以OBLAC,因为。8,ACu平面ABC,

所以08,AC,OE两两垂直，所以。以为坐标原点，OB所在直线为无轴，

0c所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所

示.又AB=2BB1=4,所以A（0,—2,2）,§（26,0,0）,C（0,2,0）,

G(0,2,2),所以。(6,1,0),所以函=卜百,一3,2),DQ=(-73,1,2),

所以cos°"G)=信茵3-3+4_V2

j3+9+4xj3+l+4—4

第4页/共24页

所以点G到直线的距离d=J函］—函|cos（丽，运》2=V7.

故选：A.

7.已知椭圆C:f+2i=i,直线/：y=x+m,若椭圆C上存在两点关于直线/对称，则〃z的取值范围是

2

（）

（4141}

彳工

〈，，）

【答案】C

【解析】

【分析】利用对称关系，求得直线MN的方程，代入椭圆方程，利用A〉。，求得〃的范围，再根据机，”的

关系即可求m的取值范围.

2

【详解】设设椭圆C：/+匕=1上存在关于直线/：y=%+相对称的两点为,X）,N（%2，丁2），

2一一

根据对称性可知线段MN被直线l:y=x+m垂直平分,

且MN的中点(x0,%)在直线y=x+m±,且k.=—1,

故可设直线MN的方程为y=~x+n,

y--x+n

联立2y1，整理可得：3d一2〃％+/-2=0，

X+—=1

2

2几2〃4n

所以玉+%—M+%=2rl—+w)=2〃—~T

由/^4工一以"一？）〉。，可得〃2一3<0，解得一6<“<6,

第5页/共24页

ll-x+xnV)+y_2n

所以X。=^y^9=-^o=2

因为MN的中点（为,y0）在直线y=x+m±,

所以出■="+/«,所以m=g,所以一直＜m＜立,

33333

故选:C.

8.比利时数学家60"7血4/£＞卬1①〃〃发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥

的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适

用，如图所示，在一个高为10,底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面

与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（）

V65

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，作出圆柱的轴截面，由于/405=/。。，所以5诂/403=5皿/0。。，而由已知可求出

的长，从而可得。=OC=3,而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得。=2,由此可求出

离心率.

【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A,4,延长A4与圆柱面相交于C,G，过点。

作ODLDC,垂足为D.

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在直角三角形A3O中，AB=2,BO=------------=3,

2

所以sin/AO3=^=2,又因为sin/AOB=sin/OCD=—=2=工，

BO3OCOC3

所以。=OC=3.

由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即26=4,则可求得

c=y/a2—b2=19-4=亚,

所以e=£=@，

a3

故选：D.

【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.将函数/。)=5由［2》+m］的图象向右平移;个单位长度得到g(x)的图象，则下列判断正确的是()

7171

A.函数g(x)在—上单调递增B.函数g(x)的图象关于直线工=——对称

12

兀兀D.函数g(x)的图象关于点(三,0卜寸称

C.函数g(x)在-7，彳上单调递减

_63_

【答案】ABD

【解析】

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【分析】根据函数图象的变换关系确定函数g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质一一求解.

【详解】将函数/(X)=Sin"x+g］的图象向右平移］个单位，

可得g(x)=sin2^x--|-^+j=sin12x_g1,

jr27r7TJT77r

对A,由——+2kji<2x----V—+2E,解得——+<x<——+kn.keZ,

2321212

令k=a,则'■vxvN,

1212

IT/TTTTTT

所以函数g(x)在—上单调递增，所以函数g(x)在—上单调递增，A正确；

JL乙JL乙_L乙乙

,/7兀、.(7兀2兀).711

对B,g(—)=sm---=sm-=l,

12I63J2

7兀

所以函数g(x)的图象关于直线x==对称，B正确；

12

jr9jr37r7兀137r

对C,由+—--<—+2kn,解得？+EVxW」++而,左eZ,

2321212

令k=T,则—至

1212

5兀71717171

所以函数g(x)在一二，二上单调递减,而-:〈二<4,所以c错误；

L1212J6123

对D,因为g(m)=sin［g-g］=O,所以点［三,。］在函数g(x)图象上，D正确；

故选:ABD.

10.已知斜率为方的直线/经过抛物线C：y2=lpx(。〉0)的焦点尸，与抛物线C交于点A,8两点

(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点。，若|A同=8,则以下结论正确的是()

C.\BD\=2\BF\D.F为4D中点

【答案】BCD

【解析】

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YX

【分析】由条件，NxE4=60。,则NEDA=30°，设所以|BE|=||=于|A4,|=4+万,由

XX

|ABHAE|+|8E|=—+4+—=8,可解出X,可得出答案.

22

【详解】根据题意作出其图像，过A3分别作准线的垂线，垂直分别为4,用如下

直线/的倾斜角为百，即NxE4=60°,则/歹。4=30°

设8。=%，

YX

则放中，可得出耳匚,，|AAJ=4+-

XX

所以|64|=|8用=5,|AA,I=IAF|=4+-

YX

IAB|=|AE|+|B7q=4+—+—=4+x=8,解得x=4

22

所以|5b|=2|,|AP|=6,所以B正确.

1111,

所以同+西直所以A不正确•

所以|5。|=4,满足|皮）|=4=2|8成,所以C正确.

而|。咒|=|8。|+18b|=4+2=6=|AF],所以D正确.

故选：BCD

【点睛】本题考查抛物线的过焦点弦的基本性质，属于中档题.

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。—AgCQi中，已知”,N,尸分别是棱G2,的中点，

Q为平面PMN上的动点，且直线。片与直线。片的夹角为30°,则（）

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A.DB11平面PMN

B.平面PMN截正方体所得的截面图形为正六边形

C.点Q的轨迹长度为兀

D.能放入由平面尸分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为

3-V3

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，

找到平面截正方体所得的截面；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称

性得到平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在耳。上，设球心坐标建

立方程，求出半径的最大值.

【详解】A选项，如图所示以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则尸（1,2,0）,“（0,1,2）,N（2,0,1）,与（2,2,2）,

故函=（2,2,2）,丽=（—1,一1,2）,丽=（1,一2,1）.

.---»

in-PM=—x—y+2z=0

设平面尸MN的法向量为访=则L一.，

in-PN=x-2y+z=0

令z=lnx=y=1得m=

易知函=2获，故。用，平面PAW,即A正确；

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>

y

B选项，取AB,CG，A2的中点£。，&

连接NE,NF,ME,MQ,PQ,PF,AXB,EP,D.C,

结合题意可知NFIABHEP,EP11CD,//MQ,

所以N、F、P、E四点共面且“、Q、P、E四点共面，两个平面都过点尸,

所以M、Q、P、E、N、R六点共面，

易知EM=MQ=QP=PF=FN=NE=42,

所以平面尸MN截正方体所得的截面为正六边形ENRPQM,B正确；

C选项，由上知。耳，平面尸AW,设垂足为S,以S为圆心m4s为半径在平面尸仰上作圆,

由题意可知。轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体，

根据正方体的中心对称性可知S平分。耳，故半径等与S==1，

故点Q的轨迹长度为2兀，C错误；

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D选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点。的这一空间几何体的球的半径最大

值，

结合A项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心。在。耳上，

该球与平面尸切于点S,与平面A3CD、平面平面。都相切，

设球心为。（a,a,a）（O<aW1）,则球半径为。，

易知S（1,1,1）,故=an3（a-I）?=a2na=3,,

故球的半径的最大值为匕目，D正确.

2

故选：ABD

【点睛】思路点睛：关于立体几何中截面的处理思路有以下方法（1）直接连接法：有两点在几何体的同

一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线

与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体

与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找

到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面

中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

关于立体几何中求动点轨迹的问题注意利用几何特征，比如动直线与定直线夹角为定值，可以考虑结合圆

锥体得出动点轨迹.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/（x）=log2（—V+3x-2）的定义域是.

【答案】（1,2）

【解析】

【分析】根据对数函数的定义域和一元二次不等式的解法求解.

【详解】由—x?+3x—2〉0，可得％2_3X+2<0，解得1<X<2,

第12页/共24页

故答案为:(1,2).

13.已知点P是双曲线C:圣一箕=l(a>0,6>0)左支上一点耳,B是双曲线的左、右两个焦点，且

尸耳，尸鸟，尸耳与两条渐近线相交于M,N两点(如图)，点N恰好平分线段尸工，则双曲线的离心率是

【解析】

【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出a力的双曲，进

而求得双曲线的离心率.

【详解】因为N是P区中点，即ON是口的中位线,

b

则tanNP4鸟=tan/NOF?=-,

a

ha

可得sin/Pf；B=—，COS/PKB=—，

cc

又因为闺周=2c,则|尸用=2a,|尸闾=2。，关系

则|「月］—［尸尸］］=2Z?-2a=2a==2a,

所以双曲线的离心率是

故答案为：行.

2

14.已知直线4：y=Ax+机(左。0,m^O)与椭圆C:一+产=1相交于不同的两点A,B,过A3的中

4

点M作垂直于/i的直线小设乙与椭圆C相交于不同的两点C,D,且CD的中点为N.设原点O到直线4

的距离为d,则出M的取值范围是.

d

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【答案】n，i

【解析】

【分析】联立椭圆和直线，i：y=履+m的方程，设4和%）,5（%,当），结合根与系数的关系可得M的坐

m\MN\

标，利用相同方法求得N的坐标，再根据d二^^,从而可得J—^的表达式，即可求解.

k2+1d

【详解】设4（须,%）,3（々,必），

x2+8kmx+4m2-4=0,

Smk4m2-4

则%+%2=—

1+4左2'1+4左2

2m4mkm

%+%=左（石+%2）+2机=-----7,所以"（一）,

1+4上1+442'1+442

m

71z4mkx13m

所以4•y---------7——（xH---------7），即4：y二—％-------7

21+442k1+4左2，2/k1+4左2

2

X1

——+y2=12

4224m36m

1々得,1+%+-4=0

联立左（1+4左2）X+0+442）2

13m

y=——x---------

-k1+4左2

设。（退，%）,。（％4，%）,

24mk1、6m6mk~

则x+x=—…z）一帝

i4（1+4左2）（左2+4）'

12mk3mk2、

所以N----------:----5------,------------5----1------，

（（1+4左2）伏2+4）（1+4/）（左2+4〃

4|m|（^+l）V^2+l

所以阿2=.+匕肉-止

（1+4左2）（左2+4）

第14页/共24页

Iml

又因为d=/—,

VF+i

|MN|4(父+1)2

d一(1+4S)62+4)

令^=左~+1〉1，

|"N|_4伏2+1)2_44_4』

人~d~―(1+402)(-2+4)—(由一3)。+3)-4r+9r-9

4

MN16

25,所以—■-£—,1•

+d25)

4^4L7

故答案为：石」）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且c-tanA=（28—c）-tanC.

（1）求角A的大小；

AJJ3

（2）若点。在AC边上，且——=-,BD=BC,求sin/ABC的值.

DC2

【答案】（1）（2）述.

314

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，进行边化角，再通过三角恒等变换，切化弦，整理可求得COSA=L,即可

2

求出角A；

7T

（2）作垂足为E,设£>C=2/,AD=3九由（1）可得NA3E=一,由勾股定理及两角和

6

的正弦公式即可求得sinNA5C的值.

r用小、八、次昨*短短p丹一,见sinC.sinA（2sin5-sinC）-sinC

【详解】（1）依题意，根据正弦定理得-----------=----------------------,

cosAcosC

整理得sinAcosC+cosAsinC=2cosAsin5,

即sin（A+C）=2cosAsinB.

因为sin（A+C）=sin（兀-5）=sin5〉0,

第15页/共24页

所以cosA='.

2

jr

又0<4<兀，所以A=一.

3

(2)如图，作BE，AC,垂足为£,

B

兀兀

则445£二——NA=一，

26

71

所以ZABC=/ABE+NCBE=—+NC5E.

6

设DC=2/(f>0).

AD3

因为----二一，BD=BC,

DC2

所以AO=3%,DE=EC=t,=

在RtZXABE中，BE=AE-tanA=4>j3t^

在RtOBEC中，BC=yjBE2+EC-=It>

所以sin/C3E=L,COSZCBE=—，

77

所以sinNABC=sin+

7171

=sin—cosZCBE+cos—sinZCBE

66

272714

16.某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按

照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组，制成了如图所示的频率分

布直方图：

第16页/共24页

00200

（1）求a的值；

（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；

（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在［50,70）和［70,90）的两组

中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调

查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在［50,70）内的概率.

【答案】（1）67=0.01;

（2）115分；

⑶—.

10

【解析】

【分析】（1）利用频率之和为1,即可计算出a=0.01；

（2）利用百分位数的运算方法，求出成绩的第80百分位数；

（3）利用分层抽样取样方法，算出需在［50,70）分数段内抽2人，分别记为A，4,需在［70,90）分数

段内抽3人，分别记为用，B2,B3,写出样本空间和符合条件样本点，即可求出相应概率.

【小问1详解】

由0.005x20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x20=1,

解得a=0.01；

【小问2详解】

由题可知知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95,

nQ_n75

因此，第80百分位数一定位于［110,130）内，由110+20x°八”=115,

可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分；

【小问3详解】

第17页/共24页

由题意可知，［50,70）分数段的人数为100x0.1=10（人）,

［70,90）分数段的人数为100x0.15=15（人）.

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50,70）分数段内抽2人，分别记为4，A，

需在［70,90）分数段内抽3人，分别记为4，B2,B3,

设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段［50,70）内”为事件A,

则样本空间0=｛44，4与，,A｛B3，4四,4层,&外，与鸟,片员,坊员｝共包含10个样本点，

而A的对立事件X=｛用鸟，耳片，鸟片｝包含3个样本点,

_o_7

所以尸（可=而，所以尸⑷=1一尸®=5,

7

即抽取的这2名学生至少有1人在［50,70）内的概率为七.

17.在以。为坐标原点的平面直角坐标系中，抛物线C：V=4x,不过焦点的直线/与抛物线C交于A,

2两点，OAOB=-3.

（1）求C的焦点坐标和准线方程；

（2）证明：直线/过定点.

【答案】（1）焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=-1

（2）（3,0）

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的方程可直接得到结果；

（2）设出直线方程后，联立与抛物线的方程，求得%%，再々值后，利用砺•砺的坐标表示，建立方程,

解出后即可.

【小问1详解】

因为抛物线C:y2=4x,

所以其焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=-L

【小问2详解】

依题意，直线/的斜率不为零，且不过抛物线的焦点，

设直线方程为x=+W1）,

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y2=4%

联立＜，消去尤得＞2—4my-4”=0,

x=my+n

设4尤1，%),B(X2,y2),

则K+%=4血,%%=—4〃,

22

xxx2-(my]+〃).(my?+“)=m2yly2++y2)+n-n,

又因为OAOB=x1x2+%%="2—4"=-3,

所以〃=3或〃=1(舍),

当〃=3时，直线/的方程为》=町+3,过定点(3,0),

故直线/过定点(3,0).

71

18.如图所示的几何体中，P。垂直于梯形A5CD所在的平面，/AOC=/BAO=—,尸为尸A的中点,

2

PD=42,AB=AD=-CD=1,四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.

2

(1)求证：AC〃平面D£F；

(2)求二面角4—P6—C的正弦值；

TT

(3)在线段ER上是否存在一点Q,使得3Q与平面5cp所成角的大小为一？若存在，求出的长；

6

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)是(3)在线段EE上存在一点。满足题意，且尸。=巫

32

【解析】

【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系

可得二面角的正弦值；

(3)假设点。存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置.

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【详解】(1)因为四边形PQCE为矩形，所以N为PC的中点.连接FN,

在口PAC中，RN分别为PAPC的中点，所以MV〃AC,

因为FNu平面。"，AC<Z平面。ER,

所以AC,平面DEF.

(2)易知D4,DC,。尸两两垂直，如图以。为原点，分别以D4,QC,OP所在直线为x,二z轴，建立空间直

角坐标系.

则尸(0,0,/),A(l,0,0),B(l,l,0),C(0,2,0),所以而=(1,1,-扬，阮=(-1,1,0).

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

比."="办("回=。即卜+y-缶=。,解得

in-BC=(x,y,z)-(-1,1,0)=0[一x+y=。，[z=J2x,

y=L

令x=1,得<

Z—V2,

所以平面PBC的一个法向量为m=(1,1,V2).

设平面ABP的法向量为n=(尤,y,z),

x=V2

n-AB=(x,y,z)•(0,1,0)=0

,据此可得<y=o,

n-PB=(x,y,z)-d,l,-扬=0

z=1

则平面ABP的一个法向量为n=(V2,0,1),

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V2+V2

cos<m,n>=于是sin(m,n)=

V1+1+2-V2+1-3'

故二面角A-PB-C的正弦值为立

3

（3）设存在点。满足条件.

由尸2,0,2，E(0,2,6),

I'7

一,72(1+2)^

设R0=X而（0W2WD，整理得Q

2)

则诙=1手,2"1,且产、

\7

7F

因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为^,

6

BQ-m152-111

所以si吟=|cos(BQ,|=|——I-/-------------

\BQ\-\m\2A/1922-102+72

解得九2=1,

由0WXW1知4=1，即点。与E重合.

故在线段所上存在一点Q,且EQ=E「理

【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题:

（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量

运算，要认真细心，准确计算.

（2）设机,〃分别为平面如用的法向量，则二面角夕与<相,〃>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形

判断所求角是锐角还是钝角.

22

19.已知椭圆。：5+与=1（。1〉4〉0）的左、右焦点分别为耳、居,3为上顶点，离心率为：，直线明

%伪/

与圆4x2+4y2—3=0相切.

（1）求椭圆C的标准方程;

22

（2）椭圆方程：r：=+y=l（a〉6〉0）,平面上有一点尸（X。，%）.定义直线方程/:乎+苔=1

a

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是椭圆「在点p(%,%)处的极线.

①若P(x0，%)在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；

②若过点尸(-4,0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线,切点为X、Y,割线交椭圆C于M、N两点,

过点M、N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q、X、Y三点共线.

22

【答案】(1)—+^=1

43

(2)①证明见解析；②证明见解析

【解析】

c.1口同V3

【分析】(1)由题意得」=w，再结合49=厅7+。；