广东省江门市普通高中2024-2025学年高二年级上册调研数学试卷（一）含答案

广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研数学试卷(一)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点(―2,0)与y=x平行的直线方程是()

A.%—y—2=0B.%+y+2=0C.%—y+2=0D.x+y—2=0

2.方程/+y?+2%-1一m=0表示一个圆，则实数??i的取值范围是()

A.(—oo,—1)B.(—l/+oo)C.(-00,-2)D.(―2,+8)

3.若1=(―1,2,—1),b=(1,3,-2),则0+3)—3)=()

A.20B.-20C.-8D.8

4.已知等差数列一1,一3,一5,…的前几项和为一196,则71的值为()

A.13B.14C.15D.16

5.两条直线y=依和y=-履分别与抛物线必=4%相交于不同于原点的4B两点，当直线4B经过抛物线的

焦点时，则|4切为()

A.1B.2C.3D.4

6.阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”

得到椭圆的面积除以圆周率冗等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，面积为

兀，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆C的标准方程为()

望+白1B4+?=L喏+白1

空+白1D.R^L好+?=1

7.设双曲线马-马=lQa>b>0)的离心率为e,双曲线渐近线的斜率的绝对值小于学，则e的取值范围是

abN

()

A.哼,+oo)B.(1,孚)C.(苧,6)D.(0,苧)

8.已知。为正方形2BCD的中心，E,F分别为BC,40的中点，若将正方形48CD沿对角线BD翻折，使得二

面角4—BD—C的大小为60。，则此时COSNEOF的值为()

1113

A.-zB.--C.--D.--

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在平面直角坐标系中，已知点4(2,0),B(0,4),C(2,4),0(0,0),则()

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A,直线ac的倾斜角不存在B.直线0C与直线的倾斜角相等

C.直线。C与直线4B的斜率之和为0D.点C到直线4B的距离为十

10.如图，在四面体4BCD中，E,F,G,”分别是ZB,BC,CD,DA的中点,

M是EG和FH的交点，。为空间中任意一点，贝)

A.E,F,G,H四点共面

B.EG-FH=0

C.前为直线BD的方向向量

D.OM=^(OA+OB+OC+OD)

11.已知等差数列｛册｝的前几项和为5,公差为d,a5=G1-8,S10=10,则()

A.ar=10B.为递减数列

C.若Sn<0,则71215,且neND.当n=5或n=6时，Sn取得最大值

12.已知抛物线C：、2=4%的焦点为F，直线八x=-1,过F的直线交抛物线C于4(右,乃)，BQ2,%)两点，

交直线Z于点M,MA=A^AF,MB=22BF,贝!]()

A.△AB。的面积的最大值为2B.7172=-4

C.=1D.入1+入2=0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线V3%-y=0被圆(％-2)2+y2=4截得的弦长为.

14.写出一个与双曲线/—]=1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程为.

15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在啰溪笔谈》中首创的

“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比

第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第九层货物的个数为与，则数列｛心一｝的前几项和£=

[n+^)an

16.如图，已知正三棱柱ABC-&B]Ci的所有棱长均为1,动点P在线段上，则4

PEC1面积的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知等差数列｛即｝和等比数列｛如｝满足的=2,瓦=1,a2+b2=3,a3+b3=4,设数列｛g｝的公比为q.

(1)求数列｛即｝,｛4｝的通项公式；

(2)若Cn=qa”，%为数列｛%｝的前71项和，求写.

18.(本小题12分)

如图，已知三棱柱ABC-的侧棱垂直于底面，ABAC=90°.

(1)求证：4B12C1；

(2)若力B=AC=^AAr,求异面直线CBi与4cl所成角的余弦值.

19.(本小题12分)

已知动点M与定点F(Y3O)的距离和它到定直线％=苧的距离的比是常数，G记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线Z：y=kx-1与曲线C有且只有一个公共点，求k的值.

20.(本小题12分)

____...27r

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD1平面4BCD,底面4BCD是菱形，△PAD是正三角形，^ABC=y,

E是4B的中点.

(1)证明：AC1PE；

(2)求平面EPC与平面DPC夹角的余弦值.

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21.(本小题12分)

已知等比数列的前几项和为％,且与+1=2Sn+2(nGN*).

(1)求数列的通项公式：

(2)在册与与+1之间插入几个数，使这几+2个数组成一个公差为%的等差数列，若数列｛0｝满足“=券，求

数列｛%｝的前葭项和心.

22.(本小题12分)

已知椭圆C：。+<=1的左、右焦点分别为F],F2,左、右顶点分别为4B,过右焦点尸2的直线与椭圆C相

交于M,N(异于4B)两点.

(1)若直线MN的斜率为1,求|MN|；

(2)若直线AM与直线％=4相交于点T(4,t),求证：T,B,N三点共线.

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1.【答案】c

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】CD

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】BCD

13.【答案】2

14.【答案】［―/=1（答案不唯一）

15.【答案】曰

2n+8

16.【答案】哪

17.【答案】解：（1）•.•等差数列｛斯｝和等比数列｛“｝满足的=2,瓦=1,a2+b2=3,a3+b3=4,

/2+d+q=3

(2+2d+q2=4,解得d=-1,q=2,

71-1

an=2+(n—1)x(—1)=3—n,bn=2；

（2）由（1）可知4=q。"=23-"=4XC）nT，

4（1-4）

3

•••Tn=—=8-2-«.

18.【答案】（1）证明：由题意知44i1平面ABC,又因为48u平面48C,所以

Z.BAC=90°,ACA.AB,且ZC和441为平面44停停内两相交直线,

所以4B1平面441QC,又因为4clu平面叫的配所以4B1AC1；

（2）解：由题意知A4i1面ABC,ACLAB,

以4为坐标原点,CA,AB,4&所在的直线分别为%轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

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令4B=AC=1,AA1=2,贝必(0,0,0),8(0,1,0),

Ci(-1,0,2),Bi(0,l,2),C(-l,0,0),

故西=(1,1,2),近=(-1,0,2),

设异面直线CBi与AC1所成角为a,

,科•西..-1+4.730

cosa=——t_/>=-7=-7==,

故异面直线CBi与Ac1所成夹角的余弦值为黑.

19.【答案】解：(1)设动点MQ,y),由题意有八〜'?+「

即J(%-V3)2+y2=V3|x-

同时平方，有(％-6)2+y2=3(%一争2,整理得：%2=1,

所以曲线C的方程为/—1=1.

，y—kx_1

(2)联立方程2y2

%—1=]

消去y得(2—fc2)%2+2kx—3=0(*),

①当2—卜2=0,即k=±2时，方程(*)有1个根，符合题意.

②当2—k2大0,即k丰，^且k*—时，

因为直线I与曲线C有1个公共点，

故4=(2fc)2-4(2-/c2)-(-3)=0,解得：k=±73,

综上所述，当上=±2或卜=±门时，直线I与曲线C有且只有一个公共点.

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20.【答案】(1)证明：取4。的中点F,连接EF,PF,BD,

因为△PAD是正三角形，所以PF14D,

又平面PAD，平面ABC。，平面PADC平面ABC。=AD,ADu平面ABCD,

所以PF1平面2BCD,

因为ACu平面ABC。，所以PF14C,

又因为底面4BCD是菱形，所以BD1AC,

因为E是4B的中点，所以EF〃BD,

从而EFJ_4C,

因为PFClEF=F,所以4C1平面PEF,

因为PEu平面PEF,所以AC1PE；

(2)解：连接BF,因为〃BC=与，所以△28。是正三角形，所以

以尸为坐标原点，FA,FB,FP所在直线分别为无轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

令AB=2,贝ijBF=/3,BC//AD,BC=2,

所以4(1,0,0),B(0,，y。)，C(-2,AA3,0),P(0,0,73),£>(-1,0,0),

因为E是48的中点，所以E©,苧,0)，

所以於=6，—?，0)，CP=(2,-73,73),

设平面CEP的法向量为记=(x0,y0,z0),

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1573c

-m=0,即卜久。一彳为=o

-m=0(2x0-y()+V-3z0=0

令%o=y/~3f得万=(V-3,5,3),

设平面DPC的一个法向量为元=(x,y,z),

由丽=(l,0,V3)，DC=(-1^,0),

—TAB(n•DP=%+V-3z=0

可得《―->「，令y=l,可得久=C，z=-1,

(九•DC=—%+V3y=0

则元=

m-n5_2^185

所以cos(沅用=

|沅11宿<37x<5-37'

所以平面EPC与平面DPC夹角的余弦值为甯.

21.【答案】解：(1)•.•等比数列5｝的前几项和为%,S.an+1=2Sn+2@,

a

n=2Sn-i+2②，①—②可得an+i—即=2an,

an+i=3a九,•••q=3

=2al+2,**•3al—2al+2,,**a1=2,

rl

・•.an=2x3t；

(2)根据题意可得册="言=2X3：管X=岑：，

_4_n+l

,f=£=尹

.T=Z+三+…+胆.AA..._^_^±l

"3°十3I十十371T3=3I十+32十+十+371T十+3n

两式相减可得字=2+W+…+舟—竽=1+不于—竽=5—券,

T_152n+5

,•ln=\~

22.【答案】解：⑴易知?2(1,0),

可得直线MN的方程为y=x-l,

y=x—1

联