广东省清远市清新区四校2024-2025学年高二年级上册11月联考数学试卷（含答案）

广东省清远市清新区四校2024-2025学年高二上学期11月联考数学

试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.化简PM-PN+MN,所得的结果是（）

A.OB.NPC.MPD.MN

2.已知人/?=6,问=3,可=4,则匕在"上的投影向量为（）

3322

A.—aB.-bC.-aD.-b

8833

7T>

3.如图，在△ABC中，AB=6,AC=3,ABAC=,BD=2DC,则ABAD=()

C.6D.12

、B是两个平面,aua,bu/3,p:aIlb,q:all/3,则

“是q的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样

调查，小明调查的样本量为200,平均数为166.2cm,小华调查的样本量为100,平均

数为164.7cm.则下列说法正确的是（）

A.小明抽样的样本容量更大，所以166.2cm更接近总体平均数

B.小华使用的抽样方法更好，所以164.7cm更接近总体平均数

C.将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数

D.样本平均数具有随机性，以上说法均不对

6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=」，b=2sinB,则

3

a=()

23

A.-B.-C.6D.-

326

7.已知向量a=（4,1）,b=（2,对,_l[Q〃(〃+/?),则〃=()

A.-2B.--C.-D.2

22

8.已知单位向量a,B的夹角为弓,贝1a—3()

A.lB.72C.V3D.3

二、多项选择题

9.如果a,b是两个单位向量，则下列结论中正确的是()

A.a=bB.a=+bC.a=bD.|a|=|/?|

10.已知虚数z=3+4i,z2=2-i,则()

AZZ5bz

-II-2|=-—=l2|

D.Z2是方程/_4x+5=0的一个根

11.下列说法中，错误的为（）

A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥;

B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;

C.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;

D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥

三、填空题

12.在△ABC中，E是BC边上一点,且BE=3EC,点R为AE的延长线上一点，写

出使得A/=+成立的X,〃的一组数据（％,//）为.

13.已知。A=（4,3）,08=（2,10）,则A5在。4方向上的投影向量坐标为.

14.直三棱柱ABC—A31cl中，ZABC=90°,AB=BC=BB1=1,则4片与BC1所成角

大小为.

四、解答题

15.已知平面内两点4(6,-6),5(2,2).

(1)求过点P(l,3)且与直线AB垂直的直线I的方程

(2)若AABC是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线AC的方程

16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知〃+/-步=ac,

a=M,cosA=—

3

⑴求3的值；

(2)求人的值；

(3)求sin(2A-5)的值

17.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A4G2中，E,R分别为棱。2，G2的中

⑴求证：4P〃平面ABE;

(2)求直线ByF到平面ABE的距离

18.如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,ABHCD,/4£>C=90。且

AD=CD=PD=2AB=2.

⑴求证：AB,平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值;

(3)在棱Pfi上是否存在点G(G与P,3不重合)，使得。G与平面所成角的正弦

值为2?若存在，求上的值，若不存在，说明理由

3PB

19.在空间直角坐标系。盯z中，这点「(不，%/。)且以“=(a,b,c)为方向向量的直线方

程可表示为士也=上也=三包(“加70),过点Pa。,%/。)且以〃=(a/,c)为法向量

abc

的平面方程可表示为〃%+by+cz=〃%0+6%+CZ。.

(1)已知直线的方程为F=y=-(2-1),直线4的方程为-(x-1)=?=〈.请分别写

出直线式和直线［的一个方向向量

(2)若直线4:刍^=y=-(z-l)与4：-(x-l)=?=W^都在平面a内，求平面a的方

程；

(3)若集合川={(羽%2)||田+|丁|+|2|=2}中所有的点构成了多面体。的各个面，求。

的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值

参考答案

1.答案：A

解析：PM-PN+MN=NM+MN=NM-NM=0,

故选：A

2.答案：C

解析：B在、上的投影向量为：

।।\/同\a\\a\93

故选：C.

3.答案：B

.2—

解析：BD=2DC,:.BD=-BC

3

Q1Q

AD=AB+BD=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC,

3、'33

ABAD=AB-^AB+^A。=||AB|2+|ABAC

=-\AB[+-\AB\\AC\COS-=-X36+-X6X3X-=1S.

31131Hl3332

故选：B

4.答案：D

解析：a!lb,则a与，可能重合、平行、相交，p由q；

a///3,则。与6可能平行、异面，c"p；

故p是q的既不充分也不必要条件

故选：D.

5.答案：D

解析：抽样的样本容量大但有时不具有代表性，

不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误：

使用分层的抽样方法样本更具有代表性，

但样本容量太小也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误：

两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项

C错误；

通过对上面三个选项的分析可知样本平均数具有随机性，故选项D正确;

故选：D.

6.答案：A

解析：由正弦定理二=—也，

sinAsinB

整理得a==

sinB33

故选：A.

7.答案：C

解析：因为向量a=（4,l）,b=（2,ni）,

所以a+Z>=（6,l+m）,

又a〃（a+Z?）,

所以4（l+m）-1x6=0,解得"?=；.

故选：C

8.答案：C

解析：由已知有恸=忖=1,

a-b=|a||z?|cos-^=-^.

=yja2+b2-2a-b=,1+1+1=6

故选：C.

9.答案：CD

解析：因为a,b是两个单位向量，

所以同=网=1,但两向量的方向不能确定,

/=W川4,

故AB错误；CD正确

故选：CD.

10.答案：BCD

解析：对于A选项，因为4―Z2=（3+4i）—（2—i）=l+5i,

所以忖-21=4+52=医,故人错；

对于B选项

所以三故B对;

Z2

对于C选项，z；=（2—i）2=3—4i=1,故C对；

对于D选项，由4%+5=0,可得（X—2丫=—1,

解得x=2—i或x=2+i,故D对

故选：BCD.

11.答案：ABC

解析：对于A,有一个面是多边形，

其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的多面体叫棱锥，

而有一个面是多边形，

其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误,

对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，

而有两个面互相平行，

其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，

对于C,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射

影为底面等边三角形的中心，所以C错误，

对于D,若六棱锥的所有棱长都相等，

则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，

若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确,

故选：ABC

13

12.答案：（若）（答案不唯一）

解析：由题意知=—AB,而BE=3EC,

3

BE=-（AC-AB）,

313

则AE=AB+3E=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,

444

又点R为AE的延长线上一点，故AE=fAE,(r>l)

可取『=2,贝IAb=2(—AB+2AC)=—AB+2AC,

4422

ia

故使得4/=448+〃4。成立的/1,〃的一组数据（4//）为（万,万）,

故答案为：（g,|）（答案不唯一）.

解析：因为。4=(4,3),05=(2,10),

所以=05—OA=(2,10)-(4,3)=(-2,7),

所以AB.QA=-2x4+3x7=13,|OA|=A/42+32=5,

A5a4OA13(4,3)5239

所以A3在。4方向上的投影向量为

|OA||OA|5525,25

14.答案：60°

解析：设B[C=D,设E是AC的中点，连接BE,DE

则。后//4与，所以AB】与BQ所成角是NBDE或其补角

根据直棱柱的性质以及/ABC=90°

可知做=3。1=AC=VL

所以DE=BD=BE=^,

「2

所以三角形50E是等边三角形，所以4DE=60。,

所以A片与BCX所成角大小为60°.

故答案为：60°

15.答案：⑴x-2y+5=0

(2)3%—y—24=0或x+3y+12=0

解析：（1）由题意得左AS="--=-2,

6—2

则直线/的斜率为工，

2

所以过点P（l,3）且与直线垂直的直线I的方程为：y-3=1（x

即x—2y+5=0.

（2）A3的中点坐标为（4,-2）,

由（1）可知线段A3垂线的斜率为g,

所以线段AB垂直平分线的方程为y+2=；（x-4）,

即x-2y-8=0.

因为△ABC是以C为顶点的等腰直角三角形，

所以点C在直线x-2y-8=0上，

故设点C为（2a+8,a）,

Q+6a—2

由CBLC4可得:

2。+8—62a+8—2

解得a=0或Q=T,

所以点C坐标为（8,0）或（0,-4）,

则直线AC的方程为3x—y—24=0或x+3y+12=0.

16.答案：（1）5=-

呜

475-73

（）-18

解析:（1）因为十+。2—=一,

由余弦定理可得cosB="+02—'=必=!

2ac2ac2

又3€（0,兀），所以3=1.

（2）因为cosA=半，AG（0,7i）

2

贝!JsinA=Jl—cosA=—9

3

由正弦定理」b

sinAsinB

.R昂立Q

可得6=°sm3=---------2_=?

sinA24

3

（3）因为cosA=,sinA=g,

,4、R

则sin2A=2sinAcosA=-----

9

cos2A=cos2A-sin2A=—

9

所以sin（2A-5）=sin2Acos5-cos2Asin5.

4611g4A/5-A/3

=---------X------------X-------=---------------------

929218

17.答案：（1）证明见解析

解析：(1)以A为原点，AB,AD,所在直线分别为工，》z轴建立如图所示空间直

由题意得5(2,0,0),4(。，。，2)，4(2,0,2),矶0,2,1),F[1,2,2).

所以防=(-2,2,1),B\=(-2,0,2),BF=(-1,2,2).

设平面ABE的一个法向量为〃=(x,y,z).

口心fBEn=0f-2x+2y+z=0

易知1八二八,

BA^-n—01—2x+2z=0

令x=2,得y=1,z=2,所以“二(2,1,2).

4万•〃=—2+2+0=0,

/.B{FLn,

又平面/BE,

男/〃平面ABE；

(2)由(1)可知BRI平面ABE,

故求直线BF到平面“的距离可转化为点B,到平面ABE的距离，

因为男8=(0,0,—2),由⑴可知平面ABE的一个法向量为"=(2,1,2),

设直线B,F到平面ABE的距离为d.

BQ,n0+0-44

贝1Jd=

\n\3-3

18.答案：(1)证明过程见解析

解析：（1）因为PD，平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以PDLAB,

又因为AB//CD,ZA£>C=90°

所以ADLAB,而AD「\PD=。，

AD,PDu平面PAD,

所以AB,平面PAD；

（2）因为PD，平面ABC。，

AD,CDu平面ABC。，

所以PDLCD,PD±AD,而CD工AD,

于是建立如图所示的空间直角坐标系，

£>（0,0,0）,尸（0,0,2）,4（2,0,0）,5（2,1,0）,C（0,2,0）

由⑴可知：ABL平面PA。，

所以平面PA。的法向量为AB=（0,l,0）,

设平面PBC的法向量为加=(x,y,z),PB=(2,l,-2),PC=(0,2,-2)

m-PB=02%+y-2z=0

则有n加二(1,2,2),

m-PC=02y—2z=0

设平面PAD与平面PBC夹角为，，

\AB-m\72

COSQ=J____L=___

|AB|x|m|lxVl+4+43

（3）设PG=XPB（2w（0,l））,设G（羽y,z）,

于是有（羽y,z-2）=4（2,1,-2）nG（2442-2孙

DG=（2A,A,2-2A）,由（2）可知平面PBC的法向量为〃z=（1,2,2）,

假设。G与平面次所成角的正弦值为j

9DG-m2|22+22+4-42|8

则有丁-------/=A=-或2=0舍去,

DG|x|m|3Vl+4+4x^422+22+（2-22）29

即空遮.

PB9

19.答案：（1乂的一个方向向量4=（2,1,-1）；4的一个方向向量4=（T，4,2）（答案

不唯一，符合题意即可）

（2）2x-y+3z=5

3?1

⑶Q的体积为半，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为2

解析：（1）因为直线4的方程为F=y=-（z-l）,

即3=匕2=二，

21-1

可知直线式的一个方向向量4=（2,1,-1）；

直线4的方程为-（x-1）=；=＜，

即皿=，口，

-142

可知直线的一个方向向量4=（T，4,2）.

（2）由题意可知：直线4过点P（l,0,l）,