沪教版七年级数学下册复习专练：三角形的有关概念与性质 压轴题（十一大题型）解析版

专题03三角形的有关概念与性质压轴题（十一大题型）

目录：

题型1：三角形中线有关的面积问题

题型2：与三角形高有关的计算题

题型3：三角形的高在平行线中的应用

题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用

题型5：三角形个数问题

题型6：与三角形角平分线有关的问题

题型7：三角形的内角和与外角的性质

题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用

题型9：旋转问题

题型10：定值问题

题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题

题型1：三角形中线有关的面积问题

1.设，ABC的面积为

⑴如图1,延长的各边得到△A5G，且=B]C=BC,QA=CA,记的面积为S1,

贝.（用含。的式子表示）

(2)如图2,延长二ABC的各边得到S.A,B=2AB,B&=2BCCtA=2CA,记的面积为S”

贝|Sz=.（用含。的式子表示）

⑶如图3,尸为」1BC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边8C、AC.AB于点力、E、F,则把一ABC

分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到,.ABC的面积。=.

【答案】⑴7a

(2)19a

(3)315

【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别

分析得出是解题关键.

（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；

（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；

（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于尤，y的方程求出即可.

【解析】（1）如图1,连接Ac,

BlC=BC,AlB=AB,

-UABC~u\BC，u\BC_u.\BXC，

同理可得出：S&AG=S.cc、B1=2a,

，S[=2a+2a+2a+a=7a,

故答案为：7a；

（2）如图2,连接AC,

必4J

BDC

\B=2AB,B[C=2BC，GA=2CA,

根据等高两三角形的面积比等于底之比,

同理可得出：SAAG=SSG=6。，

团S2=19a；

故答案为：19a；

(3)如图3,过点C作CGL逝于点G,

=-BPCG=70,

SDRrP\^C2.*SC-tlprF2=-PE-CG=35,

SBPC_BP・CG_70_2

--

SPCE-PECG35'

—=2,即BP=2EP,

设SAPB=2SAPE=2y,SAPE=y,SBPF=x,

x+84=2y,BPSFPB+SAPF=25APE；

SAPB_A?_x+84S_y+35

SBPD~PD~40'SPCD~PD~30'

.x+84_y+35

…40-30'

又.x+84=2y

.•广56,

b=70

=

SBPF56,S诋=70,

SABC=a=40+30+35+84+56+70=315

故答案为:315.

2.【问题情境】

苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，AD是&ABC的中线，ABC与的面积有怎样

的数量关系？

小旭同学在图1中作3c边上的高AE,根据中线的定义可知.又因为高AE相同，所以SMo=SACD

于是据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.

【深入探究】

（1）如图2,点。在,ABC的边3C上，点P在AD上.

6）若AD是ABC的中线，求证：$XAPB~$XAPC；

②）右BD=3DC,贝UZAPS-^AAPC

【拓展延伸】

（2）如图3,分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、。分别为AE,BF、CG的中点,

依次连结E、F、G、H得四边形EFG”.

=

①求证：5△HDG+S&FBE2s四边形ABCD；

②若S四边形A5CD=3,贝US四边形EFGH=

【答案】（1）①证明见解析；03:1；（2）①证明见解析；015

【分析】（1）①根据中线的性质可得S△.=S-,点。为BC的中点，推得尸。是.PBC的中线,

SPDB=SpDC,即可证明

②设.ABC边3C上的高为万，根据三角形的面积公式可得5AM=gxBDx/z,S=1xDCx/z,即可推

得S3=3S的,同理推得S.=3S"c，即可求得SAPB=3LPC，即可证明S瑛：S叱=3：1；

（2）①连接AG,AC,CE,根据中线的判定和性质可得SG.nSGAongsGHD，SCBA=SCBE=^SCAE,

S、ECF=SECB=]SEFB,,ADC-ADG=ACGfADC~ADG~GHD9CBA~CBE~EFB,即可

=

求得S四边形=/（SGHD+SEFB），即可证明/\HDG^/\FBE2s四边形,

=

②由①可得S4HDG+S△尸BE=2S四边形"CD,同理可证得S//E1+SFGC2s四边形ABC。，根据

S四边形EFGH=SHDG+§FBE+§HEA+SFGC+$四边形A5CD，即可推得S四边形后和"=5S四边形人比。，即可求解.

【解析】（1）①证明：回AD是一ABC的中线,

WADB=ADC，点。为8C的中点,

团尸。是一PBC的中线,

回SPDB=SPDC'

团SADB-$PDB=§ADC~PDC，

即S/\APB=^/\APC；

（2）SAPB：SAPC=3:1,

解：设一ABC边3c上的高为//,

则"g…，SADC=^DC.h,

国BD=3DC,

团SADB=3s，

同理SPDB=3SPDC,

则SADB—SPDB=3SADC—35PDC,

即S”5=3S”C，

团

SAPB:SAPC=3:1.

(2)①证明：连接AG,AC,CE,如图:

团点A、B、C、。分别为。“、AE,BF、CG的中点,

团AG,BC,CE,D4分别为.GHD,VG4E,AEFB,ACG的中位线,

q=SBq=q=^SACC,

回SGAH=§GAZ)=/SGm,S©BA=S©BE=]SCAE，°,ECFEC=大SEFB，0,ADC一0.ADG

ADC=ADGGHD*SCBA=SCBE=EFB

团S四边形ABCD=SADC+SCBA=/2GHD十万SEFB=]GHD+SEFB)，

BPS^HDG+S^FBE=2s四边形ABC。；

②15,

解：由G)可得LHOG+S△/BE=2S四边形ABC。，同理可证得S”EA+SFGC=2s四边形ABC。，

S四边形石尸G”=SHDG+SFBE+SHEA+SFGC+S四边形MCD，

BpS四边形EFGH=5s四边形ABCD，

团S四边形ABCD=3,

团S四边形EFGH=5x3=15.

【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两

个等底同高的三角形是题的关键.

3.探索：在图1至图3中，已知..ABC的面积为

⑴如图1,延长一ABC的边到点。，使CD=3C,连接DA若，ACD的面积为加，贝然尸.（用含。

的代数式表示）

⑵如图2,延长ABC的边BC到点O,延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,连接。E.若，DEC的

面积为邑，则S?=.（用含。的代数式表示）

⑶在图2的基础上延长A3到点尸，使防=AB,连接ED,FE,得到DEF（如图）若阴影部分的面积为

$3,则邑=.（用含。的代数式表示）

⑷发现：像上面那样，将一ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△。所（如图3）,此时，我们称

MC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的二EF的面积是原来ABC面积的倍.

⑸应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在,ABC的空地上种

红花，然后将一ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）.在第一次扩展区域内种黄花，第二次

扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域（即的面积是10平方米，请你运用

上述结论求出：

①种紫花的区域的面积；

②种蓝花的区域的面积.

【答案】⑴。

（2）2。

⑶6。

（4）7

⑸①种紫花的区域的面积420平方米，②种蓝花的区域的面积2940平方米

【分析】（1）过点A作于H,如图1,由于ACD与一ABC底相等、高相同，因此它们的面积相等，

问题得以解决；

（2）连接AQ,如图2,同（1）可求出的面积，就可解决问题；

（3）如图3,同（2）可求出△E4F的面积，问题得以解决；

（4）根据5»跖=53+5/^即可得出结论

（5）①利用探索与发现中的结论可得：种紫花的区域的面积等于aDEF面积的6倍，S.=7sAs-根据

条件S“BC=1。平方米，就可解决问题；

②利用探索与发现中的结论可得:种蓝花的区域的面积等于VX1Z面积的6倍，SXYZ=1S弼，只需把

代入，就可解决问题.

【解析】（1）解：探索：

过点A作于H,如图1,

图I

回BC=CD,SABC=_BC-AH=a,SACD=—CD-AH,

^\SX=SACD=SABC=a.

故答案为a,

ffl2

同理可得SEAD-SACD=SABC=at

,

团52=SECD=〃+〃=2cl,

故答案为2a

（3）解：同（2）可得SF8O=S.£AF=sECD=2a,

0S3=6tz,

故答案为6a；

（4）解：如图3,S=6a+a=Ja=nS

DEF=S3+SABC

故答案为7；

（5）解：①

根据上述结论可得：

59=75^=7x10=70（平方米），

团种紫花的区域的面积=65=6x70=420（平方米）；

②同理可得：

Sxyz=7SDEF=7x70=490（平方米）,

二种蓝花的区域的面积=65屹=6x490=2940（平方米）；

所以，种紫花的区域的面积420平方米，种蓝花的区域的面积2940平方米.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，另外还考查了归纳、探究的能力，运用已有经验解决问题的

能力，突出了对能力的考查.

题型2：与三角形高有关的计算题

4.在-ABC中，AB=2,3c=4,CQ_LAB于。.

（1）如图①，已知于E,求证：CD=2AE

（2）如图②，尸是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过尸作PELBC于E,PP_LAB于F,求证:

2PE+PF=CD

（3）在图②中，若P是4c延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、C。之间

的关系.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，PF=CD+2PE.

【分析】⑴分别以AB、8c边为底边，利用0A8C的面积的两种不同表示列式整理即可得证；

⑵连接PB，根据0ABe的面积等于0ABp和SBCP的面积的和，然后列式整理即可得证；

⑶作出图形，连接P8,然后根据财8P的面积等于a48c的面积和回PBC的面积的和，列式整理即可得解.

【解析】解：（1）证明：

S＜铲=-AB.CD=-BC.AE,

ABC22

AB=2,BC=4,

:.-x2.CD^-x4.AE,

22

:.CD=2AE-

（2）如图②，连接尸2,

图②

0ABC-uPBCT□PAB，

-AB.CD=-AB.PF+-BC.PE,

222

AB=2,BC=4,

-x2.CD=-x2.PF+-x4.PE,

222

CD=PF+2PE;

（3）如图③，即为图像,

D

B

连接尸5作尸石，BC交3C的延长线于E点,

q—vaq

°PAB~°ABCT°PCB，

AB-PF=-AB.CD+-BC.PE,

222

AB=2,BC=4,

.•.-x2.PF=-x2.Cr)+-x4.PE,

222

PF=CD+2PE.

【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已

知数据代入进行计算求解，所以(2)(3)两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面

积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握.

5.设点。为，ABC内任意一点，A0的延长线交BC于点0,8。的延长线交AC于点E,CO的延长线交AB

丁1.AOBOCO,

于点尸，贝n+0+的值ZT为tA.

ADDECr

【答案】2

【分析】本题考查了三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键.

SAOAO

过点5作BMLAD的延长线，交于点根据三角形的面积公式可得d°AOC—而，推得

»ABDAD°ACD

RCCq_i_v

AOBOSACiD+SCO

uAOBTQAOC同理可得一u40cTuBOC即可求解.

q

ADuABC"乜、ABCCFuABC

【解析】解：过点8作BAILAD的延长线，交于点V,如图:

A

-xAOxBM

AO

则产=2__________

3ABD-xADxBM而

2

SAOC二A。

同理可得

S,ACDA。

qq

AOuAOC

即而=

qq

ABD。、ACD

q_i_v

AOu403TuAOCuAOB丁uAOC

团罚二

q_i_Qq

口.ABD丁uACDuABC

coqA-v

B。_SAOB+SBOCJ"_2AOC丁2BOC

同理可得:q

BES,firCF°ABC

AOBOCO

回--------1---------1-------

ADBECF

SAOB+$AOC।SAOB+SBOC।'AOC+S80c

0q,ABCq°.ABCs°ABC

2(SAOB+SAOC+SBOC)

v

°ABC

=2.

故答案为：2.

题型3：三角形的高在平行线中的应用

6.已知AB〃CD,点〃，N分别在直线AB,8上,点E在直线AB,CD之间，EP平分ZMEN,交直

线CO于点P.

图1图2图3备用图

⑴如图1,若Z4WE=24。，NEPN=30°,求NENC的度数；.

(2)如图2,在(1)间的条件下，过点P作班1〃硒，交直线出于点/，交直线A3于点K,连接NF,交

直线A3于点Q,过点尸作FGLEP于点G；当NF平分/ENP时,求/7VFG的度数；.

⑶如图3,已知/G=6,EH=3,点E到FN的距离与线段打尸的长度之比是2:9,点P到FN的距离等于

7,求线段HP的长度.

【答案】(1)/me=84°

(2)ZNFG=12°

⑶线段HP的长度为葭21

【分析】(1)如图，过点E做用〃CD,证明£R〃AB,求出N1=NPEM=54。，进而求出4EN=84。,

根据平行线的性质即可求出ZENC=ZREN=84°；

1ono_84°

(2)如图，先求出N4=N5=--------=48。，再求出N6=N£FP—N7VFP=24。，过点厂做ES〃£P,即

2

可求出ZNFG=ZSFG-Z6-ZSFE=90°—24°—54°=12°；

(3)过点E做EWLW于点W,过点尸做于点X,设=HF=9m,根据

5团"=：卬72卬=：微/3得到9〃2«2»7=3><6，求出m=1,进而得到£W=2,HF=9,根据

1121

SHFP=~HFPX=-PHFGf即可求出线段HP的长度为了•

【解析】(1)解：过点E做成〃CD,

aER〃AB,

团N3=NEPN,N2=ZAME,

团N4WE=24。，NEPN=30。,

团N2=24。，N3=30。，

团ZPEM=Z2+Z3=24°+30°=54°,

⑦EP平分ZMEN,

团N1=NPEM=54。，

团N/？ETV=N1+N3=54。+30。=84。，

出ER〃CD,

⑦NENC=ZREN=84。；

(2)解：由(1)问得NXNC=84。,

⑦NF平分/ENP,

团N4=N5,

0ZCMD=18O°,

团N4+N5+NRVC=180。，

八180°-84°/cc

团/4=N/5c=-------------=48°,

2

BPF//EN,

[?]ZNEM+ZEFP=180°,Z4=ZNFP=48°,

0Z1+ZPEM+ZEFP=18O°,

0Z1=ZPEM=54°,

0ZEFP=180°-(Zl+ZPEM)=180°-(54+54。)=72°,

团N6=ZEFP-ZNFP=72°-48°=24°,

⑦FGLEP,

团NbG尸=90。，

过点尸做尸S〃肝，

⑦NFGP=NSFG=90。,NPEM=NSFE=54。,

团ZNFG=NSFG-Z6-ZSFE=90°-24°-54°=12°；

(3)过点£做石于点W,过点。做尸于点X,

团点E到FN的距离与线段HF的长度之比是2:9,

团EW:HF=2:9,

设EW=2m,HF=9m,

团SFHF=-HFEW=-EHFG

EHF22f

⑦HFEW=EHFG,

团尸G=6,EH=3,

团9m»2m=3x6,

0m2=1,

0m>O,

0m=1,

团£W=2,HF=9,

回点尸到FN的距离等于7,

EIPX=7,

EIS=-HFPX=-PHFG,

HFFPP22

^HFPX=PHFG,

09x7=HPx6,

团线段打的长度-为胃21.

【点睛】本题考查了利用平行线的性质进行角的计算，点到直线的距离，三角形形面积公式等知识，熟知

平行线的性质定理，根据题意适当添加辅助线是解题关键，第3问利用方程思想解决问题是解题关键.

题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用

7.如图，直线a勖，点A,点D在直线b上，射线A8交直线a于点B,C。加于点C,交射线于点E,

AB=12cm,AE：BE=L2,尸为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线A3方向运动，速度为设

点尸运动时间为3M为直线a上一定点，连接PC,PD.

(1)当/=m为何值时，PC+PD有最小值，求相的值；

(2)当t<m(m为(1)中的取值)时探究SPCM、SPD4与团的关系，并说明理由；

(3)当/>/"(m为(1)中的取值)时，直接写出SPCM、回PD4与团CP。的关系.

备用图

【答案】（］）机=4时，PC+尸。有最小值；（2）当/V4时，^PCM^PDA=^CPD,理由见解析；（3）当-

＞4时，^\PCM+^\CPD^PDA=360°.

【分析】（1）根据尸、。、。三点共线时，即点P与点E重合时PC+尸。的值最小，解答即可；

（2）当/〈机时，点尸在AE上，过点P作PH0〃回/?,根据平行线的性质可得结论;

（3）当/＞加时，点尸在BE上，过点尸作尸破龙4根据平行线的性质可得结论.

【解析】解：（1）在团尸CQ中，PC+PDNCD,

当取等号时，P,C,。在同一条直线上，即点尸与点石重合，

此时尸C+尸。最小，

胤4P=AE,

ME：BE=1：2,AB=12cmf

^\AE=—AB=4cm,

3

AP4

团/=——=—=4s,

11

故机=4时，PC+PQ有最小值；

（2）当/〈根即＜4时，点尸在AE上，过点尸作尸"〃。，如图：

又回4〃。，

^PH//a//b,

^PDA=^DPH,

回回尸CM+回PZM=^CPH^DPH,

团团CPQ=^\CPH^DPH,

^PCM^PDA=^CPD,

团当r<4时，^PCM^PDA=0CPZ)；

(3)当〉加即>4时，点P在BE上，过点P作PH〃a,如图:

^\PH//a//b,

团团PCM+团CPH=180°,回产。A+团DPH=180°,

团回尸CM+团CPH+团PD4+团。尸"=360°,

又团团CPO=^CPH^DPH,

回回尸CM+回。尸。+团PZM=360°,

即当方＞4时，^PCM+^CPD^PDA=360°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推理，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造

平行线是解题的关键.

题型5：三角形个数问题

8.如图，E1ABC中，Ai,Az,A3,...,An为AC边上不同的n个点，首先连接BAi,图中出现了3个不同的

三角形，再连接BA2,图中便有6个不同的三角形，......

连接个数123456

出现三角形个数36

（2）若出现了45个三角形，则共连接了个点?若一直连接到An,则图中共有个三角形.

【答案】(1)10,15,21,28；(2)8,|(«+1)(«+2).

【分析】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数，当1个分点时，有三

角形数为2+1=3,当2个分点时，有三角形数为1+2+3=6,由此可找出规律，据此即可得答案；

(2)由(1)继续推导可解得若出现了45个三角形，若一直连接到An,由〃个分点，三角形数量为前一个

分点数的三角形总数加〃+1个，可知〃个分点，则有1+2+3+…+〃+1个三角形.

【解析】(1)由图形可得：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数.

所以当1个分点时，有三角形数为2+1=3；

2个分点时，有三角形数为3+2+1=6；

3个分点时，有1+2+3+4=10；

4个分点时，有1+2+3+4+5=15；

5个分点时，有1+2+3+4+5+6=21；

6个分点时，有1+2+3+4+5+6+7=28；

(2)若出现45=1+2+3+4+5+6+7+8+9个三角形，根据上述规律，则有8个分点；

若有〃个分点，贝I有1+2+3+…+〃+1=：(〃+1)("+2).

【点睛】本题考查了三角形的扩展知识，需要注意此题数三角形的个数实际上就是数线段的条数，能够正

确计算1+2+3+…+〃+l=g(〃+l)("+2),解这类数列需要先设他们之和为S“，再重构一组倒序相同的数列,

正序与倒序两式相加，合并可解S“=；("+1)(〃+2).

题型6：与三角形角平分线有关的问题

9.佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角

的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.

测量数据如下表：

测量—3OC和度数

测量工具量角器

A

—ABC与/ACS的平分

示意图O

线交于点。

B(

ZBOC

第一次60°120°

第二次90°135°

测量数据

第三次110°145°

第四次150°165°

(1)通过以上测量数据，请你写出/3OC与NA的数量关系：.

(2)如图，在AABC中，若/ABC与NA8的平分线交于点尸，则一尸与—A存在怎样的数量关系？请说

明理由

【答案】(1)ZBOC=90°+^ZA;(2)ZP=-ZA,理由见解析

22

【分析】(1)根据表格中的数据，设NBOC=kZA+b,利用待定系数法进行计算，即可得到答案；

(2)根据角平分线的性质，得到=ZPCD=|ZACD,然后利用外角性质，以及角的和差

22

关系，即可得到结论成立.

【解析】解：(1)根据题意，^ZBOC=kZA+b,

1

60左+6=120

，解得:2,

90m35

6=90

0ZBOC=90°+-ZA.

2

(2)ZP=-ZA.

2

理由：回/ABC与/ACD的平分线交于点尸,

11

团/PBC=—NABC,ZPCD=-ZACD.

22

⑦NPCD=NPBC+NP,

⑦NP=/PCD—/PBC

=-ZACD--ZABC

22

=1(ZACZ)-ZABC).

团/ACD是AABC的外角，

SZACD=ZA+ZABC,

EIZP=-ZA.

2

【点睛】本题考查了角平分线定理，二角形内角和定理以及二角形外角性质，待定系数法求一次函数解析

式，解题的关键是掌握所学性质进行解题.

10.【问题呈现】

小明在学习中遇到这样一个问题：如图1,在J1BC中，ZC>ZB,AE平分NBAC,ADJ.BC于D,猜

想/3、/C、NE4D的数量关系.

(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路.于是尝试代入&8、回C的值求回吐。的值，得到下面

(2)小明继续研究，在图2中，NB=35。,NC=75。，其他条件不变，若把"ADI3C于。"改为"尸是线

段AE上一点，于。"求/DFE的度数，并写出/DEE与—8、NC的数量关系.

【答案】(1)a=20。，ZE4£>=1(ZC-ZB)；(2)ZDFE=20°,ZDFE=^(ZC-ZB)

【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理进行计算

推理是解本题的关键.

（1）先利用三角形内角和以及角平分线，求出44E和44。的大小，然后再求出NE4D的值，再分别

用N3,NC表示出154E和再由NEAD=/BAD-/BAE即可得出答案.

（2）过点A作AG_LBC于点G,证出=再分别求出/SAG=55。，ZBAE=-ZBAC=35°,

2

再结合（1）可得到三者的关系.

【解析】解：（1）ZB=30°,ZC=70°,

ABAC=180°-ZB-ZC=80°.

在△ABD中，

ADIBC,

：.ZBAD=9Q0-ZB=60°,

AE平分一朋C,

ZBAE=-ABAC=40°,

2

ZEAD=ABAD-ZBAE=20°,即。=20.

ZBAC=180°-ZB-ZC,ZBAE=-ZBAC,ZBAD=90°-ZB,

2

NEAD=ZBAD-ZBAE=90°-ZB-^（1800-ZB-ZC）

=90°-ZB-900+-ZB+-ZC=-（ZC-ZB]

222''

即NEAD=g（NC—NB）.

（2）过点A作AG，3c于点G.

FD±BC,AG±BC,

FD//AG,

ZDFE=ZEAG

ZB=35°,ZC=75°,

由（1）同理可得，/BAG=90°-35°=55°,

ZBAE=|ZBAC=1（180°-35°-75°）=35°

ZDFE=NEAG=/RAG一ZBAE=55°-35°=20°,

由（1）同理可得，Z£AG=1（ZC-ZB）.

NDFE=；(NC-NB)

题型7：三角形的内角和与外角的性质

11.在.ABC中，ZC=70°,点、D,E分别是11ABe边AC,BC上的两个定点，点P是平面内一动点.

图2

初探：（1）如图1,若点尸在线段A3上运动,

①当Na=60。时，贝i」Nl+N2=—；

②Na,Zl,N2之间的数量关系为:

再探：（2）若点尸运动到边A3的延长线上，PD交BC于F,如图2,则/a,Zl,N2之间有何关系？并

说明理由.

拓展：（3）当点尸在八ABC的内部，且。，P,E不共线时，记NADP=N1,ZB£P=Z2,ZDPE=Za,

探究,Zl,N2之间的关系，并直接写出探究结论.

【答案】(1)①130度；②/1+/2=70。+/1；(2)Zl=70°+Z2+Z«；(3)Nl+N2=430。-/。或

Zl+Z2=Zdz+70°

【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

（1）①如图1中，连接PC.证明Z1+N2=ZACB+ZDPE即可.

②利用①中结论解决问题.

（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可.

（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可.

【解析】解：（1）①如图1中，连接PC.

c

■Zl=NDCP+ZDPC,Z2=ZECP+ZCPE,

:.Z1+Z2=ZDCP+ZDPC+ZECP+Z£PC=ZACB+NDPE=ZACB+Za,

ZACB=1Q°,/a=60°,

Zl+Z2=60°+70°=130°.

故答案为：130°；

②由①可知，Zl+Z2=ZACB+Za=70°+Za,

故答案为：Zl+Z2=70°+Z«.

(2)结论：Zl=70°+Z2+Za.

理由：如图2中，

图2

4=NC+NCFD,ZCFD=Z2+Za,

,-.Zl=70o+Z2+Za.

(3)结论：Zl+Z2=430°-Z«.

理由：如图3中，当户在ACDE内部时,

C

Zl=ZDCP+ZDPC,Z2=ZECP+ZCPE,

.­.Zl+Z2=ZDCP+ZDPC+Z.ECP+ZEPC=ZACB+360P-ZDPE=70°+360P-Ztz,

.•.Zl+Z2=430°-Za.

当尸在四边形ABED内部时，Zl+Z2=Z«+70°.

12.如图1,直角三角板ABC(/ABC=30。)的直角边AC所在直线与直线MN重合.将该三角板绕点A逆时

针旋转一定角度后，如图2所示.记/。0=/£(0。＜/。＜90。)，过8作直线DE〃MN.P为射线AM上

异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线A2于点。，记

(2)①若点Q在线段A3上(不含端点)，则NBQP与"满足的数量关系为二

②若点。在线段A2延长线上(不含端点)，判断上述关系是否成立.若成立，请说明理由；若不成立，给

出三者应满足的关系并说明理由；

(3)若且射线PQ不经过点2,设直线尸2分别交直线BC、AC于点R、S,直接写出当/a,4

满足什么条件时，^\ZBQP-ZBRP\^ZASP.

【答案】⑴60°

(2)①/3。尸=120。一Na+N尸；②不成立，ZBQP=6Q°-Z/3+Za,理由见解析；

⑶当|/蟆一=30°时，有\ZBQP-ZBRP\=ZASP.

【分析】(1)由题意可得，NABE=60。，Z&4C=60°,利用平行线的性质，得至UNA4"=60°,进而得出

/a=60。，再利用平行线的性质，即可求出”的度数；

(2)①由(1)可知Zfl4c=60。，进而得出NPA。=120。-Na,再利用三角形外角的性质，即可得出结论；

②过点。作QH〃及W,由平行线的性质，得到ZHQA=nO°-Za,进而即可得出结

论；

(3)依题意分四种情况分析：①当P。与线段3C交于点R,与AC的延长线交于点S时；②当尸。与BC的

延长线交于点R,与线段AC交于点S时；③当PQ与线段BC交于点R,与C4的延长线交于点S时；④当

PQ与A3的延长线交于点Q,与CB的延长线交于点R,与C4的延长线交于点S时，利用三角形内角和定

理和三角形外角的性质，分别表示出NBQP、ZBRP.ZASP,即可得出结论.

【解析】(1)解：ZABC=30°,ZCBE=30°,ZACB=90°,

:.ZABE=6Q°,ZR4C=60°,

DE//MN,

.\ZBAM=ZABE=60°,

Za=180°-ZBAM-ZBAC=60°,

PQ//AC,

:.Zj3=Za=60°；

(2)解：①由(1)可知44C=60。，

ZPAQ=180°-ABAC-Za=120°-Za,

一%尸是△APQ的外角，

ZBQP=ZPAQ+N/?=120。-Na+N/?,

故答案为：ZBQP=120°-Za+Z/3;

②不成立，ZBQP=6O°-ZJ3+Za,理由如下：

如图，过点。作Q"〃MN,

ZBAC=60°,

ZQAN=ABAC+Za=60°+Za,

QH//MN,

ZHQP=180。-,Z.HQA=180°-ZQAN=180。-(60+Na)=120°-Z«,

ZBQP=NHQP—NHQA=180°-Z/7-(12O°-Na)=60°-N分+Ne；

(3)解：依题意有四种情况：

①如图，当PQ与线段BC交于点R,与AC的延长线交于点S时，

ABAC=60°,

ZQAP=1800-ZBAC-Za=120°-Za,

ZBQP=ZQAP+ZJ3=120°-Zcr+Z/?,

•Ne是的外角，

:.Za=Zj3+ZASP,

:.ZASP=Za-Z]3,

ZBRP=ZCRS=180°-/SCR-ZASP=90°-ZASP=90°-Za+Z/?,

|ZBQP-NBRP\=ZASP,

.­.|120°-Za+Z/7-(90°-Z«+Z^)|=Za-Z/?,

整理得：/a-N£=30。，

即当Na-/〃=30。时，W|^BQP-ZBRP\=ZASP；

②如图，当P。与8C的延长线交于点R,与线段AC交于点S时，

MPAN

同①理可得：NBQP=120°-Na+N/3,ZASP=Za-Zj3

NBRP=180°-ZSCR-ZCSR=180°-90°-ZASP=90。—(Ntz—N4)=90。—N(z+NQ,

|NBQP-ZBRP\=ZASP,

.•.|120°-Za+Z/7-(90°-Za+Zj3)\=Za-Zj3,

整理得：Na-N尸=30。，

即当Na-/〃=30。时，|ZBQP-ZBRP\=ZASP；

③如图，当PQ与线段3c交于点R,与C4的延长线交于点S时,

.NQPA是“ASP的外角，

=ZASP+ZSAP=ZASP+乙a,

AASP=A/3-Aa,

/a?P是二CSR的外角，

ZBRP=ZACB+ZASP=90°+Z/?-Za,

|NBQP-ZBRP\=ZASP,

.•.|120°-Za+Z/7-(90°+Z/5-Za)|=Z/7-Za,

整理得：/尸-Na=30。，

即当N£-Ne=30。时，有=ZASP；

④如图，当PQ与AB的延长线交于点。，与CB的延长线交于点R,与C4的延长线交于点S时,

同③理可得：ZASP=Z^-Za,

ZBAP=180°-ABAC-Za=120°-Za,

二/BQP=180°—-BAP=180°-—(120°-Na)=60°-/，+,

=180。-ZACB-ZASP=180。-90。—(NQ-Ntz)=90。一N尸+Na,

又•\NBQP-NBRP\=ZASP,

|60°-Z/7+Za-(90°-Z^+Z«)|=Z/7-Za,

整理得：Z/?-Za=30°,

即当N£-Na=30。时，|ZBQP-ZBRP\=ZASP；

综上可知，当|/1一/4=30。时，有|/3。尸一/酸？卜NASP.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角等知识，灵活运用相

关知识找出角度之间的数量关系是解题关键.

题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用

13.如图1,点E在BC的延长线上，已知=

图1图2

⑴求证：AB//CD-.

⑵连接AE,NA4E的平分线和/OCE的平分线所在的直线相交于点F（点产与点C不重合）.

①如图2,若/胡石=66。,/。匿=70。，且点尸在NDCE平分线的反向延长线上，则NAFC=

②试探究为ME与NAFC之间的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）①68；②2//1尸。+/04£=180°或2//1尸。一/04£=180°

【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；

（2）①设AF、8E交于点G,根据平行线的性质得出N3=〃CE=70。，根据角平分线定义得出

NBAF=-NBAE=33°,根据三角形内角和求出ZCGF=ZAGB=180°-70°一33°=77°,根据角平分线定义

2

求出ZGCF=1x70°=35°,根据三角形内角和定理求出ZAFC=180。一77°一35。=68。；

②分两种情况：当点尸在/OCE平分线的反向延长线上时，当点尸在/OCE平分线上时，分别画出图形，

求出结果即可.

【解析】（1）证明：SADBE,

SZD=ZDCE,

BZB=ZDCEf

^\AB//CD；

（2）解：①设AF、BE交于点、G,如图所示:

团AB〃CD,

⑦NB=NDCE=70。,

团AF平分/B4石，

^\ZBAF=-ZBAE=33°,

2

团ZCGF=ZAGB=180°-70°-33°=77°,

团ZGCH=ZDCE=70°,

又团U为/OCE的角平分线的反向延长线，

0ZGCF=-x7O°=35°,

2

团ZAFC=180°-77°-35°=68°.

故答案为：68；

②当点尸在/OCE平分线的反向延长线上时，如图所示:

^ABAE=a,QCE=B,

团AB〃CD,

0/B=/DCE=b,ZCME=ZBAE=a,

[?]ZAEB=180°-ZCME-ZDCE=180°-a-b,

0AD/7BE,

aZ.DAE=ZAEB=180°-a-b,

EIAF平分N5AE,

fflZBAF=|zBA£=i/,

0ZCGF=ZAGB=180°-b-%,

aNGCH=NDCE=b,

又团CF为/DCE的角平分线的反向延长线，

^AGCF=-b,

2

0ZAFC=18Oo-^18O°-/?-1«p!^=1(a+^),

0ZZ)AE+2ZAFC=18O°-a-/?+2x|(«+^)=18O°,

即2ZAFC+ZDAE=180°；

当点尸在NDCE平分线上时，如图所示:

设/BAE=(x,NOCE=»,

ElAB〃CD,

团NB=NDCE=b,

ZAEB=1800-ZB-ZBAE