基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题12基本立体图形及其表面积与体积（六大题型8大易错题）

述题型专练

【考点1基本立体图形】

1.已知S01=2,底面半径/A=4的圆锥内接于球0,则经过S和。14中点的平面截球。所得截面面积的

最小值为（）

25-25〃25-l

AA.—ITB.—ITC.—ITD.51T

234

【答案】A

【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.

【详解】如图,

所以42+（R—2）2=R2,解得R=5,

设经过S和014中点E的平面截球。所得截面圆的圆心为。2,半径为r,球心。到截面的距离。。2=d,

则产=R2一42,要截面面积最小,则r要最小,即d要最大，

22

因为当d为点。至USE的距离时最大，此时d•SE=S。•E0r,又SE=V2+2=2^2,

所以d=空出5x2_5

SE2V2一收

所以「2=52-(9=§,

故截面面积的最小值为何2=皆a

故答案为：Y71,

故选：A

2.已知某圆台的母线长为2a,母线与轴所在直线的夹角是45。，且上、下底面的面积之比为1:4,则该圆

台外接球的表面积为（）

A.40irB.64TTC.80TlD.128ir

【答案】c

【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利

用勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积.

【详解】如图：上，下底面圆心分别为M,N,外接球球心为。，

连接。如图所示：

因为上、下底面的面积之比为1：4,则上底面半径与下底面半径之比为1:2,即CN=2M8,

又母线与轴所在直线的夹角是45。,故NBCN=45°,结合BC=2vx

则有CN-BM=2,MN=2,故CN=4,BM=2,MN=2

记圆台外接球半径为R,OM=h,

在直角△OCN和直角△OBM中由勾股定理知：0M2+MB2=OB2,ON2+NC2=OC2,

22

则有层+2=(21h)2+4,解可得九=4,

故圆台外接球的半径”=4+16=20,

则该圆台外接球的表面积S=4TTR2=807T.

故选：C.

3.已知球。半径为4,圆01与圆。2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4,若|。0/=3,|0。2|=W，

则两截面圆的圆心距|。1。21=()

A.V3B.#C.3+V3D.2V3

【答案】D

【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形以及勾股定

理求解即可.

【详解】设圆。1与圆。2公共弦为2B,其中点为E,

122222222

则|。川=yJ\OA\-\OO±\=V4-3=夕，|。川=yJ\OA\-\002\=^4-=V13,

2222

所以|。拉|=V|OiX|-\AE\=V7^4=V3,\O2E\=y/\O2A\-\AE\=V13-4=3,

所以在RtAOOiE中，tanNOE。1='=百，所以NOE。1=60。，

在RtAOQE中，tanNOEO2=],所以NOEQ=30。，

所以在AOiEOz中，ZO1£O2=90°,所以IO1O2I=0。2初2+|。1回2=5忑=2痼

故选：D.

4.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9b11,则圆锥的高为（）

A.V3B.2A/3C.3A/2D.3百

【答案】D

【分析】设圆锥的底面圆半径为r,用r表示高的长，由圆锥体积求得r的值，继而得高.

【详解】设圆锥的底面圆半径为r,因圆锥轴截面为正三角形，故圆锥的高即日X2r=gr,

于是有京/xV3r=9V3TT,解得r=3,故圆锥的高为3次.

故选：D.

5.在母线长为4的圆锥P。中，其侧面展开图的圆心角为5则该圆锥的外接球的表面积为（

256Tlc25671

A.3211B.等C.------D.-----

1549

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾

股定理建立等量关系即可求出外接球的半径.

【详解】设圆锥底面圆半径为r,

圆锥的高P。=VPX2-r2=V42-l2=V15,显然圆锥P。的外接球的球心。i在线段P。上，

设球。1的半径为夫,。。1=x.连接则由R=P0i=a0「

得同一久=后百，解得久=若，即/?=底—乂=甯，

所以该圆锥的外接球的表面积S，=4W?2=钮x（瞥＞=誓.

故选:C

6.已知球。与圆台01。2的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为心、?2,且2万与二2•若球和圆

台的体积分别为匕和乙,则学的最大值为（）

V2

A1c2-2r4

A.—B.-C.-D.-

3737

【答案】D

【分析】设球。的半径为R，利用球与圆台相切得R2=心「2和圆台。1。2的高为2R，再利用圆台和球的

体积橘=备，再利用对勾函数的图象与性质，计算得结论.

「2

【详解】

O1r,A

。2r2A\

因为球。与圆台01。2的上下底面和侧面都相切，

圆台上下底面半径分别为&、r2,且2万3万，

由切线长定理有圆台。1。2的母线长为q+上，

设球。的半径为凡几何体轴截面上右端点为4下右端点为B,

过点A作2411BO2于&,则圆台。1。2的高441=2R,=r2-r1；

2rr2

则由勾股定理有（q+r2）=（.2~i）+4R2,化简得R2=rrr2,

因为球。与圆台01。2的体积分别为匕和匕，

DI——___________222_2

女一手用+喈+Jw*同.2R—呼+学+”一争争1'

因为工。2,所以包“0,1,

丁2\2」

令y=t+g+l，由对勾函数可知,te（0,4时,y随t的增大而减小,

当3=工时，2+生+i取得最小值，最小值为工+2+1，，

r22r2rl22

所以称的最大值为!■=J

V2-7

故选：D.

7.已知正方体ABCD-ABiGDi的棱长为2,"为CQ的中点，球。与正方体的各个表面都相切，则平面

MBD截球O所得截面的面积为.

【答案w

【分析】设2。，AC交于。，作。H1QM于X,证明。平面BMD,所求截面为以H为圆心的小圆,

求圆的面积即可.

【详解】如图：

设BD,AC交于。，作。H1QM于“，

在正方体ABC。-中，

阴，平面4BGD,BDu平面2BCD,

所以a&lBD,又BD12C,AAr(\AC=A,

所以B£>_L平面4CCi力i，OHu平面ACC/i，

所以8。1。//,又OH1QM,BDCQM=Q,且两直线在平面内，

所以。H1平面BMD,

在RtAOQM中，求得。”=宏，故所求截面为以〃为圆心的小圆，

半径为r=J1—瑶y=f,故所求面积为门产=全

故答案为：三

8.已知某圆锥的底面半径长为2,侧面展开图的面积为等，则该圆锥内部最大球的半径为.

【答案】1

【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，作出圆锥轴截面，设圆锥内部最大球即与圆

锥相切的球的半径为r,然后利用三角形相似可求得结果.

【详解】设母线长为2,依题意“x2TTx2=等，解得1=三,

所以圆锥的高为h=J管了_22=

作出圆锥轴截面如图，

设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为r,

由于ASOBmASCOi，则空=&,

OBSB

8_

可得；=寻，解得r=L

故答案为：1

【考点2空间几何体的表面积】

9.正四棱台4BCD-&B1C1D1中，上底面边长为2,下底面边长为4,若侧面与底面所成的二面角为60°,

则该正四棱台的侧面积为（)

A.8B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】做正四棱台的截面,先求斜高，再求侧面积.

【详解】如图:

取棱的中点，作截面EFGH,贝炉G、为正四棱台的斜高.

在等腰梯形EFGH中，易知EF=2,GH=4,乙EHG=60。,所以E”•cos60。=瞪=1nEH=2.

所以四棱台的侧面积为：4X1X(2+4)X2=24.

故选：C

10.《几何原本》是一部重要的几何著作，其第十一卷中把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.

在直角圆锥S。中，力B为底面圆。的一条直径，且AB=2,则直角圆锥S。的侧面积为（）

TT

A.B.JIC.V2TCD.2n

2

【答案】c

【分析】根据给定条件，求出直角圆锥S。的母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得.

【详解】依题意，直角圆锥S。的母线长S4=&,而圆锥底面圆半径为1,

所以直角圆锥S。的侧面积为Ttx1xV2=V2it.

故选：C

11.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组

合而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,。是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以。为球心，半

径为4m的球相切，则圆锥的侧面积为（）

22

A.sVSirmB.lSVSirmC.20Ttm2D.40Tlm2

【答案】C

【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长1=5,进而可求圆锥的侧面积.

【详解】设POi=h.PA=4八为圆锥高，/为圆锥母线长）

OM•・以。为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则。M=4,

在APOA中，SAPOJ4=|(/I+2)-4=|-4Z,可得％+2=1,

且八2+16=%则(1-2)2+16=y，解得［=5,

所以圆锥的侧面积为S侧=m7=nx4x5=20mm2）.

故选：C.

12.在正四棱台2BCD中，力B=2A1B1,AA1=2百,若正四棱台的高为2a,则其表面积为（）

A.24V5B.12V5C.24+24有D.40+24有

【答案】D

【分析】设&Bi=a,则力B=2a,连接AC,BD交于点。，连接交于点。「连接。01，即可

得到。01为正四棱台的高八,由勾股定理求出a,再求出斜高，最后由表面积公式计算可得.

【详解】设4/1=a,贝=2a,

如图，连接AC,交于点。，连接AG，/。］交于点0「连接。。「

由正四棱台的几何性质可知。1，。分别是上、下底面的中心，

所以。011平面48CD,。。］，平面4/16%,所以。。1为正四棱台的高九,

所以由题可知h=2V2,过点为作1A。交A。于点H,

则/+（40一401）2=（441）2,即兴+（奁a—?a）=（2V3）2,解得a=2/，

过点乙作1AB交AB于点H',则为斜高，此时&/T=712^2=V10,

所以正四棱台的表面积为S=4x至曳膂回+（2或产+（小②）2=40+24V5.

故选：D.

13.已知正三棱台ABC-&B1G的上底面积为百，下底面积为4W，高为2,则该三棱台的表面积为（）

A.5V3+3V39B.3回C.5V3+18D.18

【答案】A

【分析】由上下底面的面积可求出上下底面边长，构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，

求出侧面积后得表面积.

【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为2和4,

设G在底面48C内的射影为作HQ1BC于Q,

Cl"1平面ABC,BCu平面4BC,则有的“1BC,

又HQIBC,C]HCHQ=H,Ci",HQu平面CjWQ,所以BC1平面G//Q,

GQu平面C]HQ,所以8C1GQ,

由BC=4,BiG=2,BBi=CCi，贝|CQ=1,

又乙HCQ=g所以HQ=g,则GQ=Jaw+取2=等,

故三棱台的侧面积为等x苧x3=3回，表面积为5百+3回.

故选：A.

14.己知球的半径为1,其内接圆锥的高为|,则该圆锥的侧面积为（）

A.-B.—C.—D.3n

422

【答案】c

【分析】求出圆锥的底面半径与母线，再由圆锥的侧面积公式计算可得.

【详解】因为球的半径R=l,其内接圆锥的高为八=|,

所以圆锥的底面圆半径为r=J7—（|—I?=当，母线长为Z=j+ST=®

所以侧面积为S=Tirl=nx曰xV5=g.

故选：C.

15.如图，圆台的上、下底面半径分别为「1，r2,且2rL+上=12,半径为4的球与圆台的上、下底面及每

条母线均相切，则圆台的侧面积为（）

【答案】D

【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解以「2,然后代入圆台的侧面积公式求解

即可.

【详解】如图所示，作出轴截面,

02G8。1,02分别为上下底面圆的圆心，M为侧面切点，。为内切球球心,

则。为a。2的中点,

0M1AB,。。1=0M=4,0］。2=8,0rA=MA=r1,02B=MB=r2,

因为2^+0=12,所以0=12-2q,

则4B=MA+MB=q+上=12-q

过点4作AGIQB,垂足为G,

则BG=r2-=12-3rt,

在RtAABG中，由勾股定理得4G2+BG2=AB?,

即82+(12-3rJ2=(12-r1)2,解得=2或q=4,

因为q<r2>所以G=2,r2=8,故力B=10,

所以圆台的侧面积为nx10x(2+8)=lOOn.

故选：D.

16.已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在

球。的球面上，球。的体积为竽IT,且球心0在该圆台内，则该圆台的表面积为（）

A.（2V10+5）TTB.（3V10+5）TT

C.（2V10+4）nD.（3V10+4）n

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为2r,球心。到圆台上底面的距离为a,由球。的体积可得半径为R=遮,

结合圆台的结构特征列式解得a,r,进而可求得表面积.

【详解】设圆锥的底面半径为2r,依题意得该圆台的上底面半径为r,且圆台的高为3.

设球心。到圆台上底面的距离为a,球。的半径为R,

由球。的体积为=竽m解得R=V5,

因为点0在该圆台内，贝‘，解得

晨3—aY+（2r）z=5=1

可得该圆台的母线长I=V32+r2=V9+1=V10,

所以圆台的表面积为S=Tt（r+2r）Z+irr2+it（2r）2=3irr/+5itr2=（3V10+5）it.

故选：B.

17.ATIBC与△48。都是边长为2的正三角形，沿公共边4B折叠成60。的二面角，若点A,B,C,。在同一

球。的球面上，则球。的表面积为（）

13-208-n〃52、112n

AA.—ITB.——C.—ITD.——

9993

【答案】C

【分析】根据外接球球心的性质确定球心。的位置为过正△ABC与AABD的中心的垂线上，再构造直角

三角形求解球。的半径，即可求解.

【详解】解：由题，设正AABC与A4BD的中心分别为N,M,

根据外接球的性质有0M，平面48。，ON1平面ABC,

又二面角。-AB-C的大小为60。，故ADEC=60°,

又正△ABC^A力的边长均为2,

故DE=CE=V3,

故EM=EN=-ED=―,

33

•••0E=OE/OME=乙ONE,

・•・Rt△MEO=Rt△NEO,

故NME。=(NEO=30°,

故球。的半径。8=产+§2=号,

故球。的表面积为S=4nx（手＞=等.

故选：C.

18.如图，圆柱形容器内部盛有高度为2cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）

后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（）

X

X

II

A.3TTB.4irC.5JTD.6TT

【答案】B

【分析】设铁球的半径为R,根据体积关系列出方程，求得R=l,结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】设铁球的半径为R,有2TTR2+3x1nR3=nR2x6R,解得R=1,

则一个铁球的表面积为4m

故选：B.

19.已知圆锥的顶点S和底面圆周都在球。的球面上，且母线长为2,4B为其底面圆周上的两点，若ASAB

面积的最大值为机，则球。的表面积为.

【答案】詈/费豆

【分析】本题根据已知条件得ASAB为轴截面时，乙4sB最大，再根据球心在SE上，由此列方程或者根

据正弦定理可求得外接球的半径，即可求出外接球表面积.

【详解】如图所示，因为SASM=|S4•SB•sinNASB=2sin乙4sB<2,

所以当ASAB为轴截面时，乙4sB最大，

因为△SAB的面积最大值为百，

贝lj（sin乙4SB）max=弓,所以4SB）max=%

即圆锥的轴截面SPQ为等边三角形.

解法一：因为圆锥的母线长为2,所以在RtASEQ中，SE=SQ-sing=8,

设球。的半径为凡贝UOP=R,PE=1,OE=百一R,

在RtAOPE中，OP2OE2+PE2,

即R2=(V3-R)2+I2,解得R=专，

解法二：因为。为ASPQ的外心，所以外接球直径2R=矗=1，即7?=专，

所以外接球表面积S球。=4RR2=等.

故答案为：等.

20.如图，四边形ABC。是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把AADE折起，使点。到达点尸

的位置，且NPAB=g.

(1)求证：PE1平面P2B；

⑵求三棱锥E-P4B的表面积

【答案】⑴证明见解析

(2)4+73

【分析】(1)求出各边，由勾股定理逆定理求出PB1PE,结合PA1PE得到线面垂直;

(2)求出各边长，利用三角形面积公式得到各三角形面积，相加得到表面积.

【详解】(1)由题可知P41PE,

PE=DE=1,BE=y/EC2+BC2=V5,

VAPAB,/-PAB=

3

・•.△P4B为等边三角形，

•••PB=2,

PB2+PE2=5=BE2,

PB1PE.

PBCyPA=P,PB.PAcnPAB,

：.PE1平面PA8.

(2)由(1)得PE1PB,PE1PA,PA=PB=2,

,t'SAPAE=S“PBE=-PAxPE=-x2xl=l,

由三角形面积公式得SAPM=^PAxPBxsin==V3,

SZEAB=2%xAB=2,

••・三棱锥E-P4B的表面积

S=SAPAE+SAPBE+SAEAB+SAPAB=l+l+2+V3=4+V3.

21.如图，在三棱锥4—BCD中，点E为棱BC的中点，点。为DE的中点，4ABC,ABCD,△2ED都是正三

角形.

(1)求证：2。_L平面BCD；

(2)若三棱锥4-BCD的体积为:求三棱锥4-BDE的表面积.

【答案】①证明见解析

【分析】(1)由已知可得AE1BC,DE1BC,可证BC1平面4DE,可得BC1A。，又易得力。IDE,

进而可证4。1平面BCD.

(2)由已知可得40=^a,BC=争,利用体积可求得a的值，进而可求表面积.

【详解】(1)因为△4ED是正三角形，点。为DE的中点，所以4。IDE.

因为△ABC,△BCD是正三角形，点E为8c的中点，

所以AE1BC,DE1BC.

因为aEnDE=E,DEc^^ADE,AEu平面ADE,

所以BC1平面ADE.

因为4。u平面ADE,所以BC14。，

因为BCCiDE=E,BCu平面BCD,DEu平面BCD,

所以4。_L平面BCD.

(2)设力D=a,则△力DE是边长为a的正三角形，因为力。1DE,所以40=?a,

因为△BCD是正三角形，且BClDE,DE=a,所以BC=^a,

1

所以三棱锥A-BCD的体积U=工*4。义工*8。*。£=工义立£1义工*速£1X£1=工£13=2,所以£1=3,

32322362

A4DE的面积为在xDE2=—X32=—,

444

AABE^^OBE的面积相等，其面积之和为2x3x遮x3=3值，

在AABD中，AB=BD=2V3,AD=3,

所以AABD的面积为xJAB2-(|^£>)2=IX3XJ12_：=字.

所以三棱锥2—的表面积为竽+3V3+^=咛竺.

444

【考点3空间几何体的体积】

22.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦

娥奔月"到古代"万户飞天"，从诗词"九天揽月"到壁画"仕女飞天"......千百年来，中国人以不同的方式表

达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥

和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部

注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为()

八325IT3257T

A.----B.等D.

12C916

【答案】A

【分析】结合轴截面分析可知。1B=02c=2,。1。2=6,。2。3=1,03F=I，再利用圆柱以及圆台的体

积公式运算求解.

【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台,

取轴截面，如图所示，。1，。2，。3分别为28,。。,9尸的中点,

可知：AB^\CDS\EF,且0/=。2。=2,。1。2=6,02P=4,。2。3=L。3P=3,

可曙磊，即。

nx22+nx(|)+Jirx22xnx2y325Tl

所以该容器中液体的体积为nx22X6+1X1=——.

112

故选：A.

23.荷泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.

沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为36cm,把该瓷器看作两个相

同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为20cm,下底直径约为40cm,忽略其壁厚，则该瓷器

的容积约为（）

A.4200Ticm3B.8400Trcm3C.16800Trcm3D.33600ircm3

【答案】B

【分析】根据圆台体积公式求解.

【详解】根据题意，7=2%台=|irXyX(102+10X20+202)=8400TT.

故选：B

24.如图，在六面体ABCD—4/16%中，平面力BCD〃平面四边形A8CD与四边形是

两个全等的矩形，力以/a/razv/aiDi.aaii平面ABCDAB=81cl=6,BC=4当=io,AAr=6,

A.288B.376C.448D.600

【答案】B

【分析】先根据题意把六面体4BCD-ABiGA可以看成长方体的一部分；再结合柱体体积和锥体体

积用该长方体的体积减去多余部分的体积即可求解.

【详解】在长方体ZB2c2。-2/停3。2中，AB2=4。=10,AA1=6.

根据题意可知：六面体4BCD-&B1C1A可以看成长方体452c2。-4/道3。2的一部分.

因为长方体282c2。-4/住3。2的体积上=S&AB42Dx\AA±\=10x10x6=600；

直三棱柱8B/2-CC2c3的体积%=SABBIBZx田2c2I=Tx(10-6)x6x10=120：

直三棱柱GC2c3-的体积匕=5AC1C2C3x\DC2\=|X(10-6)X6X10=120；

三棱锥C-QC2c3的体积匕=|xSAQC2C3x|CC21=IxIx(10-6)x6x(10-6)=16,

所以六面体4BCD-的体积U-V1-V2+V3=600-120-120+16=376.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查不规则几何体体积的求法，涉及柱体和锥体体积公式.解题关键在

于不规则几何体借助于规则几何体去求解即可.

25.如图，已知三棱柱48C-的所有棱长均为2,满足1B©则该三棱柱体积的最大值为()

A.V3B.3C.2A/3D.4

【答案】B

【详解】如图：取2C的中点M,连接

因为ABBiAi是菱形，所以力BilAiB,又因为BiClAiB,ABx,BrCXS1nB1C=B1,

所以平面ABC因为ZCu平面gC,所以2/1AC,

因为=AB=BC,所以BM1AC,又因为&B,BMu平面4/M,CBM=B,

所以4C1平面4BM,因为u平面所以AC141M,

力iM=A&sin60。=百，当侧面4CQ力1，底面力BC时，三棱柱的体积最大，

此时三棱柱的高即为=相，V=<3S^ABC=百x"x22=3.

故选：B

26.若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为4m则该圆锥的体积为()

A.211B.3KC.4iiD.6ir

【答案】B

【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1,进而求出圆锥的底面半径

和高，代入圆锥体积公式，可得答案.

【详解】

如图，由题意知AABC内切圆和外接圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，则AABC为正三角形,

因为内切球表面积为4ir,设内切圆的半径为r,则4m'2=411,所以内切圆的半径为1,

所以△48。的边长为2BD=2x高端=2x/=20

所以圆锥的底面半径为,，又高为AD=3X0。=3,

故圆锥体积U=|xnx(V3)2x3=3n,

故选：B.

27.已知三棱锥S-4BC,S41平面4BC,AB=AC=2,/.BAC=120°,若三棱锥外接球的表面积为28m

则此三棱锥的体积为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用正弦定理求出△ABC外接圆的半径r,根据球的表面积求出球的半径R,再由041平面力BC,

贝底2=产+（当丫求出$4,最后根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】因为AB=AC=2,^BAC=120°,所以N28C=4ACB=30°,

S》BC=•ACsin^BAC=jx2x2Xy=V3,

设△ABC外接圆的半径为r,贝I]2r=3—=昌=4,即r=2,

smz.ACB-

2

设三棱锥外接球的半径为R,4TT/?2=28n,解得R=V7（负值已舍去）；

因为S4_L平面力BC,所以R2=产+（当）2,即7=4+（F）2,解得sa=2百（负值已舍去）；

所以%-ABC=I^BC-sx=|XV3X2V3=2.

故选：B

28.若一个圆锥的轴截面顶角为120。，母线长为2,则这个圆锥的体积为.

【答案】n

【分析】根据轴截面可得OP=1,OA=V3,即可由体积公式求解.

【详解】如图：由于圆锥的轴截面顶角为120。，故乙4P。=60。，

又PA=2,所以。P=1,04=V3,

故圆锥的体积为[it-OA2-OP—|TTx（V3）2x1=it,

故答案为：it

29.如图，平行六面体ABCD中，底面力BCD是边长为2的菱形，且NB4D=60。,441=

V6,/.ArAB=4&他北与鸟口交于。,4/。=45".

（1）证明：A1。1平面力BCD；

⑵求四棱锥&一BBi%D的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）根据菱形的性质及全等三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一和余弦定理的推理,

结合勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可求证；

（2）根据（1）的结论及线面垂直的判定定理和性质定理，利用矩形的性质及勾股定理，结合棱锥的

体积公式即可求解.

【详解】（1）因为底面力BCD是边长为2的菱形，所以

因为N414B=/.A^D.AA^所以aAArAD,

所以=DAr.

因为点0为线段BD中点，所以

在△414。中，AAt=V6,AO=VS^A^O=45°,

所以cosNW。=T="EU。：解得A。=V3.

727

所以（匹）=（V3）+（遍），即4遇2=。人2+402,所以401。4

又。4CBD=。，。2u平面4BCD,BDu平面28CD,

所以4。J_平面ABCD.

（2）由（1）知，A101BD,又四边形28CD为菱形，所以4C1BD,

又力iOCiAC=。，41。＜=平面人1。力，ACu平面力1。力，所以BD_L平面21。4,

又4ALu平面所以BD1A41，

又力BCD-4/1C/i是平行六面体，所以441/BB],

所以四边形为矩形，

由（1）知，41。=V3,0B=1,&。10B,所以=ArD=2,

从而=ArD=a/i=ArDr=2,

连接Bi。，BDi交于。i，连接乙。「如图所示

在ADAiB］中,ArD=A1B1,为真。的中点,所以^心1同理力i/lBDi，

又B［DCBD］—。］,B］Du平面BB［。］。，BD】u平面BBi。］。，

所以4。11平面BB/iD,线段4。1的长为&到平面BB/m的距离.

由BO=2,BB1=V6,可得DBi=2D01=V10,

在直角三角形&。。1中，&。1=NAM—DO：=J22—(第2=彳，

11A/6R

,,匕1-88也。=2.4。1,SBB、D,D=0x-yX2V6=2.

30.如图，在棱长为4的正方体/BCD-EFG”中，将侧面CDHG沿CG逆时针旋转角度。至平面。。担传，其

中86(0,小，点P是线段EF的中点.

⑴当tanNDiP%=|时，求四棱锥P-C£>i"iG的体积;

(2)当直线D%与平面CA/G所成的角为g时，求cos。的值.

6

【答案】⑴雪

(2手

''4

【分析】(1)只需算出PG=2强，并证明PG1平面CDi/G,然后结合棱锥体积公式计算即可；

(2)建立适当的空间直角坐标系，用。表示直线。名的方向向量与平面CDiHG的法向量，结合已知即

可列方程求解.

【详解】(1)由题意A%_L平面EFGH,P%u平面EFGH,

所以1PH1,又因为tanND/Hi=|,

得符甘，所以P%=6,

rn-yJ

因为PG=2V5,GHi=4,P%=6,

所以PG?+GHl=P城,

故PG1GH1,又A%1PG,G%ClDi%=

故PG1平面CDi"iG,

所以%棱锥P-CDIHIG=2X4X4-PG=芋.

（2）如图，易知G”,FG,GC两两垂直，以G为原点，旗，而，次为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

由题知=9,贝ijG(0,0,0),C(0,0,4),"i(4cosi9,4sina0),D(4,0,4),

故诧=(0,0,4),西=(4cos0,4sin0,0),

设平面C£»i/G的一个法向量为沅=(久,y,z),

,fm-GC=0,,g(4z=0,

[m.~GH[=0,WUxcos0+4ysin0=0,

取y=1,得％=—tan。，故沆=(—tan®,1,0),

又DH]=(4cos0—4,4sin0,-4),

ci”一lrnc/7T7FMl_|-4sine+4tane+4sin6|

6-I'1，，-Vl+tan2e-V16(cos0-l)2+16sin20+16,

gn_________________tan8____________________工，

V1+tan20yJ(cosO-1)2+sin26+12，

化简可得4cos2。—2cos0—1=0,

解得cos。=上走或cos。=三走(舍去).

44

31.如图，已知四棱锥P-4BCD中，平面PAD1平面=90。，AD=2BC=2CD=4,

8。〃1。出产分别为48/。的中点.

①求证：EF〃平面PAD；

(2)若侧面P2D为等边三角形，求四面体8-CEF的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由三角形中位线结合BM〃CD且BM=CD得到四边形FENH是平行四边形，所以NH〃EF,

由线面平行的判定证得EF〃平面P4D；

(2)由面面垂直得到线面垂直从而得到F到平面2BCD的距离九==旧，在梯形4BCD中得到A

EBC的面积，由/_CEF=O_EBC得到所求棱锥体积.

【详解】(1)如图，取AD的中点M,取2M的中点N,取PD的中点H,连接NH,EN,BM,HF.

因为从尸分别为PD,PC的中点，所以HF〃C。且HF=3。。，

因为N,E分别为AN,48的中点，所以EN//BM且EN=\BM,

又因为BM〃CD且BM=CD,所以HF〃NE且HF=NE,

所以四边形FEN"是平行四边形，所以NH//EF.

又由EF，平面P4D,NHu平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)

如图，连接PM.

因为△P2D为等边三角形，所以PM14D,

因为平面PADJ•平面4BCD,平面PADn平面力BCD=AD,PMu平面PAD,所以PM1平面力BCD.

因为4D=4,所以AP=4,AM=2,PM=yjAP2-AM2=2V3,

又因为尸为PC的中点，所以点尸到平面2BCD的距离八=gPM=V3.

在梯形4BCD中，由&WC=90。，力。=2BC=2CD=4,可得48=2鱼，所以BE=24B=V^,

又由NEBC=135°,所以SAEBC=[xBExBCsinzFBC=|xV2x2Xy=1,

故%-CEF=VF-EBC=[s^EBch=《xBxl=?,所以四面体B-CEF的体积为日

32.如图是一个平面截底面边长为2的正方形的长方体ABC。-Ai/GDi所得的几何体与

BD相交于点0,4E=1,CG=2,BF=DH.

（1）证明：0Gl平面BDE；

⑵求三棱锥G-BDE的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）借助AEd。0CG,可证E01G。，再利用BD1平面力CGE,可得BD10G,从而可

得证；

（2）先求S"DE和0G,利用棱锥体积公式计算可得.

【详解】（1）如图，连接E。，

.•四边形2BCD为正方形，AB=2,.-.0A=OB=0C=OD=V2,

VAE1平面4BCD,CG1平面u平面4BCD,；.AE1AC,CG1AC,

,,AE_1_V2OC_y/2AE_OC