几何体的内接球与外接球阿氏球等17类题型（解析版）-2025年高考数学复习题型重难点专项突破

专题8-1几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型

模块一卜热点题型解读（目录）

【题型1］球的截面问题

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

【题型6】球心在高上（圆锥形）

【题型7】圆台，棱台外接球模型

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

【题型11］外接球之二面角模型

【题型12］内切球之棱锥，圆锥模型

【题型13］内切球之圆台，棱台模型

【题型14】多球相切问题

【题型15］棱切球问题

【题型16］构造球解决空间中动点构成的直角问题

【题型17］阿氏球问题

模块二\核心题型•举一反三

【题型1］球的截面问题

基础知识

球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值

形成方式半圆绕其直径所在直线旋转一周，如图记作：球o

大圆：经过球心的截面圆

相关概念小圆：不经过球心的截面圆

结构性质两点间的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长

球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面

【例1】（2。2。.全国2卷TH）已知“g是面积为苧的等边三角形,且其顶点都在球

0的球面上.若球0的表面积为16兀，则0到平面ABC的距离为（）

A.6

【答案】C

【分析】根据球。的表面积和AABC的面积可求得球。的半径尺和外接圆半径厂，由球的性质

可知所求距离d=JR?-产.

0

【详解】

♦.................~....

设球。的半径为R,则4万4=16%，解得：R=2.

设AABC外接圆半径为,，边长为。，

•.•△ABC是面积为攻的等边三角形，

球心0到平面ABC的距离[=JR2f2="与=].

【例2】（24-25高二上•贵州遵义・阶段练习）已知A,B,C,。四点都在球。的球面上，且A,B,

C三点所在平面经过球心，AB=45=则点。到平面ABC的距离的最大值为,

球。的表面积为.

【答案】464元

【分析】利用正弦定理求得VABC外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球

的表面积公式即可得解.

【详解】在VABC中，AB=46,=]

根据正弦定理一L=—=—£—=2r（r为VASC外接圆半径），

sinAsinBsinC

cAB46°

._jrQr____________—v—Q

a=AB=473,c=ZACB=—,所以-sinC?一.兀一，解得厂=4.

3sin—

3

因为A、B、C三点所在平面经过球心0,所以球0的半径R=r=4.

因为A、B、C三点所在平面经过球心0,

当0D垂直于平面ABC时，点。到平面ABC的距离最大，这个最大值就是球的半径R,

所以点。到平面ABC的距离的最大值为4.

则球的表面积为5=4兀尺2=4TTX42=647t.

【例3】（23-24高三下•广东江门•阶段练习）已知正四面体A-3CD的内切球的表面积为36兀，过该

四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A-3CD,则所得截面的面积为

【答案】54后

【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作47/，平面BCD,连接并延长交CD于

点、E,且点E为C£＞中点，连接AE,记内切球球心为0,过。作设正四面体边长为

然后结合正四面体的性质可求出。，从而可求出截面的面积.

【详解】解：由内切球的表面积S表=4TIR2=36兀，得内切球半径R=3

如图，过点A作A〃_L平面8c。，则点H为等边△3CD的中心

连接28并延长交C£）于点E,且点E为C£＞中点，连接4E,

记内切球球心为。，过。作设正四面体边长为。，

则BE=AE=-a,BH=-BE=—a,HE=—a,

2336

所以=7A£2-HE2=J-a2-—a2=—a,

V4363

又因为。H=O尸=3,所以40=坐0-3,

由△ACEs△酒，得当=北，即当_=解得a=6"

Ac,17JD7575

—ci—Cl

26

因为△ABE1过棱A8和球心O,所以即为所求截面

且S&ABE=—BE-AH=--xaxa=a2=54A/2.

△ABE22234

【巩固练习1]已知VA5c是面积为％8的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上，若球。的表

4

面积为28兀，则点。到平面A3C的距离为.

【答案】2

【分析】设球。的半径为R,由球的表面积解出R,设VABC外接圆半径为「，边长为。，解出「，

由勾股定理求解d即可.

【详解】设球。的半径为R,贝U4酒2=28%解得R=出.

设VABC外接圆半径为广，边长为。，

因为VABC是面积为为5的等边三角形，

4

所以L/x且=2叵解得。=3,

224

__3_—2c,T

由^/3,所以r=\/3,

~2

所以球心。到平面ABC的距离d=—r2=，7—3=2・

【巩固练习2】已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

AB=BC=I,AC=6，则球的表面积是.

.4.、16万

【答案】—

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出VABC的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出

球半径即得答案.

【详解】在VASC中，AB=BC=l,AC=y/3,则_?.AC,sinZBAC=-,

COS——/

AB2

由正弦定理得VABC外接圆半径r=-x——-——=1,设球半径为R,

2sinABAC

1A167r

于是4=(]R)2+1,解得g=§,所以球的表面积是4兀霜=亍.

【巩固练习3】(2024.辽宁丹东.一模)已知球。的直径为AB,C,。为球面上的两点，点M在A8

上，S.AM=3MB,AB_L平面MCD,若△MCD是边长为6的等边三角形，则球心。到平面38的

距离为.

【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为2,将球心0到平面的距离转化为为"到平面

BCD的距离的2倍，进而根据等体积变换可得.

【详解】因为AM=3MB,AB为球。的直径，所以=

故球心0到平面BCD的距离即为M到平面BCD的距离的2倍，

如图

设球的半径为R,由题意可知级>=20M=R,

由or>2=0河2+岫2,MD=6,可得如=2OM=2,故8M=1

如图，

由题意平面MCD,

则BC=BD=^BM2+CM2=Ji?+(用2=2,

BE_LCD,且BE=jBL)2一DE?与=卓，

设M到平面38的距离为d,则由VB_MCD=VM_BCD可得，

-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,

32332

^4—x—x^x^/3x^-xl=—x—,得d=3'^,

32232213

则球心。到平面BCD的距离为小叵

13

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

基础知识

一、长方体外接球：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

二、补成长方体

(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示.

(2)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图2-1

注：《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体

【例1】我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥

称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，而平面ABC。，PA=5,AB=3,BC=4,则该

“阳马”外接球的表面积为()

B

A.至巨B.50万C.100万r500万

D.----

33

【解答】解：把四棱锥尸-ABCD放置在长方体中，

则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，

■.■PA=5,AB=3,BC=4,，长方体的对角线长为+4?+3?=5&，

则长方体的外接球的半径R=述，

2

•••该“阳马”外接球的表面积为S=4/店=4万x（竽了=50万.

【例2】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖席是指四个面都是直角三角形的四面体.如图,

在直角VABC中，AD为斜边BC上的高，AB=3,AC=4,现将△极）沿AD翻折成VA5'。，使得

四面体AB，CD为一个鳖席，则该鳖麝外接球的表面积为

【答案】16兀

【分析】找出鳖月需外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.

【详解】由题设，AB'CAAAB'C都是直角三角形，只需B'CJ.平面即可，

所以鳖月需外接球的球心在过CD中点且垂直于平面B'CD的直线上，

而在直角三角形ACD中，AC的中点到点A,C,£＞的距离都相等，

所以AC的中点是外接球的球心，所以R=gAC=2,S=4nR2=16兀.

【例3】如图，在边长为2的正方形ABC。中，E,尸分别是A3,8C的中点，将AfiEF,

△DCF分别沿DE,EF,£＞尸折起，使得ABC三点重合于点A,若三棱锥A一跖D的所有顶点均

在球。的球面上，则球。的体积为（）

.33^/6门［7n4A后

A.-7tB.-----7iC.J67rD.------兀

243

【答案】C

【分析】根据题意，把三棱锥。一4所可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半

径R=X5,结合球的体积公式，即可求解.

2

【详解】根据题意，可得A'O_L4'E,A'O_LAN,A'E_LA/,且AE=1,42=1,4。=2,

所以三棱锥D-A,EF可补成一个长方体，则三棱锥D-A,EF的外接球即为长方体的外接球，如图所

示，

设长方体的外接球的半径为R,可得27?=JF+仔+2?=,所以R=当，

故选：C.

【例4】在四面体A5CD中，若AB=CD=6,AC=BD=2,AD=BC=布,则四面体ABCD的

外接球的表面积为（）

A.2万B.4〃C.6万D.8〃

【答案】C

【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，

所以可在其每个面补上一个以百，2,百为三边的三角形作为底面，且以分别x,y,z长、两两垂

直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体，并且N+y2=3,X2+Z2—5,

y2+z2=4,则有（2R）2=x2+y2+z2=6（H为球的半径），得2相=3,

所以球的表面积为s=4兀犬2=6兀.

【巩固练习1]（24-25高三上・江苏泰州•期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖膈是指四个

面都是直角三角形的四面体.在直角VABC中，AD为斜边BC上的高，AB=1,AC=g,现将△他）

沿4。翻折成VA5'£>,使得四面体M'CD为一个鳖夥，则该鳖腌外接球的表面积为（）

A5兀C-C13兀

A.—B.571C.371D.

24

【答案】C

【分析】先求出各个边长，翻折后，使得由勾股定理得aC=0,此时

B'C2+B'A2=2+1=3=AC2,由勾股定理逆定理得故满足四面体AB'CD为一个鳖臆，

取AC中点G,连接B'G,DG,得到G4=GC=GZ）=GB',故点G即为该鳖月需外接球的球心，半径

为立，从而求出外接球表面积.

2

【详解】因为直角VABC中，AD为斜边BC上的高，AB=1,AC=^,

所以BC=ViZ^=2,AD=ABAC=—,

BC2

BD=y/AB2-AD2=1,CD=^AC2-AD'=|,

如图，翻折后，使得&D，B'C,由勾股定理得B'C=[DC。-B'D?=

44

此时BC2+B，A2=2+I=3=AC2,

由勾股定理逆定理得B'A±B'C,

结合A£>_LB'。，ADLCD,故满足四面体AB'CD为一个鳖月需，

取AC中点G,连接B，G,DG,

因为AD_LC。，B'ALB'C,ikGA=GC=GD=GB'=-AC=—

22

故点G即为该鳖麻外接球的球心,半径为3，

2

故该鳖月需外接球的表面积为为=3兀.

B',A

G

!/__一

D一C

【巩固练习2］将边长为26的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正

方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

【答案】1871

【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球

体的表面积公式可求得结果.

【详解】在边长为2道的正方形ABCD中，设E、尸分别为AB、8c的中点，

△AED、AEBF、AFCD分别沿DE、EF、ED折起，

翻折后，则有A'DLA'E,ADLAF,AE±AF,

将三棱锥D-A'EF补版长方体A'EMF-DPNQ,

的外接球的半径为R则

2R=ylA'E2+A'F2+A'D2=J(^)2+(73)2+(273)2=3立，

=m,故该三棱锥的外接球的表面积为5=4兀代=18兀.

2

【巩固练习3X2024•广东揭阳•高二校联考期中）在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=s[41，

SC=AB=s/34,则该三棱锥的外接球表面积是（）

A.50兀B.10071C.15071D.200)1

【答案】A

【解析】因为SA=BC=5,S2=AC=A/?T,SC=AB=后，

所以可以将三棱锥S-ABC如图放置于一个长方体中，如图所示:

设长方体的长、宽、高分别为。、b、c,

'a2+b2=41

则有＜/+°2=25,整理得/+》2+02=50,

b2+c2=34

则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，

所以有4+62+02=5o=（2®2nR=¥，

所以所求的球体表面积为：S=47lR2=4x7lX-----=5071.

2

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

基础知识

汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三

角形）

第一步：确定球心。的位置，。|是AABC的外心，则oq，平面ABC;

第二步：算出小圆a的半径AO|=r,(A4=〃也是圆柱的高)；

第三步：勾股定理：OA2=O.A2+O.O2=>7?2=(1)2+r2=>7?=+(^)2,解出R

【例1】已知正三棱柱ABC-A耳G所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为()

A.48TIB.60兀C.64兀D.84兀

【答案】D

【解析】如图，。为棱3c的中点，G为正△A3C的中心，。为外接球的球心

根据直棱柱外接球的性质可知。G〃AA»OG=1A41=3,外接球半径R=OC,

•.•正△ABC的边长为6,则CG=26

2

R2=OC-=OG+CG-=32+(2后=21

外接球的表面积S=4成2=847r.

【例2]设直三棱柱ABC-A与G的所有顶点都在一个表面积是40万的球面上，且

AB=AC=AA,,^BAC=nO\则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+8君B.8+12百C.8+1673D.]6+12石

【答案】D

【解析】设AB=AC=44]=2相，因为/BAC=120°,所以NAC3=3（T.

2m

于是-----=2丫（〃是AABC外接圆的半径），r=2m.

sin30°

又球心到平面A3C的距离等于侧棱长M的一半，

所以球的半径为J（2m）2+m2=y/5m.

所以球的表面积为4兀•（不可=4071,解得帆=0.

因“匕AB=AC=A4,=2叵BC=2底.

于是直三棱柱的表面积是

2x25/2x272+2V6x2>/2+2xlx272x25/2sinl20o=16+1273.

2

【巩固练习1]（24-25高三上•安徽亳州•开学考试）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周

都在同一个体积为三百兀的球面上，该圆柱的侧面积为（）

A.8兀B.6兀C.571D.4兀

【答案】A

【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解.

【详解】球的体积为3冗N=三扃，可得其半径夫=占，

圆柱的底面直径为2,半径为厂=1,在轴截面中，可知圆柱的高为〃=2,心-尸=4,

所以圆柱的侧面积为2jirh=8K.

故选：A.

【巩固练习2】在三棱锥P-ABC中，PAABC,A/LBC为等边三角形，且PA=A8=«,

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

【答案】7n

【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示,

此三棱锥外接球，即为以AABC为底面以Bl为高的正三棱柱的外接球,

设球心为O,作OO'_L平面ABC,则O'为&ABC的外接圆圆心，连接AO',AO,则OO-PA=B

22

设AABC的外接圆半径为r,三棱锥P-ABC外接球半径为R,

AB_A/3_0

由正弦定理，得“

sin60°V3，所以r=l,

T

RGOO'A中，O'^+OO'-=O^,所以解得

所以5=4酒2=7兀.

【巩固练习3】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球0,球。的表面积为阮，则该

圆柱的体积为（）

A.TIB.6■兀C.2兀D.2A/^T

【答案】C

【分析】设外接球的半径为R,圆柱底面圆的半径为「，由球。的表面积为8万，得R=母,根据轴

截面为正方形列方程解得r=l,代圆柱的体积公式得解.

【详解】设外接球的半径为R,圆柱底面圆的半径为"，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的

高h=2r,由球。的表面积S=4/rR2=8〃，得R=0,又R=j+r2=垃r,得r=l,所以圆

柱的体积V=兀r1♦2r=2兀户=2万

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

基础知识

在棱长为a的正四面体中

设正四面体ABCD的的棱长为。，则有

正四面体的高为力=逅4

1、

3

2、正四面体外接球半径为R=a

4

3、正四面体内切球半径为r———a

12

正四面体体积y=旦3

4、

，12

【例1】（2024・湖北宜昌•宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为2TL且4

B,C,。四点都在球。的球面上，则球。的体积为.

【答案】且兀

2

【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a,

所以该正四面体的表面积为S=4x；xax小2_1?=J§>,所以。=血，

又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为可得正方体的棱长为1,

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为6,半径为

所以球。的体积为正兀.

2

【例2】（24-25高三上•广东•开学考试）外接球半径为"的正四面体的体积为（）

A.B.24C.32D.48及

【答案】A

【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半径，由

已知外接球半径为"可得棱长，再由三棱锥体积公式可得.

【详解】如图，设正四面体P-ABC的下底面中心为G,连接PG,则尸G,平面ABC,

连接AG并延长，交BC于D,设此正四面体的棱长为尤，则3了,

2

AG=lAD=^-x,尸6=卜一亭）2=多,即四面体的高八，x.

设四面体外接球的球心为0,连接49,外接球半径为R,

则於=（。刈2+（弓》一尺）2,化简得尺=手入由尺=逐，

得x=4,即正四面体棱长为4,

所以正四面体的体积匕=11x42•'5x4=叵区.

PABC3433

【例3】正四面体的外接球与内切球的半径比为（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【答案】C

【分析】设正四面体S—ABC的外接球球心为0,。1为AABC的中心，设棱长为即可求

出外接球的半径R,利用等体积法求出内切球的半径J即可得解.

【详解】如图，设正四面体S—ABC的外接球球心为0,。1为44SC的中心，则SR，平面ABC,

外接球半径为R=49=SO,内切球半径为广，设棱长为。（。＞0）,

在AABC中，由正弦定理得京区=240,所以A01=立a,

Sm33

所以SO,=JSAZ-AO；=乎a，由H?=AO；+OOf=AO；+（SQ-,

（指Y

即尺2—a+—R解得R=（负值舍去）;

J4

由等体积法得到匕_ABC=；S表，，所以=3匕-诙=3x3x=四=I”,

3S表45412

衣AAOBC

所以R:r=^-a:^-a=3:1.

412

故选：C.

【巩固练习1］已知正三棱锥A-BCD,各棱长均为则其外接球的体积为（）

A973口81五090n9百

816816

【答案】C

【分析】抓住正三棱锥的特征，底面是正三角形，边长为g,则高线的投影在底面正三角形的重心

上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球

的半径为「，进而可求出外接球的体积.

【详解】由A-3CD是正三棱锥，底面是正三角形，边长为君，

则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，

如图，取8的中点，连接AF,过A作A£J_平面BCD,且垂足为E,则防=2所，

A

C

由AB=BC=CD=AD=BD=6

3

则在RtA^CF中，有BF=

2

23

所以BE=-x—=1,

则在Rt"BE中，有AE=J（司=后,

设外接球的半径为r,

则3E2+（AE-r）2=〃，即『+（也一厂『=/，解得r=孚,

4f372?972

故外接球的体积为V=-nr3二一兀x------=----------兀.

3348

【巩固练习2］正四面体尸-ABC中，其侧面积与底面积之差为2石，则该正四面体外接球的体积

为.

【答案】m兀

【解析】设正四面体尸-ABC的边长为。，则该正四面体每个面的面积为追/

4

正四面体尸―ABC的侧面积与底面积之差为更/-立/=立/=2声解得。=2.

442

过点P作平面A3C,垂足为点。，连接A。，可知外接球球心。在上,

设球。的半径为R,AABC的外接圆半径为AO=---=空,PD=NP^_AD。=巫,

2sin60033

由图可知，OD2+AD2=O^,即—~R+~=R2,解得R=逅.

13)32

因此，正四面体尸—ABC的外接球体积为V=±;rx业=瓜兀.

【巩固练习3】一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球体积之比为()

A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1

【答案】D

【分析】作出辅助线，求出外接球和内切球的半径，从而得到体积之比.

【详解】正四面体尸―ABC中，取BC中点。，连接AD,则AD_L8C,

过点P作PE_LAD于点E,

则PE,平面ABC,外接球球心。在PE上，连接则尸=R,

因为正四面体的棱长为2,所以3£>=CD=1,AD=y]AB2-BD2=73,

则AE=ga£>=子，PE=JPA?_AE2T4_g=半,

2[7

OE=PE-PO=--—R,

3

由勾月殳定理得O石2+452=4。2,即冬色__R+处.=R2,

、3)13,

R

设内切球球心为。一则。1在尸E上，过点。1作PD于点则。i£1=aH=r,

故尸Q]=半—r，PD=6,DE=^AD=^~

276

因为△P。]"s4PDE,所以P°L二°",即一^~/=—=—尸,

PDED君卓

~T

解得r=YS,

6

故它的外接球与内切球半径之比为R：/=逅:逅=3:1,体积之比为27:1.

26

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

基础知识［

题设：如图，PAL平面A3C,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

解题步骤：

第一步：将AA3c画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接P。,

则PD必过球心。；

第二步：。|为AA5c的外心，所以平面A3C,算出小圆。1的半径r（三角

形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得上7=］匕=三=2「），OOX=^PA-

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R）2=出2+（2厂）2O

2R=《P#+（2ry;

②R2=r-+00^oR=J产+oo；.

_jr

【例1】已知三棱锥P—ABC的底面ABC为直角三角形，且ZACB=5.若PA，平面ABC,且钻=3,

B4=4,三棱锥尸-ABC的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为V,S,则上=

S

()

A.—B.—C.—D.—

12632

【答案】B

【分析】依题意AABC外接圆的直径为斜边AB=3,设三棱锥P-A3C外接球的半径为R,则

(2Z?)2=AB2+PA2,求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

JT

【详解】因为“1BC为直角三角形且NACB=5，则ACL3C,

又PA_L平面ABC,AB,8Cu平面A3C,则P4_LAB,R4_LBC,

而PAcAC=A尸A,ACu平面PAC,于是BC_L平面PAC,又PCu平面B4C,

因此PCLBC,取尸B中点Q,连接CO1,AQ,则=尸=04=0「，

从而点。即为球。的球心。，设三棱锥尸-ABC外接球的半径为R,

5

则(2尺9)-=钻2+弘2,即4R2=3^+42=25,所以R=],

则V_耳位3=R=5.

4nR2~1~6

JT

【例2】已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且ZACB=5.若尸4,平面A3C,且AB=3,

PA=4,三棱锥尸-ABC的所有顶点均在球。的球面上，记球。的体积和表面积分别为V,S,则卷=

()

【答案】B

【分析】依题意AABC外接圆的直径为斜边AB=3,设三棱锥尸-45c外接球的半径为R,则

（27?）2=AB2+PA2,求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

JT

【详解】因为AABC为直角三角形且NACB=E，则ACL3C,

又“，平面ABC,A8,3Cu平面ABC,则以，AB.PALBC,

而PAcAC=A,PA,ACu平面尸AC,于是3C_L平面PAC,又PCu平面PAC,

因此PCLBC,取尸3中点。一连接C«,A。］,则。］4=。］尸=。］8=。口，

从而点。1即为球。的球心0,设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

5

则（2R）9-="2+R42,即4^2=32+42=25,所以尺=5，

则上=把=«=9.

7"4nR2""6

【巩固练习1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同点，平面ABC,AB/3C,AB=1,8C=逝,

若球。的表面积为4兀，则&4=（）

A.乎B.1C.72D.V3

【答案】B

【分析】根据四面体S-ABC的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得％=1.

【详解】如下图所示：

由SAL平面A3C可知5LABJ.BC,

所以四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别为SA,AB,BC三边长的长方体的外接球半径,

设外接球半径为R,

由球。的表面积为4兀，可得4兀尺2=471,即R=l;

又AB=1,BC=6，4R2=AB2+BC2+SA1,

所以&4=1.

【巩固练习2]2023年高考全国乙卷数学（文）T16

已知点S,A民C均在半径为2的球面上，AABC是边长为3的等边三角形，SAL平面A3C,则

SA=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SAW-ABC,

设AASC的外接圆圆心为。i,半径为7，

2r==_2_=2J3

贝sinZACB6,可得丁=6,

~2

设三棱锥s-ABC的外接球球心为。，连接OA,OO,,则0A=2,00,=JSA,

因为042=00；+。△2,即4=3+,&42,解得q1=2.

4

故答案为：2.

【巩固练习3】已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球。的球面上，且SC_L平面A3C,若

SC=AB=AC=2,ABAC=\20°,则球。的体积为（）

A20&式032K小2071「32小n

3333

【答案】A

【分析】求出AASC外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径作答.

【详解】在AASC中，A8=AC=2,ABAC=120。，由余弦定理得BC=722+22-2x2x2cosl20°=26,

令44BC外接圆圆心。1,则。。],平面ABC,且O]C=BC=2,

。2esin1。2八0'。

而SC,平面ABC,因此sc〃oq,取SC中点。，连接OD,有ODLSC,

又。Cu平面ABC,即有SC_LO]C,ODI/Ofi,于是四边形COOQ为平行四边形，

则。D=O[C=2,球。的半径尺=Jo£p+CE>2=坏,体积为V=?R3=q，x（&y=型^^.

【题型6】球心在高上（圆锥形）

基础知识

如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是AABC的外心O三棱锥P-ABC的

三条侧棱相等O三棱锥P-ABC的底面AA5c在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶

点.

图5-1图5-2

pp

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取的外心。1，则尸,0,0三点共线；

第二步：先算出小圆。]的半径AQ=〃，再算出棱锥的高尸O]=/z（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：OA2=O,A2+O,O2R2^（h-R）2+r2,解出R=

2h

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

【注意】：若是已知外接球半径R和小圆半径r求圆锥的高，则有2个解

【例1】（2024.浙江台州•高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的外接

球的体积为.

【答案】2兀

27

【解析】由题设，圆锥体的高为〃=万二？=6，

若外接球的半径为一，则（石—/）2+1=,，可得「=空,

3

所以圆锥的外接球的体积为-7rr3="且》.

327

【例2】已知三棱锥尸-A5c的各侧棱长均为2vL且AB=3,BC=A/5,AC=26,则三棱锥尸-ABC

的外接球的表面积为.

【答案】16万

【解析】如图：

过P点作平面48c的垂线，垂足为则APMAAPMBAPMC都是直角三角形,

又PA=PB,“PMA三APMB,同理可得APMA三APMC,.•.MA=MB=MC,

所以M点是AABC的外心；

AB2+BC2=12=AC2,.1△ABC是以AC斜边的直角三角形，

二.P在底面ABC的射影为斜边AC的中点M,如下图：

则PM=4PC1-CM2=7（2>/3）2-（A/3）2=3,设三棱锥P-ABC外接球的球心为。，半径为r,

则。在PM上，贝IOC-=OM~+CM2,即（3-ry+（J§）2=/，得〃=2,外接球的表面积为4a2=16兀；

【巩固练