几何压轴题（共51题）（原卷版）

专题25几何压轴题（51题）

一、解答题

1.（2023・北京•统考中考真题）在ABC中、ZB=ZC=a（O°<a<45°）,A〃_L5C于点。是线段MC上

的动点（不与点M,C重合），将线段绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

⑴如图1,当点E在线段AC上时，求证：。是MC的中点;

⑵如图2,若在线段上存在点尸（不与点8,M重合）满足连接AE,EF,直接写出/但'

的大小，并证明.

2.（2022•北京•统考中考真题）在ABC中，ZACB=90,。为，ABC内一点，连接3D,DC,延长DC到

点、E,使得CE=OC.

（1）如图1,延长8C到点F，使得CF=3C,连接AF,EF,若AF_L£F,求证：BD±AF；

（2）连接AE,交8。的延长线于点//,连接S,依题意补全图2,^AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD

与市的数量关系，并证明.

3.（2020•北京•统考中考真题）在ABC中，ZC=90°,AOBC,D是AB的中点.E为直线上一动点，连

接DE,过点D作DFLDE,交直线BC于点F,连接EF.

（1）如图1,当E是线段AC的中点时，^AE=a,BF=b,求EF的长（用含a,6的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系，

并证明.

图2

4.（2019•北京・中考真题）已知4403=30。，H为射线OA上一定点，=+P为射线OB上一点，

M为线段OH上一动点，连接PM,满足NOMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150。，得

到线段PN,连接ON.

（1）依题意补全图1;

（2）求证：/0MP=/OPN；

（3）点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP,并

证明.

5.（2023•北京海淀・清华附中校考一模）在，ABC中，AB=AC,ABAC=90°,过点A作2C的垂线AD,

垂足为DE为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE,以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90。得

到线段AF,连接环，与直线AD交于点G.

⑴如图1,当点E在线段8上时，

①依题意补全图形；

②求证：点G为8尸的中点.

（2）如图2,当点E在线段。C的延长线上时，用等式表示AE,BE,AG之间的数量关系，并证明.

6.（2023•北京西城•统考一模）如图，直线AB,8交于点。，点E是jOC平分线的一点，点M,N分

别是射线。4,OC上的点，且ME=NE.

⑴求证：ZMEN=ZAOC；

（2）点尸在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接E尸，EG,若EF=EG,依题意补全图形，用等式

表示线段NF,OG,之间的数量关系，并证明.

7.（2023.北京东城・统考一模）如图，在ABC中，AB=AC,4c=（z,点。在3c边上，以点A为中

心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接班.

⑴求证：BA平分NEBC；

⑵连接OE交A3于点F过点C作CG〃AB,交瓦＞的延长线于点G.补全图形，用等式表示线段EF与DG

之间的数量关系，并证明.

8.（2023•北京朝阳•统考一模）如图，=点A在ON上，过点A作的平行线，与NMON的平

分线交于点2，点C在上（不与点。，B重合），连接AC,将线段AC绕点A顺时针旋转180。-£，得

到线段AD,连接80.

⑴直接写出线段AO与AB之间的数量关系，并证明ZMOB=NDBA；

⑵连接DC并延长，分别交48,于点E,F.若a=60。，用等式表示线段E尸与AC之间的数量关系,

并证明.

9.（2023•北京海淀•统考二模）如图，在ABC中，AB^AC,Zft4c=2］（45。＜a＜90。），。是2C的中点,

E是的中点，连接AE.将射线AE绕点A逆时针旋转a得到射线40,过点E作EF_LAE交射线A0于

点、F.

⑴①依题意补全图形;

②求证：ZB=ZAFE；

(2)连接Cb,DF,用等式表示线段Cb,。尸之间的数量关系，并证明.

10.(2023•北京海淀•统考一模)如图，正方形ABCO中，点E,尸分别在BC,8上，BE=CF,AE,BF交于

点G.

备用图

⑴求NAG/的度数；

(2)在线段AG上截取MG=BG,连接DM,ZAGF的角平分线交DM于点N.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段与ND的数量关系，并证明.

11.(2023・北京房山・统考二模)如图，^BAC=90°,AB=AC,点。是班延长线上一点，连接DC,点

E和点B关于直线。C对称，连接BE交AC于点孔连接EC现＞,£＞尸.

(1)依题意补全图形，并求/DEC的度数；

(2)用等式表示线段EC,即和CF之间的数量关系，并证明.

12.(2023•北京西城・统考二模)如图，在ABC中，边A3绕点2顺时针旋转a(0。＜&＜180。)得到线段BD,

边AC绕点C逆时针旋转180。-a得到线段CE,连接DE,点尸是OE的中点.

(1)以点尸为对称中心，作点C关于点尸的对称点G,连接3G,DG.

①依题意补全图形，并证明AC=DG；

②求证：NDGB=ZACB；

(2)若a=60。，且FHLBC于H,直接写出用等式表示的短7与BC的数量关系.

13.(2023・北京海淀•校考二模)已知等边ABC,其中点。、E是过顶点B的一条直线/上两点

⑴如图1,ZADB=NCEB=60°,求证：AD=BE

⑵如图2,ZADB=ZCEB=90°,BD=1,BE=2,求A。的长.

14.（2023•北京丰台•统考一模）在正方形ABCD中，点。为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接

点E在直线AD上（点尸与点。不重合），且EF=EB.

图1图2

⑴如图1,当点E在线段40上（不与端点重合）时.

①求证：2AFE?ABE;

②用等式表示线段A3,AE,AF的数量关系并证明；

（2）如图2,当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB,AE,"的数量关

系.

15.（2023•北京石景山•统考一模）在ABC中，/ACB=90。，C4=CB,点。为射线C4上一点，过点。作

DE〃CB且DE=CB(点E在点。的右侧)，射线ED交射线以于点/，点H是AF的中点，连接HC,HE.

(1)如图1,当点。在线段C4上时，判断线段HE与AC的数量关系及位置关系；

(2)当点。在线段C4的延长线上时，依题意补全图2.用等式表示线段CB,CD,曲之间的数量关系，并

证明.

16.(2023•北京东城•统考二模)如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,E是AB边上一点(不与A,8重合),

点/与点A关于直线OE对称，连接。尸.作射线CP,交直线OE于点P,设NADP=q.

(1)用含a的代数式表示/DCP；

(2)连接AP,AF.求证：.APF是等边三角形；

(3)过点8作BG1.OP于点G,过点G作8的平行线，交CP于点”.补全图形，猜想线段CH与PH之间

的数量关系，并加以证明.

17.(2023•北京门头沟•统考一模)已知正方形ABCD和一动点E,连接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转90。

得到线段CF,连接BE,DF.

(1)如图1,当点E在正方形ABC。内部时,

①依题意补全图1:

②求证：BE=DF；

(2)如图2,当点E在正方形ABCD外部时，连接AF,取■中点M,连接AE,DM,用等式表示线段AE

与DM的数量关系，并证明.

18.(2023•北京通州•统考一模)直线是线段A3的垂直平分线，垂足为点。，点C是直线上一点,

连接AC.以AC为斜边作等腰直角，ACD,连接OD.

(1汝口图1,若CO=AB,求4OD的度数；

(2)如图2所示，点E是直线MO上一点，且CE=,连接DE,延长DO至点尸，使得OF=OD,连接AF.根

据题意补全图2,写出线段。瓦4尸之间的关系，并证明.

19.(2023•北京昌平・统考二模)在等边二ASC中，点。是A3中点，点E是线段上一点，连接

DE,ZDEB=a^0°<a<60°),将射线ZM绕点。顺时针旋转a,得到射线DQ,点尸是射线。。上一点,

S.DF=DE,连接尸E,尸C.

(1)补全图形；

⑵求/£DF度数；

(3)用等式表示用，尸C的数量关系，并证明.

20.(2023•北京平谷•统考一模)在ABC中，BDLAC,E为48边中点，连接CE,8。与CE相交于点尸,

过E作EA/_LEF,交BD于点M,连接CM.

(1)依题意补全图形;

(2)求证：ZEMF=ZACF；

⑶判断由公CM、AC的数量关系，并证明.

21.(2023・北京朝阳・统考二模)在ABC中，AC^BC,/ACB=90。，点。在BC边上(不与点8,C重

合)，将线段绕点A顺时针旋转90。，得到线段AE,连接。E.

(1)根据题意补全图形，并证明：ZEAC=ZADC；

(2)过点C作AB的平行线，交DE于点F,用等式表示线段所与。尸之间的数量关系，并证明.

22.(2023•北京•统考一模)如图，ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为边BC上一点(不与点8,C重

合)，连接AD,过点C作CELAD于点E,过点B作BELCE,交直线CE于点厂.

(1)依题意补全图形；用等式表示线段CE与即的数量关系，并证明；

(2)点G为48中点，连接FG,用等式表示线段AE,BF,FG之间的数量关系，并证明.

23.(2023・北京房山•统考一模)如图，正方形45CO中，点E是边2C上的一点，连接AE,将射线AE绕

点A逆时针旋转90。交C。的延长线于点尸，连接EF,取EF中点G,连接DG.

⑴依题意补全图形；用等式表示NADG与/CDG的数量关系，并证明;

⑵若DG=®F，用等式表示线段BC与班的数量关系，并证明.

24.（2023•北京朝阳・清华附中校考模拟预测）如图，ABC中，AB=AC,ABAC<60°,将线段A3绕点A

逆时针旋转60。得到点D,点E与点。关于直线BC对称，连接CD,CE,DE.

（1）依题意补全图形；

⑵判断,.CDE的形状，并证明；

（3）请问在直线CE上是否存在点P,使得PA-PB=CD成立?若存在，请用文字描述出点P的准确位置，

并画图证明；若不存在，请说明理由.

25.（2023・北京大兴•统考一模）在ABC中，AC=BC,NC=90。，点。为射线CB上一动点（不与点8,

C重合)，连接AD,点E为A8延长线上一点，且。E=AD，作点E关于射线CB的对称点尸，连接M,DF.

⑴如图1,当点。在线段CB上时，

①依题意补全图形，求证：ZDAB=ZDFB-,

②用等式表示线段BO,BF,BC之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,当点。在线段CB的延长线上时，直接用等式表示线段3。，BF,8c之间的数量关系.

26.(2023•北京东城•北京市广渠门中学校考二模)如图，在ABC中，AB^AC,ZSAC=120°.。是AB

边上一点，DE1AC交C4的延长线于点E.

(1)用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；

(2)连接BE,延长BE至尸，使EF=BE.连接。C,CF,DF.

①依题意补全图形；

②判断.08的形状，并证明.

27.(2023・北京顺义•统考一模)已知：如图，ABC中，AC=BC,NACB=90。，点。在A3边上，点A

关于直线8的对称点为E,射线8E交直线8于点尸，连接AF.

（1）设NACD=e,用含a的代数式表示NC2尸的大小，并求NCEB的度数;

（2）用等式表示线段AT,CF,砥之间的数量关系，并证明.

28.（2023•北京丰台•二模）如图，在等边［ASC中，点。，E分别在CB,AC的延长线上，且BD=CE,EB

的延长线交AO于点?

⑴求NAFE的度数；

⑵延长E尸至点G,使FG=AF,连接CG交AD于点凡依题意补全图形，猜想线段CH与G4的数量关系,

并证明.

29.（2023.北京海淀•校考一模）在,ABC中，AB^AC,过点C作射线CQ,使NACB，=NACB（点E与点

8在直线AC的异侧）点。是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且Zn4E+ZACD=90。.

‘B'fB'

AA

BC(E)B

⑴如图1,当点E与点C重合时，A。与C®的位置关系是，若BC=a,则CO的长为:

（用含。的式子表示）

（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接OE.

①用等式表示/A4C与—ZME之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段BE,CD,OE之间的数量关系，并证明.

30.（2023•北京延庆•统考一模）如图，在，ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AO是BC边上的高，点E是

边A8上的一动点（不与点A,B重合），连接CE交AD于点孔将线段CF绕点C顺时针旋转90。得到线段

⑴如图1,当CE是/ACB的角平分线时,

①求证：AE=AF；

②直接写出ZCAG='

（2）依题意补全图2,用等式表示线段",AC,AG之间的数量关系，并证明.

31.（2023•北京门头沟•二模）如图，在一ASC中，/ACB=90。，点。在BC延长线上，且DC=AC,将ABC

延方向平移，使点C移动到点。，点A移动到点E,点B移动到点f，得到连接CE,过点尸

作FG_LCE于G.

(1)依题意补全图形；

⑵求证：CG=FG；

(3)连接3G,用等式表示线段3G,1加的数量关系，并证明.

32.(2023•北京平谷・统考二模)在ASC中，NACB=90。，点。为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，

CE=CD,尸为CB边上一点，E尸上射线AD于点K,过点。作直线DG_LAB于G,交E尸于点〃，作ZAGD

的角平分线交AO于过点M作的平行线，交DG于点0,交8C于点Q,交EF于点、N,MO=NO.

⑴找出图中和ND//K相等的一个角，并证明;

(2)判断EH、FN、的数量关系，并证明.

33.(2023•北京石景山・统考二模)如图，在一ABC中，AB=AC,ZACB^la,平分/ABC交AC于点

E,点尸是ED上一点且NE4/=a.

A

D

K

BN------------------------------

(1)求NA/中的大小(用含a的式子表示)；

(2)连接FC,用等式表示线段用与网的数量关系，并证明.

34.(2023・北京顺义・统考二模)已知：/ABC=120。，D,E分别是射线54,3c上的点，连接OE,以

点。为旋转中心，将线段OE绕着点。逆时针旋转60。，得到线段。尸，连接麻，BF.

⑴如图1,当BDuBE时，求证：BF=2BD；

图1

(2)当3D/BE时，依题意补全图2,用等式表示线段3。，BF,3E之间的数量关系，并证明.

图2

35.(2023・北京大兴•统考二模)如图，在ABC中，/B=45。,将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AD,

且点D落在BC的延长线上，过点。作DE1AC于点E,延长OE交A3于点F

A

(1)依题意补全图形.求证：/BDF=g/CAD；

(2)用等式表示线段8与M之间的数量关系，并证明.

36.(2023•北京西城•北京市第十三中学校考模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是

中点，连接AD点M在线段上(不与点A,。重合)，连接M2,点E在CA的延长线上且血化=

MB,连接

⑴比较/ABM与NAEM的大小，并证明；

(2)用等式表示线段AM,AB,AE之间的数量关系，并证明.

37.(2023•北京海淀•北理工附中校考模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AD=AB,ZA=90°,ZC=45°,

作NCDE=135。，使得点E和点A在直线8异侧，连接AC,将射线AC绕点A逆时针旋转90。交射线OE

于点F.

⑴①依题意，补全图形;

②证明：DF=BC.

（2）连接BD,若G为线段8。的中点，连接CG,请用等式表示线段CG与"之间的数量关系，并证明.

38.（2023•北京海淀•首都师范大学附属中学校考一模）在等边ABC中，点。为的中点，点E为AD上

一点（不与A、。重合），连接£B、EC.

将线段EB绕点E顺时针旋转至使点产落在54的延长线上，在图1中补全图形：

⑴求NC砂的度数；

（2）探究线段AC、AE.AF之间的数量关系，并加以证明；

⑶将线段召C绕点E旋转，在旋转过程中与边54交于点"，连接"，若AB=5,当=时，请写出

CH+CE的最小值.

39.（2023•北京海淀•北京交通大学附属中学校考模拟预测）已知：在ABC中，ZA=45°,ZABC=a,以

BC为斜边作等腰RtBDC,使得A,。两点在直线的同侧，过点。作DEIAB于点E.

⑴如图1,当a=20。时，

c

①直接写出NCDE的度数；

②判断线段AE与BE的数量关系，并证明；

⑵当45。＜夕＜90。时，依题意补全图2,请直接写出线段AE与8C的数量关系（用含a的式子表示）.

40.（2023•北京东城・北京市广渠门中学校考一模）如图，在ABC中，AC=BC,ZACB=90°,点。在边

AC上,将射线BD绕点、B逆时针旋转45。得到射线,过点。作DE工8W于E,延长CB到尸，使BF=AD,

连接E尸.

（1）依题意，补全图形，判断线段AE与所的位置关系与数量关系，并证明；

（2）若X为线段的中点，连接AH,请用等式表示线段AE与之间的数量关系，并证明.

41.（2023•北京西城•北师大实验中学校考模拟预测）在ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,过点A作的

垂线AD,垂足为£＞,E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE,以点A为中心，将线段AE逆时

针旋转90。得到线段AF,连接8尸，与直线AO交于点G.

图1图2

(1)如图1,当点E在线段CO上时，

①依题意补全图形；

②求证：点G为BE的中点.

(2)如图2,当点E在线段。C的延长线上时，用等式表示AE,BE,AG之间的数量关系，并证明.

42.(2023•北京东城•北京市广渠门中学校考模拟预测)如图，在.ABC中，AC^BC,NACB=90。，点D

在边AC上，将射线8。绕点B逆时针旋转45。得到射线瓶，过点。作。以于E,延长CB到歹，使

BF=AD,连接所.

(1)依题意，补全图形，判断线段AE与所的位置关系与数量关系，并证明；

(2)若H为线段8。的中点，连接请用等式表示线段AE与AH之间的数量关系，并证明.

43.(2023•北京•校考模拟预测)已知如图所示，ASC中，线段AC绕点A顺时针旋转90。，得到线段AD,

过。作的垂线/,直线/上取一点E使得。E=2画，连接AE.

⑴直接写出ZBAC与4DE大小关系」

⑵求.ABC与VADE的面积比;

（3）延长CB使跖=BC,连接AF,补全图形,并探究线段AF与线段AE的位置关系和数量关系，并证明.

44.（2023・北京•统考二模）ABC中，ZACS=90°,AC=3C,点。为边AB的中点，点E在线段CO上,

连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90。得到线段AF,连接Cr.

（图2）

⑴如图1,当点E与点。重合时，求证:CF=AE；

（2）当点£在线段8上（与点C,。不重合）时，依题意补全图2；用等式表示线段CF,ED,4）之间的数

量关系，并证明.

45.（2023•北京海淀•校考模拟预测）已知43=8。，ZABC=90°,直线/是过点2的一条动直线（不与直

线AB,8c重合），分别过点A,C作直线/的垂线，垂足为E.

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___

..^BC8C

ffil善用图

(1)如图1,当45。＜/&3。＜90。时，

①求证：CE+DE=AD；

②连接AE,过点。作。HLAE于“，过点A作AA/8C交。H的延长线于点?依题意补全图形，用等式

表示线段。ABE,OE的数量关系，并证明；

(2)在直线/运动的过程中，若。E的最大值为3,直接写出AB的长.

46.(2023・北京•校联考模拟预测)如图1,在等腰RSA8C中，ZBAC=90°,AB=AC=2,点M为8c中

点.点尸为边上一动点，点。为3C边上一动点，连接。P,以点P