几何压轴题二 相似模型-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

第四章三角形

重难点12几何压轴题二相似模型

（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）

【题型汇总】

几何压轴题二相似模型

类型一A型模型

1.（2023九年级上•全国・专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行

工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把

它形象的称为“人字梯”.如图②，是其工作示意图，AB=AC,拉杆EFIIBC,AE=-AB,EF=0.35米,

6

则两梯杆跨度8、C之间距离为（）

A.2米B.2.1米C.2.5米D.三米

2.（20-21九年级上•吉林•阶段练习）如图，AABO的顶点A在函数（x>0）的图象上，NA8O=90。，

过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若AANQ的面积为1,则左的值为（）

A.9B.12C.15D.18

3.（2024•广东东莞.二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出

现.北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用.如图2所示为从独轮车中抽象

出来的几何模型.在△ABC中，AB=BC,以AABC的边为直径作。。，交4C于点P,且PDJ.BC,垂足

为点D.

（1）求证：PD是。。的切线；

（2）若tanC=^,BD=2,求。。的半径.

题型02构造A型相似

1.（2020・湖北武汉•一模）如图，在RtAABC中，AACB=90°,AC=BC=6,。是AB上一点，点E在BC上,

连接CD,4E交于点/，若NCFE=45。，BD=2AD,贝1]CE=

2.（20-21九年级上•河南郑州•阶段练习）如图，已知。是BC的中点，M是AD的中点.求4MNC的值.

3.（2020•浙江杭州•一模）如图，点O是AABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB,AC所在直线于

I—R口ABAC

点MK,N,且——n.

AMAN

（1）若点O是线段BC中点.

①求证：m+n=2；

②求mn的最大值；

（2）若黑=k（k#0）求m,n之间的关系（用含k的代数式表示）.

备用图

题型03反A型模型

类型条件图示结论

反A型模型Z1=Z2A△ADESAABC,

AD*AC=AE-AB

BAC

作垂线构造反“A”字相ZB=90°4为人8上的一A△ADESAABC,AD・AC=AE・

似模型点AB

BC

1.如图，在△ABC中，点E分另ij在AB、AC上，AADE=ZC,如果AD=3,AADE的面积为9,四边形

BDEC的面积为16,贝IJ4C的长为

2.(2020•山东潍坊・二模)如图，在44BC中，AB=AC,以AC为直径的。。交8C于点D,交4B于点E,过

点。作DFLAB,垂足为尸，连接DE.

(1)求证：直线DF与。。相切；

(2)若4E=7,BC=6,求AC的长.

3.(2020•浙江金华中考真题)如图，在△ABC中，AB=4y/2,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求BC边上的高线长.

(2)点E为线段A2的中点，点厂在边AC上，连结斯，沿M将AAEF折叠得到

APEF.

①如图2,当点P落在3c上时，求NAEP的度数.

②如图3,连结AP,当PP_LAC时，求AP的长.

4.(2022・湖南长沙•中考真题)如图，四边形4BCD内接于。0,对角线AC,BD相交于点E,点F在边4。上,

连接EF.

⑴求证：KABE-KDCE-,

AF,FE

(2)当睨'NDFE=24CDB时，则竺一丝；---1---=1+1

BECEABAD'ABAD

■■.(直接将结果填写在相应的横线上)

（3）①记四边形ABC。，AABE,ACDE的面积依次为S,S1,S2,若满足遮=同+疝，试判断，4ABE,A

CDE的形状，并说明理由.

②当阮=CB,AB=m,AD=n,CD=p时，试用含机，n,p的式子表示4E,CE.

5.（2023・湖北武汉•模拟预测）【问题背景】⑴如图1,AdBC中，乙BED=4BCA,求证：警=翌

ABBC

【问题探究】（2）如图2,AABC中，乙4=90。，8。平分乙4BC,于点D,过点。作BC的平行线交48

于点E,作EFLBC于点F,猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；

【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当FC=4C时，直接写出NBCD的正切值tan/BCD.

题型04作垂线构造反“A”字相似模型

1.（2024九年级•江苏连云港•阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在。。上，使三角板的一直角边经过圆

心O,测得AC=5C7",AB=3cm,则。O的半径长为.

类型二X型模型

类型X型模型作平行线构造X型相似

条件AB〃CD"k

DO

图示ABAB

DC

ADC

结论AAOB^ACOD过点D作CD〃AB,交AO的延长线于点C,则可构造AAOBSACOD,可得

BOAOAB7

DO~CO~CD~

题型01直接用x型相似

1.（2021.山东聊城•一模）如图，在平行四边形4BCD中，点£是4。上一点，AE=2ED,连接8E交AC于点

G,延长BE交CD的延长线于点F,则要的值为（）

2.（22-23九年级上•北京房山•期中）如图，AD与BC交于。点，乙4=NC,BO=4,DO=2,AB=3,

求CD的长.

3.（2024.广东东莞.一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架4。与CB交于点0,

测得4。=BO=50cm,CO=DO=30cm.

图1图2

(1)若CD=40cm,求4B的长;

（2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度NAOB=106%求4B距离地面的高.（结果保留整数）（参考数值sin37。«

0.60,cos37°为0.80）

4.（20-21九年级上•四川达州•期末）某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m

的梯形空地上种花（如图所示）.

（1）他们在AAMD和ABMC地带上种植太阳花，单价为8元加2.当地带种满花后（图中阴影部分）

花了160元，请计算种满ABMC地带所需的费用；

（2）若AAMB和ADMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/%2和10元加2,应选择

哪一种花，刚好用完所筹集的资金？

AD

5.(2021•四川广元中考真题)如图，在平行四边形4BCD中，E为DC边的中点，连接4E,若4E的延长线和

BC的延长线相交于点F.

(1)求证：BC=CF；

(2)连接2C和BE相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.

题型02构造X型相似

1.(21-22九年级上.江苏泰州•阶段练习)如图，G为AABC的重心，AG=12,贝l]AD=

2.(20-21八年级下•湖南常德・期中)如图在平行四边形中，E是CD的中点，尸是AE的中点，CF交

BE于点G,若BE=8,则GE=_.

3.(20-21九年级上•全国•课后作业)已知：如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE||BC,

点F在边AB上，BC2=BF«BA,CF与DE相交于点G.

(1)求证：DF・AB=BC・DG；

(2)当点E为AC中点时，求证：2DF・EG=AF・DG.

A

(2)求证：DA,OC=OD,CE.

2.(2023•湖北武汉•模拟预测)探索发现：如图1,等边AABC中，G为BC中点，D、E分别是BC、AC上的

两点，BD=CE.

(1)求证：^BAD=乙CBE；

(2)H为EF上一点，若N8HG+"FH=90。，求黑的值;

迁移拓展：

（3）如图2,等腰RtAABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1.E是4C上的点，CE=V2BD,H为

EF上一点，若ABHG+AAFH=90°,直接写出“G的长.

类型三母子相似

题型01母子相似模型

类型母子相似模型构造母子相似模型

条件点D在AC边上，Z1=Z2NABE=NC

图示AA

/

BC.......c

G

结论△ACDSAABC,AC12=AD.AB延长BE交AC于点F过点C作CG〃:BF交AB延长

△ABFSAACB线于点G,AABCSAACG

1.（21-22九年级上•吉林长春•阶段练习）【基础巩固】（1）如图1,在AABC中，。为AB上一点，ZACD

=ZB.求证：AC2=AD*AB.

【尝试应用】（2）如图2,在nABCO中，E为BC上一点,尸为C。延长线上一点，ZBFE=ZA.若8尸=4,

BE=3,求的长.

2.（2023・湖北武汉•模拟预测）探索发现；（1）如图1,在AABC中，4B=4CAF；求证：AC2=CF-BC；

初步应用：（2）如图2,在AABC中，AB=AC,BDVAB,BE1.AD,连接CE、CD；求证：—BD=—CD.

迁移拓展：（3）如图3,在△ABC中，Z.B=^CAF,〃为4C上一点使CH=CF,过"作HG||BC交AB于G,

AG=AF,求美的值；

CF

A

AA

FC\\BFC

图1图2图3

3.(21-22八年级下•江苏苏州•期中)定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足乙1=乙2,则称点尸

为这个三角形的“理想点”.

AC

图①图②

⑴如图①，若点。是△ABC的边AB的中点，AC=2V2,AB=4,试判断点。是不是△4BC的“理想点”,

并说明理由；

(2)如图②，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若点。是△ABC的“理想点”，求CD的长.

4.(2023•江苏淮安・三模)【探究发现】

(1)如图1,在△ABC中为BC边的中点，连接4D并延长至点〃，使DH=4D,连接CH.由4WB=

得AADBmAHDC,贝1J4B与CH的数量关系为，位置关系为.

A

/BDP°

BDL

H"

图1图2图3

【尝试应用】

(2)如图2,在AABC中，2P平分NB4C,。为BC边的中点,,过点D作。QIIAP,交CA的延长线于点。，

交48边于点K.试判断8K与CQ的数量关系，并说明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,在RtAABC中，^BAC=90°,AC=6,AB=13,。为BC边的中点，连接an,E为ac边上一

动点，连接BE交an于点?

①若BF=AC.求4E的长度；

②在射线上取一点G,且卷=£连接BG,直接写出4BE+58G的最小值.

题型02射影定理模型

类型射影定理作高用射影定理

条件ZABC=ZADB=90°F,A,B三点共线,C,A,E三点共线，ZACB=ZAFE=90°

图示A

F

BC

结论1)AABDSAACBSABCD过点C作CDLAB于点D

2)AB2=AC-AD,BC2=AC>DC△AFEsAADCsAACBsACDB

,BD2=AD.CD

3)AB・BC=BD・AC(面积法)

1.(2022・四川广元•中考真题)在RtAABC中ZACB=9Q°,以AC为直径的。。交AB于点。，点E是边

BC的中点，连结。E.

CEB

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AD=4,BD=9,求。。的半径.

2.(2023・山东日照•一模)操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，。。，23于。，4B在投影面

上.

图1

(1)指出图中线段AC的投影是,线段BC的投影是.

(2)问题情景：如图1,RtzkABC中，41cB=90。，CDLAB,我们可以利用△ABC与△4CD相似证明AC?=

AD-AB,这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.

(3)【结论运用】如图2,正方形4BCD的边长为15,点。是对角线AC,BD的交点，点E在CD上，过点C

作CF1BE,垂足为后连接OF,

①试利用射影定理证明4BOFBED；

②若DE=2CE,求。F的长.

3.(2024・广西南宁•三模)阅读与思考，完成后面的问题.

射影定理，又称“欧几里得定理“，是数学图形计算的重要定理.如图，在RtANBC中，/.BAC=90°,4。是

斜边BC上的高，则有如下结论：

®AD2=BD-DC；②AB?=BD•BC；@AC2=CD-BC.下面是该定理的证明过程(部分)：

是斜边BC上的高，：.^ADB=90°=AADC.VzB+zBXD=90°,zS+zC=90°,

J.^BAD=ZC.:.AABDsACAD(依据).即

⑴材料中的“依据”是指;

(2)选择②或③其中一个结论加以证明；

(3)应用：△ABC中，乙4=90。，B(l,0),C(-3,0),点A在〉轴上，求顶点A的坐标.

4.(2022・四川绵阳•中考真题)如图，四边形4BCD中，ZADC=9Q°,ACLBC,ZABC=45°,AC与

交于点E,若AB=2VIU,CD=2,则△ABE的面积为

D

C

类型四一线三等角模型

题目中一般不会直接给出一线三等角模型/一线三垂直模型标准样式，需要结合题目信息，进行构建.以

一线三垂直模型为例，当有直角三角形和过直角顶点的直线时，即可作垂线构造“一线三垂直”相似样型，

1.（2024・北京.模拟预测）如图，四边形ABCO为正方形,DE1EF,FG1AB.

DC

(1)证明：4DAES&EGF

(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明mAEGF

2.(2023•贵州铜仁•三模)如图1将矩形4BCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于

点。，连结AP、OP、OA.

(1)求证：4OCPfPDA；

(2)如图2,擦去折痕4。、线段OP,连结BP.动点M在线段4P上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段4B

的延长线上，且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME，BP于点E.探究：当点M、N在移动过程中，线

段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由.

3.(2024・广西玉林•三模)如图1,在边长为4的正方形4BCD中，点打为上一动点，且2W<4,截

取HM=HB,且HM交线段4。于过M■作的垂线MN交DC于N.

备用图

⑴求证：AAHMSADMN；

(2)如图2,若点M是4。的中点，求ACMN的周长;

(3)在动点X逐渐向点A运动逐渐增大)的过程中，ADMN的周长如何变化？请说明理由.

题型02一线三等角模型

1.(2020九年级•全国•专题练习)如图，在A4BC中，点£)、£分别在边BC、2C上，连接4。、DE,且乙8=

Z-ADE=Z.C.

备用图

⑴证明：ABDAfCED：

（2）若NB=45。,BC=2,当点。在BC上运动时（点。不与B、C重合），且AADE是等腰三角形，求此时BD的

长.

2.（23-24九年级上•浙江杭州•期末）四边形4BCD中，点E在边4B上，连结OE,CE.

（2）如图2,若四边形4BCD为矩形，AB=5,BC=2,且ANDE与E、B、C为顶点的三角形相似，求4E的

长.

3.（2024.河北秦皇岛•模拟预测）如图，△28。和4DEF是两个全等的等腰直角三角形，NB4C=乙EDF=90°,

△。乐的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段OE与线段4B相交

于点P,线段EF与射线C4相交于点Q.

图①图②

（1）如图①，当点Q在线段4C上，且AP=4Q时，求证：ABPEmACQE；

（2）如图②，当点Q在线段C4的延长线上时，求证：4BPEMCEQ.

4.（2023・河南周口•三模）（1）问题发现：如图1,在△ABC中，^ABC=a,将边AC绕点C顺时针旋转a得

到线段CE,在射线BC上取点。，使得NCDE=a,线段BC与DE的数量关系是；

(2)类比探究：如图2,若a=90。，作乙4CE=90。，且CE=^AC,其他条件不变，写出变化后线段BC与

DE的数量关系，并给出证明；

(3)拓展延伸：如图3,正方形48CD的边长为6,点E是边AD上一点,且4E=2,把线段CE逆时针旋转

90。得到线段EF,连接BF,直接写出线段BF的长.

类型五热考模型

顶点O在4B上，OM、ON分别交C4CB于点尸、°,NMON绕点。任意旋转，当第=；时，彤的值为_______:

OB2OQ

当黑=争寸，都勺值为--------（用含如〃的式子表示）

2.（22-23九年级上•辽宁鞍山•阶段练习）如图（1）,在RtAABC中，/.B=90°,点。是4C边的中点.将一

块直角三角板的直角顶点放在点。处,将三角板绕点D旋转，使它的两条直角边分别与线段AB,BC交于点P,

（2）佳佳发现，在三角板旋转过程中，£请你利用图（1）证明这个结论.

DQAD

（3）当点P,B重合时，如图（3）,线段AP,PQ,CQ之间满足一定的等量关系，请你探索AP,PQ,CQ之间

的数量关系.

3.（23-24九年级上•河南许昌•期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

在RtAABC中，NC=90。,"=8C,。是48边上一点，且券=卜"为正整数），E是AC边上的动点，连接DE,

过点。作DF1DE交直线BC于点F.探究线段。瓦。尸之间的数量关系.

（1）【初步成知】

如图1,当71=1时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程.

小亮：

证明：连接CD.

C

小红：

证明：过点。作ON，AC于点N,DHIBC于点H.

ADB由题意，可知20=BDlADN和△BDH均是等腰直角三角形，四

由题意，可知AD=BD,边形CNDH是矩形.

即。为为B的中点,

CD=AD=BD,CD平分N4CB,

CD1AB.

ADB

•••Z-ACD=乙BCD=Z-B=

・•.AN=DN,NC=DH.

45O/CDB=90°.

易得加吟噌=熊啮=L

•・•ED1FD,・•・Z-EDF=(CDB=90°.

・•.DN=DH.

・•・(EDF-乙CDF=乙CDB-乙CDF.

•••Z.CDE=Z-BDF.

•••△CDE三△BOF(ASA).

・•.DE=DF.

⑵【深入探究】

①如图2,当n=2,且点F在线段8C上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明;

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段DE,DF之间的数量关系的一般结论.（直接写出结论，不必证明）

（3）【拓展运用】

在（1）的条件下，连接EF,设EF的中点为M,若2C=4,请直接写出点E从点4运动到点C的过程中，点M运

动的路径长.

4.（2020九年级•河南•专题练习）如图，在用AABC中，ZACB=90°,-=CO_LAB于点。，点E是直

ACn

线AC上一动点，连接DE,过点。作即LED,交直线BC于点尺

（1）探究发现:

如图1,若根=小点E在线段AC上，则差=；

（2）数学思考：

①如图2,若点E在线段AC上，则第=（用含如〃的代数式表示）；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明;

1.（2022•广东深圳•二模）【教材呈现】（1）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形4BC和4FG

摆放在一起，点A为公共顶点，NB4C=NG=90。，若△ABC固定不动，将AAFG绕点A旋转，边AF,4G与

边BC分别交于点D,E（点。不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE•CD=4B2是否成立一（填“成

立”或“不成立”）；

【类比弓I申】（2）如图2,在正方形4BCD中，N瓦4F为NBA。内的一个动角，两边分别与BO,BC交于点E,

F,且满足NE4F=N4DB,求证：△XDF

【拓展延伸】（3）如图3,菱形28C。的边长为12cm,Z.BAD=120°,NE4F的两边分别与BD,BC相交于

点、E,F,且满足4瓦4F=乙4。8,若8F=9cm,则线段DE的长为cm.

A

AD

2.（2024・四川乐山•中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题:

【问题情境】

如图1,在A2BC中，Z.BAC=90°,AB=AC,点D、E在边BC上，S.^DAE=45°,BD=3,CE=4,求

DE的长.

解：如图2,将△48。绕点A逆时针旋转90。得到连接

由旋转的特征得NBA。=/.CAD',ZB=^ACD',AD=AD',BD=CD'.

"：Z-BAC=90°,Z.DAE=45°,

：./.BAD+/.EAC=45°.

,//.BAD=/.CAD',

：.^CAD'+^LEAC=45°,即NEW=45。.

：.^DAE=Z.D'AE.

在AIME和△DAE中，

AD=AD',/.DAE=^D'AE,AE=AE,

①.

：.DE=D'E.

又：乙ECD'=4ECA+AACD'=/.ECA+NB=90°,

.•.在Rt△£■£■£)'中，②

VCD'=BD=3,CE=4,

图2

：.DE=D'E=（3）

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：;“②"处应填：;“③"处应填：.

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以

不变应万变.

【知识迁移】

如图3,在正方形4BCD中，点E、尸分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形2BCD的周长的一

半，连结4E、AF,分别与对角线8。交于M、N两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明.

【拓展应用】

如图4,在矩形ABCD中，点E、P分别在边BC、上，且NR4F=NCEF=45。.探究BE、EF、OF的数量

关系：（直接写出结论，不必证明）.

【问题再探】

如图5,在AABC中，N4BC=90°,AB=4,BC=3,点Z）、E在边4C上，且4DBE=45°.设AD=x,CE=y,

求》与x的函数关系式.

A

图5

3.(22-23九年级上•江苏徐州•期末)如图，在AP4B中，C、。为AB边上的两个动点，PC=PD.

(1)若PC=CD/APB=120°,则△加3。与4P8D相似吗?为什么？

(2)若PC14B(即C、。重合)，则N4PB=。时，AAPCfPBD；

⑶当NCPD和乙4PB满足怎样的数量关系时，AAPCSAPBD?请说明理由.

B'

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2023・湖南常德・中考真题）如图1,在RtAABC中，乙4BC=90。，AB=8,BC=6,D是4B上一点，

且40=2,过点。作。EIIBC交4C于£,将42DE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为

3.（2021•山西.模拟预测）问题情境：如图1,在AABC中，AB=6,AC=5,点D,E分别在边AB,AC上,

且。EIIBC.数学思考：

AAA

图1图2图3

⑴在图1中，器的值为；

CE

（2）图1中△ABC保持不动，将AADE绕点4按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接

CE,则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；

（3）拓展探究：在图2中，延长B。，分别交AC,CE于点尸，P,连接4P,得到图3,探究/APE与/ABC

之间有何数量关系，并说明理由；

（4）若将绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接B。，CE,延长交CE的延长线于点P,BP

交AC于点乩则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出/APE与/ABC

之间的数量关系.

4.（22-23九年级上.山西临汾.期中）综合与实践

问题情境：如图，在RtANBC中，^ACB=90°,将△ABC绕点2顺时针旋转得到RtAEBO,连接4E,连接

CD并延长交2E于点F.

猜想验证：

（1）试猜想△CBD与AABE是否相似？并证明你的猜想.

探究证明：

（2）如图，连接BF交DE于点”，力B与CF相交于点G,警=穿是否成立？并说明理由.

BHEH

拓展延伸：

⑶若CD=EF,直接写出啜的值.

AD

5.（2021.山东日照•中考真题）问题背景：

如图1,在矩形4BCD中，AB=2V3,AABD=30°,点E是边4B的中点，过点E作EF1AB交BD于点工

E

图1

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的ABEF绕点B按逆时针方向旋转90。，如图2所示，得到结论：

①若=_____;②直线4E与DF所夹锐角的度数为_____.

DF

（2）小王同学继续将ABEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否

仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当ABEF旋转至。、E、F三点共线时，则AADE的面积为.

6.（2020•广东深圳•中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E,

A,。在同一条直线上），发现BE=OG且BELOG.小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

(1)将正方形AEEG绕点A按逆时针方向旋转，(如图1)还能得到8E=DG吗？如果能，请给出证明.如

若不能，请说明理由：

(2)把背景中的正方形分别改为菱形AE/G和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，(如图

2)试问当NEAG与/BAO的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=OG仍成立？请说明理由；

(3)把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD,且茶=胎=|,AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A

按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现：在旋转过程中，BG2+。序是定值，请求出这个定

值.

⑥上右图，若两个锐角a、B满足tana=2,tanB=3,则a+0=135°

【总结】

1）需要强调a+B=45。是数量关系而非位置关系，如果这两个角距离很远，没有公共端点，但是满足tana

=|,tan0=|,就有a+B=45°.实际上，tana=1,tanB=1,a邛=45°这三个条件，只要知道其中两个就

可以推出剩下的一个，即知二推一.

2）“12345”模型的结论可在选择题、填空题中直接使用，但在解答题中不能直接使用.

1.（2021•北京丰台•一模）如图所示的网格是正方形网格，贝此B4C+NCDE=（点A,B,C,D,E

是网格线交点）.

2.（2023•山东滨州•模拟预测）如图，在矩形A2CD中，AB=2,BC=4,点£、尸分别在BC、CD上，若AE=V^,

ZEAF=45°,则AF的长为.

3.（2022・四川乐山•中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=逐，点。是AC上一点，连接若

A.2V5B.3C.V5D.2

4.（2020・吉林长春.二模）如图，正方形ABC。中，AB=8,G是的中点.将AABG沿AG对折至△APG,

延长GF交。C于点E,则DE的长是（）

48

A.-B.2C.-D.3

33

5.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在正方形4BCD中，点E,尸分别为BC,2B的中点，连接4E,点G是

线段4E上一点，连接GF,延长FG交CD于点M,若AB=4,乙4GF=45。，则CM的长为.

6.（22-23九年级上•福建泉州•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+?n分别交x轴，y轴于4B

两点，已知点C（2,0）,点P为线段。8的中点，连结P4PC,若“「2=乙480,则小的值为.

类型六其它模型

1.（2021•内蒙古・中考真题）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，过点B作BD_LCB,垂足为B,且BD=3,

连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN1CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为

2.（2023・安徽滁州•校考一模）如图,已知4B1BC、DC1BC,4C与ED相交于点作。M1BC于点M,

点E是BD的中点，EFd.BC于点G,交4C于点F,若4B=4,CD=6,则OM-EF值为（）

3.（2023•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙4B,甲、

乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形（CDIDF.ABIDF.EF1DF）.甲

从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点。处.点B是。F的中点.墙4B高5.5米，DF=120米，BG=10.5

米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.（结果精确到0.1米）.

4.（2022下•黑龙江大庆•八年级统考期中）如图，F为ABED的边BD上一点,过点2作B4||EF交DE的延

长线于点A,过点D作DC||EF交BE的延长线于点C.

⑴求证：嗦+专=，

（2）请找出SAABD，SRBED，SABDC之间的关系，并给出证明•

5.（2022・湖北武汉.统考模拟预测）（1）【问题背景】如图1,AB||EF||CO,4。与BC相交于点E,点尸在BD

上.求证:1

表+招EF

EACAB

小雅同学的想法是将结论转化为9+奈=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程.

ADCD

（2）【类比探究】如图2,AELAB,BD1AB,GH1AB,DE与BC相交于点G,点〃在AB上，AE=AC.求

、T112

证：------=--

GHACBD

（3）【拓展运用】如图3,在四边形4BCD中，ABWCD,连接4C,8。交于点过点M作EF||48,交AD于

点E,交BC于点「连接EC,FD交于点N,过点N作GH||4B,交2D于点G,交BC于点H,若=3,CD=5,

直接写出GH的长.

1.（2023•内蒙古通辽•模拟预测）如图，正方形MNPQ内接于AABC,点M、N在上，点P、Q分别在2C和

4B边上，且BC边上的高4D=6cm,BC=12cm,则正方形MNPQ的边长为.

下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任

务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这

样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形.那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用

如下方法：如图1,在RtAABC中，乙4cB=90。，作N4CB的角平分线，交斜边4B于点。；然后过点。,

分别作AC,BC的垂线，垂足分别为足E,则DF=DE.(依据1)容易证明四边形DFCE是正方形.

C

AD

图1图2

用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点.

如图2,如果RtAABC的内接正方形的一边恰好在斜边48上，我就可用如下方法,

第一步：过直角顶点C作CD14B,垂足为Q；

第二步，延长4B到使得BM=2D,连接CM；

第三步：作NBDC的平分线，交MC于点E；

第四步：过点E分别作DC,DB的垂线，垂足分别为P,K,EP交BC于点F,EP的延长线交AC交于G；

第五步：分别过点RG作4B的垂线，垂足分别为N,H.

则四边形NFGH就是Rt△ABC的内接正方形，并且NH恰好在该直角三角形的斜边上.

理由如下：易证四边形EPDK是正方形，EGWAM.

'：EG\\AM,Z.CGP=Z.CAD,/.CPG=/.CDA,.--ACGP-ACAD,同理可得：ACEF^ACMB.（依据2）

GPCPEFCFCP

ADCD'BM~CB~CD

学习任务:

(1)材料中画横线部分的依据分别是:

依据1：依据2：

(2)请完成图2说理过程的剩余部分.

(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形EPDK,再将正方形EPDK转

化为正方形NFGH,转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是.（填出字母代号即

可）.

A.旋转B.平移C.轴对称D.位似

3.（2023•湖南长沙.二模）如图，已知在△28C中，BC=20,高2。=16,内接矩形EFGH的顶点E、厂在8C

边上，G、〃分别在AC、AB上，则内接矩形EFGH的最大面积为.

4.（23-24九年级下•陕西西安•阶段练习）阅读理解：如图1,在△ABC中，当DE〃:BC时可以得到三组成

比例线段：①黑=崂=黑；②,=笠；③筹=*.反之，当对应线段程比例时也可以推出DE〃:BC.

ABACBCBDCEABAC

理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形.

A

△D/\G

图3

（1）如图2,已知矩形DEFG是小ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH,

其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H,在图2中画出平移后的图形；

（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R,连接AR.求证：AR〃:BC；

（3）如图3,某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米，BC=600米，ZABC=45°；准

备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形

其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的

矩形.并求出对角线EG的最短距离（不要求证明）.

题型03角平分线分线段成比例模型

条件：已知AD平分/BAC

BDC

结论：—（即三角形一个内角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）

ACCD

1.（2022・湖北黄冈・中考真题）问题背景:

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知是△ABC

的角平分线，可证,=器.小慧的证明思路是：如图2,过点C作CE〃钻，交的延长线于点£,构造

相似三角形来证明第=黑

图1图3

⑴尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明箕=.

（2）应用拓展：如图3,在RdABC中