几何证明（8重点+6考点+过关检测）-2025年沪教版八年级数学寒假提升讲义（含答案）

专题06几何证明

考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

考点聚焦

重

点

专

攻

考点I平行线的判定与性质3

考点2三3形内角和定理

考)

点考点3三角形的外角性质）

剖

析考点4全等三角形的判定与性质)

考点5等朦三角形的判定与性质)

考点6命题与定理）

试卷第1页，共14页

0＞重点专攻------------------------------------------

知识点一演绎证明

1演绎证明的概念

从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的

过程叫演绎证明

演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明，七年级学习额的平行线、三角形

全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明

注意：①证明中的每一步推理都要有依据，不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有

真理都可以进行演绎证明

2.证明几何问题的方法

(1)综合法：由题设逐步推导到结论的一种证明方法

(2)分析法：由结论逐步追溯到题设的一种方法

易错易混提示：

①几何证明时，一般先用分析法找到思路，然后改用综合法写出证明过程

②在几何证明中，有时需要添加辅助线，添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代

清楚，辅助线通常画虑线即可

(3)证明过程中，前一段的“果”为后一段提供了“因“，一连串连贯有序的因果关系组成了

完整的证明

知识点二定义、命题、真命题及假命题的概念

1.定义：能界定某个对象含义的子叫做定义

2.命题：判断一件事情的句子叫做命题

注意：

(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都

不是命题；问句、祈使句、感叹句都不是命题；问句、祈使句、感叹句都不是命题！

(2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断

3.真命题：判断为正确的命题叫做真命题

注意：

判断一个命题是真命题，往往需要从命题的题设出发，通过证明步一步推得结论成立.

4.假命题：判断为错误的命题叫做假命题

试卷第2页，共14页

5.［补充］反例：符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命

题，通常只要举出反例即可

答疑解惑：如何判断命题真假？

判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下，看结论是否正确，可先举“特例”验证，特例

成立，还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式，用推理的方法说明结论正

确；若特例不成立，则命题一定是假命题.

知识点三命题的结构

数学命题通常由题设和结论两部分组成.

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项

这样的命题可以写成“如果...，那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始

的部分是结论

注意：

存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果...，那么…”的形式,

这样就更加清楚地找出命题的题设和结论.

知识点四公理和定理的概念

1.公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理

2.定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题

真假的依据，这样的真命题叫做定理.定理是需要证明的.

知识点五证明思路的分析

1.证明思路

要想证明一个命题是否正确，我们在思考时，可以由最后的结论反着向前追溯证明

2.证明思路的分析方法

先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件，由此

再考虑“只要证什么"，一直追溯至r’已知”而证明的表述

证明逻辑顺序：“已知”一“可知”一“结论”.

3.证明的一般步骤

(1)分清命题的题设和结论；

如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号.

注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论.

(2)结合图形，写出已知求证；

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（3）分析因果关系找出证明途径；

（4）有条理地写出证明过程（每一步推理都要有推理的依据）.

注意：

在证明的表述中，符号读作因为，“•••”读作所以.

如果已知中给出图形，给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可

知识点六几何证明中常用的证明方法

证明类型证明方法

证明两直线

利用平行线性质判定定理和公理

平行

证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等证法2：如果

证明两线段

两线段在一个三角形中，可证它们所对的角

相等

证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条

证法1：利用平行线的性质证两角相等；证法2：如果两角分别在两个三角

证明两角相形中，可证这两个三角形全等；

等证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等（等腰三角形的

性质）

证明两直线

证法1：利用垂直定义；证法2：利用等腰三角形“三线合一”

互相垂直

知识点七互逆命题、原命题、逆命题

概念

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二

个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题

原命题与逆命题是相对的，每个命题都有逆命题.

原命题是真命题，逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，逆命题不一定是假命题

拓展：符号语言表示原命题：如果p,那么q；逆命题：如果q,那么p.

2.方法

写原命题的逆命题时，首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,

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那么...”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命

题写出原命题的逆命题.

知识点八互逆定理、逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另

一个的逆定理

注意：

①互逆定理，其题设与结论互换，说明问题时，其推理的方向正好相反

②每一个命题都有逆命题，而每一个定理不一定都有逆定理.定理和逆定理都是真命题，

而命题和逆命题却不一定都是真命题.

3提升专练

考点剖析

【考点1平行线的判定与性质】

（2023春•浦东新区校级期末）

1.若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）

A.一对同位角的平分线互相平行

B.一对内错角的平分线互相平行

C.一对同旁内角的平分线互相平行

D.一对同旁内角的平分线互相垂直

（2023秋•浦东新区期中）

2.如图1,点、C,。在直线4B上，NACE+NBDF=18。°,EF//AB.

⑴求证：CE//DF；

（2）NDEE的角平分线尸G交于点G,过点尸作四_L尸G交CE的延长线于点若

ZCMF=55°,求NCP少的度数.

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【考点2三角形内角和定理】

（2022秋•庐阳区校级月考）

3.如图，BD,CE分别是4ABC的高线和角平分线，且相交于点O,若NBCA=70。，贝"BOE

的度数是（）

A.60°B.55°C.50°D.40°

（2022秋•长宁区校级期中）

4.已知△48C的三个内角满足=+则该三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

（2024秋•浦东新区期中）

5.如图，已知△NBC中，NB=NC,D是边BC上一点,DE1AB,垂足为点E,

DF1BC,垂足为点。，DF交边AC于点、F,当乙4=40。，则NDH4=度.

（2023秋•松江区期末）

6.如图，在△NBC中，己知AD是248C的角平分线，点。是△4BC内一点，且

AD1BD,ADAC=20°,ZC=38°,那么NBAD=°.

（2023秋•黄浦区期末）

7.如果一个直角三角形的一个内角等于30。，其中一条较长的直角边长为3,那么斜边的长

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为.

【考点3三角形的外角性质】

（2023秋•徐汇区月考）

8.BP和CP是aABC两个外角的平分线，则28尸（？为（）

A.B.90+-ZAC.90--ZAD.N4

222

（2024春•西安校级期中）

9.如图所示，。为△NBC的三条角平分线的交点，ZSOC=120°,则/C48=度.

（2023秋•松江区校级月考）

10.如图，在△/2C中，ZABC=50°,三角形的两个外角和4CF的平分线交于点

E,则乙42£=度.

【考点4全等三角形的判定与性质】

（2024秋•闵行区期中）

11.如图，在△N2C中，AD工BC于点、D,8EL4C于点E,AD、8E交于点尸，且

那么下列结论中错误的是（）

A.ZAFE=ZACBB.ZCBE=ZCADC.FE=FDD.DC=FD

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（2022秋•奉贤区校级期中）

12.在锐角AABC中，AD1BC,BE1AC,垂足分别为D、E,AD与BE交于点F,BF=

AC那么4ABe等于（）

A.60°B.50°C.48°D.45°

（2023秋•闵行区期末）

13.如图，在Rta/BC中，ZBCA=90°,8是高，BE平分NABC交CD于点E,过E作

EF〃4c交边AB于点F,交边8c于点G,连接CF,下列结论中，不一定成立的是

（）

A.ZEFD=ZBCDB.ZACF=ZDCFC.BF=BCD.AF=CF

（2023秋•黄浦区期末）

14.如图，C、。两点分别在射线上，点P在/NQ8的内部，且

CP=DP,PM±OA,PN±OB,垂足分别为点M、N,且CM=DN,若DN=3,CO=7,则

。。的长为（）

A.10B.13C.15D.17

（2024秋•徐汇区校级期中）

15.如图，是△4BC中BC边上的中线，若48=5,AC=3,则AD的取值范围为

16.如图，A48C中，。是/C边的中点，过。作直线交48于点E,交3c的延长线于点

试卷第8页，共14页

F,且/E=CF.若/8=19,BC=1,则

（2024秋•闵行区期中）

17.如图，在四边形/BCD中，连接NC、BD.已知NDBC=NDB4=ND4C,

ZBCA^90°,AC=6,AB=CB+2#,那么△4DC的面积是

*

B

（2023秋•浦东新区期末）

18.在A48C中，/。是8c边上的中线,/DL/8,如果AC=5,AD=2,那么AB的长是.

【考点5等腰三角形的判定与性质】

（2023秋•徐汇区校级月考）

19.如图，A4BC中，48=7,/C=5,2c=10,0B平分UBC,。。平分41C5,经过

点。，与/C相交于点M,N,宣MN!/BC,则A/MN的周长等于（）

A.17B.15C.12D.11

（2024秋•闵行区校级期中）

20.如图，在△ABC中，平分ZA4C,8尸，/。于点尸，48=4,BP=3,AC=10,

ZC=18°,贝1|48C=

试卷第9页，共14页

（2023秋•金山区校级月考）

21.如图，在448C中，NBAC=126°,4D，BC于D,^.AB+BD=DC,那么NC的度

数是.

A

D

【考点6命题与定理】

（2024秋•徐汇区校级期中）

22.下列说法中，正确的是（）

A.每个命题不一定都有逆命题

B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题仍是真命题

D.假命题的逆命题未必是假命题

（2024秋•闵行区校级期中）

23.下列命题中，真命题是（）

A,内错角相等B.方程炉=0没有实数根

C.对顶角相等D.若选=a，贝1U>0

（2024秋•徐汇区校级期中）

24.下列命题中，真命题是（）

A.所有定理都有逆命题

B.三角形的一个外角等于两个内角的和

C.同位角相等

D.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

（2024秋•闵行区校级期中）

25.下列命题中，真命题是（）

A.两个等边三角形全等

B.底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等

C.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

（2024秋•浦东新区期中）

试卷第10页，共14页

26.下列命题中，其逆命题是真命题的是（）

A.对顶角相等B.全等三角形对应角相等

C.两个全等三角形的面积相等D.两直线平行，内错角相等

（2024秋•普陀区期中）

27.下列命题中，是真命题的是（）

A.如果一元二次方程G2+6x+c=0（aw0）有两个实数根，那么〃一4就＞0

B.如果那么^

C.两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等

D.底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等

（2024秋•闵行区期中）

28.下列命题中，真命题的是（）

A.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

B.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

D.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

（2023秋•杨浦区期末）

29.已知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

过关检测

（2022秋•宝山区校级期中）

30.在&ABC中，AD平分NBAC,DE〃AC,若NB=55°,NC=75°,那么ZADE=

试卷第11页，共14页

A

（2023秋•徐汇区月考）

31.已知：如图，在△4BC中，平分/A4C,点尸是的中点，EF/AC,交的

延长线于点E.求证：BE_LAD.

（2022秋•黄浦区校级月考）

32.我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则'

（2023秋•金山区期末）

33.如图，在△ABC中，点厂是高40、BE的交点，且AF=/C,则248C=_度.

（2024秋•浦东新区期中）

34.已知如图，AB=AC,AD=AE,ZBAE=ZCAD,BD与相较于点尸，求证:

FB=FC

试卷第12页，共14页

A

35.如图，点A、E、F、C在同一直线上，ZEDF=ZFBE=90°,DE=BF,

AE=CF.求证：CO.（本题要写依据）

36.如图，已知在中，4D平分NBAC,BE//AD,交C4延长线交于点E,F是BE

的中点，求证：AF1.BE.

37.如图，在三角形4BC中，。是/C边上的一点，过点。作交//C2的平

分线于点交//C8的邻补角的平分线于点尸，求证：OE=OF.

（2024秋•静安区校级期中）

试卷第13页，共14页

38.下列命题中，真命题的个数是（）

（1）等角的补角相等；（2）两边及其中一边的对角对应相等的三角形是全等三角形；（3）

一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；（4）两条直线被第三条直线所

截，同旁内角互补；（5）等腰三角形，两腰上的高相等.

A.2B.3C.4D.5

（2023秋•虹口区校级期末）

39.下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若。>0,b>0,则。+6>0B.全等三角形的对应角相等

C.对顶角相等D.若同=同，贝Ua=b

（2023秋•浦东新区校级期末）

40.下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数,

它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

试卷第14页，共14页

1.c

【分析】结合角平分线的性质，根据平行线的性质与判定进行分析.

【详解】如图所示：

若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的

平分线互相垂直，所以c错误.

故选C.

【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线的性质与判定，平行线的判定与性质的应用贯穿

于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中

的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.

2.（1）证明见解析

（2）/8/=110。.

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义.

（1）根据平角的性质进行等量代换，得至IJNBDF=2BCE,利用同位角相等两直线平行即

可证明；

（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到NC=125。，进而得到ND尸G=35。，再根据

角平分线的定义，得至（尸E=24"G=70。，最后利用平行线的性质，即可求出NCA尸的度

数.

【详解】（1）证明：•・•//CE+/8DF=180°,ZACE+ZBCE=180°,

ZBDF=/BCE,

CE//DF；

（2）M：-：CE//DF,

ZCMF+ZDFM=180°,

•••ZCMF=55°,

ZDFM=125°,

FM1FG,

：.ZGFM=90°,

答案第1页，共24页

・•.ZDFG=ZDFM-ZGFM=125°-90°=35°,

・・・FG是ZDFE的角平分线，

ZDFE=2ZDFG=70°,

•：EF〃AB,

/CDF+/DFE=180。,

.-.ZCZ)F=110°.

3.B

【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论.

【详解】解：・・・BD1AC,

••ZBDC=9O。，

・・・CE平分NACB,ZACB=70°,

.・ZDCO=35。，

.-.ZBOE=ZCOD=90°-35°=55°,

故选：B.

【点睛】此题主要考查三角形角度求解，解题的关键是熟知角平分线的定义和三角形的内角

和.

4.A

【分析】根据，即可求解.

【详解】解：•・・N4=N5+NC,ZA+ZB+ZC=180°f

・•/+44=180。，

解得：ZA=90°f

・•.该三角形是直角三角形.

故选：A

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于180。是解题的

关键.

5.160

【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义，由三角形内角和定理得出

ZS=ZC=1(180°-Z^)=70o,由垂线的定义得出NCDF=90。，再由三角形内角和定理得

出/CFD=20。，即可得解.

答案第2页，共24页

【详解】解：・・・/5=/。，ZA=40°f

・•./B=NC=1(180°-ZA)=70°,

,:DF1BC,

.・./CDF=90。,

・•.ZCFD=180°-ZC-/CDF=20°,

ZDFA=1SO°-ZCFD=160°.

故答案为：160.

6.58

【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是作辅助线构造等腰三角

形.

【详解】解：延长/。交5C于点E,

・・•BD是/ABC的角平分线，

・•・ZABD=ZEBD,

•・•ADLBD,

/BAD=ABED=ADAC+/C=20。+38。=58。，

故答案为：58.

A

A.

/

/、、

B匕-----3~

7.273

【分析】根据较长的直角边长为3,直角三角形的一个内角等于30°,可设30°所对的边长为

x,然后根据勾股定理可得斜边的长

【详解】•••直角三角形的一个内角等于30°,其中一条较长的直角边长为3,

・•.较长的直角边对应的角度是60°,

,设30°所对的边长为x,则斜边长为：2尤，

根据勾股定理得:3?+/=(2x)2,

解得：x=

答案第3页，共24页

・•・斜边长为：2vL

故答案为：2月

【点睛】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关

键

8.C

【分析】根据题意作出图形，根据由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得NP

与NA的关系，从而计算出NP的度数.

【详解】解：如图，•••BP,CP是aABC的外角平分线,

•••zPBC=yQA+NACB),zPCB=y(NA+NABC),

又♦./PBC+NPCB+NP=180°,

.♦.NP=180。—(ZPBC+ZPCB)

=180°-1(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-1(180+z.A)

=90°-yZA,

故选C.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理.解决问题的关键是掌握:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

9.60

【分析】此题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，利用角平分线的定义和三角形内

角和定理计算+的度数，从而得出答案，熟练进行角度的转换是解题的关键.

【详解】解：：。为△NBC的三条角平分线的交点，

答案第4页，共24页

可得ZBOC=180。-；(N4BC+ZACB)=120°,

ZABC+ZACB=120°,

ZCAB=60°,

故答案为：60.

10.25

【分析】根据题意过点E作△/BC三边的垂线段EG,EK,根据角平分线的性质可得，

EG=EK,进而判定BE是N/2C的角平分线，根据角平分线的定义即可求得NN8E.

【详解】解：如图，过点E作△/吕。三边的垂线段EG,E”,EK,

D

A/..

•••三角形的两个外角ZDAC和AACF的平分线交于点E

口区------ciT-F

EG=EH,EH=EK

EG=EK

在//2C的角平分线上，即BE是。的角平分线

:.ZABE=-ZABC=25°

2

故答案为：25

【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明BE是/N2C的角平分线是解题的关键.

11.C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角

形的判定和性质是解题的关键.根据直角三角形的性质可判断A,B选项，证明

△BDF咨ADC(ASA),可判断C,D选项.

【详解】解：•••/〃，8C,BELAC,

；.NADC=NAEB=9。°,

ACAD+ZACB=90°,ZAFE+ACAD=90°,

；"AFE=NACB,故选项A正确；

•••ZBEC=ZADC=90°,

NCBE+ZACB=ZCAD+ZACB=90°,

答案第5页，共24页

:.NCBE=/CAD,故选项B正确；

在△AD厂和△40。中，

ZCBE=ZDAC

<BD=AD,

/BDF=/ADC=90。

MBDF沿ADCgZ，

:.DF=DC,故选项D正确；

•・•ABDF出ADC,

「•△5。尸和不可能全等，

：.EF手DF,故选项C错误；

故选：C.

12.D

【分析】根据题意画出图形，然后证明△BDFwaADC,再利用全等的性质得出BD=AD,

从而得到4ADB为等腰直角三角形，即可得到结果.

【详解】如图，

.-.ZBDF=ZADC=ZBEC=9O°,

.-.zDBF+zC=zC+zCAD,

.*.ZDBF=ZDAC,

"BF=AC

^△BDF和4ADC中，＜/DBF=ADAC

ZBDF=ZADC

.*.ABDF=AADC(AAS),

••.BD=AD,

•••AABD是等腰直角三角形,

••2ABC=45°.

答案第6页，共24页

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法和性质是解题的关键.

13.D

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质,

等腰直角三角形的性质，根据性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键.

【详解】A>"EF//AC,ZBCA=90°,

:"CGE=NBCA=90°,

.-.ZBCD+ZCEG=9Q°,

又・••CD是高，

：.NEFD+NFED=9Q°,

•:NCEG=ZFED,

ZEFD=ZBCD,故此选项正确；

B、由上可得：NEFD=NBCD,

又由C选项得：ABCE”ABFE,

BF=BC,

ZBFC=ZBCF,

:"BFC-ZEFD=NBCF-ZBCE,即/DCF=/CFG,

■：EF//AC,

：.NACF=ZCFG,

ZACF=ZDCF,故此选项正确；

C、由A证明得=

BE平分/ABC,

NEBC=NEBF,

在ABCE和△AFE1中，

ZEFD=ZBCD

<NEBF=ZEBC,

BE=BE

.-.^BCE^BFE(AAS),

：.BF=BC,故此选项正确；

D、由上可知：ZACF=ZDCF,若4F=CF,则有乙1CF=/DCF=,

答案第7页，共24页

则有乙4=30。，与题意不符，故此选项不一定成立；

故选：D.

14.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明RMPCM之RtAPDN(HL)得到

PM=PN,CM=DN=3,则(W=CO+CM=10,进一步证明RtZ\OPCgRt2XOPN(HL)

得到CW=(W=10,贝l]DO=ON+ON=13.

【详解】解：PM1OA,PN1OB,

：.ZPMC=ZPND=9Q°,

■:CP=DP,CM=DN,

...RtAPCMgRtAPrw(HL),

：.PM=PN,CM=DN=3,

:.OM=CO+CM=10,

•：PM=PN,OP=OP,

RtAOPC^RtAOP^(HL),

：.ON=0M=10,

：.DO=ON+DN=U,

故选B.

15.\<AD<A

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用.熟练掌握全等三角

形的判定与性质，三角形三边关系的应用是解题的关键.

如图，延长/。到E,使DE=AD,连接班，证明AbDE0ACa^SAS),则5E=/C=3,

^B-BE<2AD<AB+BE,可得5-3<2/Z)<5+3,计算求解即可.

【详解】解：如图，延长/。到E,使。£=加，连接BE,

答案第8页，共24页

•・・DE=AD,ZBDE=ZCDA,BD=CD,

"DE知CD4（SAS）,

；,BE=AC=3,

•・•AB-BE<2AD<AB+BE,

5—3<24D<5+3,

••-1<AD<4,

故答案为：1<4D<4.

16.6

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全

等三角形是本题的关键.

如图，过点A作/H||8尸交所的延长线于点八由“44S"可证"DHMACD。可得

AH=CF=AE,可得NH=NAEH=NF=/FEB,可得BE=BF,即可求解.

【详解】解：如图，过点A作/8||8尸交巫的延长线于点“，

\,/H=ZF,且NO=DC,NADH=/CDF,

A\EB

7

H

,"DH*CDF（AAS）,

AH=CF,

'：AE=CF,

AH=AE,

AH=ZAEH,

ZAEH=ZF=/FEB,

/.BE=BF=BC+CF=1+CF,

答案第9页，共24页

:.AB=AE+BE=CF+1+CF=\<),

CF=6,

故答案为：6.

17.3>/5

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确

作出辅助线构造全等三角形是解题关键.设/C、BD交于点、0,延长8C、血)交于点尸，过

点C作产于点E,过点。作于点首先证明AOBC0AOBM,由全等三

角形的性质可得0c=OM,BC=BM,进而可知/M=2逐；再证明△尸Z历段A4D2,易得

FD=AD,BF=AB,进而推导尸C=NM=2括，结合△CD厂和ACD4等底等高，利用

求解即可.

【详解】解：如图，设BD交于点、0,延长8C、3交于点尸，过点C作C£_L/尸于点

E,过点。作于点

VZDBC=ZDBA,ZBCA=90°,OMLAB,

・•・在△03。和中，

ZOCB=ZOMB=90°

<ZOBC=ZOBM,

OB=OB

・•・△05C之△OBM(AAS),

OC=OM,BC=BM,

•••AB=BM+AM=CB+245,

答案第10页，共24页

・••AM=2下,

-ZCOD=ZDBC+/ACB=ZDAC+/ADB,

又•：/DBC=/DAC,

AACB=/ADB=90°,

・•.ZBDF=180°-/ADB=90°,

在AFDB和小ADB中,

/DBC=ZFBA

<BD=BD,

/BDF=/BDA=90。

.♦.△FZ苏名△4D5(ASA),

；.FD=AD,BF=AB,

AB=BM+AM,BF=BC+FC,且BC=BM,

•••FC=AM=275,

在△CD厂和ACD4中，FD=AD,CE1AF,

即ACDF和ACDA等底等高，

•■S.ADC=S.CDF=^S.ACF=JxjCF.NC=gx/xx6=3一.

故答案为：3A/5.

18.3

【分析】过点C作CEII/8交ND延长线于£,先证A4BO三△ECD(AAS),求出

222

AE=2AD=4,在RtA4EC中，CE=J74c-汨=75-4=3即可.

【详解】解：过点C作CEII48交4D延长线于E,

以。是BC边上的中线，

.■.BD=CD,

■.■AD1AB,CEWAB,

：.ADLCE,UBD=^ECD,

.s=90°,

在A4BD和△ECD中

答案第11页，共24页

ZADB=/EDC

<AABD=/ECD,

BD=CD

•••△ABD三AECD(AAS),

，AB=EC,AD=ED=2,

・・/E=24D=4,

在RtA4EC中，CE=Jm-坦=752-42=3,

：.AB=CE=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性

质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等.

19.C

【分析】根据平分乙45C,CO平济44CB,且"NI山C,可得出NO=NC,所

以三角形4AW的周长是AB+AC.

【详解】解：M。平分乙45C,CO平分UCB,

；•乙MBO=(OBC,Z.OCN=Z-OCB,

•••MNRBC,

••.£MOB=LOBC,2LNOC=Z-OCB,

：/MBO=UAOB,乙NOC=(NCO,

:.MO=MB,NO=NC,

-AB=7,AC=5f

•,&MN的周长=4AFHW+4N=45+4C=7+5=12.

故答案为：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，关键是根据等腰三角形的

判定和性质以及平行线的性质得出三角形/W的周长是/B+/C

20.54

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性

答案第12页，共24页

质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.延长5尸交/C于点E,

根据角平分线的定义可得=再根据垂直定义可得//尸5=N4PE=90。，从而

利用ASA证明①名然后利用全等三角形的性质可得445£=44防,

BP=PE=3,AB=AE=4,从而可得5£=£C=6,进而可得NE5C=NC=18。，最后利用三

角形的外角性质可得44匹=445£=36。，从而利用角的和差关系进行计算即可解答.

【详解】解：如图，延长5P交4C于点E,

/./BAD=ZDAE,

•・•BPAD,

ZAPB=ZAPE=90°,

•・•AP=AP,

:AABP-AEP(ASA),

ZABE=ZAEB,BP=PE=3,AB=AE=4,

-AC=10,

.\EC=AC-AE=10-4=6f

•:BE=BP+EP=6,

BE=EC,

ZEBC=ZC=1S°,

•；/AEB是AEBC的一个外角,

AAEB=ZEBC+ZC=36°,

ZAEB=/ABE=36°,

/ABC=/ABE+ZEBC=54°,

故答案为：54.

21.18°

【分析】由AB+BD=DC,可以得到辅助线：在DC上截取DE=BD,连接AE；根据SAS证

答案第13页，共24页

WAADB=AADE,再利用全等三角形的对应边，对应角相等，可得至！UB=NAED,AE=AB；

又由等量代换，证得AAEC是等腰三角形，利用等边对等角，即可求得与NC的关系，

由三角形的内角和是180。，即可求得结果.

【详解】解：在DC上截取DE=BD,连接AE,

•••AD1BC,

/.ZADB=ZADE=9O°,

,•,AD=AD,

.-.△ADB=AADE,

NB=Z_AED,AE=AB,

•・・AB+BD=DC,DE+EC=DC,

•・.AE=AB=EC,

.-.zAEB=2zEAC=2zC,

•,.zB=2z.C,

vzBAC=126°,zB+zC+zBAC=180°,

.-.3ZC=54°,

/.ZC=18°.

故答案为：18。.

【点睛】：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质.解此题的关键是

找到辅助线的作法，解题时应注意积累经验.

22.D

【分析】本题考查的是命题与定理的区别，（1）判断正确的命题叫定理；（2）任何一个命题

都有逆命题，但不一定是真命题；不是任何一个定理都有逆定理.

根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可.

【详解】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项说法错误，不符合题意；

B、每个定理都有逆命题，不一定有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；

答案第14页，共24页

D、假命题的逆命题不一定是假命题，本选项说法正确，符合题意;

故选：D.

23.C

【分析】本题考查了真命题，平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的

性质.熟练掌握真命题，平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质

是解题的关键.

利用平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质对各选项进行判断作

答即可.

【详解】解：A.由题意知，两直线平行，内错角相等，A不是真命题，故不符合要求；

B.方程/=0有实数根，B不是真命题，故不符合要求；

C.对顶角相等，C是真命题，故符合要求；

D.若贝UaNO,D不是真命题，故不符合要求；

故选：C.

24.A

【分析】本题考查命题与定理，同位角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，轴对称图

形，中心对称图形，关键是掌握任何命题都有逆命题，同位角的定义，三角形的外角性质,

轴对称图形，中心对称图形的定义.由命题逆命题的概念，同位角的定义，三角形外角的性

质，轴对称图形，中心对称图形的定义，即可判断.

【详解】解：A、定理也是命题，有逆命题，正确，故A符合题意；

B、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故B不符合题意；

C、两直线平行，同位角相等，故C不符合题意；

D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

25.D

【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，本题得以解决.本题考查命题和定理、

全等三角形的判定、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题

的真假.

【详解】解：A、两个等边三角形不一定全等，如两个等边三角形的边不相等，则这两个两

个等边三角形不全等，故选项A错误，不符合题意；

答案第15页，共24页

B、底边及一个内角相等的两个等腰三角形不一定全等，如一个等腰三角形的底角与另一个

等腰三角形的顶角相等，都是50。，则这两个三角形不全等，故选项B错误，不符合题意；

C、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故选项C不符合题意；

D、两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，故选项D正确，符合题意；

故选：D.

26.D

【分析】本题考查命题与定理，熟练掌握命题与逆命题的概念和相关定理是解题的关键.

交换原命题的题设和结论部分得到四个命题的逆命题，然后根据对顶角的定义、平行线的判

定、全等三角形的判定进行判定即可.

【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；

B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，

不符合题意；

C、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命

题，不符合题意；

D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合

题意；

故选：D.

27.B

【分析】本题主要考查了命题真假的判定，根据根的判别式，等腰三角形的性质，算术平方

根定义，三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可.

【详解】解：A.如果一元二次方程办2+8+。=0伍/0）有两个实数根，那么/一4的20,

原命题不是真命题，故A不符合题意；

B.如果力=尸，那么77=病，此命题为真命题，故B符合题意；

C.如图△/2C和AEFG都是等腰三角形，且AB=EF=4C=GE,且腰上的高CD=G〃，

从图形中显然可看出这两个三角形不全等，原命题是假命题，故C不符合题意；

D.如图，LABCJDEF<^BC=EF,//=/£,但△4BC与不全等，因此原

答案第16页，共24页

命题是假命题，不符合题意.

故选：B.

28.A

【分析】本题考查的真命题和假命题判断，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.利用

全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可.

【详解】解：A、如图，AB=AB-AC=AC',40、是中线，且40=/力’则

ABCA'B'C.理由：

，ABDE讣CDA,

BE=AC,

同理可证=

BE=B'E',

在442。和中，

AB=AB,BE=B'E',AE=A'E',

"BE出AA'B'E',

■■NBAD=ZB'A'D',

同理可证

答案第17页，共24页

ACAD=ZC'A'D',

ABAC=ABAC',

又AB=<B'，AC=AC',

：.ABC^A'B'C,是真命题；故该选项符合题意;

B、两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图:

△48C和的边=AC=AD,第三边上的高都是

AH,两个三角形不全等，是假命题，故该选项不符合题意；

C、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意；

反例：如下图，在。和ZUBC中，47=4；比=BC高AH=AH,zUB'C和

不一定全等；

D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也可以全等，如在直角三角形中运用HL,

即可证明两个三角形全等，是假命题，故该选项不符合题意；

故选：A.

29.B

【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可.

【详解】解：①由于S&4不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不

一定全等，故原命题是假命题；

②由于满足NS/,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题；

③有一条边与一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，故原命题是假命题；

④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足故原命

题是真命题.

答案第18页，共24页

其中真命题的个数是2个.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵

活应用相关知识成为解答本题的关键.

30.25

【分析】根据三角形内角和的性质求得/A4c的度数，再根据角平分线和平行线的性质，

求解即可.

【详解】解：由三角形内角和的性质可得：ABAC=1SO°-ZB-ZC=50°

又,.•/£>平分NA4c

...ZBAD=ZCAD=-ABAC=25°

2

又•;DE〃AC

："ADE=ZCAD=25°

故答案为：25.

【点睛】此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基

础知识.

31.证明见解析

【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义.先证明

ZAEF=/E4E得到AF=EF,再证明8尸=跖，得至*/FBE=/FEB,结合三角形内角和定

理即可证明.

【详解】证明：•:EF〃AC*

ZCAE=ZAEF,

•；4D平分NBAC,

."CAE=ZFAE,

•••ZAEF=ZFAE,

■■■AF=EF,

丁点尸是48的中点,

•••AF=BF,

：.BF=EF,

■■NFBE=NFEB,

答案第19页，共24页

VZEAF+/FBE+ZBEA=180。，

・•・/EAF+ZFBE+ZBEF+ZAEF=180°,

・•・ZBEF+ZAEF=90°=ZAEB,