绝对值的相关问题（化简求值、方程与最值）（9大题型）-2025年北师大版七年级数学寒假复习专练（含答案）

专题07绝对值的相关问题（化简求值、方程与最值）

燎内容早知道

》第一层巩固提升练（9大题型）

题型一根据字母取值范围（或数轴上的位置）化简求值

题型二绝对值化简（分类讨论型—含）

题型三采用零点分段讨论化简求值

题型四含绝对值的方程（几何法与代数法）

题型五两个绝对值的和的最值

题型六两个绝对值的差的最值

题型七多个绝对值的和的最值

题型八系数不为“1”的绝对值的和差最值

题型九小|+6型或一+6型最值

台第二层能力培优练

台第三层拓展突破练

-------------------------------------------------------------------------

题型一根据字母取值范围（或数轴上的位置）化简求值

口技巧积累与运用

已知点在数轴上的位置（即未知数的范围）的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正

负：②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值：③去括号：⑷化简（合并同类项）。

（24-25七年级上•成都市•期中）

1.已知-l<x<0,则国+|x+［的化简结果是（）

A.—2x+1B.1C.2x+lD.-1

（24-25七年级上•四川眉山・期中）

2.如图所示已知a,b,c在数轴上的位置如图所示：化简|。+耳-匕-6|=

b0

试卷第1页，共16页

（24-25七年级上•山西大同•期中）

3.已知有理数4、6、c在数轴上的对应点如图所示，且同>|耳，则|"4=—,\a+b\=

|«+c|=,,化简卜HH+HI+卜4=

—J---------->—!；--------------

ac0b

x

题型二绝对值化简（分类讨论型———）

口技巧积累与运用

AX

当"时n，痴2L=1；当”<U时,正=1，

（24-25七年级上•浙江温州•期中）

b+ca+ca+b

4.已知a、b、c为非零有理数，若a+6+c=0,则u++「的值为（）

A.1B.-1C.±1D.土1或±3

（24-25七年级上•江苏无锡•阶段练习）

5.若个>0,则®+以+国值为（）

xyxy

A.3或1B.-1或0C.3或一1D.-3或1

（2024七年级上•重庆•专题练习）

6.我们在讨论的结果时.就会对a进行分类讨论.当。>0时，

\a\=a；当a<0时，\a\=-a.现在请利用这一思想解决下列问题：

\a\

⑴□=_

a

⑶叽例+罔一

（DJ-----1-------1--------

abab~

题型三I采用零点分段讨论化简求值

口技巧积累与运用

零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起

来，得到问题的答案。

（24-25七年级上•浙江•阶段练习）

7.当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，

试卷第2页，共16页

世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚.

距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界

尺度.我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离：

①已知点43在数轴上分别表示有理数a,b,43两点之间的距离表示为

例如上一2|表示x到2的距离，而1月。一(一力则表示。至!]一1的距离；

x(x>0)

②我们知道：国=0(x=0),于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.

-x(x<0)

例如化简+"+时，可先令工+1=0和1-2=0,分别求得x=—1,x=2(称—1和2分

别为|x+l|+|x-2|的零点值)，在实数范围内，零点值x=-l和x=2可将全体实数分成不重

复且不遗漏的如下3种情况：@x<-l；②-lVx<2；③龙22.从而化简口+11+口-2|可

分以下3种情况：

①当x<-L时,原式=-(x+l)-(x-2)=-2x+l；

②当-14x<2时，原式=x+l-(x-2)=3；

③当xN2时，原式=x+l+x-2=2x-l.

—2x+l(x<—1)

综上，原式=3(-l«x<2)

2x-l(x>2)

结合以上材料，回答以下问题：

⑴化简代数式|x+l|+|x-2|；

⑵化简代数式1x+『2|x-l|.

(24-25七年级上•山东•专题练习)

>0)

8.学习了绝对值我们知道，同=0血=0),用这一结论可化简含有绝对值的代数式.如

-6Z(6Z<0)

化简代数式|x+1+|x-3|时，可令x+l=0和x-3=0,分另求得x=-l和x=3,我们就称-1

和3分别为|x+l||和k-3||的零点值.在有理数范围内，零点值x=-l,x=3可将全体有理数

分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨

论如下：

III|[|I|]]

-5-4-3-2-1012345

试卷第3页，共16页

①当x<_l时，原式=(_X_I)+[_(%_3)]=2—2X；

②当x=T时，原式=4；

③当_l<x<3时，原式=(x+l)+[_(x_3)]=4；

④当x=3时，原式=4；

⑤当x〉3时，原式=(x+l)+(x-3)=2x-2；

2—2x(%<—1)

综上所述，原式=4(-1<%<3),以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：

2%—2(%>3)

求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式

|x-l|-2|x+2|.

题型四含绝对值的方程(几何法与代数法)

□技巧积累与运用

代数法：同撅型3：几何法：利用绝对值的几何意义求健，

(2024七年级上•成都市•专题练习)

9.阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，|回=：当时，

.利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程.比如：方程|》-2|=3,

当x-220时，原方程可化为x-2=3,解得x=5；当X-2W0时，原方程可化为x-2=-3,

解得x=-l.

所以原方程的解是x=5或x=-l.

(1)请补全题目中横线上的结论；

(2)仿照上面的例题,解方程：|3x+l|-5=0；

(3)若方程|x-11=也有解，则m应满足的条件是.

(24-25七年级上•福建泉州•期中)

10.若。,b,c是整数，且|a+q+/+d=2,贝的值为.

(24-25七年级上•四川成都•期中)

]1.若机、"为正整数，且(何一2|+何一6|)(|〃一1|+|"+2|)=24,贝!|m=,n=.

(24-25七年级上•福建漳州•阶段练习)

12.已知点A在数轴上对应的数为。，点B在数轴上对应的数为6,且|。+3|+0-2|=0,

试卷第4页，共16页

A、B之间的距离记为|/2|=卜-4或请回答问题：

>.M

=34=1012345678~警

⑴直接写出“，6,|/目的值，a=_,6=_,|48|=_.

⑵设点P在数轴上对应的数为x,若|x-3|=5,贝口=_.

⑶如图，点、M,N,P是数轴上的三点，点M表示的数为4,点N表示的数为-1,动点尸

表示的数为x.

①若点尸在点M、N之间，贝!|卜+1|+|尤_4|=_；

②若卜+1|+卜一4|=10,则无=_；

③若点P表示的数是-5,现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动,

当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8?

题型五两个绝对值的和的最值

口技巧积累与运用

结论：|x-a|+|x-4在aWxWb时，取得最小值为|。一“,

（24-25七年级上•四川宜宾•期中）

13.同学们都知道，k-3|表示x与3的差的绝对值，实际上也可理解为x与3两数在数轴上

所对应的两点之间的距离，同理|4-（-2）|可理解为4与一2两数在数轴上所对应的两点之间

的距离，则|x-3|+|x+5|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-5所对应的两点距离之和.请

直接写出卜-3|+,+5|的最小值____.

（24-25七年级上•江苏泰州•阶段练习）

14.已知x,a,6为互不相等的三个有理数，且a>b,若式子卜-。|+卜-耳的最小值为3,则

2024+a-6的值为.

（24-25七年级上•河南周口•阶段练习）

15.综合与实践:

【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题:点48在数轴上分别表示有理数服b,

43两点之间的距离表示为48,在数轴上42两点之间的距离=利用数形结

试卷第5页，共16页

合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是；数轴上表示3和-1的两点之间的距离

是;

【独立思考】

（2）数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为；

（3）试用数轴探究：当帆-1|=3时加的值为.

【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：

（4）对于任意有理数x,卜-2|+|尸5|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，

请说明理由.

题型六两个绝对值的差的最值

口技巧积累与运用

结论：—k一耳在xWa时,取得最小值为-|a—4；在时,取得最大值4-比

（24-25七年级上•广东深圳•期中）

16.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+l怕勺几何意义是数轴上表

示数x的点与表示数-1的点的距离，卜-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的

点的距离，那么卜+1|-卜-2|的最大值是.

（24-25七年级上•湖北十堰•期中）

17.【问题背景】我们知道国的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离.这个结

论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数“、b,则43两点之间的距离示为

\a-b\,即=比例如，在数轴上，表示-4和-2的点的距离为/8=14-（-2）］=2.

-5-4-3-2-1012345

【问题解决】（1）,-2|表示数轴上数x与（填数字）之间的距离；

（2）若点。为数轴上一点，它所表示的数为x,点。在数轴上表示的数为-2,则8=

（用含x的代数式表示）；

【关联运用】（3）运用一：若|x-2|+|x+4|=10,则x的值为；

（4）运用二：代数式|x-2|+|x+4］的最小值为；

试卷第6页，共16页

(5)运用三：代数式|x-3|-|x+4|的最大值为；

题型七多个绝对值的和的最值

口技巧积累与运用

①当有三个绝对值相加：

若已知a<6<c,k-司+k-4+归-4的最小值为c-q,且数x的点与数b的点重合；

②当有四个绝对值相加：

若已知a<b<c<d,|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值为d-a+c-6,且数X的点在数6,c的点之

间；

③当有2〃+1(奇数)个绝对值相加：

aa

|x-a]|+|x-a2|+.......+|x-a2n|+|x-a2n+l|,且％<%<....<2„<in+\<则x取中间数，即当

x=%+]时，|x-q|+,一%|+....+\x-a2n\+\x~%"+11取得最小值为

(°2"+l101)+(。2"-%)+...........+S"+2-。")+°；

④当有2〃(偶数)个绝对值相加：

|x-q|+|x-a2|+...........+|x-a_|+且<a_<a,则取中间段，

2nl|x-a2n|,q<........2nt2nx

即当a“4x4。”+|时，卜一q|+卜一生|+....+|x-a2n^|+上一/)取得最小值为

a-aaa

(2„i)+(2»-i~2)+...........+(4-2-4”T)+(a”+i-a”)。

(23-24•重庆•七年级专题练习)

18.问题一:有理数a,b,c对应的数轴上的点是4B,C.如果42两点距离小于8,4C

两点距离大于4,且C在48之间，a=-3.5,b,。都是整数，试利用数轴求出6,c的可

能值

问题二：已知点48在数轴上表示的数分别为巩〃

(1)若43两点的距离为d,贝!]"=(用含加，〃的式子表示)

(2)由(1)的结论可知卜+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示的点的距离

(3)若动点C表示的数为x,当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.

(T)|x-2|+|x+3|；(2)|X-2|+|X+3|+|X+5|；(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x-20|

(24-25七年级上•广东深圳•期中)

19.数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式,-2|的几何意义是数轴上x

所对应的点与2所对应的点之间的距离.因为归+1|=卜-(-1)|,所以|x+l|的几何意义就是数

试卷第7页，共16页

轴上X所对应的点与-1所对应的点之间的距离.

(1)【探究问题】

如图，数轴上，点A,B,尸分别表示数-1,2,X.

APB

]_____।_____।____।____________।___]»

-4-3-2-10%1234

填空：因为归+1|+归-2怕勺几何意义是线段尸/与PB的长度之和，当点P在线段上时，

PA+PB=AB=3,而当点尸在点A的左侧或点8的右侧时，PA+PB>3.所以当点尸在线

段N8上时，|x+l|+|x-2|有最小值，最小值是；

⑵【解决问题】

①直接写出式子,-4|+k+2|的最小值为；

②若代数式忖+。|+|x-3帕勺最小值是2,求。的值；

(3)【实际应用】

如图，在一条笔直的街道上有£,F,G,H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为

200m.已知£,F,G,b四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同

一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校.聪明的他们

通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小,

请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小,

并求出此最小值.

EFGH

IIII

(24-25七年级上•湖南湘西•期中)

20.陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题：

IIIIIIIIIII4

-5-4-3-2-10~1_2_345

⑴探究：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是；

②数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是；

③数轴上表示4和-3的两点之间的距离是；

(2)归纳：一般的，数轴上表示数。和数b的两点之间的距离是；

⑶应用：

①优秀的陈英杰老师发现代数式旧+1什口--2|的几何意义是：表示有理数x的点到表示数2

试卷第8页，共16页

的点和表示数的点距离之和；利用几何意义，可求得Ix+I1+H-2|的最小值为

②求|》一1|+|》-2|+|》-3|+-+E一2025|的最小值.

题型八系数不为“1”的绝对值的和差最值

口技巧积累与运用

系数不为“1”分为两种情况：

①绝对值系数不为T：例如：Ix-lI+2Ix-2I+3Ix-3I+4Ix-4I+5Ix-5I

解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、

4、4、4、4、5、5、5、5,5、5共15个零点：第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，

即x=4时，有最小值，带入x=4,最小值为15。

②x系数不为“1”：例如：求I2x-4I+I5什5I的最小值。

解题步骤：第1步：x的系数不为1,所以首先第一步想办法把x的系数化为1,采用提取公因数的

方法(或乘法分配律的逆用)；即：I2x-4I+I5升51=12(x-2)I+I5(x+1)I=2Ix-2I+5I

x+lI。第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了I,我们就可以展开，然后利

用“奇中点，偶中段”来求了。解得当尸-1时取得最小值，最小值为6。

(2023七年级上•四川眉山・竞赛)

21.数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值，记作同，数轴上表示数”的点与

表示数6的点的距离记作|。-6|,如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为|5-7|=2,

|5+7]=|5-(-7)|表示数轴上表示数5的点与表示数-7的点的距离，|。-5|表示数轴上表示数

。的点与表示数5的点的距离.根据以上材料回答下列问题：

II_________|________II________|_______|________|_________|______|________I»

-4-3-2-10123456

⑴①若H=3,则户,

②,-3|+|尤+2|=5,则x的取值为；

(2)|^+1|+|JC-2|+|X-3|最小值为；

(3)求忖_2020|+2归_2021|+3归_2022|+4归_2023|+5,_2024]的最小值，并求出止匕时x的取

值范围.

(24-25七年级上•江苏宿迁•阶段练习)

22.同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数

试卷第9页，共16页

轴上所对的两点之间的距离.如卜-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数

x的点之间的距离.试探索：

⑴求|5一（一2）|=；

（2）若—x+l|,求x的值；

（3）同样道理|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找

出所有符合条件的整数x,使得卜+5|+卜-2|=7,这样的整数有个；

（4）设V=|2m-l|+\4m-1|+\6m-1|+|8机一0机一1|,当加=时y的值最小.

（2024七年级上•北京•专题练习）

23.小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子k+l|+|x-2|取最小值时，相应的X的取值范围是一，最小值是」.

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”小明说：“利用数轴可以解决这个问题."

他们把数轴分为三段：x＜T,74x42和x＞2,经研究发现，当-14x42时，值最小为

3.

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子,-2|+归-4|+k-6|+卜-8|取最小值时，相应的x的取值范围是最小值是一

⑵已知V=|2x+8|-4|x+2],求相应的x的取值范围及丁的最大值.写出解答过程.

题型九小|+6型或发+6型最值

□技巧积累与运用

类型1：a\x\+b

当。＞0时，式子。国+6取得最小值为6；当。＜0时，式子a|x|+/）取得最大值为/＞；

类型2：ax2+b

当a＞0时，式子ox?+6取得最小值为6；当。＜0时，式子ox?+6取得最大值为6；

（24-25七年级上•湖北武汉•期中）

24.若。是任意的有理数，则式子2024-卜-2024|的最大值是（）

A.2024B.4048C.aD.~a

（23-24七年级上•河北石家庄•阶段练习）

25.式子卜-1|+3取最小值时，x=,最小值为.

试卷第10页，共16页

（24-25•成都•七年级校考阶段练习）

26.若。，6为有理数，下列判断正确的个数是（）

（1）|。+1|+2的最小值是2；（2）/+（仍-4）2的最小值是0；（3）5+（“6-5）2的最大值为

5；（4）2-.6+3）2的最大值是2.

A.1B.2C.3D.4

（24-25七年级上•山东济宁•期中）

27.若加满足方程］2024利=2024+帆,则帆-2025|等于（）

A.m-2025B.-m-2025C.m+2025D.-m+2025

（24-25七年级上•重庆・期中）

28.若M=|无+2|+3,Af=|x-4|+|x-5|,〃的最小值与N的最小值分别为（）

A.2,4B.2,1C.3,5D.3,1

（24-25七年级上•福建福州•期中）

29.如图，7?分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且

MN=NP=PR=\.数。对应的点在〃与N之间，数6对应的点在尸与R之间，若问+同=2,

则原点是（）

MNPR

III____________III_________

ab

A.M或NB.M或&C.N或PD.P或R

（24-25七年级上•广东广州•期中）

30.已知数a,b,c的大小关系如图，下列说法：@ab+ac>0；②-"6+c<0③

—+^+—=-1;（4）\a-c\=-a+c;⑤若x为数轴上任意一点，,-可+卜-4的最小值为

abc

a-b（）

Iiii»

b0ac

A.2个B.3个C.4个D.5个

（23-24七年级上•四川南充•阶段练习）

试卷第11页，共16页

...,一、八、AkzLJX-2x-1X

31.右l<x<2,求代数式----------+—=_____.

x-21-xx

（24-25七年级上•江苏镇江•阶段练习）

32.如图所示，如果。为N2的中点.那么|。+臼+2+,+1|=

a01b

।」」」A

AOB

（23-24•陕西西安•七年级校考期末）

33.已知0WaW4,那么设左=|a-2|+|a-31-|a+11,则上的最大值为,最小值

为.

（24-25七年级上•山东泰安•期中）

34.阅读理解：

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与

点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道|5|=|5-0|,它在数轴上的意义可以理

解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离.

类比：卜6-3|=9,它在数轴上的意义表示的-6点与3的点之间的距离是9

归纳应用：

（l）|o+5|=l,它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1,所以a

的值为.

（2）若数轴上表示数。的点位于-4与2之间，贝巾+4|+卜-2|的值为.

（24-25七年级上•安徽安庆•期中）

35.有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题：

---------1---------------1----1------1--------->

abQG

（l）|a-/?|=,\c-a|=,\b+c\=.

⑵化简：|a-b|-2|c-a|+|b+c].

（24-25七年级上•贵州贵阳•期中）

36.数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而

一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离.

ABCD

——i---1-------1----------1----1-----1-----1-----1-----i-।——>

-5-4-3-2-1012345

试卷第12页，共16页

⑴对于有理数〃，如果同=5,那么•可能对应下面数轴上的点或点.(填

字母)

(2)|a|=|a-0|,表示有理数a与0在数轴上对应的点之间的距离.事实上，数轴上任意两个

数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示.

例如：-7与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作卜7-6|或结果是13.

那么，对于有理数6：

①。-3|可以看作6和在数轴上对应的点之间的距离；

②。+8|可以看作b和在数轴上对应的点之间的距离；

③若3|=。+8],请画出数轴并用数形结合思想求b的值.

(24-25七年级上•四川达州•阶段练习)

37.阅读材料：数轴上点48分别表示有理数a,b,AB表示A,8两点之间的距离，则

AB=\a-l\.如：4与-2两数在数轴上对应的两点之间的距离为|4-(-2)卜6；又如：|x+2|

可以写成k-(-2)|,它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-2的点之间的距离.

解决问题：

⑴若|x+2|=6,贝|尤=,若卜+2|=卜一3|,则》=.

(2)|x+2|+|x-3|表示数轴上有理数x对应的点到一2和3对应的两点距离之和.请你利用数

轴，写出所有符合条件的整数x,使得：①卜+2|+卜-3|=5；②|x+2|+|x-3|=7.

(24-25七年级上•浙江杭州•阶段练习)

38.点/、2在数轴上分别表示有理数a,b,4、8两点之间的距离表示为48,在数轴上

/、8两点之间的距离"B=|b-a|.利用数形结合思想回答下列问题：

---A1<>-B-->

a--0---b

⑴-1和2之间的距离为；

(2)若x与2的距离为3,则x的值为；

⑶若|x-2|+|x-(-l)|=3成立，则满足条件的所有整数x为；

(4)由以上探索猜想，对于任何有理数x,|2-x|+|x-4|+|2+x|的最小值为.

试卷第13页，共16页

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（24-25七年级上•重庆长寿•期中）

39.当x满足条件时，卜-1|-归+1|取得最大值，最大值为；

当x满足条件时，；忖+3|+曰2-》|取得最小值，最小值为.

（24-25七年级上•四川成都•期中）

40.成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分

别有相机15,7,11,3,14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规

定一社给二社占台，二社给三社无2台，三社给四社W台，四社给五社乙台，五社给一社退

台，则调动相机总台数|占|+四|+国+阈+国的最小值为.

（24-25七年级上•河南濮阳•期中）

41.数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们

发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关.借助数轴完成下列任务：

实验与操作

（1）已知点A,8在数轴上分别表示数。，数6,请完成下列填空：

a2-34-2

b60-1-5

A,8两点之间的距离

观察与发现

（2）观察上表，A,3两点之间的距离可以表示为（用含。，b的代数式表示）.

理解与应用

（3）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题：

①|x-3|表示数轴上有理数x对应的点与有理数对应的点之间的距离；

②求满足等式卜-2|=5的x的值；

③卜-2|+,+4|=6表示数轴上有理数x对应的点分别到2和-4对应的点的距离之和为6,

请直接写出所有符合条件的整数x.

试卷第14页，共16页

（24-25七年级上•湖北武汉•阶段练习）

42.【定义新知】

我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距

离，因此，若点/、2在数轴上分别表示有理数a、b,则/、3两点之间的距离

AB=\a-b\.若点尸表示的数为x,请根据数轴解决以下问题：

AOBC

II,IIII..1.1II

-7-6-5-4-3-2-101234567

⑴若|x+5|=6,则x的值为；

⑵当|x+3|+|x-l|取最小值时，x可以取正整数；|x+3|-|x-l|最大值为；

（3）当工=时，|x+2|+|x+6|+|x-l|的值最小，最小值为；

（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区/、B、C和市民广场O,居民区4B、C分别位

于市民广场左侧5km,右侧1km,右侧3km./小区有居民1000人，3居民区有居民2000

人，C居民区有居民3000人.现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3

个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份・千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总

运输成本最低，最低成本是多少？

（24-25七年级上•成都市•假期作业）

43.对于数轴上的两点P,。给出如下定义：P,。两点到原点。的距离之差的绝对值称为

P,。两点的绝对距离，记为POQ.例如：尸，。两点表示的数如图1所示，贝I

俨00收尸0_00日3Tt2.

poQoAB

-30123-3-2-10123-3-2-10123

图1图2备用图

（1）43两点表示的数如图2所示.

①48两点的绝对距离等于；

②若C为数轴上一点（不与点。重合），且/。8=2肌。。|.则点c表示的数是

（2）M,N为数轴上的两点（点M在点N左边），S.MN=2,若帆。N||=l，则点M表示的

数是.

试卷第15页，共16页

(23-24•浙江宁波•七年级校考期中)

44.同学们都知道，|7表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在

数轴上所对的两点之间的距离.如卜-6怕勺几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理

数6的点之间的距离.试探索：

⑴求|3-(-2)|=；若卜+2|=3,则》=；

⑵卜-1|+归+3］的最小值是；

⑶当x=时，|x+l|+|x-2|+|x—4］的最小值是；

(4)已知(|x+l|+|x-2|)x(|y—2|+|y+l|)x(忸—3|+匕+1|)=36则求出x+y+z的最大值和最小

值.

试卷第16页，共16页

1.B

【分析】本题考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值的性质.由-l<x<0,可得

0<x+l<l,再根据绝对值的性质化简即可.

【详解】解：：一l<x<0,

0<x+1<1,

|x|+|x+11=~X+X+1=1,

故选：B.

2.a+c##c+a

【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴可得：c<b<O<a,

同>同，从而得出a+6>。，c-b<Q,再根据绝对值的性质化简即可得解.

【详解】解：由数轴可得：c<b<O<a,|a|>H，

••・Q+6>0,c-b<0,

：.\a+b\-\c-b\=a+b+c-b=a+c,

故答案为：Q+c.

3.b-a-a-b-a-cb-cb-c

【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练

掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键.

根据数轴上各点的位置可得a<c<0<6,|。|>例>卜|,据此即可判定式子的符号，然后结合

绝对值的性质化简即可.

【详解】解：根据数轴上有理数。、6、c的位置可得：

a<c<O<b,|a|>|/J|>|c|,

.,-a-b<0fa+b<0,Q+C<0,b-c>0,

:.\a-b\=b-af\a+b\=-a-b,\a+c\=-a-cf\b-c\=b-c,

|c|一问+1—Z)|+1—6z|=—cu-\-b—ci=b—c,

故答案为：b-a,-a-b,-a-c,b-c,b-c.

4.C

【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键.根据题意分两种

答案第1页，共34页

情况求解：若a、b、。中有一个正数，两个负数；若a、b、。中有两个正数，一个负数，根

据绝对值的意义分别求解即可.

【详解】解：•.F+6+C=0,

a=-(6+c),b=-(tz+c),c=-(〃+b),

b+ca+ca+b_-a-b-c

HHkll«l+H+kl'

若q、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设〃〉0,b<0,c<0,

-a-b-c-a-b—c、、4r

~r+-：~~r+-：~~r=----1-----1----=-1+1+1=1.

同\b\\c\a-b-c，

若a、b、。中有两个正数，一个负数，不妨设。〉0,b>0,c<0,

-a-b-c-a-b-c,,,,

~r+W+TT=----1-----1----=-1-1+1=-1

\a\\b\\c\ab—c

b+ca+ca+b

..•可+可+囚的值为±1'

故选：c.

5.C

【分析】本题考查了绝对值的化简，分两种情况进行求解是关键.

根据已知可得x,y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可.

【详解】解：•.•初>0,

•t.x>0,y>0或x<0,y<0；

当x>0,冲。时，M+M+N=1+1+1=3)

xyxy

当x<0,”0时，忖+雪国+1=

xyxy

综上，比®+回值为3或-I.

xyxy

故选：C.

6.(1)1或-1.

(2)2或0或-2

(3)3或一1.

【分析】本题考查了绝对值化简，掌握“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反

数，。的绝对值是0”是解题的关键.学会分类讨论思想是解题的关键.

(1)分。>0时和。<0时，然后分别化简求值即可.

(2)分四种情况讨论，当。>0,6>0时；当。>0,Z><0时；当。<0,6>0时；当

答案第2页，共34页

a<Q,6<0时，然后分别化简求值即可.

(3)分四种情况讨论，当。>0,b>0时；当a>0,b<0时；当。<0,6>0时；当

。<0,6<0时，然后分别化简求值即可.

【详解】(1)解：当。>0时，忖=@=1,

aa

当。<0时，1^1=—=_1,

aa

故答案为：1或-1.

当”>0,6>0时，@+姓，+&=1+1=2,

(2)解:

abab

6<0时，MM£^.

当〃>0,+=+=11=0.

abab

b>0时，^-+-^-=—+-=-1+1=0，

当4<0,

abab

6<0时,O=^^=-l-l=-2,

当4<0,+

abab

故答案为：2或0或-2

山、八一八H\a\\b\\ab\ababi一c

(3)解：当a>0,b〉0时，—+—+JL=—+-+一=1+1+1=3,

abababab

b<0时，忖+雪国，+心+*=1

当a〉0,

abababab

6>o时,MHM-4^=-ii-i=-i

当。<0,++=++

abababab

6<0时，忖+忖+囱=±+心+兹=-

当a<0,

abababab

故答案为：3或-1.

—2%+l(x<—1)

7.(l)|x+l|+|x—2|=<3(—1<x<2)

2x-l(x>2)

x—3(x<—1)

(2)|X+1|-2|X-1|=J3X-1(-1<X<1).

-x+3(x>1)

【分析】(1)根据题目中的范例解得即可求解；

(2)根据题目中的范例解得即可求解；

本题考查了化简绝对值，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】(1)解：当时，原式=一%—=-2%+1；

当一l«x<2时，原式=工+1—(工一2)二3；

答案第3页，共34页

当xN2时，原式=%+1+(%-2)=2%-1；

—2,x+l(x<—1)

・・・卜+1|+除一2H3(—1<%<2)；

2x-l(x>2)

(2)解：当X<—1时，原式=-x-l+2(x-1)=、-3；

当—14x〈l时，原式=x+l+2(x—1)=3x—1；

当工之1时，原式=%+1-2(%-1)=-％+3,

x—3(x<—1)

.,.|x+l|-2|x-l|=<3x-l(-l<x<1).

-x+3(x>1)

-x-5(x>1)

8.v-3x-3(-2Vx<1)

x+5(x<-2)

【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键.

根据零点分段法和绝对值的性质，分E1,-2<x<l,xf-2三种情况讨论即可.

【详解】解：依题意，1和—2分别为归-1|和|x+2|的零点值，

(T)当xN1日寸，|x-1|-2|x+2|=x-1-2(x+2)-x-1-2x-4--x-5；

②)当_2Vxv1日寸，卜-1|-2|x+2|=1-x-2(x+2)=l-x-2x-4-—3x-3；

(3)当xW-2日寸，|x-1|-2|x+2|—1-x+2(x+2)-1-x+2x+4=x+5；

_x-5(x21)

综上所述，原式=-3x-3(-2<x<l).

x+5(x<-2)

9.⑴。，-a

4、

(2)x=-^x=-2

(3)m>0

【分析】本题考查了含绝对值号的一元一次方程.

(1)根据绝对值的定义即可得到结论；

(2)仿照例题，根据绝对值的定义解方程即可得到结论;

(3)仿照例题，根据绝对值的意义即可得到结论.

答案第4页，共34页

【详解】（1）解：当.20时，同=。;

当aWO时，问=-。；

故答案为：。，一，，；

（2）解:原方程化为|3x+l|=5,

当3x+120时，方程可化为3x+l=5,

4

解