立体几何初步（Ⅰ）（六大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题18立体几何初步（I）（六大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01概念、截面、展开图

♦题型02直观图

♦题型03表面积和体积

♦题型04实际应用、传统文化等

♦题型05立体几何初步的计算综合辨析

♦题型06多面体的切接问题

一、单选题

♦题型01概念、截面、展开图

1.（2024高三・全国•专题练习）有下列命题：

①若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

（3）棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；

④底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥.

其中，正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴

时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③

错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等;

④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.

s

【考查意图】空间几何体的结构特征.

2.（2023高三・全国•专题练习）已知在正方体4SCD-451GA中，E,F,G分别是N8,BBt,8c的中

点，则过这三点的截面图的形状是（）

A.三角形B.四边形C,五边形D.六边形

【答案】D

【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.

【详解】分别取。£、DQ、4D的中点a、M、N,连接G〃、HM、MN,

・•,在正方体/BCD-44Goi中，E,F,G分别是AB,BB、,4G的中点,

HG//EN,HMIIEF,FG//MN,

:.六边形EFGHMN是过E,F,G这三点的截面图,

过这三点的截面图的形状是六边形.

故选：D

3.（22-23高三上•四川成都•阶段练习）已知正四面体23CD的棱长为。，E为CD上一点,且

CE:ED-2:1,则截面A/BE的面积是（）

A.克/B.交/c.叵j

D.

421212

【答案】D

【分析】在立体图形中作平面几何分析，利用余弦定理和面积公式求解即可.

21

因为CZ）=a,C£：£O=2:1,所以CE=—=—a,

33

所以在正三角形中，由余弦定理可知：

AE2=AC2+CE2-2AC-CE-cosZACD

2：2。\22a17

=a+(——)—29a-----=—a2,

3329

因为ABCD和“CD都是正三角形，

所以ZADE=NBDE,AD=BD,DE=DE,

所以AADE%BDE,所以BE=NE,

所以是等腰三角形，取AB中点尸，贝|/8，昉,

所以跖2=/七2一％尸2=2/一(区丫=2/

936

故选:D.

4.（2024・福建泉州•模拟预测）已知圆锥的侧面积是2兀,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的内切球

半径为（）

.2^/6Cr273nV6

3333

【答案】B

【分析】先画出图形，设圆锥底面圆的半径为"高为〃，母线长为/,并由题意联立方程组求出；再由特殊的直

角三角形的性质解出圆锥内切球的半径即可.

【详解】如图所示圆锥和侧面展开图.

A

7irl=2兀

设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为I，由题意知:

Til=2兀/

两式相除解得『=1,/=2；

所以圆锥的顶角为轴截面为等边三角形，圆锥的高〃=万平=6,

设圆锥的内切圆半径为&,Rt-40S中,OS=；/O,即R=g（百-R）,解得R=等.

故选:B.

5.（2024・辽宁•模拟预测）圆锥的高为2,底面半径为1,则以圆锥的高为直径的球。表面与该圆锥侧面交

线长为（）

A.叵2后4兀8兀

D.

55T5

【答案】D

【分析】作圆锥尸。的轴截面尸设轴截面刃3与球。交点为4,综。2为44中点，则球。表面与该圆锥

侧面交线即为以Q4为半径的圆，利用相似和勾股定理求出Q4长即可.

【详解】根据题意，以圆锥的高为直径的球。半径为1,且与圆锥底面相切于底面圆心a,

作圆锥pq的轴截面P4B,设轴截面P4B与球。交点为4,4,Q为4片中点，

则球。表面与该圆锥侧面交线即为以Q4为半径的圆，

因为4在圆上，所以尸所以AO/MSAP。/,

又因为//=JPO；+40；=M,所以由若=警解得a/=还，

所以尸4=\PO;一0%=华,

114

所以由等面积可得5P4•°14=5尸a•024，解得Q4=]，

所以交线长为2兀OZNL1，

6.（2024・吉林•模拟预测）已知圆锥的侧面积是4兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半

径为（）

A2遥RV3r20ns[6

3333

【答案】D

【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为「，高为力，母线长为/,由题意知：，.，

[71/=2717*

两式相除解得，=血，/=2也；

所以圆锥的顶角为轴截面为等边三角形，圆锥的高〃='（2夜）、（夜）2=戈,

设圆锥的内切圆半径为K,(76-^)2=7?2+(72)2,解得R=g.

故选：D.

7.(2024・广东汕头•一模)已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线S4与S3互相垂直，的面积为

8,S4与圆锥底面所成的角为30。，则()

A.圆锥的高为1

B.圆锥的体积为24兀

C.圆锥侧面展开图的圆心角为出

3

D.二面角S-/8-。的大小为45。

【答案】D

【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥S。的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体积

公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为SO与底面垂直，0/为底面圆的一条半径，则SO_LCM,

所以，S4与圆锥底面所成的角为/&10=30°,

又因为&所以，的面积为=8,解得1sz4=4,

所以，该圆锥的高为SO="-sin30。=4x^=2,A错；

2

对于B选项，该圆锥的底面半径为CM=S4cos300=4x立=2道，

2

112

故该圆锥的体积为k=§兀xO/2xSO=m兀x(2石Jx2=8兀，B错；

对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为。，

底面圆周长为2兀*/。=46兀，贝！]6==,c错；

SA4

对于D选项，取45的中点E,连接OE、SE,

因为"=S5,E为的中点，则由垂径定理可得OEL4B,

所以，二面角S-A8-。的平面角为/SEO,

因为SO_L平面CME,0£u平面/OE,贝i]SO_LOE,

因为SA=SB,则为等腰直角三角形，

则=="2+42=4亚,所以，SE=；AB=26,

所以，sinZ.SEO=—=--r=——，

SE2<22

因为0°W/S£OW900,故NSEO=45。，所以，二面角S—48—。的大小为45。，D对.

故选：D.

8.（2024・四川自贡•三模）已知球。半径为4,圆g与圆Q为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为明若

|oq|=3,|。。』=道，则两截面圆的圆心距（）

A.V3B.逑C.3+73D.25/3

3

【答案】D

【分析】根据球心与截面圆心连线垂直圆面，求得两个圆面所成二面角，再根据直角三角形以及勾股定理

求解即可.

【详解】设圆Q与圆。2公共弦为22,其中点为E,

则\OtA\=J1MT00J="2-32=V7,\O2A\=2To。2「=荷-疗=岳,

所以|。闰=ah2T时=77^4=V3，|QE|==V13-4=3,

3

所以在RtZ\OO|E中，tan/OEO1=忑=6,所以/O£Q=60°,

在Rt4OC^E中，tanZOEO2=,所以NO£Q=30°,

所以在AOEOZ中，/O】EC)2=9。°,所以|aal=JlQEF+laE,=^^=2道.

故选：D.

9.（2024・云南曲靖•模拟预测）正方体/BCD-4459外接球的体积为4若兀，E、F、G分别为棱

/4、44、42的中点，则平面MG截球的截面面积为（）

【答案】A

【分析】由已知，得到正方体N8CD-4用GA外接球的半径，进而得到正方体的棱长，再由勾股定理计算

出平面即G截球的截面圆的半径，即可得到截面面积.

设正方体/BCD-44。。外接球的半径为五,棱长为。，

因为正方体ABCD-44。。外接球的体积为4A,

4f-

所以］兀尺3=46兀，则R=百，

由3a2=（2百），得a=2,

设球心。到平面斯G的距离为力，平面E尸G截球的截面圆的半径为『,

设4到平面所G的距离为"，

因为E、F、G分别为棱4瓦、42的中点，

所以AEFG是边长为血的正三角形，

由VA-EFG=VE-AFG，得!$"EFG=S^AFG

tt■AE,

贝U亚=」x」xlxlxl,

32232

解得乌又04二/c=5

32

所以4到平面EFG的距离为〃=g。4，

贝Uh=OA,--OA,=R--R=短，

13133

…一…一「，

所以平面E尸G截球的截面面积为，仃2=（兀.

故选：A.

10.（2024•河南新乡•三模）己知球。的半径为5,点A到球心。的距离为3,则过点A的平面e被球。所截

的截面面积的最小值是（）

A.9兀B.1271C.16KD.20兀

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得.

【详解】由点A到球心。的距离为3,得球心。到过点A的平面1距离的最大值为3,

因此过点A的平面a被球。所截的截面小圆半径最小值为后方=4，

所以过点A的平面&被球。所截的截面面积的最小值是427T=167T.

故选：C

♦题型02直观图

11.（2024•湖北・模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的。8C的直观图如图所示，其中少是笈C’的中

【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.

【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示,

其中AD=2A'D'=4,BC=B'C=2,

原平面图形的面积为鼠皿=gBC./D=gx2x4=4.

12.（23-24高一下•山东聊城•阶段练习）用斜二测画法画三角形0/3的直观图ON®,如图所示，已知

0A1AB,O'A'=1,则08=()

A.y/2B.2A/2C.2D.4

【答案】B

【分析】由题意，借助于等腰直角三角形求得。再根据05在了轴上即可求得其长.

【详解】在斜坐标系x'。歹中，因O'A'=\,且/夕。卬=45。，则0®=亚，

因。’8’在了轴上，故在了轴上，且OB=2O'B'=25.

故选：B.

13.（2024・四川成都•模拟预测）如图，△。卬"是水平放置的AO48用斜二测画法画出的直观图（图中虚线

O'C'=8,贝卜。48的面积为（)

C.24D.48

【答案】D

【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.

【详解】由直观图可得如下平面图形：

其中。3=。'8'=6,0D=O'D'=3,OC=2O'C'=16,〃了轴，且/。=0C=16,

所以S„=gx6xl6=48-

故选：D

14.（22-23高一下,湖北武汉•期中）如图，四边形/BCD的斜二测画法直观图为等腰梯形48'C'。.已知

A'B'=A,CD'=2,则下列说法正确的是（）

A.AB=2

B.AD'=2V2

C.四边形/BCD的周长为4+2&+26

D.四边形N3C。的面积为60

【答案】D

【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.

【详解】如图可知N8=4,HD=后,4。=20,

四边形ABCD的周长为6+2行+2内，四边形ABCD的面积为gx（4+2）x2行=6收.

故选:D.

♦题型03表面积和体积

15.（2024•全国•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为百，则圆锥的

体积为（）

A.2岛B.3百%C.6岛D.9后

【答案】B

【分析】设圆柱的底面半径为「，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径『的方程，求出解后可求圆锥的体

积.

【详解】设圆柱的底面半径为「，则圆锥的母线长为产力，

而它们的侧面积相等，所以2wx6=axj3+/即26=）3+/，

故r=3,故圆锥的体积为:兀兀.

故选：B.

16.（2024•河北•模拟预测）过圆锥尸。高的中点。'作平行于底面的截面，则截面分圆锥PO上部分圆锥与下

部分圆台体积比为（）

I1-11

A.-B.-C.—D.一

2357

【答案】D

【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系.

【详解】设截面圆半径为匕圆锥的高为〃，圆锥的体积为匕则圆台下底面圆的半径为2厂，圆台的高为力,

圆台的体积为匕，

所以匕=—nh（r2+2r2+4/）=1兀〃/,匕=—nr2h,

可得'=3

’2'

故选：D.

17.（23-24高二下•云南昆明•阶段练习）若三棱锥S-/8C的所有顶点都在半径为2的球。的球面上，SB

为球。的直径，且/C=2后，则该三棱锥的最大体积为（）

4816

A.—B.-C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到0/10C,故s“℃=；oaoc=2,要想该三棱锥的体积最大，则S81平

面NOC,从而求出最大体积.

【详解】S3的中点为。，连接O4OC,则。/=O3=OC=OS=2,

因为/C=2血，&COA2+OC2=AC2,

故。—，"=2,

要想该三棱锥的体积最大，则S81平面/0C,

11Q

故最大体积展§LOC-S8=§X2X4=§

故选：B

18.（23-24高三下•湖南娄底,阶段练习）已知圆台的体积为上叵，母线长为3,高为石，则圆台的侧面

3

积为（）

A.36兀B.24兀C.1871D.12K

【答案】D

【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下

底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.

【详解】

设上底面半径为人下底面半径为尺，

如图，根据题意“C=3,BC=OOX=V5,CO,=BO=r,AO=R,AB=R-r,

在中，（7?-r）2+（括了=32,即灭-「=2----------①，

又因为圆台的体积为号包,所以忆=；乃〃（斤+尺厂+/）=；万义石义（上+7?厂+产）="令，

即R2+Rr+r2=13----------②

由①②方程可得：R=3,r=l,

所以圆台的侧面积为兀/（夫+，）=兀*3工（3+1）=12兀.

故选：D.

19.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）已知某圆台的母线长为2a，母线与轴所在直线的夹角是45。，且上、下

底面的面积之比为1:4,则该圆台外接球的表面积为（）

A.40KB.64兀C.80兀D.128兀

【答案】C

【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用

勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积.

【详解】如图：上，下底面圆心分别为外接球球心为O,

连接OC,08如图所示：

因为上、下底面的面积之比为1：4,则上底面半径与下底面半径之比为1:2,即CN=2八四，

又母线与轴所在直线的夹角是45。,故NBCN=45°,结合8C=2血，

贝I］有CN_BA/=2,MV=2,故CN=4,BM=2,MN=2

记圆台外接球半径为凡OM=h,

在直角AOCN和直角40BM中由勾股定理知：OM2+MB2=OB2,ON2+JVC2=OC2,

则有外+22=（2-〃『+4?,解可得力=4,

故圆台外接球的半径4=4+16=20,

则该圆台外接球的表面积S=4成2=80兀.

故选：C.

20.（2024•天津河西•三模）如图，在三棱柱NBC-48cl中，E,尸分别为NC的中点，平面即。尸将

三棱柱分成体积为匕，匕两部分，则匕：匕=（）

C.6：5D.7：5

【答案】D

【分析】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案.

【详解】设三棱柱/8C-4耳G的高为人，上下底面面积均为s,体积为匕

贝ij%=q+%=s77,

因为E,尸分别为48,ZC的中点，故，的=卜，

结合题意可知几何体AEF-44cl为棱台，

则匕ls+S+J-S-S=—Sh,

i3（4V4J12

75

故％=S〃-三S/z,故匕:匕=7:5,

故选：D

21.（2024•河北沧州•三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立

方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体尸-23C的棱长为

26，”为棱尸区上的动点，则当三棱锥M-/8C的外接球的体积最小时，三棱锥M-48C的体积为

（）

A.巫B.4A/2C.473D.873

3

【答案】A

【分析】由题意确定三棱锥的外接球的体积最小时球心的位置，由此可求出三棱锥M-48C的高,

利用体积公式，即可求得答案.

【详解】如图，在正四面体P-N3C中，假设尸〃，底面/BC,则点”为/U3C外心.

在P//上取一点O,满足CM=（W,则CM=（W=O3=OC,

则。为三棱锥M-ABC的外接球球心，

.,.当CM取得最小值时，最小，三棱锥M-48C的外接球体积最小，

此时点。与点H重合.作垂定为N,:.MN〃PH,

MN为三棱锥M-ABC的高.

由正四面体P-48c的棱长为2vL知产/=2石，AH=Z乂2柩义蛇=2=MH,

32

PH=7Al2-AH2=2>/2，.

设AN=x,则——-=--，故MN=，HN=2—x.

AHPH

由HM?=MN?+HN2,得2?=（缶y+（2-xy,

解得x=金.MN=,

33

1/_16（、/if4后_4指

••匕棱锥M-/BC=§*彳*[2/3）

故选：A.

♦题型04实际应用、传统文化等

22.（2024高三•全国•专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，"扇"与"善”

谐音，折扇也寓意"善良""善行"，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智

大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧瓦、灰所在圆的半径

分别是3和6,且乙45c=120。，则下列关于该圆台的说法错误的是（）

图②

B.母线长为3

D.体积为竺也万

C.表面积为14万

【答案】D

【详解】

设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,则2R=?X3,即r=l；2欣='；x6,即R=2.又圆台的母线长

为/=6—3=3,所以圆台的高~=2,故8正确.圆台的表面积S=7r（l+2）x3+7rxl2

+乃x22=14万，故。正确；圆台的体积忆=|亦2x（22+l2+2xl）=兀,故。错误.故选D

y

23.（2024・山东苗泽•模拟预测）荷泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展

提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为

36cm,把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为20cm,下底直径约为40cm,

忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（）

A.42007icm3B.84007icm3C.168007icm3D.336007icm3

【答案】B

【分析】根据圆台体积公式求解.

【详解】根据题意，^=2^=|7txyx（102+10x20+202）=84007T.

故选：B

24.（2024・天津北辰・三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人

航天活动.从神话“嫦娥奔月"到古代"万户飞天"，从诗词"九天揽月"到壁画"仕女飞天"……千百年来，中国人

以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成

由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将

其内部注入液体，已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

7

215兀325兀

C.----D.----

916

【答案】A

3

[分析】结合轴截面分析可知OXB=。2。=2,=6,QO3=1，。3尸=2,再利用圆柱以及圆台的体积公式

运算求解.

【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台,

取轴截面，如图所示，分别为/民CAM的中点,

且O[B==2,。]。2=6,02P~4,。2°3=1，°3P=3,

O.FO.P33

可得苏=苏="即。

91325K

所以该容器中液体的体积为兀X22X6+]

12

故选：A.

二、多选题

♦题型05立体几何初步的计算综合辨析

25.（2024•黑龙江•模拟预测）图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A.圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等

7

B.圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为］

C.圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为g

D.圆柱内切球的体积与圆柱体积比为:

【答案】ABD

【分析】圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，再利用即可得到ABD,圆柱内接圆锥半径圆柱底面半径，高

等于圆柱的高即可得到C.

【详解】设圆柱的底面半径为五,则圆柱的高为2R,所以内切球的半径为&,A正确；

圆柱的表面积为岳=2万么+2万及x2尺=6万巾，内切球的表面积为4万尺2,所以圆柱内切球的表面积与圆柱表

面积比为:，B正确；

圆柱内接圆锥的表面积为S==+,圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为

好久,C错误；

6

442

圆柱内切球的体积匕=§万长，圆柱的体积匕=7炉*2尺=2万玄，所以匕：匕万斤=§,。正确.

故选：ABD.

26.（2024•河北衡水•三模）已知在正方体/BCD-44G。中，AA^2,点M为4。的中点，点P为正方

形4月G。内一点（包含边界），且3P//平面相附，球。为正方体力451GA的内切球，下列说法

正确的是（）

47r

A.球。的体积为羡B.点尸的轨迹长度为2a

C.异面直线CG与8P所成角的余弦值取值范围为J，竿D.三棱锥”-么4片外接球与球。内

切

【答案】ACD

【分析】根据正方体内切球的性质判断A；利用面面平行确定点P的轨迹，即可求得其长度，判断B；根据

异面直线所成角的概念，确定该角取到最值时的位置，即可判断C；根据圆内切的判断条件可判断D.

【详解】由题意知球。的半径为1,故其体积为半，故A选项正确；

取用G的中点为N,

连结BN,D\N,易知D\N//B\M,平面/用W,8附＜=平面4用11,

故，N〃平面

连接MMMN〃&B、〃AB,MN=A、B\=AB,即四边形/BMW为平行四边形，

贝IJBN〃㈤I/,BN.平面NMu平面/与河，所以BN7/平面481M.

又因为BNcD、N=N,BN,D、Nu平面BND、,

故平面BNDJ/平面AB、M,平面BND、H平面/百弓〃=。四，结合8P〃平面AB.M,

故点尸的轨迹为线段RN=^,故B选项错误；

因为CQHBB,,故异面直线CC,与BP所成角等于组BP或其补角，

当尸位于N点时，得N3#N取得最小，32133=咀=正；

BN5

当尸位于，点时，取得最大，cos组BN=^=?,故C选项正确；

BR3

由正方体几何性质易知NBAM=NBA1M=NBB、M=90°,

故BM为三棱锥M-44内外接球的直径，取。'为8M的中点，

即0'为三棱锥M-N4耳外接球的球心，由题意知。为的中点，

故。O'=-MD=-,

2.2

13

因为球o的半径为4=1,球。'的半径为r2=-BM=^,r2-rl=OO',

故三棱锥舷-/44外接球与球。内切，D正确

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：解答此类题目的关键是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，依据相关定

理以及性质，准确判断，即可求解.

27.（2024・广西南宁•模拟预测）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，48为底面直径，

44尸8=120。,&=2,点C在底面圆周上，且二面角P-/C-。的大小为45。，贝I］（）

A.的面积为百B.该圆锥的侧面积为兀

C.AC=s/3D.该圆锥的体积为兀

【答案】BD

【分析】根据二面角的定义与圆锥的几何性质逐项判断即可.

【详解】如图，取/C中点。，则。。J_NC,P。_LNC,

P

由二面角定义可知，ZPDO=45°.

对于A,在AP/B中，PA=PB=2,ZAPB=120°,所以尸。=OD=1,C。=g,

所以PD=亚,AC=2yj0C2-0D2=2x=272,故C错误；

所以邑P/c=gx0x2行=2,故A错误；

S恻=7txgx2=2j^r,故B正确；

k=兀・1=兀，故D正确.

故选：BD.

28.（2024•山东•模拟预测）如图，有一个棱台形的容器片GA（上底面48cpi无盖），其四条侧

棱均相等，底面为矩形，4B=；BC=g4Bi=：BCi=lm,容器的深度为1m,容器壁的厚度忽略不计，则

A.AAX-V2m

B.该四棱台的侧面积为卜近+3指）n?

C.若将一个半径为0.9m的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面

D.若一只蚂蚁从点A出发沿着容器外壁爬到点G，则其爬行的最短路程为，?+若m

【答案】BD

【分析】由勾股定理即可判断A,由梯形的面积公式代入计算，即可判断B,做出轴截面图形代入计算，即

可判断C,将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D

【详解】

图(1)图(2)图(3)

对于A,由题意可得N4==?故A错误;

对于B,梯形NDA4的高为11

所以梯形的面积为==

222

梯形力344的高为=y/2，

所以梯形的面积为HNX收=述

22

故该四棱台的侧面积为2x段一+罟=3>/2+375,故B正确;

7

对于c,若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时,

球恰好与面4。。/、面BCGB|、面/BCD均相切，

过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形,

二2

较长的底边上的底角的正切值为2-1,则tanNMPN=-2,

F

由于NMW,NMON互补，故tan/MON=2,

则12tan/弁=2,所以tanNMOP=—（负值舍），从而球的半径为=与。,

l-tan'ZMOP27-14

2

所以将半径为0.9cm的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误；

对于D,将平面25CD与平面。CGA展开至同一平面，

如图（2）,贝Ij/G=J（2+收=’予4」,

将平面/BCD与平面8CGq展开至同一平面，如图（3）,

故选：BD

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体

侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.

三、填空题

♦题型06多面体的切接问题

29.（2024・山东苗泽・模拟预测）己知正方体-4用G2棱长为2,若点。是线段/C的中点，则三棱

锥。的外接球的表面积为.

【答案】8兀

【分析】根据题意，取4。中点色可证点S为三棱锥。-44。的外接球的球心，从而得解.

【详解】根据题意，取4。中点S,4）中点乙连接SP,PO,SO,

则5尸=1,尸。=1,结合正方体结构特征易得SPLO尸，所以SO=正，

又SD=SA=SA\=C,所以点S为三棱锥O-44Q的外接球的球心，且半径「=也,

所以其表面积为4兀x（0了=8兀.

故答案为：8兀

30.（23-24高二下•浙江宁波•期末）已知四棱锥尸-/BCD的底面是矩形，平面尸43_L平面/BCD,PA=3,

PB=4,8=5.若四棱锥尸-4BCD内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则3C=,该内切

球的表面积为.

【答案】74K

【分析】根据内切球在等边三角形P/3内的“正投影"求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积，利用

等体积法，即可求解BC.

【详解】由于平面P431.平面/BCD,PA=3,尸2=4,CD=5.△尸4B为直角三角形，底面/BCD为矩形，

所以四棱锥P-ABCD的内切球在APAB的"正投影"是APAB的内切圆，

设的内切圆半径为厂，

贝!IS”AB=；x（3+4+5）xr=；x3x4,

解得r=\,

所以内切球的半径为1，其表面积为4兀x/=4兀.

设2c=a,则平面尸45_L平面/BCD,且交线为8CJLu平面N3CD,

所以3C2平面尸48,同理40_L平面尸48,尸4尸台u平面尸48,故2C_L尸3,40_L尸/,故

PC=J/+16,PD=J/+9,

g2+9+a2+16-52

由余弦定理可得cosZCPD=

2yja2+9^Ja2+16Na~+9qa~+16

进而可得sinZCPD=V1-cos2ZCPD=卢〃一之工,

yja2+9^Ja2+16

由等体积法可得

11,.1_1._1r\~r~\7~，25Q+1444〃,TZ_TZ_11,.

——x3x4H—x3QH—x4。+5QH—7a+9*VQ+16X—//=•x1=^P-ABCD=^^P-ABC=^^C-PAB=2X-x-x3x4xtz

312222Va2+9Va2+16)32

化简可得/-7。=0,故”7（。=0舍去）,

故答案为：7,47r

3L（2024•湖南长沙三模）在直三棱柱4BC-4耳G中，AC=BC=4^,AB=4,AA1=2括,£是棱CQ上一点,

平面将直三棱柱ABC-48G分成体积相等的两部分.若44，4,E四点均在球。的球面上，则球。的

体积为.

・小田、500K

【答案】二一

【分析】由平面/与E将直三棱柱分成体积相等的两部分，确定E点为CG的中点，再确定

“44的外心以及三棱锥E-444的高〃，最后求三棱锥£-44向的外接圆半径即可.

【详解】如图，连接用CMG.

因为匕棱锥4-8。玛二§七棱柱Z6C-4鸟G'

且嚏棱锥+七棱锥GCE8]=]嚏棱柱/3C-481G

所以金棱锥4-CEB1=%■七棱柱45c-4MG，

所以餐棱加_55=2&棱服_c阴，

所以SABCB、=2sAe期，

因此|5瓦|=2|CE|=|CC"，即£为。「的中点.

取的中点河,/5的中点N,连接ME,MN,CN,

贝l||MV|=|CE|=宜MNIICE,

所以四边形MNCE为平行四边形，

所以ME〃CN.

因为MC|=|2C|,

所以CNL4B,

又因为平面42月4,平面/8C,

且平面/网4rl平面ABC=AB,

所以CN_L平面ABBXAX,

则ME1平面ABBXAX.

因为"是△//百的外心，

且的外接圆半径r=\MA\=1,4「；4月:=3,

三棱锥E-444的高/2=|〃£|=|。^=，|/0/一|；]/a[=1.

设球。的半径为R,则/+（〃一尺）2=露,

r2+h2

贝凤=5,

2h

ASOOir

所以球。的体积展铲外=了.

500K

故答案为:

3

【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.

（1）通过平面将直三棱柱分成体积相等的两部分可确定点E的位置；

（2）求三棱锥的外接球半径R,先确定底面三角形人44画的外接圆半径厂及高〃，再通过

/+（〃一©2=灭2即可求解.

32.（2024•浙江金华・模拟预测）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体/BCD

存在棱切球，且43=/。=6,/C=CD=8,则该四面体的体积为,棱切球的半径为.

［答案］6739泊7工屈

1313

【分析】先根据切线长公式求得发现该四面体的对棱长度之和相等得8。=6,8。=8,进而得该四面体是一

个底面边长为6,侧棱长为8的正三棱锥，再结合体积公式与棱切球的知识求解即可.

【详解】设棱切球的球心为/,棱切球的半径为「，

该棱切球/与棱/用AD,CD,5C,4C的切点分别为M,N,P,Q,S,K,

则IM=IN=IP=IQ=IS=IK=r,

因为,

所以，根据切线长公式得/K=/S=/M,

同理可得CK=CQ=CP,BM=BQ=BN,DN=DP=DS,

^AK=AS=AM=x,

因为/8=/O=6,/C=CD=8,

Ff^CK=CQ=CP=8-x,BM=BQ=BN=6-x,DN=DP=DS=6-x,

所以CD=CP+DP=（8—x）+（6—x）=8,解得x=3,

所以BD=BN+DN=6,BC=BQ+CQ=8,且M为AB中点，

所以，该四面体是一个底面边长为6,侧棱长为8的正三棱锥.

设C在底面ABD的投影为H,则H是底面三角形/BD的中心，

则HA=HB=HD=25MH=日

所以该四面体的高力=^82-（2月）2=2而,

因为底面三角形的面积为"