立体几何初步（Ⅱ）（七大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题19立体几何初步（II）（七大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01平面的基本性质

♦题型02空间共点、共线、共面等问题

♦题型03异面直线

♦题型04空间直线与平面的位置关系

♦题型05空间平面与平面的位置关系

♦题型06空间中的角、距离问题综合

♦题型07空间中动点、旋转、翻折等动态问题

♦题型01平面的基本性质

1.下列说法正确的是（）

A.若直线/,加,〃两两相交，则直线/,加,〃共面

B.若直线/,加与平面a所成的角相等，则直线/,用互相平行

C.若平面。上有三个不共线的点到平面月的距离相等，则平面。与平面平行

D.若不共面的4个点到平面1的距离相等，则这样的平面&有且只有7个

【答案】D

【分析】根据题意，结合空间中直线与平面位置关系的判定和性质，逐项判定，即可求解.

【解析】对于A中，当直线/,加，〃交于同一点时，则直线可能不共面，所以A错误；

对于B中，当直线/,加倾斜方向不同时，直线/，加与平面a所成的角也可能相等，所以B错误;

对于C中，当这3个点不在平面用的同侧时，平面"与平面广相交，所以C错误；

对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面a的同侧，

当这4个点在平面a两侧1,3分布时，这样的平面a有4个，

当这4个点在平面a两侧2,2分布时，这样的平面a有3个，

所以这样的平面a有且只有7个，所以D正确.

故选：D.

2.下列说法正确的是（）

A.四边形确定一个平面

B.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

C.经过三点确定一个平面

D.经过一条直线和一个点确定一个平面

【答案】B

【解析】略

3.已知a,£是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）

A.若=且Ze4，则/e/

B.若是平面々内不共线三点，,则

C.若直线aua,直线6u£,则。与Z?为异面直线

D.若Zetz且Betz,则直线“Bua

【答案】C

【分析】根据基本事实3（公理2）可判断A；根据基本事实1（公理3）可判断B；根据异面直线的定义可

判断C；根据基本事实2（公理1）可判断D.

【解析】对于A,由根据/ea且则A是平面1和平面广的公共点，

又0□£=/,由基本事实3（公理2）可得故A正确；

对于B,由基本事实1（公理3）：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，

又Ae仇B£0,且48,Cea,则C£,故B正确；

对于C,由于平面。和平面，位置不确定，则直线。与直线6位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合,

故C错误；

对于D,由基本事实2（公理1）：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，

故D正确.

故选：C.

4.下列结论正确的是（）

A.两个平面a,£有一个公共点就说a,夕相交于过/点的任意一条直线.

B.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.

C.如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

D.若直线。不平行于平面a,且aCa,则a内的所有直线与a异面.

【答案】B

【分析】利用推论可判断B正确；对A项，由基本事实3可知；对C项，两个相交的平面有无数个公共点;

对D项，平面内可找到无数条直线与。相交.

【解析】对选项A,由基本事实3,两个平面有一个公共点A,那么它们有且只有一条过/点的公共直线，

而不是任意一条过点A的直线都是两平面的交线，故A项错误；

对于B,若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；

对选项C,若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C项错误；

对选项D,若直线。不平行于平面1，且acza,

则直线。与平面a相交，设交点为。，

则平面内所有过点。的直线都与。相交于点。，而不是异面，故D项错误.

故选：B.

♦题型02空间共点、共线、共面等问题

5.已知互不重合的三个平面a、或、y,其中ac£=a,0r\y=b,yC\a=c,且=尸，则下列结论一

定成立的是（）

A.6与c是异面直线B.。与c没有公共点

C.bileD.bC\c=P

【答案】D

【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项.

［解析1"aC\b-P,：.Pea,Peb,

-：a=a^\P,b=,：.Pea,PeB,P^Y,

•.•<zc/=c,.-.Pec,.-.bP\c=P,:.aoc-P,

如图所示：故A,B,C错误;

6.如图，在三棱柱/8C-44G中,E,F,G,H分另U为B4，cq，4与，4G的中点，则下列说法错误的是

（）

A.E,尸,G,“四点共面B.EF//GH

C.EG,FH,A4三线共点、D.NEGB\=NFHC1

【答案】D

【分析】对于AB,利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C,利用平面公理判断得EG,

的交点尸在44,从而可判断；对于D,举反例即可判断.

【解析】对于AB,如图，连接EF,GH,

因为GH是△43©的中位线，所以GH//BG，

因为4E//C/,且2g=G尸，所以四边形瓦EFG是平行四边形,

所以EF〃B£,所以EF//GH,所以已尸收以”四点共面，故AB正确;

对于C,如图，延长EG,五H相交于点尸，

因为尸eEG,EGu平面4844，所以尸e平面

因为尸e9，FHu平面NCG4，所以尸6平面NCG4，

因为平面4BBHH平面ACCXAX=AA,,

所以Pe/4,所以EG,尸三线共点，故C正确；

对于D,因为£8]=尸G,当GB产"G时，tanNEGB#tanNFHQ,

TT

又Q<NEGB],NFHCI<3,则/EGB”FHC],故D错误.

故选：D.

♦题型03异面直线

7.设加，”是两条不同的直线，生力是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若加〃a,”//a,则加〃"B.若机〃"，加//a,则“〃a

C.若mua,〃u0,则九〃是异面直线D.若aU/3,mua,nu0,贝l]〃z〃"或小，〃是异面直线

【答案】D

【分析】利用空间中线、面的位置关系一一判定选项即可.

对于A,可设加=42，"=44,&为平面4C,显然加//a,"//e,但”7C〃=4，故A错误;

对于B,可设机=4A，〃=40,a为平面/C,显然加//〃,〃z//a,但"ua,故B错误；

对于C,可设加=4。”"=分别为平面4G，平面4C,

显然加ua,”u〃，但加〃”，故C错误；

对于D,若a//dmuajiu/3,则两平面不会有交点，所以m//〃或小，〃是异面直线，

故D正确.

故选：D

8.已知四边形/BCD是矩形，平面/8。,/8=1,5。=2,尸/=2,石为3。的中点，则异面直线/E与PD

所成的角为（）

兀兀71

A.—B.—C.—D.兀

643

【答案】C

【分析】借助于长方体，由E,尸为相应的棱的中点，得PD//EF,所以//即即为异面直线NE与尸D所成

的角或补角，计算即可.

【解析】根据题意，借助于长方体，及尸为相应的棱的中点，所以PD//EF,

所以N/5F即为异面直线4E•与PD所成的角或补角，

根据题意可得，EF=-PD=^AD'+PA1=V2,

22

AE=VAB2+BE2=V2，AF=VAB1+BF2=-72，

TT

所以为等边三角形，Z^EF=-.

故选：C.

9.已知圆锥SO的母线长为6,AB是底面圆的直径，C为底面圆周上一点，ZAOC=1200,当圆锥SO的体

积最大时，直线/C和如所成角的余弦值为（）

A.—B.—C.—D.2

2354

【答案】A

【分析】设圆锥S。的底面半径为「，高为%利用圆锥体积公式可得%=g兀（367?3）,结合可导数求出圆

锥体积最大时，力=26，r=2指,延长C。交。。于点。，连接则四边形4（"。是平行四边

形，所以直线/C与跖所成的角为/S8。或其补角，求出cos/SBD,即可求解.

【解析】如图，圆锥S。的母线长/=6.设圆锥SO的底面半径为，，高为访，

则/+/=36,圆锥SO的体积­=!兀///=；兀叫36-斤）=g兀（36/z-/）.

令〃〃）=36,-/?（〃>0）,则/㈤=36-3/=-3（〃-2道）（力+2月）.令/㈤=0,得人=或力=-2后.

因为〃>0,易知/㈤在（。,2@上单调递增，在（2省,+同上单调递减，

所以当〃=26时，/小）取得最大值，此时r=24/=2后.

因为N/OC=120°,所以/C=gr=6jL

延长CO交。。于点。，连接AD,80,50,则四边形/CAD是平行四边形，所以BD//AC,BD=AC=6垃,

所以直线/C与S3所成的角为乙或其补角.

在等腰三角形S3。中，SB=SD=6,BD=6y/2,所以cos/SAD=m,

2

所以直线/c与SB所成角的余弦值为e.

2

故选：A.

10.直线/与平面1成角为30。，点P为平面&外的一点，过点P与平面成角为60。，且与直线/所成角为50。

的直线有（）

A.0条B.1条C.2条D.4条

【答案】C

【分析】过户与平面。成60。角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成60。角），然后考虑这些

母线中与直线/成50。角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得.

【解析】如图所示，设直线/与平面口相交于8,直线/在平面夕的射影为直线BC.

且直线/与平面a所成角为30°,

即ZDBC=30°.

设圆锥的顶点为尸点，圆锥的轴尸平面

即圆锥的任意一条母线与平面a所成角都等于60°.

当过尸点的母线为直线时，

直线PB与平面a所成角为60°,直线尸3与直线/所成角为30°,即/尸8。=30°,

当过尸点的母线沿BC逆时针旋转到直线PC时,

直线PC与直线/所成角为90°,即/，尸C,

所以过P点的直线从尸3沿数逆时针旋转到直线PC时，

与直线/所成角的范围为[30°,90°],

故存在一条过P点的直线与直线/所成角为50。，

同理可得，过P点的直线从沿数顺时针旋转到直线PC时，

也存在一条过P点的直线与直线/所成角为50°,

所以过P点的直线与平面a所成角为60。，与直线/所成角为50°的直线有2条.

故选：C.

♦题型04空间直线与平面的位置关系

11.若加，〃为两条直线，1为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若加//a,几ua,则加〃〃B.若加//a,nlla,则加〃〃

C.若加//a,n-La,则加_L〃D.若加//a,nLa,则加与〃相交

【答案】C

【分析】ABD可举出反例；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案.

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A,若加//a,〃ua,则加与〃平行或异面，A错误；

对于B,若加//a,nlla,则加与〃异面、平行或相交，B错误；

对于C,设直线/,满足/ua且/〃加，

若“_L(Z,则〃_L/,而〃/加，则7“J_77,C正确；

对于D,若机//a,nla,则加与“相交或异面，D错误.

故选：C.

12.如图，已知四棱锥中，平面尸4D_L平面48CD,NADC=90°,AD=2BC=2.CD=4,

BCHAD,E,F分别为AB,PC的中点.

⑴求证：EF〃平面P/。；

(2)若侧面打。为等边三角形，求四面体8-CE尸的体积.

【答案】⑴证明见解析

⑵心

3

【分析】(1)由三角形中位线结合BM〃CD且=得到四边形是平行四边形，所以NHUEF,

由线面平行的判定证得斯〃平面PAD；

(2)由面面垂直得到线面垂直从而得到尸到平面28CD的距离〃=^尸初=6,在梯形/BCD中得到AEBC

的面积，由VB_CEF=VF_EBC得到所求棱锥体积.

【解析】(1)如图，取4D的中点“，取的中点N,取尸。的中点〃，连接NH,EN,BM,HF.

因为〃，尸分别为尸。,PC的中点，所以HF//CD且HF=gcD,

因为N,E分别为/N,48的中点，F斤以ENIIBM&EN=；BM,

又因为BM"CD且BM=CD,所以HFI/NE旦HF=NE,

所以四边形尸EN5是平行四边形，所以NH//EF.

又由斯（Z平面尸平面P4D,所以£尸//平面尸/D.

(2)

如图，连接尸

因为AP4。为等边三角形，所以尸Af_L4D,

因为平面尸40_L平面48cD,平面尸/Dc平面/8CD=/Z）,尸Afu平面尸40,所以PA/1平面48CD.

因为4。=4,所以/尸=4，AM=2,PM=yjAP1-AM2=273-

又因为尸为尸。的中点，所以点尸到平面ABCD的距离h=^-PM=V3.

2

在梯形/BCD中，由//DC=90°,/D=23c=2CD=4,可得A8=2&,所以==也，

11py

又由/£8C=135°,所以S=-xBExBCsinZEBC=-x42x2x—=l,

应c222

故唳CEF=VFEBC=~S,EBCh=-xV3x1=—,所以四面体8-CE尸的体积为心•

z>—CzlPr3Azlz>C3^33

13.如图，在四棱锥尸一48CD中，底面48co是菱形，/3/。=120。，48==。,「。，底面

ABCD,点£在棱尸。上.

⑴求证：/C_L平面PAD；

（2）若。尸=2,点£为尸。的中点，求二面角尸一/C-E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵垃

7

【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理得尸。，4。，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即

可.

(2)根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可.

【解析】(1)因为尸。/平面/BCD,/Cu平面/BCD,所以尸OL/C,

因为NBC。为菱形，所以NC/AD,

又8。^尸。=。,8。匚平面尸82P。(=平面尸5。，

所以/C_L平面尸80.

(2)如图，连接OE,则0£u平面/CE,

由“C_L平面PAD,OEu平面尸8。，OPu平面P8Q,得NCJ_OE,NC_L。尸，

故/POE即为二面角P-/C-E的平面角，

在菱形/3CD中，AB=AD=2,ZBAD=U0°,

所以BD=2也,0D=#,,

又P0=2,所以PB=PD=《22+(后=出,

由点£为尸D的中点，^OE=-PD=—,PE=-PD=—,

2222

所以△尸。E为等腰三角形，在△尸。£内过点E作高，垂足为“，则"0=1,

所以cos々。人3〃阳法=五=丁，即二面角尸一/C-E的余弦值为”.

—7

14.如图，在四棱锥E-A8co中，£(3，平面/88,/3〃。。4/。。为等边三角形,

DC=2/B=2,C3=CE,点尸为棱BE上的动点.

(1)证明：DC，平面BCE；

(2)当二面角歹-4C-3的大小为45。时，求线段CF的长度.

【答案】(1)证明详见解析

【分析】(1)先求得8C,再根据线面垂直的判定定理证得DC，平面BCE.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得厂点的坐标，进而求得CF的长度.

【解析】(1)依题意/A4c=//CD=60。，所以。3=J22+F-2X2X1XCOS60°=g，

所以/笈+尊？=/c2,所以则。CLCB,

由于CE_L平面23CD,Z»Cu平面23CD,所以CE1DC,

由于2(3门尊=。,8。9£匚平面8。后，所以DC,平面BCE.

(2)由(1)可知。C,CE,C8两两相互垂直，由此以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

/(1,6,0),5(0,代,0),设尸(0j,6-0,0Wtw6,

平面/8C的法向量为玩=(0,0,1),

设平面E4c的法向量为万=(x,y,z),

n-CA=x+y/3y=0

则不丽=)+(g_’z=0，

故可设元=卜陋t+3,t—,

Zk

♦题型05空间平面与平面的位置关系

15.已知两条直线加，"和三个平面a,B，y,下列命题正确的是（）

A.若mIIa.m\\/3,则a〃/

B.若a_L£,«-Ly,则力〃7

C.若aJ-7,P\.Y,aC\/3=m,则"zJL/

D.若“uy.n//a,"II/,a[\f3=m,则加〃/

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理可判断出A和B正误，利用线面垂直的判定定理可判断出C的正误，利

用线面平行的判定定理可判断出D的正误.

【解析】对于A,当m||a,加||〃时，两平面a,£可能平行可能相交，所以A错误;

对于B,a1/3,oil/,两平面y可能平行可能相交，所以B错误;

对于C,当々n/=加，,尸_L7时,

设aPlz=6,仅Cl7=c,在y取一点O,过。分另U作OB_L6于8,0C_Lc于C,

则03_La,OC±/?,因为&!"!£=加，

所以机ua,mu(3,所以08_L加，0C1m,

因为05noe=O,OBuyQCuy,所以加，九所以C正确;

对于D,当nuy,n//a,〃||万时,

可得加〃/或机u，，所以D错误.

故选：C.

16.如图，已知四棱锥中，底面/BCD为平行四边形，点M,N,。分别在上.

口)若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求证：平面肱V。〃平面P8C；

(2)若点。满足尸。：8=2:1,则点又满足什么条件时，3M〃平面/0C?并证明你的结论.

【答案】⑴证明见解析

(2)”为尸/中点，证明见解析

【分析】(1)根据平行线分线段成比例和线面平行的判定定理可证得平行于平面尸8C,由面面平

行的判定可证得结论；

(2)当M为尸/中点时，取尸。中点E,根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面

〃平面BEN,由面面平行性质可得结论.

【解析】(1)：PM:MA=PQ:QD,MQHAD,

•••四边形/3CD为平行四边形，.，同。//?。，

••,8Cu平面尸BC,苗0<2平面9(7,，”。〃平面心。；

■：BN-.ND=PQ-.QD,QNHPB,

,.,P2u平面「8C,QN<z平面尸3C,0N〃平面P5C；

■：MQ^QN=Q,MQ,QNu平面初V。，.•.平面ACV0〃平面尸BC.

(2)当〃■为尸/中点时，〃平面/QC,

证明如下：设BOc/C=O,取P。中点E,连接BE,ME,。。,

p

••・四边形/BCD为平行四边形，为8。中点,

•・•£为尸。中点，PQ：QD=2A,二。为。E中点,OQHBE,

•••BEu平面BEAf,O0U平面8EA/,.1。。〃平面BEA/；

••・ME分别为尸4P0中点，,ME%。，

；Affiu平面BEM,40(Z平面8EN,；./0〃平面3EM,

■■■OQ^AQ^Q,/。，。。匚平面/。。，平面NQC〃平面3EW,

BNu平面BEN,.18"〃平面/QC.

TT

17.如图，在四棱锥P-48CD中，尸2=3,AB=2,四边形N5CD为菱形，ZABC=y,P4J_平面

ABCD,E,F,。分别是8C,PC,尸。的中点.

⑴证明：平面跖。//平面尸48；

(2)求二面角A-EF-Q的正弦值.

【答案】⑴证明见解析;

喈■

【分析】(1)先利用中位线定理证得斯//尸8,FQHAB,再利用线面与面面平行的判定定理即可得证；

(2)依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面NEF与平面斯。的法向量，再利用空间向量法，结合三

角函数的基本关系式即可得解.

【解析】(1)因为四边形/BCD为菱形，所以/8//CD,

又E,F,0分别是2C,PC,尸。的中点，

所以尸0//C。，EF//PB,敬FQIIAB,

因为斯(Z平面尸48,PBu平面尸ZB,

所以EF//平面尸4B,同理可得尸。//平面尸48.

因为EFcF0=F,EF,尸0u平面研。，

所以平面EF。//平面尸28.

7T

(2)因为四边形N3CD为菱形，NABC、,

所以“8C为等边三角形，BC//AD,

因为E是8c的中点，所以4ELBC,故NEL4D,

因为上4_1_平面48CD,AE,4Du平面48CD,

所以尸/_L4E,PA±AD,故尸/,AE,40两两垂直，

以N为坐标原点，AE,AD,N尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

所以4（0,0,0）,£（6,0,0）,尸（0,0,3）,C（V3,l,0）,£＞（0,2,0）,

AE=（V3,0,0）,至13、

故尸AF=2J

m-AE=Cx=0

设平面4EF的法向量为成=(x,y,z),

-Vr13

m-Ar=—x-\——y--z=0

222

解得x=0,令z=l,则＞=-3,故而=（0,-3,1）,

设平面E尸。的法向量为万=(X1,%,zJ,又EF=,QF=］，一于0

I，I7

V313

ii^EF=----x,—y,H—Z[_0n

212121

则V

61_n

n-QF=彳再一/=°

解得向=0,令X]=l得，%=#•,故元=(1,君,0),

TT

设二面角z-斯-。的平面角为e,结合图形可知o<e<],

\m-n\3屈

则cos^=|cosm,n|=|-3V3|

|/司.同J9+1xJl+320

故二面角A-EF-Q的正弦值为

18.如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径,

ZACB=90°,NC=8C=2,点E,尸分别为/C,48的中点，点。为团的中点.

(1)证明：平面BCD//平面尸;

(2)若尸是线段G尸上一个动点，当CC=2时，求直线4尸与平面3。所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)先证明QD//FB,FB=CQ,进而证明尸为平行四边形，可得BD//FQ,再证明

EF//BC,由面面平行的判定定理得证；

(2)方法1,建立空间直角坐标系，利用向量法求解；方法2,先证明平面平面A4CC，过4作

A^H工EC、交ECl于H,则乙令"就是直线/尸与平面8C。所成角，利用平面几何求出4尸最小，得解.

【解析】(1)连接CQ,由点。为用G的中点，片G为半个圆柱上底面的直径知NDC4=45。,

由//CB=90。，AC=BC=2,知NC；5/=45。，CQ=血，

贝UNDQB1=NC44,又4,42G四点共面，所以44//。。，

由AXABBX为直三棱柱的侧面知44HAB,即A\B\!/FB,则C、D//FB,

由尸为的中点/C=BC=2得尸B=0=CQ,

所以四边形FBDC、为平行四边形，则3D//尸G,

又BDu平面BCD,FC"平面BCD,,则FCX//平面BCD,

因为E,尸分别为/C,42的中点，所以EF//BC,

又跖心平面8cO,,8Cu平面BCD,,所以斯〃平面8cD,

又EFCFC,=F,EF,FCAU平面EFCX,所以平面BCD//平面JEF.

(2)(法一)以｛0,函，无｝为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则E(l,0,0),F(l,l,0),C,(0,0,2),A,(2,0,2),

所以丽=(0,1,0),西=(一1,0,2),乖=(-1,1,-2),FC[=(-1,-1,2),

设屏=2西=(-%-424),2e[0,l],

贝1]不=羽+而=(-2_lT+l,2/l_2),

由平面BCD//平面CtEF知直线4P与平面BCD所成角即为直线4尸与平面CXEF所成角,

设平面GE尸的法向量为〃=（x,y,z）,

n-EF=y=Q

由《---,取z=l,得x=2,

n-EC】=-x+2z=0

则平面CXEF的一个法向量为n=（2,0,1）,

设直线4尸与平面GE尸所成角为0,则

又Xe[0,l],则4=:时，sin，的最大值为宜

35

所以直线4尸与平面BCD所成角的正弦值的最大值为孚.

（法二）在直三棱柱/3C-44。中，CG，底面/8C,

因为跖U底面/8C,所以CC1,成，

由（1）知EFIIBC,BC1AC,所以EF1/C,

又4CACC,=C,AC,CCXu平面44CC,

所以跖1平面44CC，

因为斯u平面ErG，

所以平面瓦匕，平面N4GC，

过4作4"_LEG交EC［于H,

因为平面EFQc平面AA,C,C=C,E,所以AtH1平面QEF,

又平面8c。//平面GEF,

则直线AP与平面BCD所成角即为直线AP与平面CXEF所成角N4PH,

因为RtzXqECs,且正方形ABCD的边长为2,

所以等=!'则

4

又sinN4PH=AH=亚，要使sinN4P〃值最大,

4P~4P

则AXP最小，在△吊尸G中4尸=FQ=瓜4G=2,

过4作4尸，£尸交尸G于尸，由等面积可求出4尸=等，此时sinN4P以=半.

所以直线4尸与平面BCD所成角的正弦值的最大值为学.

♦题型06空间中的角、距离问题综合

19.在平行六面体ABC。一431GA中，已知===1,AAXAB=ZAtAD=ABAD=60°,则下列选

项中错误的一项是（）

A.直线4c与2。所成的角为90。

B.线段4c的长度为百

C.直线4c与5月所成的角为90°

D.直线4c与平面/BCD所成角的正弦值为逅

3

【答案】D

【分析】在平行六面体ABCD-4片G2中，取刀=落而=B,聋=c,利用空间向量的线性运算及数量积

运算，逐一分析选项，即可得出答案.

【解析】在平行六面体"BCD-4片GA中，令翔=a,AD=b，AA^C,

由=/。=44]=1，N4/B=AAXAD=/.BAD=60°,

得|G[=|b|=[31=],a-b=b-c=a-c=—,

对于A,显然京=)+B-e,jD^-a+b>

贝ij布•丽=(1+3-5>(-3+6)=-片+庐+ai-Be=o,即花_L而，

因此直线4c与AD所成的角为90。，A正确；

对于B,|4C|2=(a+ft-c)2=a2+b2+c2-2b-c=2,即|花|=0,B正确;

2

对于C,A1C-BBi=(a+b-c)-c=a-c+b-c-c=0,即万_L函，

因此直线4c与台片所成的角为90。，C正确；

对于D,在平行六面体/BCD-44G。中，四边形是菱形，即

又4cl.8。，4Cc/C=C,4C,/Cu平面4c4,于是2。）平面4。/,

又瓦?u平面48CD,则平面4（N_L平面48C£）,

连接/C交50于点。，在平面4a内过点4作于点E,如图，

由平面4c4rl平面4SCZ）=4C,因此&EJ■平面23cD,即直线4c与平面48cD所成角为,

AC=a+b，则同产=卜+讨=12+庐+2限不=3,即|阳=5

1A

由AAJ/BB,及选项C知，N44。=90°则sinZ4a=太=?D错误.

故选：D

20.在四棱锥P-n8CD中，AP4D为等边三角形，四边形/BCD为矩形，且AB3BC，平面平面

/8C。，则直线/C与平面PCD所成角的正弦值为（）

【分析】取M为尸。的中点，先证明平面PCD,得N/CM为所求线面角，由边长间的关系求正弦值.

［解析】平面PAD，平面ABCD,又平面PADc平面ABCD=AD,

CDu平面/BCD,CDVAD,则CD_L平面尸4D,

又CDu平面PCD,故平面PCO_L平面P4D,

取尸。的中点“，连接如图所示，

平面尸平面0=平面ZA/u平面尸，

△P4D为等边三角形,则故/平面PCQ,

则直线AC与平面PCD所成角即为NACM,

/T

令BC=a,则AB--\p2ci，AC—s/3ci，AM=---a,

2

故smZ.ACM=---=—.

d/2

故选：A

21.已知棱长为1的正方体力BCD-4与G2,MN分别是和5C的中点，则"N到平面4G。的距离为

()

石Ry/6rGV6

3322

【答案】C

【分析】延长血W交DC延长线于点。，连接4。,£0,由几何关系证明到平面4G。的距离即点。到

平面4G。的距离，再由等体积法@4凶=Log求出结果即可;

【解析】

延长MN交DC延长线于点。，连接43G。，AC,

因为”,N分别是和8c的中点，则〃/C,

由正方体的性质可得/c///£,所以MV〃4G，

又4Gu平面4G。，平面4G。，所以MN//平面4aD,

所以到平面4G。的距离即点。到平面4G。的距离,设为〃，

则=匕4-2DG，

因为正方体的棱长为1,

所以DQ=I",AtD=DC】=AG=亚，,

所以上4g,〃=卜呐W,即［xgx（收）x/z=!xgxjxlxln/z=g,

3113134、,3222

故选：C.

22.在四面体/3CP中，平面48cl平面尸4C,△尸NC是直角三角形，P4=PC=4,AB=BC=3,则二

面角/-PC-2的正切值为.

【答案】1/0.5

【分析】设/C,PC的中点分别为E,。，证得2E_L平面尸ZC,得到BEJ_PC,再由尸尸C,证得尸C，平

面BDE,得至UPC_LAD,得出ZBDE为二面角/-PC-8的平面角，在直角ABDE中，即可求解.

【解析】设/C,尸C的中点分别为瓦。，连接BE,DE,则DE//P/,

因为/8=3C,所以5EL/C,

又因为平面N3C工平面尸/C,平面48Cc平面P4C=/C,

所以2£_L平面尸/C,因为尸Cu平面尸/C,所以BE_LPC,

因为△R4C是直角三角形，且?/=PC=4,所以P/LPC,

所以DEL尸C且DE=」x4=2,

2

又因为DEcBE=E,且。E,BEu平面区DE,所以PCI平面5D£,

因为8Ou平面5DE,则尸CL8。，所以乙BOE为二面角/-尸。-8的平面角，

在直角△出阳中，可得tan4BDE=变=超-（2扬二1

DE22

故答案为：y.

久

/V\n

/\V

/\x/\

./EA1\

♦y.....vV7*->>cr

'A//

B

♦题型07空间中动点、旋转、翻折等动态问题

23.若将正方体ABCD-/MGA绕着棱AB旋转30°后,CD所在位置为CD,的位置,则直线和平面CDC

所成的角为.

【答案】15。哈

【分析】由对称性，不妨设点C在正方形38CC内，可得平面/3C'。与平面CDC'的夹角为75。，然后根

据正方体的性质结合条件求解即可.

【解析】如图，由对称性，不妨设点C'在正方形BBCC内，

则ABCC'为顶角ZCBC=30°的等腰三角形，NBCC'=ZBCC=75°,

所以平面ABCD'与平面C0C'的夹角为75。，旋转后显然BB、与平面ABC'D'垂直，

所以直线和平面CDC所成的角为90。-75。=15。.

故答案为：15。.

27r

24.边长都是为1的正方形ABC。和正方形/BE尸所在的两个半平面所成的二面角为彳，P、。分别是对

角线NC、B尸上的动点，且=则尸。的取值范围是（）

A.($11B.C.浮，物D.g刀

【答案】D

【分析】由二面角的平面角定义，可得NQ成为平面48CD和平面48EF所在的两个半平面所成的二面角的

平面角，设"=F0=x,(0<x<V2),利用相似三角形得出。”和明，再利用余弦定理求得尸。的表达式,

进而求得取值范围.

［角军析］设/尸=FQ=x,(0<x<V2),贝!|PC=3Q=0_x,

由题意，P,。在43上的投影是同一点，设为H,连接。“，PH,

则NQHP为平面48CD和平面48EF所在的两个半平面所成的二面角的平面角,

贝叱。如哼，

Y

由AAPHSAACB,可得PH=,

由ABQHSABFX,可得QH=在U，

在中，由余弦定理可得:

「小士+(黑)「2咤、生"吴三产

因为OWXW0，所以P。%中],则p°eg,i].

故选：D.

25.如图，AB//CD.CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=如,AE=2f,M为CD的

中点.

（1）证明：£〃//平面3庭；

（2）求点M至IJ4DE的距离.

【答案】（1）证明见详解；

⑵处

【分析】（1）结合已知易证四边形斯。以为平行四边形，可证EM//PC,进而得证;

（2）先证明04,平面助初，结合等体积法嗑TDE=%-EDM即可求解.

【解析】（1）由题意得，EF//MC,且跖=MC,

所以四边形跖。饮是平行四边形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EM,平面BCF,

所以瓦W7/平面BCF；

(2)取DM的中点0,连接。4,OE,因为/8//MC,且帅=MC,

所以四边形/MC2是平行四边形，所以/M=2C=JIU,

又AD=&5,故△4DM是等腰三角形，同理是等腰三角形，

o^^OA±DM,OELDM,0A=^AD2-=3,0E==也,

又AE=26所以OW+OE?=/£■?,故CM_LOE.

又,所以。4_1_平面瓦加,

易知S«EDM=；X2X6=6.

在IxADE中,cosZDEA=±1，=—,

2x2x2734

crpi./rtvA_1、、AV13_V39

rJS以sin/DEA—---,S-——x2x2。3x=----.

4'应npA'242

设点M到平面ADE的距离为d,由VM_ADE-EDM'

得]SA4DE，d=]S«EDM，＜得d=,

故点M到平面ADE的距离为止.

13

26.已知棱长为1的正方体-43cA内有一个动点M,满足=且M3=l,则四棱锥

M-体积的最小值为.

【答案】！一1

36

【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面4。＜等内的点M都满足M4="A，再去证明动点M在以

“为圆心，以正为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题.

2

【解析】解：如图所示，设2。1口4。=〃，

由正方体性质可知，平面4。。瓦，

由于（Wu平面AD.LOM,又因为。线段N2的中点，

所以M4=MD1,

即点M在平面4DC旦内，

又因为“8=1,所以与点M在以点3为球心，1为半径的球面上，

又因为3。，平面4DC瓦