幂函数与二次函数4题型分类-2025年高考数学一轮复习

专题05幕函数与二次函数4题型分类

彩题如工总

题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题题型1:募函数的定义及其图像

专题05募函数与二次函数

4题型分类

题型3：二次方程的实根分布及条件7V题型2：幕函数性质的综合应用

彩先正宝库

1、幕函数的定义

一般地，丫=/（“€尺）（。为有理数）的函数，即以底数为自变量，暴为因变量，指数为常数的函数称为幕

函数.

2、幕函数的特征：同时满足一下三个条件才是幕函数

①犬的系数为1；②X"的底数是自变量；③指数为常数.

（3）幕函数的图象和性质

3、常见的幕函数图像及性质:

1

函数y=xy二/y-x-1

y

VVkV

L

图象

7p17T0X

定义

RRR{x|x>0}{九|九w0}

域

值域R3”。}R{yly>0){ylyw。}

奇偶

奇偶奇非奇非偶奇

性

单调在R上单调在（7,0）上单调递减，在在R上单调在［0,+8）上单在（fO,0）和（0,+GO）

性递增（0.+8）上单调递增递增调递增上单调递减

公共

(1，1)

点

4、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f{x}=ax1+bx+c(a0)；

（2）顶点式：/（x）=a{x-in）2+n{a0）；其中，（孙〃）为抛物线顶点坐标，x=加为对称轴方程.

（3）零点式：，（劝=。（尤-%）（尤-尤2）（。*。），其中，和三是抛物线与x轴交点的横坐标.

5、二次函数的图像

二次函数/（x）=ad+6x+c（aw0）的图_像是一条抛物线，对称轴方程为工=-h白，顶点坐标为

2a

b4ac~b2

(一~~~)•

2a4〃

（1）单调性与最值

①当4>0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在（-8,-3］上递减，在卜二,内）上递增，当尤=-3时,

2a2a2a

“、4ac-b?

/777h

②当Q<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在（-8,-丁］上递增，在［―-⑹上递减，当天=_时,

2a2a2a

4ac-b2

/(%)max

4a

（2）与尤轴相交的弦长

当△=。2-4℃＞0时，二次函数/（无心/+饭+武。片0）的图像与x轴有两个交点〃1（%,0）和〃^马，。），

I必""=|无1一无"=J（无1+尤2）2—4菁％2=卢'

\a\

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数/（x）=af+bx+c（awO）,当。＞0时，/*）在区间［p,q］上的最大值是"，最小值是加，令

b

(1)若一丁vp,则"?=/(〃),M=/(q)；

2a

hh

⑵p<--<x,则〃?=/(-「),M=/(q)；

2a02a

hb

⑶^x<-—<q,贝|J根=/(一丁)，"=/(p)；

02a2a

h

(4)若-2切,则>=/(4),M=/(P).

2a

彩偏题祕籍

（―

募函数的定义及其图像

1、幕函数y=x"（aeR）在第一象限内图象的画法如下:

①当a＜0时，其图象可类似y=x-画出；

②当0＜。＜1时，其图象可类似＞=%画出；

③当。>1时，其图象可类似>=，画出.

题型1：赛函数的定义及其图像

1-1.（2024•江西•模拟预测）已知累函数/（尤）=7温0的图象过点（2,8）,则相+以=（）

A.0B.2C.4D.5

1-2.（2024高三•河北•学业考试）已知幕函数y=/（x）的图象过点（8,2后），则”9）的值为（）

A.2B.3C.4D.9

1-3.（2024高一下.湖北宜昌.期中）已知函数/（x）=loga（3-x）+1（«>0且的图象经过定点A,若

塞函数y=g（x）的图象也经过该点，则=.

1-4.（2024高一•全国•课后作业）已知事函数、，一J（0应€2且，，4互质）的图象关于y轴对称，如图所示,

y

贝I」（）

X

A.p,a均为奇数，且“〉。

q

B.q为偶数,p为奇数，且“<0

q

C.q为奇数，P为偶数，且">0

q

D.q为奇数，p为偶数，且"<。

q

1-5.（2024高一上•陕西西安.期中）幕函数y=x"中。的取值集合C是1-1,0,：,1,2,的子集，当塞函数的值

域与定义域相同时，集合（^为（）

B,C.「，川D,I，1,2,3）

彩3籍（二

塞函数性质的综合应用

函

-1

y=%y二尢2y=x3y-x

数

y

图VVkV

7r0X

象

定

义RRR{x|x>0}{%|xwO}

域

值

R{y|y20}R{y|^>0){y50}

域

奇

偶奇偶奇非奇非偶奇

性

单

在R上单调在（P,0）上单调递减，在在R上单调在［0,+8）上单在（-CO,0）和（0,+00）

调

递增（0,+8）上单调递增递增调递增上单调递减

性

公

共(1,1)

点

题型2:赛函数性质的综合应用

2-L（2024高一上•上海杨浦・期末）已知若幕函数=X。奇函数，且在（0,+巧

上为严格减函数，则。=.

2-2.（2024高三上咛夏固原•期中）已知函数/（尤）=（苏-2*2）•产2是幕函数，且在（0,+向上递减，则实

数加=（）

A.-1B.-1或3C.3D.2

23（2024海南.模拟预测）已知〃力式加+:"一5卜，"为塞函数，则（）.

A.〃x）在（-/⑼上单调递增B.“X）在（-8,0）上单调递减

C.“X）在（0,+功上单调递增D.“X）在（0,+8）上单调递减

2

2-4.（2024・江苏）已知y=/（x）是奇函数，当归0时，〃力=卢，则於8）的值是—.

2-5.（2024高三•全国•课后作业）已知事函数=（%为正整数）的图像关于了轴对称，且在（0,+司

上是严格减函数，求满足伍+1）号>（3-2a胃的实数°的取值范围.

彩健题秘籍（二）

二次方程ax*2+*7bx+c^0（«*0）的实根分布及条件

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

h

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x=-丁与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

2a

题型3：二次方程的实根分布及条件

3-1.（2024高三•全国•阶段练习）方程/+（加-2）尤+5-相=。的一根在区间（2,3）内，另一根在区间（3,4）内,

则加的取值范围是（）

A.（-5,-4）B.1-个，-21C.（―?，—4]D.（-5,-2）

3-2.（2024高三.全国.专题练习）关于x的方程依2+g+2）x+9a=0有两个不相等的实数根4Z，且

石vlv%2，那么〃的取值范围是（）

222

A.—<〃<一B.〃>一

755

22

C.a<——D.-----<。<0

711

3-3.（2024高一.江苏•课后作业）设。为实数，若方程Y-2依+a=0在区间（-11）上有两个不相等的实数解,

则。的取值范围是（）.

A.（-oo,0）u（l,+co）B.（-1,0）

c.［一；,。）D.［一；,"a,+°°）

彩做题祕籍

（四）

二次函数"动轴定区间”、"定轴动区间”问题

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题一一动轴定区间和定

轴动区间，解法是抓住“三点一轴"，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴

与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿

过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型4:二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

4-1.（2024高一上•海南•期中）已知g（x）=V-2办+1在区间［1,3］上的值域为［0,4］.

（1）求实数。的值；

⑵若不等式g（2,）-旌4，之0当xe［l,+。）上恒成立，求实数上的取值范围.

4-2.（2024・浙江）设函数/（尤）=尤2+以+。,（“,人€7?）.

2

（1）当6=勺+1时，求函数/*）在［T/］上的最小值g（a）的表达式；

4

（2）已知函数/（x）在［-1,1］上存在零点，0W6-2aWl,求b的取值范围.

4-3.（2024高一上•海南•期末）已知函数g（x）=or2—2ox+l+6（aw0,6>0）在区间［1,2］上有最大值2和最小

值L

⑴求的值；

⑵不等式g⑺-履20在xe［1,2］上恒成立，求实数左的取值范围；

（、

⑶若〃力=里¥且方程+f目、-3=0有三个不同的实数解，求实数，的取值范围.

\lI7

4-4.（2024•浙江）已知函数/（尤）=。+依+03九>）,记MS,。）是|/（尤）|在区间［T,U上的最大值.

（1）证明：当同上2时，M（a,b）>2.

（2）当。，6满足”（“涉）<2,求时+网的最大值.

4-5.（2024高一上.浙江.阶段练习）已知函数〃%）=-布-4+1.

（1）当a=2时，解方程〃龙）=0；

（2）当ae［0,5］时,记函数y=/（x）在xw*4］上的最大值为g（a）,求g（a）的最小值.

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024高一•全国・假期作业）关于x的方程，+2（相-1）尤+苏-机=0有两个实数根a,/?，且〃+夕2_12,

那么m的值为（）

A.-1B.-4C.T或1D.—1或4

2.（2024•山东）关于函数y=—f+2x,以下表达错误的选项是（）

A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线x=l

C.函数的单调递减区间是［-1,内）D.函数图象过点（2,0）

3.（2024•浙江）若函数f（x）=x?+依+）在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,则7-相的值

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

x2,x>0,

4.（2024.新疆阿勒泰.三模）已知函数则函数/'（》）=1g（x）=/（-x）,则函数g（x）的图象大致是（）

一,x<0,

5.（2024・湖南娄底•模拟预测）已知函数=在区间上单调递增，则实数。的取值范围

是（）

A.2)u(O,3)B.(-«,-2)u(O,3]

C.(f,—2)5°，10)D.(^o,-2)o(0,10]

6.（2024.海南•模拟预测）已知函数y=y=",y=log,尤的图象如图所示，贝U（）

acbfcflc

A.Q<e<eB.e<e<e

C.ea<eb<ecD.eb<ec<efl

7.（2024高一上•宁夏吴忠•阶段练习）已知函数/（x）=,：二;;;，若/（2-片）>〃4）,则实数0的取

值范围是（）

A.(2,+oo)B.(-1,2)C.(—2,1)D.(-<o,—2)(1,+co)

x2-lax+9,x<1,

9.（2024高三下.河南新乡.开学考试）已知函数/（%）=2若/（另的最小值为6,则实数a

-------,x>l,

、x-1

的取值范围是（）

A.[1,2]B.[-73,3]C.[-^,2]D.[-2,2]

10.(2024•全国•模拟预测)已知x,yeR,^(x-l)2°23+x=|,(2y+l)2023+2y=-1,则x+2y=()

A.-1B.0C.1D.2

11.（2024•贵州毕节二模）已知则实数a的取值范围为（）

12.（2024高三•全国•专题练习）已知a,b,cRR,函数/（次尸0+法+心若/⑼=/（4）>f（1）,则（）

A.a>0,4。+/?=0B.〃<0,4。+/?=0

C.a>0,2a+b=QD.a<0,2〃+/?=0

13.（2024•浙江）已知函数f（x）=x2+bx,则“bVO”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.（2024高三・全国・专题练习）如果函数〃％）=（（加-2）%2+（〃—8）］+1（根20,〃之0）在区间；,2上单调

递减，则相〃的最大值为（）

A.16B.18C.25D.—

2

15.（2024・陕西）对二次函数/（x）=af+bx+c（。为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且

仅有一个结

论是错误的，则错误的结论是

A.-1是/（元）的零点B.1是/（元）的极值点

C.3是八方的极值D•点（2,8）在曲线y=/（元）上

16.（2024・四川乐山•一模）已知幕函数=/和g（x）=无"，其中a>£>0,则有下列说法:

①Ax）和g（龙）图象都过点（1,1）；

②/（%）和g（x）图象都过点（-1.D；

③在区间［1,+8）上，增长速度更快的是了⑺；

④在区间U,+8）上，增长速度更快的是g（无）.

则其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

17.（2024.河北衡水.模拟预测）己知事函数=是定义在区间门,网上的奇函数，则〃加+i）=（）

A.8B.4C.2D.1

18.（2024•北京东城•一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

A.y=lnxB.y=exC.y=x3D.y=-

X

二、多选题

19.（2024•江苏•模拟预测）若函数〃尤）=%,且尤1<々，贝I（）

A.（不一动（〃不）一〃%））>。B.%一/（%）>%—/（9）

C./（毛）一七</（々）一%D."%）；""）

20.（2024•吉林长春•模拟预测）已知基函数"x）=x"图像经过点卜［）,则下列命题正确的有（）

A.函数Ax）为增函数B.函数Ax）为偶函数

C.若x>l,则/。）>1D.若则山？

21.（2024高一上•重庆.阶段练习）已知关于x的方程尤2+（%—3）x+机=0,下列结论正确的是（）

A.方程x2+（m—3）x+m=0有实数根的充要条件是mW{m\m<l或m>9］

B.方程/+（加-3）4+根=0有一正一负根的充要条件是{m\m<0}

C.方程N+（M—3）X+机=0有两正实数根的充要条件是mW{m|0<m<l}

D.方程N+（加-3）x+加=0无实数根的必要条件是

22.（2024高一上糊南长沙•期中）设二次函数〃%）=a%2_4%+c的值域为［0,+8）,下列各值（或式子）中一

1Q

定大%T巧的有（）

2931

A.B.

2525

m2+2c

C.-n2+2〃+8,〃£[—2,2]D.I-，根£R

，加2+1

三、填空题

23.（2024高一上•全国•期末）已知暴函数/（*）=（1-3加+3卜'2的图象关于原点对称，则满足

（a+lf>（3-2af成立的实数a的取值范围为.

24.（2024高一上•四川眉山・期中）下面命题：①基函数图象不过第四象限；②y=x。图象是一条直线；③若

函数y=2,的定义域是｛xlxWO｝,则它的值域是｛ylyvi｝；④若函数>=■的定义域是｛x|x>2｝,则它的值

域是⑤若函数y=/的值域是｛y|0WyW4｝,则它的定义域一定是｛x|-2WxW2｝.其中不正确

命题的序号是.

25.（2024高三上•河北衡水・周测）已知f（x）=x2,g（x）=（；）'-机，若对向e[-1,3],切e[0,2],/（%,）?g（x?）,

则实数机的取值范围是.

26.（2024高三上•福建三明•期中）已知g）<1>/<i,iog“g<i,则实数”的取值范围是

27.（2024高三下•上海嘉定•阶段练习）已知函数/（尤）=若函数Ax）的值域为R,则实数。的取

x,x>a

值范围为.

28.（2024高三全国•专题练习）不等式（/_1『"+尤2。22+2/_140的解集为：.

1

29.（2024高一上•全国•课后作业）已知塞函数若〃。一1）</（8-2a）,则。的取值范围

是.

30.（2024・上海闵行•一模）已知二次函数〃%）=⑪2+彳+。的值域为1-co,：,则函数8（力=2工+。的值域

为.

31.（2024・贵州毕节•模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数/（力=.

①/'（x）W0在R上恒成立；②尸（x）是偶函数；③/（%%）+/&）〃％）=（）.

32.（2024•新疆阿勒泰•一模）已知二次函数/（司=加+法（°,。为常数）满足〃x-l）=〃3-力，且方

程〃x）=2x有两等根，〃尤）在[0刁上的最大值为g⑺，则g⑺的最大值为.

33.（2024・湖北）。为实数，函数/。）=|炉在区间[0,1]上的最大值记为/z（a）.当。=时，九⑷的

值最小.

四、解答题

34.(2024高三下•上海浦东新•阶段练习)已知/(%)=6：2+2/?%+4c(a,),c£R).

⑴若/(0)=—1,〃+2b=0,解关于1的不等式”x)<S+l)x—3；

⑵若a+c=0,在［-2,2］上的最大值为|,最小值为一g,求证：,卜2.

35.(2024高一下.贵州黔东南•开学考试)已知函数〃x)是定义在［-2,2］上的奇函数，且xe(0,2］时，

=-1,g(JC)=x2-2x+m.

⑴求“X)在区间［-2,0)上的解析式；

⑵若对网目-2,2］,则玉2c［-2,2］,使得/(%)=86)成立,求加的取值范围.

36.(2024高一上•河南平顶山•期末)已知函数〃x)=3「

(1)利用函数单调性的定义证明/(x)是单调递增函数；

(2)若对任意xe［-1,1］,［〃x)T+W(x)z-4恒成立，求实数小的取值范围.

37.(2024高一上•贵州毕节・期末)已知函数/1(无)=d-2ax(a>0).

(1)当。=3时，解关于尤的不等式