2025年中考数学一轮复习专题10 三角形 知识点梳理及专项练习（含解析）

专题10三角形

1.三角形的分类

(1)三角形按角分为三角形、三角形、三角形.

(2)三角形按边分为三角形、三角形.

2.三角形的性质

(1)三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边.

(2)三角形的内角和为，外角与内角的关系：三角形的外角等于

3.三角形中的主要线段

(1)连接三角形中点的线段叫作三角形的中位线.

(2)中位线的性质：三角形的中位线于第三边，并且第三边的.

(3)三角形的中线、高线、角平分线都是.

4.等腰三角形的性质与判定

(1)等腰三角形的两底角.

(2)等腰三角形底边上的、底边上的、顶角的互相,简称“

”.

(3)有两个角相等的三角形是.

5.等边三角形的性质与判定

(1)等边三角形每个角都等于，同样具有“”的性质.

(2)三个角相等的三角形是，三边相等的三角形是，一个角等于60°的三角形

是等边三角形.

6.直角三角形的性质与判定

(1)直角三角形两锐角.

(2)直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的.

(3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的.

(4)勾股定理:

(5)勾股定理的逆定理：·

7.相似三角形的判定方法有：

(1)于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)两个角对应相等的两个三角形；

(3)两边对应成且的两个三角形相似；

(4)三边的两个三角形相似.

8.相似三角形的性质有：(1)相似三角形的对应边，对应角；(2)相似三角形的对应边的

线、对应边上的的比等于比，周长之比也等于比，面积比等于.

9.全等三角形

(1)全等三角形:、的三角形叫作全等三角形.

(2)三角形全等的判定方法有:、、、、.在证明两个三

角形全等时，选择三角形全等的五种方法中，至少有一组，因此在应用时要养成先找边的习惯.如果选择找

到了一组对应边，再找第二组条件：若找到一组对应边则再找这两边的用“SAS”或再找第三组用“S

SS”；若找到一组角则需找(可能用“ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组用“SAS”;若是判定两个

全等则优先考虑“HL”.

(3)全等三角形的性质：全等三角形的、,全等三角形的面积、周长、对应高、

、相等.

10.分析、证明几何题的常用方法

(1)：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理、定理的运用，逐步向前推进，直到问题解决.

(2)：从命题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直到已知条件.(3)：将分析法与综合法合并

使用，比较起来，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此在实际思考问题时，可合并使用灵活处理，以利于缩短

题设与结论之间的距离，最后达到完全沟通.

实战演练

1.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则()

A.线段CD是△ABC的AC边上的高线

B.线段CD是△ABC的AB边上的高线

C.线段AD是△ABC的BC边上的高线

D.线段AD是△ABC的AC边上的高线

2.如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上，AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△D

EF的是()

A.BC=DEB.AE=DB

C.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D

3.如图,在△ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点,设△ABC的面积为S₁,△EBD的面积为S₂,则

�2

�1=

A.B.C.D.

1137

4.如2图,在4△ABC和4△ADE8中,∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长交AC,AD

于点F,G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是()

A.∠ADC=∠AEBB.CD∥AB

C.DE=GED.BF²=CF·AC

5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为()

A.1B.2C.3D.4

6.如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC

于点F,若AB=CE,且△DFE的面积为1,则BC的长为()

A.2B.5

5D.10

7.�如.4图5,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD=.

8.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠

C的度数是.

9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,则∠B=°.

10如图,AC平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为

11.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.

求证:∠A=∠D.

12.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连接CM,CE.

已知∠A=50°,∠ACE=30°.

求证:CE=CM;

13如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.

如图在△和△中、分别是、上一点，

14.,ABCA'B'C',DD′ABA′B′''

𝐴��

''

𝐴=��.

(1)当时,求证△ABC∽△A'B'C'.

𝐴��𝐴

''''''

������

证明的途径=可以=用下面的框图表示，请填写其中的空格.

(2)当时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.

𝐴����

''''''

��=��=��

压轴预测

1.如图,在△ABC中,边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P.若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度

数为.

2.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AE=DE.

(1)求证:△ABE≌△DCE;

(2)当∠A=90°,AB=4,AE=3时,求BC的值.

3.如图,已知△ABC中,AB=AC,点D是AC上一点,BD=BC.

(1)求证:△ABC∽△BCD;

(2)若点D为AC中点,且AC=4,求BC的长.

4.已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是

等边三角形.

参考答案

1.(1)锐角直角钝角

(2)等腰三边都不相等的

2.(1)大于小于

(2)180°与它不相邻的两内角的和

3.(1)两边

(2)平行等于一半

(3)线段

4.(1)相等

(2)高中线角平分线重合三线合一

(3)等腰三角形

5.(1)60°三线合一

(2)等边三角形等边三角形等腰

6.(1)互余

(2)一半

(3)一半

(4)直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

(5)若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形

7.(1)平行

(2)相似

(3)比例夹角相等

(4)对应成比例

8.(1)成比例相等

(2)中高相似相似相似比的平方

9.(1)对应边相等对应角相等

(2)SSSSASASAAASHL相等的边夹角对应边另一组角对应边直角三角形

(3)对应边相等对应角相等相等相等对应中线对应角平分线

10.(1)综合法(由因导果)

(2)分析法(执果索因)

(3)两头凑法

1.B【解析】本题考查三角形的高线.∵CD⊥AB,∴线段CD是△ABC的AB边上的高线,故选B.

2.B【解析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定.∵AC∥DF,∴∠A=∠D.又AC=DF,若添加AE=BD,

则AE+BE=BD+BE,即AB=DE,利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF,故选B.

3.B【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.因为D，E分别为线段BC，BA的中点，所以

������

��=��=��=

.所以△EBD∽△ABC,所以

1�2��21

2�1=��=4,

故选B.

4.C【解析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形

的判定与性质.∵∠DAE=∠CAB,∴∠DAC=∠EAB.又AB=AC,AD=AE,∴△ADC≌△AEB,∴∠ADC=∠AEB,故

选项A正确;∵∠CAB=36°,且AB=AC,∴∠ABC=72°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABG=∠CBG=∠DCA=36°,∴∠DCA=

∠CAB,∴CD∥AB,故选项B正确；DE=GE条件不足，不能判定，故选项C错误；∵∠CBF=∠CAB=36°,且∠B

CF=∠ACB,∴△CBF∽△CAB,则BCAC=CEB,∴BC=CF·AC.∵AB=AC,∠CAB=36°,∴∠ACB=72°,∴∠CF

B=180°-∠ACB-∠CBG=72°=∠ACB,∴BC=BF,∴BF²=CF·AC,故选项D正确,故选C.

5.A【解析】本题考查等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵E

是AB的中点,4=2,∴△BCE为等边三角形.∵CD⊥AB,∴DE=

1111

2222

故选A.𝐴=4,∴𝐷=��=𝐴=×��=��=×

2=16,.A【解析】本题考查平行线分线段成比例、三角形的面积公式、勾股定理、平行线的判定和性质.如图，过

点A作AH⊥BC于H.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴DF∥AH,

1

2

DF⊥DE,∴BF=HF,DF=AH.∵△DFE的面积为1,∴D∵E�·�D�F�=1,∴,∴�D�E=·D�F�=,2�,∴�B=C·A��H.=∵2D�E�·2D�F�=;4×2=8,∴A

11

22

B·AC=8.解得AB=2(舍负),.

122

2

2,故选∴A�.�=𝐷,∴𝐴=𝐷=𝐷=��,∴𝐴⋅2𝐴=8∴��=4,∴��=𝐴+��=

5

7.1【解析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式.如图,过点D作DF⊥AC于点F.因为AD平分

∠BAC,DE⊥AB,所以DF=DE=1,所以

11

��𝐴=2×��×��=2×2×1=1.

8.40°【解析】本题考查三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质.在Rt△ABE中，

∠B=90°,∠BAE=10°,∴∠AEB=80°.∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,∴∠C=∠CAE,∴∠AEB=∠CAE+∠

C=2∠C=80°,∴∠C=40°.

9.54【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理.∵AF=EF,∴∠A=∠

AEF.∵∠CFE=∠A+∠AEF,∴∠CFE=2∠A.又∵∠CFE=72°,∴∠A=36°,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,

∴∠B=90°-∠A=54°.

10.82°【解析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理.∵AC平分∠DCB，

∴∠BCA=∠DCA.又∵CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴∠B=∠D.∵∠EAC=∠D+∠DCA=49°,∴

∠B+∠BCA=49°,∴∠BAE=180°-,即∠BAE的度数为82°.

11.略49°−49°=82°,

证明:∵BF=EC,

∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.

在△ABC和△DEF中

𝐴=��,∠�=∠�,

∴△ABC≌△DEF,��=��,

∴∠A=∠D.

12.略

根据直角三角形中线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质得∠CME=∠CEM，即可得证.

解:证明:因为∠ACB=90°,点M为AB的中点.

所以MA=MC,

所以∠MCA=∠A=50°,

所以∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°,

因为

所以∠∠C�M��E==∠∠C�EM+,∠所�以𝐷C=E=5C0M°+.30°=80°,

13.略

根据已知条件，结合公共角，利用“ASA”即可判定△ACD≌△ABE,得对应边相等,从而证明AD=AE.

证明:在△ACD和△ABE中

∠�=∠�,

��=𝐴,

∴△ACD≌△ABE.∠�=∠�,

∴AD=AE.

𝐴��𝐴

'''''''

(21)4相.似1，��理=由�略�=��;∠�=∠�

(1)根据比例式进行代换，得三边对应成比例，得两个三角形相似后，对应角相等，将所得三边比例式和对应角

相等填入方框内；(2)分别在两个三角形中作BC边和B'C'边的平行线，利用所得三角形相似得比例式，再结合比

例式进行代换，得三边对应成比例，证明△DCE∽△D'C'E'，再利用平行线的性质，结合等角的补角相等以及两边

对应成比例证明△ABC∽△A'B'C'.

解：

𝐴��𝐴

'''''''

������

(2)如图1,过点=D、D='分别;作∠�D=E∥∠�BC.、D'E'∥B'C',DE交AC于点E,D'E'交A'C'于点E'.

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.

𝐴��𝐷

∴𝐴=��=��.

同理

''''''

������

''''''

��

又�=�=��.

同理

''

𝐷��

''

��=��.

即

''''''

��−𝐷��−������

''''

∴��=��,��=��.

����

''又''

∴��=又��.

𝐴����

''''''

��=��=��,

𝐴����

''''''

∴∴△��DC=E�∽�△=D�'C�'E.'.

∴∠CED=∠C'E'D'.

∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°.

同理

''''''

∴∠A∠C�B�=∠�A+'C∠'B�'.��=180°.

又AC=BC,∴△ABC∽△A'B'C'.

压轴预测

1.150°【解析】本题考查线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定

理.如图,连接PC.设∠APC=x,∠BPC=y.∵△ABP是等边三角形,∴x+y=60°.∵点P是AC,BC的垂直平分线的交点,

∴∴∠∠∠∠在等腰△中在等腰△中

PA=PC=PB,PAC=PCA,PCB=PBC.PAC,∘PBC,

180−�

2

∴∠∠∠