人教版八年级上册数学 第十一章 三角形（4个易错点）

第十一章三角形单元复习提升（易错点）

易错点1判断钝角三角形某边上的高线是否正确

例题：（2023秋•浙江杭州•八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线

段双）是,ABC的高的图形是（）

2.（2023秋•甘肃庆阳•八年级统考期末）如图，在ASC中，/A是钝角，下列图中作边上

的高线，正确的是（）

3.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，AD1BC,ECYBC,CFLAB,点、D,C,尸是垂足,

下列说法错误的是（)

A

A.中，A£＞是8。边上的高B.△ABD中，EC是BD边上的高

C.qCEB中，EC是BC边上的高D.CEB中，尸C是BE边上的高

易错点2三角形中折叠时图形未定产生多解漏解易错

例题：在,ABC中，ZACB=90°,ZA=30。，点。是A2边上一动点，将ACD沿直线8翻折，

使点A落在点E处，连接CE交AB于点F.当DEF是直角三角形时，NACD度数是

度.

【变式训练】

1.如图，在三角形纸片ABC中，A8=ACN8=20。，点0是边3c上的动点，将三角形纸片沿AD

对折，使点3落在点9处，当&D_LBC时，一历山＞的度数为.

2.如图，在三角形ABC中，ZACB=86。，点。为AB边上一个动点，连接8,把三角形ACD

沿着。折叠，当ZA，CB=20。时，贝l]ZDC3=.

A'

3.在“妙折生平--折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角

形纸片A3C,々=30。，NC=50。，点。是A3边上的固定点(孙央)，请在BC上找一点E,

将纸片沿DE折叠为折痕)，点8落在点歹处，使所与三角形ABC的一边平行，则/双汨为

________度.

易错点3多边形截角后的内角和问题

例题：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880。，则原多边形的边数是

【变式训练】

1.一个多边形剪去一个角后，内角和为540。，则原多边形是边形.

2.一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700。的新多边形，则原多边形的边数为

3.(1)每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为；

(2)一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720。，则原多边形的边数是

易错点4求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角

例题：如图，网和CA分别是ABC的内角平分线和外角平分线，即是乙”。的角平分线，CA2

是NA。。的角平分线，B4是的角平分线，C&是N&CD的角平分线，若4=0,则/A阳=

【变式训练】

1./ACD为.ABC的一个外角，/ABC、/ACD的角平分线交于点尸.

A

P

B

(1)若N/WC=40。，448=110。，则NP=

(2)若NACO—/ABC=64。，则NP=

(3)若ZA=76。，贝U/P=

⑷若NP=46。，则ZA=

⑸你能找出-A与一尸之间的数量关系吗？并证明.

2.问题情境:

如图1,ABC中，5。平分/ABC,CO平分NACD.

D

图2

⑴探索发现：

若ZA=60。，则/。的度数为；若ZA=130。，则/O的度数为

(2)猜想证明:

试判断-A与NO的关系，并说明理由.

(3)结论应用：

如图2,在四边形M7VCB中，BD平分ZMBC,且与四边形MNC3的外角NNCE的平分线8交

于点D若N3MV=130。，ZGW=100°,则/D的度数为..

过关训练

一、单选题

1.下列四个图中，正确画出ABC中3c边上的高是()

2.如图，在ABC中，A5边上的高作法正确的是

二、填空题

3.如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数可能是.

4.一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160。，则原多边形的边数

是.

5.如图，直角三角形ABC中，NC=9O。，4MC=70。，点。是边上的一点，连接AD,将△ACD

沿AD折叠，使点C落在点E处，当_3/比是直角三角形时，NCAD的度数为.

6.如图，ABC中，ZC=90°,ZA=30°,E,R分别是边AC,A3上的点，连接ER将

△AER沿ER折叠，得到△AEF,当△AEF的边AN与△ABC的一边平行时，NAER的度数

是.

7.如图，BA,CA分别是ABC的内角平分线和外角平分线，B4,C&分别是“ABC的内角

平分线和外角平分线，B4,C4分别是&BC的内角平分线和外角平分线……以此类推，若

ZA=a,贝!JN>!23=

三、解答题

8.(1)如图1,在△AOC中，N4X7的平分线和/ACD的外角平分线交于点P,若

ZADC=70°,ZACD=50°,求—P的度数.

图1图2图3

(2)如图2,在四边形A3CD中，-4DC的平分线和/BCD的外角平分线交于点

P,ZA=90°,ZB=150。，求NP的度数.

(3)如图3,若将(2)中“ZA=90。，4=150。”改为“4=。，〃=?”，其余条件不变，直接

写出一尸与a+6之间的数量关系.

9.【结论探究】如图1,在ASC中，/ABC的平分线3尸与外角/ACD的平分线CP相交于点P,

BP平分/ABC,

：.ZPBC=-Z.

2--------------------

*.*CP平分/AC。，

/.ZPCD=-ZACD.

2

"：ZACD=Z+ZABC,

ZA=AACD-AABC,

'：ZPCD=NP+/PBC,

:.NP=NPCD-NPBC=工NACD-工N=-ZA.

22--------------------2

请直接应用上面的结论解决下面问题：

【结论应用】如图2,在ABC中，ZA=70。，/ABC的平分线8E与外角ZACD的平分线CE相

交于点E,外角/HBC的平分线所与EC的延长线相交于点E求4F的度数.

【拓展应用】

如图3,已知四边形A3CD与四边形3B平分/ABC,CE平分外角"S.

①若ZA=100。，NO=142。，则4+//=1°；

②若ZA+/D=a,ZE+ZF=/7,则。=（用含少的代数式表示）.

第十一章三角形单元复习提升（易错点）

答案全解全析

易错点1判断钝角三角形某边上的高线是否正确

例题：（2023秋•浙江杭州•八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）

【答案】D

【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案.

【详解】解：ASC中AC边上的高即为过点5作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高,

四个选项中只有选项。符合题意，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂

线得到的线段叫三角形的高.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线

段瓦）是.ABC的高的图形是（）

【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答.

【详解】解：A.线段3。是△3ZM的高，选项不符合题意；

B.线段是的高，选项不符合题意；

C.线段是△ABD的高，选项不符合题意；

D.线段3。是ABC的高，选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到

垂足之间的线段叫做三角形的高.

2.（2023秋・甘肃庆阳•八年级统考期末）如图，在ABC中，是钝角，下列图中作BC边上

的高线，正确的是（）

【答案】D

【分析】根据三角形的高的定义判断即可.

【详解】解：在.ABC中，/A是钝角，8C边上的高线就是过点A作边的垂线得到的线段,

如图,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间

的线段叫做三角形的高.掌握定义是解题的关键.

3.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，AD1BC,ECLBC,CFLAB,点、D,C,歹是垂足,

下列说法错误的是（）

A.中，AD是边上的高B.中，召。是边上的高

C..CEB中，比是BC边上的高D.CEB中,FC是8E边上的高

【答案】B

【分析】根据三角形高的定义依次判断即可.

【详解】解：A、△A3。中，AD是8。边上的高，故此选项正确，不符合题意;

B、△ABD中，比不是山）边上的高，故此选项错误，符合题意；

C、CEB中，召c是2C边上的高故此选项正确，不符合题意；

D、CEB中，尸。是8E边上的高，故此选项正确，不符合题意.

故选3.

【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三

角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边.

易错点2三角形中折叠时图形未定产生多解漏解易错

例题：在，A3C中，ZACB=90°,4=30。，点。是AB边上一动点，将ACD沿直线8翻折，

使点A落在点E处，连接C£交A3于点F.当DEF是直角三角形时，/ACD度数是.

度.

A

【答案】30或15

【分析】分乙⑦尸=90。和/互力=90。，两种情况进行求解即可.

【详解】解：当/£E>F=90。时，如图，则：ZEZM=90°

•••折叠,

I.ZADC=ZCDE=g(360°-ZADE)=135°,

/.NACD=180。—/ADC—/A=15。；

当NEFD=90。时，如图，则：NBFC=90°,

VZACB=90°,ZA=30°,

/./3=60°,

/.ZBCF=30°,

ZACF=ZACB-ZBCF=60°,

•••折叠，

/.ZACD=-ZACF=30°,

2

综上：/AC。的度数为30。或15。.

故答案为：30或15.

【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理.熟练掌握折痕是角平分线，是解题的

关键.

【变式训练】

1.如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,28=20。，点。是边3c上的动点，将三角形纸片沿4。

对折，使点B落在点笈处，当？8c时，N8AD的度数为.

【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解.

【详解】解：由折叠的性质得：ZADB'=ZADB；

"：B'DIBC,

ZBDB'=900■

①当B在3C下方时，如图，

ZADB+ZADB'+ZBDB'=360°,

/.ZADB=|x(360°-90°)=135°,

ZBAD=180°-ZB-ZAZ)S=25°；

ZADB+ZADB'=90。,

：.ZADB=-x90°=45°,

2

综上，/HAD的度数为25。或115。；

故答案为：25。或115。.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论.

2.如图，在三角形"C中，ZACB=86。，点。为边卜一个动点，连接。，把三角形ACD

沿着8折叠，当ZA，CB=20。时，^]ZDCB=..

A

A'

【答案】33。或53。

【分析】根据题意分CA在三角形ACB外部和CA在三角形ACB内部两种情况讨论，分别根据

折叠的性质和角的和差求解即可.

【详解】解：当CA在三角形AC3外部，如图:

VZ4CB=86°,ZA'CB=20。，

ZACA=ZACB+ZA'CB=860+20°=106°,

•••三角形AC。沿着8折叠，

/.ZA,CD=-ZA,CA=53°

2

/.Z.DCB=ZA'CD-ZA'CS=53°-20°=33°

当CA在三角形ACS内部，如图：

ZACB=86°,ZA'CB=20°,

，ZACA=ZACB-ZACB=86°-20°=66°,

三角形ACD沿着CD折叠，

ZAC£>=-ZA,CA=33°,

2

Z.DCB=ZACB-ZACD=86°-33°=53°.

故答案为：33。或53。.

【点睛】此题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

3.在“妙折生平--折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角

形纸片ABC,N3=30。，NC=50。，点£）是A3边上的固定点的<加），请在BC上找一点E,

将纸片沿DE折叠为折痕），点8落在点产处，使斯与三角形9C的一边平行，则/应定为

________度.

A

【答案】35或75或125

【分析】分三种情况：①当3D〃EF时，②当AC〃EF时，根据折叠性质、平行线的性质得答

案.

【详解】解：①当皮）〃EF时，

由折叠可知，ZB=ZF=30°,ZBED=ZDEF,

BD//EF,

:.ZB=ZCEF=30°9

ZBEF=180°-30°=150°,

ABED=ZDEF=-ZBEF=-xl50°=75°,

22

...ZBDE=180°-30°-75°=75°.

②当AC〃EF时，ZC=ZBEF=50°,

ABED=ZFED=-ZBEF=-x50°=25°,

22

ZBDE=180°-ZB-ZBED=180°-30°-25°=125°,

ZBDE=125°,

③当AC〃砂时，ZC=ZCEF=50°,

/.ZBGD=50°+30°=80°,

/.ZBDG=180。—80°-30°=70°,

ZBDE=-ZBDG=L70°=35°,

22

综上所述，血见=35。或75。或125。.

故答案为：35或75或125.

【点睛】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键.

易错点3多边形截角后的内角和问题

例题：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880。，则原多边形的边数是

【答案】17,18或19

【分析】根据多边形的内角和公式可得：（〃-2）」80。=2880。，求出新多边形的边数，然后再根

据截去一个角的情况进行讨论，计算即可.

【详解】解：设新多边形的边数为〃，

则（〃—2）480°=2880°,

解得：n=18,

若截去一个角后边数增加1,则原多边形边数为19,

若截去一个角后边数减少1,则原多边形边数为17,

若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18,

则多边形的边数是17,18或19,

故答案为：17,18或19.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（〃-2”80°（〃23且〃是整数），注意要分情况

进行讨论，避免漏解.

【变式训练】

1.一个多边形剪去一个角后，内角和为540。，则原多边形是边形.

【答案】4或5或6

【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1,

少1三种情况进行讨论.

【详解】解：设新多边形的边数是〃，则（〃-2”80。=540。，

解得n=5,

截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1,

二原多边形的边数是4或5或6.

故答案是：4或5或6.

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边

数相等，多1,少1,有这么三种情况.

2.一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700。的新多边形，则原多边形的边数为

【答案】16或17或18

【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进

行讨论.

【详解】解：设新多边形的边数为〃，

贝|］（〃_2>180。=2700。，

解得"=17,

①若截去一个角后边数增加1,则原多边形边数为16,

②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17,

③若截去一个角后边数减少1,则原多边形边数为18,

所以多边形的边数可以为16或17或18.

故答案为：16或17或18.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式.解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注

意要分情况进行讨论，避免漏解.

3.（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为；

（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720。，则原多边形的边数是

【答案】36。/36度6或7

【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可.

（2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形.

【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等，

・••十边形的一个外角为360-10=36°.

故答案为：36°；

(2)设内角和为720。的多边形的边数是〃,则(〃-2)xl80=720,

解得：n=6.

•••多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1,

•••原多边形的边数为6或7.

故答案为：6或7.

【点睛】此题考查了正多边形外角和多边形的内角和；解题的关键是熟练掌握多边形的内角

和与多边形的边数之间的关系，熟知正多边形外角与边数的关系式.

易错点4求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角

例题：如图，网和CA分别是ABC的内角平分线和外角平分线，24是"8。的角平分线，S

是"CD的角平分线，是幺的角平分线，C4是N&CD的角平分线，若=则/4侬=

【答案】

【分析】根据角平分线的定义可得=ZACD=|ZACZ),再根据三角形外角的性

质可得g(448C+/A)=gNABC+/A，化简可得4=：”,进一步找出其中的规律，即可求出

乙品23的度数.

【详解】BA1和CA分别是一ABC的内角平分线和外角平分线，

11

NAB。.NABC,ZA,CD=-ZACD,

又QZACD=ZABC+ZA,=+

3(LC+NA)=|ZABC+,

.-.ZA=|ZA,

同理可得：幺

4=*A，……

则4()23=97/人，

/A=a,

•1

202301

••/4023=2，

故答案为：装”.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出,

/4,与NA的规律是解题的关键.

【变式训练】

1./ACD为A3C的一个外角，NABC、/ACD的角平分线交于点尸.

(1)若ZABC=40°,ZACD=110。，则/尸=；

(2)若ZACD-ZABC=64°,则NP=；

(3)若ZA=76。，则/P=；

(4)若4=46。，则4=；

⑸你能找出-A与NP之间的数量关系吗？并证明.

【答案】(1)35。

(2)32°

(3)38°

(4)92°

⑸ZA=2NP,证明见解析

【分析】(1)由角平分线定义得到NCBP=g/ABC=20。，NDCP=gNACD=55°,再由三角形外

角的性质即可得到答案；

(2)由角平分线定义得至=ZDCP=^ZACD,再由三角形外角的性质即可得

到答案；

(3)由角平分线定义得到NCBP'NABC,由三角形外角的性质得到

ZACD=ZABC+ZA,则NACD-/ABC=ZA=76。，再由三角形外角的性质得到/尸=；乙4=38。；

(4)由角平分线定义得至U/CBP=g/A2C,〃CP=；/ACD,由三角形外角的性质得到

ZACD=ZABC+ZA,贝ljZACD-ZABC=ZA,再由三角形外角的性质得到/P=gzA,即可得到

NA=2/P=92。；

(5)由角平分线定义得至=乙DCP=；NACD,由三角形外角的性质得到

ZACD=ZABC+ZA,贝ljZACD-ZABC=ZA,再由三角形外角的性质得到4P=；NA,即可得到

ZA=2ZP.

【详解】(1)解：,••/ABC、ZACD的角平分线交于点P.ZABC=40°,ZACD=110°,

/.NCBP=-ZABC=20°,ZDCP=-ZACD=55°,

22

■:/DCP为_BCP的一个外角，

/尸=Z.DCP-ZCBP=55°-20°=35°,

故答案为：35。

(2)'：ZABC./AC。的角平分线交于点P.

/.ZCBP=-ZABC,NDCP=-ZACD,

22

■:NDCP为8cp的一个外角，ZACD-ZABC=64°,

.*.ZP^DCP-ZCBP=lzACD-lzABC=l(ZACn-ZABC)=32o

故答案为：32。

(3),.,/ABC、NACD的角平分线交于点尸.

/.ZCBP=-ZABC,ZDCP=-ZACD,

22

ZACD=AABC+ZA,

：.ZACD-ZABC=NA=76。，

*/NDCP为.BCP的一个外角，

/.NP=ZDCP-ZCBP=-ZACD--ZABC=-(ZACD-NABC)=-ZA=38°；

222'72

故答案为：38。

(4)'：ZABC/ACO的角平分线交于点P.

/.ZCBP=-ZABC,ZDCP=-ZACD,

22

ZACD=ZABC-^-ZA9

：.ZACD-ZABC=ZA,

•：/DCP为：BCP的一个外角，

/.ZP=ZDCP-ZCBP=-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA,

222V72

*/N尸=46。，

ZA=2ZP=92°,

故答案为：92°

(5)ZA=2ZP,

证明如下：,.•/ABC、/AGO的角平分线交于点尸.

/.ZCBP=-ZABC,ZDCP=-ZACD,

22

ZACD=ZABC+ZA,

：.ZACD-ZABC^ZA,

■:NDCP为BCP的一个外角，

ZP=ZDCP-ZCBP=-ZACD--NABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA,

222''2

ZA=2ZP.

【点睛】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性

质是解题的关键.

2.问题情境：

如图1,ASC中，3。平分/ABC,CO平分NACD.

⑴探索发现：

若ZA=60。，则/。的度数为；若44=130。，则/。的度数为

⑵猜想证明：

试判断/A与/。的关系，并说明理由.

(3)结论应用：

如图2,在四边形MNCB中，BD平分NMBC,且与四边形MNCB的外角NNCE的平分线。交

于点D若/私W=130。，ZCNM=100°,则"的度数为.

【答案】(1)30。，65°

(2)ZO=|ZA,理由见解析.

(3)25°

【分析】(1)利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可求解；

(2)利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可证明；

(3)延长即公CN交于点P,在。孙亚中，求得NP,利用(2)的结论即可解决问题.

【详解】(1)解：30平分/ABC,CO平分/ACD,

ZOBC=-ZABC,ZOCD=-ZACD,

22

ZO=ZOCD-ZOBC=-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA,

2222

若ZA=60。，则/0=；ZA=3O。

若NA=130。，贝l]NO=；/A=65。

故答案为：30°；65°

(2)解：NO=；/A

理由如下：

30平分/ABC,CO平分/ACD,

ZOBC=-ZABC,ZOCD=-ZACD,

22

NO=ZOCD-ZOBC=-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA

2222

(3)解：延长3M、CN交于点P,

QZBMN=130°,ZCW=100°,

ZPMN=180°-ZBMN=50°,ZPNM=1800-ZCNM=80°,

...在PMN^P，NP=18Q0—ZPMN—NPNM=50°,

由（1）结论得：ZD=1zJP=1x50°=25°

故答案为：25。

【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质是解

答此题的关键.

过关训练

一、单选题

1.下列四个图中，正确画出ABC中2C边上的高是（）

PC

CD"BCD

【答案】c

【分析】从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的

高，根据三角形的高的定义逐一判断，即可得到答案.

【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点A向2c作垂线，垂足为D,

纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键.

2.如图，在ABC中，边上的高作法正确的是（）

B，

cNB

【答案】D

【分析】ABC中AB边上的高线是过C点作AB的垂线，据此判断即可.

【详解】解：ABC中A5边上的高线是过C点作A8的垂线，四个选项中只有D选项正确,

符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的

顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高.

二、填空题

3.如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数可能是.

【答案】180°、360°、540°

【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1,不变，增加1,三种情况讨论求出所得多边形的

内角和，即可得解.

【详解】解：剪去一个角，若边数减少1,则内角和为：(3-2)•180°=180°,

若边数不变，则内角和为：(4-2)*180°=360°,

若边数增加1,则内角和为：(5-2)«1800=540°,

综上分析可知，四边形剪去一个角，所得多边形内角和的度数可能是180。，360。，540°.

故答案为：180°,360°,540°.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是要注意剪去一个角有三种情况.

4.一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160。，则原多边形的边数

是.

【答案】13或14或15

【分析】先根据多边形的内角和公式(〃-2)・180。求出截去一个角后的多边形的边数，再根

据截去一个角后边数增加1,不变，减少1讨论得解.

【详解】解：设多边形截去一个角的边数为〃，根据题意得：

(n-2)•180°=2160°

解得：77=14.

•••截去一个角后边上可以增加1,不变，减少1,

原多边形的边数是13或14或15.

故答案为13或14或15.

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1,

不变，减少1三种情况.

5.如图，直角三角形ABC中，NC=90。，4MC=70。，点。是8C边上的一点，连接AD,将△ACD

沿AD折叠，使点C落在点E处，当一3/迫是直角三角形时，/CAD的度数为.

【答案】35。或45。/45。或35。

【分析】分两种情况：当/8£»=90。时，根据直角三角形的性质可得NG4D=35。，当NBDE=90。

时，即E在AACB外时，由折叠可得：AE=AC,/£4c=90。，ZADC=ZADE=45°,AD平分NC4E,

即ZCAD=45°.

【详解】解：分两种情况：如图,

①当N3ED=90。时，

由折叠得ZAED=NC=90。，ZCAD=ZEAD,

ZAED+ZS£D=180°,

.♦.A、E、。三点在同一条直线上，点E在A8上时,

ZBAC=1O°

:.ZCAD=-ZBAC=35°

2

②当ZBDE=90。时，即E在A4CB外时，如图，

由折叠可得：

AE=AC,

NC=NAED=90?,/CDE挈?,

/.Z£4C=90°,

ZADC=ZADE=-190?=45?,

2

由折叠的性质可知：AD平分NC4E,

NOW=45°,

ND3E不可能为直角.

故答案为35。或45。.

【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论.熟练掌握折叠的性质、直角三角形

的性质和三角形的内角和等基本知识点.

6.如图，ABC中，ZC=90°,ZA=30°,E,R分别是边AC,A3上的点，连接ER将

△AER沿ER折叠，得到△A£F,当△AEF的边4尸与△ABC的一边平行时，NAER的度数

是

【答案】30。或75。或120°

【分析】分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质可求NAER的度数.

若A的〃时，

：.?MFB?B,

VZC=90°,NA=30°,

：.?BlA^FB60?,

：将^AEF沿EF折叠，得到AAEF,

ZAFE=ZAFE,

：.ZBFE=180°-ZAFE,

：.ZAFE-60°=180°-ZAFE,

：.ZAFE=120°,

AZAEF=180°-120°-30°=30°；

如图2,设A尸与AB交于点H,

若A的〃3c时，

ZBCA=ZFHA=9Q°,

：.ZAFH=180°-ZAHF-ZA=180°-90°-30°=60°,

..•将AAER沿着ER折叠，

/.?AFE?Af/FE30?；

AZAEF=180°-ZA-ZAFE=120°；

如图3,

c

若时，

：.1A!/EB1A30?,

150?,

•.•将△AER沿着ER折叠，

/.ZAEF=ZA'EF=75°；

综上所述：30。或75。或120。.

【点睛】本题是翻折变换，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

7.如图，BAt,4分别是ABC的内角平分线和外角平分线，时,C&分别是...42C的内角

平分线和外角平分线，即，5分别是-BC的内角平分线和外角平分线……以此类推，若

ZA=a,则乙&023=

【答案］

【分析】根据角平分线的性质可得ZACO=ZA+ZABC,/年。=乙M。+4,再根据外角的性

质和三角形内角可得ZACD=ZA+ZABC,4。=幺8。+”,然后等量代换即可.

【详解】解：由题意可得：ZABC=|ZABC,ZAiCD=^ZACD,

,：ZACD=ZA+ZABC,^\CD=N&BC+,

g(ZA+ZABC)=1ZABC+幺，

/.ZA=|ZA,

同理可得乙=；4=^ZAj........

ZA=a,

111

.•.NA=5。，ZA=-a,……乙品23=尹1,

故答案为：了二。•

【点睛】本题考查了几何规律，涉及到角平分线的性质、三角形外角的性质等，灵活运用所

学知识是关键.

三、解答题

8.(1)如图1,在△ADC中，1ADC的平分线和/ACD的外角平分线交于点尸，若

ZADC=70°,ZACD=50。，求/P的度数.

图1图2图3

(2)如图2,在四边形A3CD中，-4OC的平分线和/BCD的外角平分线交于点

P,ZA=90°,4=150。,求NP的度数.

(3)如图3,若将(2)中“ZA=90。，4=150。”改为“乙4=。，〃=?”，其余条件不变，直接

写出/尸与a+6之间的数量关系.

【答案】(1)30°；(2)30°；(3)a+/7=2ZP+180°

【分析】(1)先根据角平分线的定义求出NPDC=35。，NPCE=65。,则由三角形外角的性质可

得NP=ZPCE-NPDC=30°；

(2)如图所示，延长血交CB延长线于R,求出NBAF=90。，则由三角形外角的性质可得

ZF=ZABC-ZBAF=60°,由角平分线的定义可得/PDC=,NPCE=；NFCE,由三角

形外角的性质可得々=；/F=30。；

(3)同(2)求解即可.

【详解】解：(1)TOP平分/APC,

，ZPDC=-ZADC=35°,

2

ZACD=50°,

：.ZACE=180°-ZACD=130°

CP平分/ACM

Z.ZPCE=-ZACE=65°.

2

：.ZP=ZPCE-ZPDC=30°.

图1

(2)如图所示，延长血交CB延长线于R

ZDAB=90°,

：.ZBAF=9Q°,

・.•ZABC=150°9

：.NF=NABC—NBAF=60°,

DP平分NFDC,

二・ZPDC=-ZFDC

29

CP平分NFCE,

：.ZPCE=-ZFCE.

2

•.*NFCE=NF+NFDC,NPCE=NP+NPDC,

：.ZP=ZPCE-ZPDC=-ZF+ZPDC-ZPDC=-ZF=30°；

22

图2

(3)如图所示，延长创交CB延长线于R,

ZDAB=a,

：.ZBAF=180°-ZDAB=180°-cr,

4ABC=/3,

：.NF=ZABC-NBAF=a+/7-180°,

OP平分"DC,

/.ZPDC=-ZFDC,

2

'：CP平分/FCE,

：.ZPCE=-ZFCE.

2

*.•ZFCE=ZF+ZFDC,NPCE=ZP+ZPDC,

/./P=NPCE-NPDC=；NF+NPDC-NPDC=gNF=；(a+0)-90。,

：.a+/3=2ZP+180o.

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数

等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键.

9.【结论探究】如图1,在ABC中，/ABC的平分线3尸与外角/ACD的平分线CP相交于点P,

,?BP平分/ABC,

：.ZPBC=-Z

2----

CP平分NACD,

/.ZPCD^-ZACD.

2

"：ZACD=Z+ZABC,

：.ZA^ZACD-ZABC,

'：ZPCD=ZP+ZPBC,

111

：.NP=NPCD—NPBC=—NACD——Z=-ZA.

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