全等三角形的判定与性质（8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测）（解析版）

第04讲全等三角形的判定与性质（8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测）

命题型目录

题型一图形的全等

题型二全等三角形的概念

题型三全等三角形的性质

题型四用SSS证明三角形全等（SSS）

题型五用SSS间接证明三角形全等（SSS）

题型六用SAS证明三角形全等（SAS）

题型七用SAS间接证明三角形全等（SAS）

题型八尺规作一个角等于已知角

题型九尺规作图-作三角形

题型十用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）

题型H^一用HL证全等（HL）

题型十二添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）

题型十三灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）

题型十四结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）

题型十五倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）

题型十六旋转模型（全等三角形的辅助线问题）

题型十七垂线模型（全等三角形的辅助线问题）

题型十八全等三角形综合问题

中知识梳理

知识点01全等图形

（1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；

（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；

（3）三角形全等的符号。

“全等”用符号“咨”表示.注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上.

（4）对应顶点、对应边、对应角

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.

知识点02全等三角形的性质

C1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；

②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等

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（2）关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对

边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角.

知识点03全等三角形的判定1：边边边（SSS）

文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.

AB=A'B'

符号：在A48c与中，＜ZC=Z'C'，AA8CvA4'3'C'（SSS）

BC=BC

证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中;

③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.

注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.

（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.

用尺规作一个角等于已知角：已知：ZAOB.求作：ZA,OB1=ZAOB.

作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交。/,OB于点C、D；

（2）画一条射线04,以点。‘为圆心，。。长为半径画弧，交。/于点C'；

（3）以点。为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点

（4）过点。'画射线。'8',则

知识点04全等三角形的判定2：边角边（SAS）

文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等;

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BCB'C

图形:

AB=A'B'

符号：在AA8C与A4'5'C'中，＜AA=AA'/^ABC=\A'B'C'（SAS）

AC=A'C'

“S4S”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用.

1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.

2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的

位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的.

知识点05全等三角形的判定3：角边角（ASA）

文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等;

图形：

ZA=ZA'

符号：在A4BC与A/4'5'。中，\AB=A'B':.M.BC=M.'B'C'（ASA）

NB=NB'

1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关

键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化.

2.全等三角形对应边上的高也相等.

知识点06全等三角形的判定4：角角边（AAS）

文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等;

图形:

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AA=AA'

符号：在A/4BC与A/4'B'C'中，\AB=AB'.-.AABC=AA'B'C'（AAS）

BC=BC

1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关

键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化.

2.全等三角形对应边上的高也相等.

知识点07直角三角形全等的判定：HL

文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形

全等（简记：HL）

图形:

AB=A'B'

符号：在RfAABC与RfAA'B'。中,<Rt^ABC=Rt\A'BC（HL）

AC=A'C

方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“血”公理就是直角三角形独有的判定方法.所

以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）

知识点08等三角形的常见辅助线的作法

1）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之

与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分

等类的题目.

2）旋转法，将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。旋转需要特定条件（两个

图形的短边共线）。这种作法和截长补短类似，适合证明线段的和、差、倍、分等类的题目.常见于半角模

型中。

3）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等

变换中的“旋转”.

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4）过端点作另一边的平行线：其目的是构造出一组全等三角形；特点：中线倍长的反向应用

5）向中线作垂线法：过线段两端点向中点处的线段作垂线；目的是构造出一组全等三角形

--Q：典型例题

【典型例题一图形的全等】

1.（23-24八年级上•河南安阳•阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”

是解题的关键.

【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形，

故选C.

2.（22-23七年级下•陕西咸阳•阶段练习）下列各组图形中，是全等图形的是（）

【分析】本题考查全等图形，熟记全等图形的定义：大小和形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的

关键.

根据全等图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A.大小不同，不是全等图形，不符合题意；

B.大小不同，不是全等图形，不符合题意；

C.是全等图形，符合题意；

D.大小不同，不是全等图形，不符合题意；

故选：C.

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3.（22-23七年级下•四川达州•开学考试）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中/。=0.5,BC=1,

则AF=.

【答案】6

【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质

求解即可.

【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，

所以/尸=4/D+42c=4x0.5+4x1=6.

故答案为：6.

【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重

合的对应边.

4.（2023九年级•全国•专题练习）如图，四边形四边形N0。。，若//=110。，ZC=60°,ZD'

=105°,则48=.

【答案】85°

【分析】根据全等图形的性质，ND=ND，,再根据四边形的内角和为360。得到N8.

【详解】解：根据题意得：ND=ND=105。,

〜,ZB=360°-ZA-ZC-ZD=360°-110°-60°-105°=85°

所以，

故答案为：85°

【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键.

5.（22-23八年级上•全国•课后作业）下面各对图形是不是全等图形？为什么？

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（1）边长都是10cm的两个正方形.

（2）如图所示的两件衣服.

【答案】（1）是全等图形；

（2）不是全等图形

【分析】（1）根据全等图形的定义，即可判断；

（2）根据全等图形的定义，即可判断.

【详解】（1）解：边长都是10cm的两个正方形能完全重合，是全等图形；

（2）解：如图的两件衣服，大小不一样，不能完全重合，不是全等图形.

【点睛】本题主要考查全等图形的定义，掌握“能够完全重合的图形叫做全等图形”是关键.

6.（2023八年级上•全国•专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种.

【答案】见解析

【分析】根据全等的性质可进行求解.

【详解】如图所示，（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形

叫全等形.

/【典型例题二全等三角形的概念】

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1.（22-23八年级•全国•课堂例题）说法中正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.两个等边三角形是全等三角形D.周长相等的两个三角形不一定全等

【答案】D

【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分

析判断后利用排除法求解.

【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误；

面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误；

两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误.

长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确；

故选D.

2.（23-24八年级上•广西南宁•期中）如图，△48C四△"）/,N3和C。，和。/是对应边，则的

对应角是（）

A.ACADB.ZDC.ZACDD.NACB

【答案】B

【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件△Z8C*△QM，N3和C。，8c和D4是对应

边，点A与点C对应点，点&与点。是对应点，由此即可得到N3的对应角，理解其概念是解题的关键.

【详解】•.•△ASCg/XCDZ,

...23的对应角是,。，

故选：B.

3.（23-24八年级上•新疆和田•阶段练习）“3C和全等，记作.

【答案】"BC学ADEF

【分析】根据全等符号：也，进行作答即可.

【详解】解：AABC和^DEF全等，记作AABC知DEF，

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故答案为：AABCWDEF.

【点睛】本题考查的知识点是对全等三角形概念的认识，解答的关键是知道全等符号的写法：也，本题属

于基础题型，要求学生能够熟练掌握各数学符号.

4.（22-23八年级上•全国•课后作业）如图，端BC与AB4D全等,可表示为,/C与/。是对应角,

NC与是对应边，其余的对应角是,其余的对应边是.

AB

【答案】AABC沿ABADNCAB与/DBA,/ABC马/BAD4B与BA,BC与AD

【分析】由结合图形可得其余的对应角与对应边.

【详解】解：•.・A/BCgAB/D,/C与/。是对应角，NC与8。是对应边，

.,.其余的对应角是NC43与NDA4,/4BC与/B4D；

其余的对应边是N3与2/,BC与AD.

故答案为：AABC知BAD,/CAB与NDBA,NABC与/B4D,AB与BA,BC与AD

【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的

关键.

5.（22-23八年级上•全国•课后作业）如图，若AADE2ABCE,N1与N2是对应角，/D与是对应边,

写出其他的对应边及对应角.

【答案】/E与3E是对应边，DE与CE是对应边，/£＞与NC是对应角，N/ED与/8EC是对应角.

【分析】根据全等三角形对应边和对应角的定义即可判断.

【详解】解：因为AADE咨ABCE,

所以4E与BE是对应边，

与CE是对应边，

与/C是对应角，

ZAED与NBEC是对应角.

【点睛】本题主要考查全等三角形的对应边和对应角，比较基础，熟练掌握全等三角形对应边和对应角的

定义是解题关键.

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6.（23-24八年级上•陕西延安•阶段练习）如图，八ABC沿八DEB,请写出图中的对应角，对应边.

①/4BC的对应角为（）；②NC的对应角为（）；③//的对应角为（）；④的对应边为（）；

⑤/C的对应边为（）.

【答案】NDEB,NDBE,ND,DE,DB

【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案.

【详解】解：：△48C必DEB,

①/ABC的对应角为ZDEB；

②NC的对应角为NDBE；

③//的对应角为ND;

@AB的对应边为DE；

⑤/C的对应边为。3；

故答案为：NDEB,NDBE,ND,DE,DB.

【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键.

j【典型例题三全等三角形的性质】

1.（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，若AABC2Z\DPE,AC=8,GE=6,则。G的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可.

【详解】解：,:/\ABC"4DPE,

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DE=AC,

VAC=8,GE=6,

:.DG=DE-GE=AC-GE=8-6=2,

故选：A.

2.(23-24七年级上•山东烟台•期中)如图，AABE/AACD,若N8=70。，ZAEB=75°,则/C4E=()

A.75°B.70°C.35°D.5°

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得NC=/8=70。,

ZAEB=ZC+ZCAE即可求解.

【详解】解：•/Z\ABE附△/CD,

二ZC=ZB=70°

；ZAEB=75°

ZCAE=ZAEB-ZC=5°

故选：D

3.（2023•湖南邵阳•三模）如图，若A48C0A48c1，且乙4=110°,贝！I

BCBiC

【答案】110

【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，即可.

【详解】•.•“8C%44G，

N4=ZA,,

•：ZA=110°,

Z4=11O°.

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故答案为：110.

4.（23-24八年级上•河北保定•期末）如图，AABC会ADCE,若4B=6,DE=13,则=:

【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.

［详解】解：：AABC^ADCE,

：.AC=DE=13,CD=AB=6,

：.AD=AC-CD=13-6=1,

故答案为：7.

5.（23-24八年级上•河南安阳•阶段练习）如图，已知△/8C2△OEF.如果GC=4,DF=9,求NG的长.

【答案】5

【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得/C=Db，再由已知条件

GC=4,利用ZC-GC,即可求得/G的长，解题关键是掌握全等三角形的性质.

【详解】解：•.•A/3C四ADEF,

：.AC=DF,

又•：DF=9,

AC=9,

:.AG=AC-GC=9-4=5.

6.（22-23八年级上•山西忻州•阶段练习）如图，已知△4BCWADEF,点C、尸在8E上，BF=5,EF=2.求

尸C的长.

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ED

二

【答案】3

【分析】根据全等三角形的对应边相等解题即可.

【详解】解：丝△£>£尸，

BC=EF=2,

又,：BF=5,

：.CF=BF-BC=5-2=3.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，观察图形，要找出已知与未知线段之间的关系是解题的关键.

【典型例题四用SSS证明三角形全等（SSS）】

1.（23-24八年级上•山东淄博•阶段练习）如图,“3C中，AB=AC,BE=EC,直接使用“SSS”可判定

()

A.LABD出LACDB.AABE%EDC

C.AABE£\ACED.ABED义MED

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：,/AB=AC,BE=EC,AE=AE,

：.AABE^AACE(SSS),

根据现有条件无法直接利用SSS判定△48。之,AABE知EDC,/\BEDqACED,

故选：C.

2.（23-24八年级上•江苏宿迁•期末）如图，AC=AD,BC=BD,这样可以证明―台。丝△48。.其依

据是（）

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D

A.SSSB.SASC.SSAD.ASA

【答案】A

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：：=，BC=BD,AB=AB,

：.△N3C之（SSS）,

故选：A.

3.（23-24八年级上•辽宁盘锦•阶段练习）如图，已知，AB=AC,BD=CD.则可推出____________全等.

【答案】△4BD和答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握利用“SSS”判定三角形全等即可作答.

【详解】证明：在△48。和A/CD中

AB=AC

•：<BD=CD,

AD=AD

；.A/BD丝“CO（SSS）,

故答案为：和A/CD.

4.（23-24八年级上•江苏泰州•期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形

叫格点三角形.除格点AABC外，在网格中可画出与“BC全等的格点三角形共有个.

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【答案】3/三

【分析】利用SSS判定两三角形全等，认真观察图形可得答案.本题考查作图应用与设计作图、全等三角形

的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键.

【详解】解：如图，

图中与"BC全等的格点三角形是，共3个，

故答案为：3

5.（22-23八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，点4B、C、。在同一条直线上，AB=CD,AE=BF,

CE=DF.求证：AAEC色ABFD.

ABCD

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出/C=AD,即可由全等三角形判定定理SSS证

明△4EC2△5FD,掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

【详解】

证：AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

：.AC=BD,

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又,：AE=BF,CE=DF

；."EC咨ABFD（SSS）.

6.（2023・吉林白城•模拟预测）如图，4B=CD,4C=DB.求证：ZA=/D.

【答案】见详解

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键.

直接利用“SSS”证明全等即可.

【详解】证明：AA8C和△OC8中，

•;4B=CD,AC=DB,BC=CB,

AABC^ADCB,

ZA=ZD.

31典型例题五用SSS间接证明三角形全等（SSS）】

1.（22-23八年级上•海南省直辖县级单位•期中）一个三角形的三边长为5,X,14,另一个三角形的三边

长为5,10,y,如果由“SSS”可以判定两个三角形全等，则尤+7的值为（）

A.15B.19C.24D.25

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定方法SSS,即可解答.

【详解】解：,••由“sss”可以判定两个三角形全等，

x=10,y=14,

x+y=10+14=24,

故选：c.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

2.（23-24八年级上•四川巴中•阶段练习）如图，点。、E在线段BC上，AB=AC,AD=AE,BE=CD,

要判定△48。名较为快捷的方法为（）

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A

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到8。=CE是解题的关键.由=推出8D=CE,再根据

AB=AC,AD=AE,三边对应相等，即可求解.

【详解】BE=CD,DEDE,

：.BD=CE,

AB=AC,AD=AE,

AABD^AACE（SSS）.

故选：A.

3.（22-23八年级上•福建厦门•期中）如图，AB,CO相交于点。，AD=CB,请你补充一个条件，使得

△4DB义ACBD,你补充的条件是.

【答案】AB=CD（答案不唯一）

【分析】在A/DB与中，已经有条件：AD=CB,DB=BD,所以补充=C。，可以利用SSS证明两

个三角形全等.

【详解】解：在与△C3O中，

QAD=CB,DB=BD,

所以补充：AB=CD,

LADB学△CBD（SSS）.

故答案为：AB=CD

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.

4.（22-23八年级上•全国•课后作业）已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据

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是.

【答案】SSS

【分析】等边三角形三边相等，按全等三角形的判定定理（SSS）即可作图.

【详解】解：：等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理（SSS）

可得作图.

【点睛】此题考查作图和等边三角形全等的判定，解题关键在于利用全等三角形的判定定理作图

5.（22-23八年级上•广东广州•期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN,BM=DN,AC=BD.求

证：BM//DN.

【分析】根据AC=BD,可得至〕JAB=CD,结合AM=CN,BM=DN,证明出AABM之△CDN,得到/MBA

=ZD,进而证明出BM〃DN.

【详解】证明：；AC=BD,

；.AC+BC=BD+BC,

即AB=CD,

在AABM和4CDN中,

'AB=CD

<BM=DN

AM=CN

.,.△ABM^ACDN（SSS）,

.••ZMBA=ZD,

；.BM〃DN.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定

理，此题难度一般.

6.（23-24八年级上•广东肇庆•期末）如图，C是A8的中点，AD=CE,CD=BE.求证：AACD知CBE.

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A

【答案】证明详见解析.

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用SSS证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判

定方法是解本题的关键.

【详解】证明：是的中点，

AC=BC

在A/CZ）和△C8E中,

AC=BC

<AD=CE,

CD=BE

：."CD-C8E（SSS）.

j【典型例题六用SAS证明三角形全等(SAS)】

1.(23-24八年级上•河南洛阳・期中)下面不是全等三角形判定的基本事实的是()

A.SSAB.SASC.ASAD.SSS

【答案】A

【分析】本题考查的是全等三角形的判定方法的掌握，熟练两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形

不一定全等是解本题的关键.

【详解】解：：SSA不能判定两个三角形全等，

而SAS,ASA,SSS可以判定两个三角形全等；

故选A

2.(23-24八年级上•江西上饶•期中)如图，已知8C,AD=BC,那么判定△4BC的依据是

()

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A.SSSB.ASAC.SASD.AAS

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定.根据SAS,证明三角形全等即可.

【详解】解：：NO/5C,

NBCA=ADAC,

在和ACD/中，

'AD=BC

<NBCA=ADAC,

AC=AC

：.AABC^ACDA（SAS）；

故选c.

3.（23-24七年级下•全国•假期作业）如图，AB=DC.若要直接根据“SAS”说明△N8C,需添加

的条件是.

【解析】略

4.（23-24七年级下•全国•假期作业）如图，小明要测量水池的宽N3,但没有足够长的绳子，聪明的他想了

如下办法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接NC并延长到。，使CD=G4,连接3c并

延长到E,使CE=C3,连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是N3的长，理由是根据（用

简写形式即可），可以得到a/BC名△DEC,从而由全等三角形的对应边相等得出结论.

AE

【答案】SAS（或边角边）

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知CD=C4,CE=CB,ZDCE=ZACB,可用SAS证明

两三角形全等.

第20页共125页

【详解】由题意知CD=C4,CE=CB,

在△Z）CE和。8C中，

CD=CA

<ZDCE=NACB,

CE=CB

:.ADCE知ABC(SAS).

故答案为：SAS.

5.（23-24九年级下•广东广州•阶段练习）如图，小中，。为8C的中点，连接4D并延长到£,使

DE=AD.求证：NC=NEBC.

【答案】见详解

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解决问题的关键

本题直接使用SAS证明即可.

【详解】证明：•.•。为3C的中点，

BD=DC,

'：ZBDE=ZCDA,DE=AD,

二ABDE%C0/(SAS),

：.ZC=ZEBC.

6.（23-24七年级上•山东东营・期中）如图，在△/DC与ABDC中，Zl=Z2,AD=BD,AADC与ABDC全

等吗？说明理由.

【答案】△40c与ABDC全等，理由见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两边及夹角对应相等的两个三角形全等.

第21页共125页

【详解】解：4ADC与ABDC全等,理由如下:

在△4QC和△5QC中，

AD=BD

<Zl=Z2,

CD=CD

.•・△力℃之(SAS).

【典型例题七用SAS间接证明三角形全等（SAS）】

1.（22-23八年级上•湖北武汉•期中）如图，在△49C和△DM中，AB=DE,ABIIDE,运用“S4r判定

△ABC出ADEF,需补充的条件是（)

B./A=NDC.BE=CFD.NACB=NDFE

【答案】C

【分析】证出凡由£4S即可得出结论.

【详解】解：补充BE=CF,理由如下：

,CAB//DE,

：./ABC=ZDEF,

若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求，

若A：AC=DF,构成的是SSA,不能证明三角形全等，A选项不符合要求,

C选项：BE=CF,

"：BE=CF,

:.BC=EF,

在A43C和△£（斯中,

AB=DE

<ZABC=ZDEF,

BC=EF

：.AABC^ADEF(S/S),

第22页共125页

故选：c.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知的判定的特点.

2.（22-23八年级上•云南保山・期中）如图，AB//DC,AB=DC,要使AABD咨ACDB,直接利用三角形全等

【答案】B

【分析】根据两直线平行，内错角相等得出//皿=/。刈，再加上BD=BD,根据全等三角形的

判定定理SAS即可推出0△CD8.

【详解】,：AB//DC,：./4BD=/CDB.

AB=CD

在A4BD和△C£>8中，ZABD=NCDB,：.^ABD^ACDB（SAS）.

BD=BD

故选B.

【点睛】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS.

3.（2023•湖南长沙•中考真题）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB〃DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,

贝"DF=________

【分析】根据题中条件由SAS可得AABC以ADEF,根据全等三角形的性质可得AC=DF=6.

【详解】：AB〃DE,

ZB=ZDEF

VBE=CF,

；.BC=EF,

在AABC和ADEF中，

第23页共125页

AB=DE

<ZB=ZDEF,

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS),

；.AC=DF=6.

考点：全等三角形的判定与性质.

4.(23-24八年级上•吉林松原•期中)如图，为了测量/、8两点之间的距离，在地面上找到一点C,使

ZACB=90°,然后在8C的延长线上确定点。，使BC=C。，那么只要测量出AD的长度就得到/、3两点

之间的距离，其中△N3C*的依据是.

B

【答案】S4S/边角边

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据SAS即可证明ANCB之ANCO是解题的关键.

【详解】解：；6BD,

ZACB=ZACD=90°,

在和“CO中，

"AC=AC

-ZACB=ZACD,

BC=CD

\&ACB知ACD(SAS),

故答案为：SAS.

5.(22-23七年级下•山东济南・期中)如图，点及E、C、尸在一条直线上，AC//DF,AC=DF,BE=CF.求

证：AABC义ADEF.

第24页共125页

【答案】见解析

【分析】由/C〃。下得到N4C3=NDEE,根据BE=C尸可得3C=£尸，又由/C=D/，根据SAS即可证

明AABC^/\DEF.

【详解】证明：〃。厂，

'ZACB=NDFE,

；BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

：.BC=EF,

"：AC=DF,

：.AABC^ADEF（SAS）.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据题意找到证明全等需要的条件是解题的关键.

6.（23-24八年级上•陕西商洛•阶段练习）如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房D,在BD

的中点C处有一棵百年古树，小明从A出发，沿直线/C一直向前经过点C走到点E（4C,E三点在同一条

直线上），并使CE=C4,然后他测得点E与水房。之间的距离是10米，求池塘的长.

E

【答案】10米

【分析】可以利用WS定理证明A/C8发ECD，根据全等三角形的性质可得解题即可.

【详解】为8。中点，

DC=BC,

在ANCB和AEC。中，

CA=CE

<ZBCA=ZDCE,

DC=BC

：.三AECD(SAS),

/3=ED=10米，

第25页共125页

答：池塘AB的长为10米.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是巧妙地借助两个三角形全等，寻找所

求线段与已知线段之间的等量关系.

【典型例题八尺规作一个角等于已知角】

1.（22-23七年级下•全国•课后作业）如图，用直尺和圆规作=,作图痕迹中，弧儿W是（）

A.以点。为圆心，为半径的弧B.以点。为圆心，E尸为半径的弧

C.以点G为圆心，OE为半径的弧D.以点G为圆心，E尸为半径的弧

【答案】D

【分析】本题主要考查了尺规作图一作与已知角相等的角，根据利用边边边判定原理作等角判断即可得到

答案；

【详解】解：由图可得，

,用尺规作出了NPCD=ZAOB,

...弧ACV是以点G为圆心，E尸为半径的弧，

故选：D.

2.（23-24七年级上•河北石家庄•阶段练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容，

下列回答不正确的是（）

如图，已知求作：ZDEF,ZDEF=ZAOB.

作法：①以☆为圆心，任意长为半径画弧，分别交0402于点尸,0；

②作射线EG；并以点E为圆心，。为半径画弧交EG于点

③以点。为圆心，口长为半径画弧交前弧于点尸；

④作△,则/DEF即为所求作的角.

第26页共125页

△表示射线E/

【分析】根据作一个角等于已知角的步骤进行解答即可.此题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作图步

骤是解题的关键.

【详解】解：①以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交0403于点尸,。;

②作射线EG；并以点E为圆心，0P长为半径画弧交EG于点。；

③以点。为圆心，尸。长为半径画弧交前弧于点尸；

④作射线EF，则ZDEF即为所求作的角.

由作图可知，☆表示点。，。表示O尸长，口表示尸。，△表示射线E尸，

故选项B不正确，

故选：B

3.(23-24八年级上•河南周口•期中)用直尺和圆规作一个角等于已知角时，依据判定三角形全等的基本事

实是.

【答案】边边边或(SSS)

【分析】本题主要考查了尺规作图和三角形全等的判定，根据尺规作图的过程判断三角形全等即可得出答

案，解答本题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件.

以点O'为圆心，以08长为半径画弧，交于点。；

以点。为圆心，以长为半径交。'C于点C,连接。，C.

第27页共125页

由作图可知,

O'D=OB

<CD=AB

O'C=OA

：.AOBA%O'DC(SSS).

故答案为：边边边或（SSS）.

4.（23-24七年级下•山东济南•期中）如图，ZDAE=100°,NEAB=65。，根据图中尺规作图的痕迹，可知

ZABC的度数为.

D

B

【答案】35。/35度

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，利用作图得到=利用角的和差关系即可得出

答案.

【详解】解：由作图可知：N4BC=NDAB,

NDAE=100°,NEAB=65°,

二ZABC=ZDAB=NDAE-ZEAB=35°,

故答案为：35°.

5.（23-24八年级上•陕西西安•阶段练习）已知：四边形/BCD,在上求作一点P,使尸C〃4B（用尺

规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查作图一基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图.

【详解】如图，点尸即为所作.

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6.（23-24七年级上•安徽亳州・期末）如图，已知/34D,用直尺和圆规在射线的右侧作NDCP,使得

40日=/240.（不写作法，只需保留作图痕迹）

【分析】本题考查画一个角等于己知角.根据题意利用画已知角的方法即可作出图形.

【详解】解：以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于两点，

再以点C为圆心，同样的长为半径作弧，交AD于Q,再以点。为圆心长为半径作弧，两弧相交点即为

P,连接CP,BPZDCP=ABAD,画图如下：

41典型例题九尺规作图-作三角形】

1.（23-24八年级上•河北石家庄•期中）如图是作A4BC的作图痕迹，则此作图的已知条件为（)

B.已知三边

C.已知两边及夹角D.已知两边及一边夹角

【答案】A

【分析】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识，观察A/BC的作图痕迹，可得此作图的条件.

【详解】解：观察的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：Za,",及线段45,

故已知条件为：两角及夹边，故A正确.

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故选：A.

2.（23-24八年级上•河北承德•期末）已知线段a,c,/a,求作：MBC,使BC=a,AB=c,ZABC=a.

以下是排乱的作图步骤:

正确作图步骤的顺序是（）

A.①②③④B.①③②④C.①③④②D.①②④③

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键.根据基本作图，先作射

线并在射线上截取=a，再作N/BC=a,接着在AD上截取A3=c,最后连接NC即可.

【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取BC=a,再作=接着在5。上截取N3=c,

最后连接NC,

则正确作图步骤的顺序是①③②④，

故选：B.

3.（22-23八年级上•全国•课后作业）已知线段a,b,c,求作“3C,使8c=a,/C=6,48=c.

①以点8为圆心，c的长为半径画弧；

②连接/2,/C；

③作BC=a；

④以点C为圆心，6的长为半径画弧，两弧交于点力.

作法的合理顺序是.

【答案】③①④②

【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以己作的线段的两个端点

为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可.

【详解】解：先作BC=a,再以点3为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，6的长为半径画弧,

两弧交于点力,然后连接则“BC即为所求.

故答案为：③①④②.

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【点睛】本题主要考查了用尺规作图一作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

4.（22-23七年级上•河南濮阳•期中）如图，已知线段a,b,c,求作△/BC,使BC=a,AC=b,AB=c,

下面作法中：①分别以3,。为圆心，c,b为半径作弧，两弧交于点/；②作线段8C=a；③连接/C,

为所求作的三角形.正确顺序应为—.（填序号）

【答案】②①③

【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于己知边的作图步骤作答.

【详解】解：先作线段再分别以3,C为圆心，c,6为半径作弧，两弧交于点力,然后连接/瓦

AC,△NBC为所求作的三角形.

故答案为：②①③.

【点睛】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方

法与步骤的能力.

5.（2023七年级下•上海•专题练习）画/8C,ZB=60°,AB=3cm,8c=4cm.

【答案】见解析

【分析】根据尺规作三角形的方法求解即可.

【详解】如图所示，

解：作48=3cm,

作射线3C,使/8=60。，

以B为圆心，4cm为半径作弧交射线8C于点C,连接NC,

所以“8C即为所求.

【点睛】本题考查了作三角形，掌握全等三角形的性质与判定以及基本作图是解题的关键.

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6.（23-24七年级上•山东烟台・期中）已知：Z«,々，线段c,如图所示.求作：“BC,使乙4=Na,

ZABC=Z/3,AB=2c.（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】图见解析

【分析】考查考查尺规作三角形.根据尺规作线段和作角的方法，作图即可.掌握尺规基本作图是解题的

关键.

【详解】解：如图所示，08c即为所求.

K【典型例题十用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】

1.（22-23八年级上•河南商丘・期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所

学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（)

C.AASD.ASA

【答案】D

【分析】本题考查了利用ASA证明三角形全等的理解，观察图形可得三角形的两角及其夹边，选择答案即

可，理解利用ASA证明三角形全等是解题的关键.

【详解】解：：由图可得三角形的两角及其夹边，

,依据ASA可画出全等的三角形，

故选：D.

2.（23-24七年级下•辽宁沈阳•阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度.他利用适当的工具，使

4B〃CD,BO=OC,点、A、O、。在同一直线上，就能保证△ZBO2△DC。，从而可通过测量CD的长度得

第32页共125页

知小河的宽度在这个问题中，可作为证明△/台。乌△DCO的依据的是（）

A

A.SAS或SSSB.AAS或SSS

C.ASA或AASD.ASA或SAS

【答案】C

【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可.

【详解】根据题意可知AAOB=ZDOC.

•：AB//CD,

：.AABO=ZDCO,ZBAO=ZCDO.

方法一：

在和ADCO中

ZABO=ZDCO

<NBAO=NCDO

BO=CO

：.△48O02\Z>CO（AAS）.

方法二：

在和ADCO中

N4BO=NDCO

<BO=CO

ZAOB=ZDOC

：.A/LBO乡△DCO（ASA）.

故选:C

3.（23-24八年级上•湖南衡阳•期末）如图，已知/O=CO,若以“ASA”为依据证明△火利且△□功,还要

添加的条件是.

第33页共125页

AD

【答案】乙4=/C

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理可直接得出答案.

【详解】解：添加的条件44=NC,

在“05与△COD中，

ZAOB=ZCOD

<AO=CO,

ZA=ZC

AAOB^ACOD(ASA).

故答案为：ZA=ZC.

4.（23-24七年级下•山西太原•阶段练习）如图，太阳光