山西省长治市2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

山西省长治市2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.啦B.板C.V3D.2/

2.一元二次方程x2-2x-l=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数

根D.没有实数根

3.如图，已知。E〃3C,B.DE=^BC,则V4DE与V/3C的对应高线之比为（）.

4.在RtZ\48C中，AABC=90°,//、/B、/C的对边分别为a、b、c,则tan/=（）.

ba_ca

A.—B.—C.-D.一

acab

5.已知方程"2+bx+c=0（aw0）有一个根为1,则°+6+c=（）.

A.1B.-1C.0D.2

6.一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一

次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出3个黄球B.摸出3个红球

C.摸出2个黄球，1个红球D.摸出2个红球，1个黄球

7.如图，一组平行线被直线0、6所截，交点分别为/、B、C、D、E、F,则（）.

试卷第1页，共6页

_AB__D_EBA_B_D_F_AB_ADACDF

BC~DF________AC~EF~BC~~CFAB~DE

8.一元二次方程2--加x+3=0的两根分别为a、x2,若玉+々=4,则x；+x；=().

A.16B.19C.13D.8

9.复印用纸中的4纸对折后成为2张4纸，4纸对折后成为2张4纸，且得到的两个矩

形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长宽之比为().

A.V2:lB.1：V2C.2：1D.1：2

10.如图，在矩形N8CD中，点E在8c边上，连接4E,过点E作跖_L/E交的外

角平分线于点R若43=3,SC=4,BE=\,则跖的长为().

3710

D.V17

2

二、填空题

H.若二次根式岳二T在实数范围内有意义，则x的取值范围是—.

12.关于x的一元二次方程2/+x-左=0有实数根，则后的取值范围是.

13.如图，在VN8C中，Z5=30°,ZC=45°,BC=8,则.

14.锐角V/3C中，4B=8,AC=6,ZB=45°,BC=.

15.如图，在V/BC中，点。是NC的中点，点厂在3。上，连接/尸并延长交8c于点E,

试卷第2页，共6页

若BF:FD=3:l,SC=20,则CE=

三、解答题

16.（1）计算：V18-|V2-V3|+tan60P-+（兀-3.14）°

（2）解方程：3X2-5X+2=0

17.如图，在VABC中，点。是A8边上的一点,连接CD,请添加一个条件，使'ACD^^ABC,

并说明理由.

18.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小

组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀.请认真阅读信息，回答下列问

题：

整理数据：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图.

□:织Cz.nL

数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析:

平均数（分）中位数（分）众数（分）方差优秀率

甲组7.625a74.4837.5%

试卷第3页，共6页

乙组7.6257b0.73c

⑴填空：a=,b=,c=；

(2)从优秀率的角度分析，我认为组成绩较好.

(3)若从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，求恰好选中初赛成绩最高的2

人的概率.

19.如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为0(0,0)、幺(2,1)、5(1,-2).

(1)以原点。为位似中心，在y轴的右侧画出AO4B的一个位似，使它与△048的位

似比为2:1.

(2〉。/百的面积为.

(3)画出将△0/5先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的.

(4)判断A。画与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点跖并写出点M的坐标.

20.阅读下列材料，并解决问题

自然界的设计密码

—黄金比例与叶序现象的完美体现

春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向

可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列(1,1，2,

3,5,8,13,21...).斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金

比例(约0.618).这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象(尸例〃。以xis).

具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能

够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列.通过这种机制，春黄菊的螺旋排

试卷第4页，共6页

列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感.

问题(I)：黄金角是恰好把圆周分成1：0.618的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角

为(精确到0」。).

11-V3Y1

问题(2)：若斐波那契数列的无理数表达形式为75已知89是斐

波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项.

21.研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席

东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的

相关数据.

数据采集：如图，点/是纪念碑顶部一点，力B的长表示点/到水平地面的距离.航模从纪

念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点/的仰角

a4a>=18.4。；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角/NCD=37。，当到达

点/正上方的点E处时，测得/E=9米

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E,A,2三点在同一直线上.请根据上述

数据,计算纪念碑顶部点/到地面的距离4B的长.(结果精确到1米.参考数据：sin37°«0.60,

cos37°»0.80,tan37°a0.75,sin18.4°a0.32,cosl8.4°«0.95,tanl8.4°~0.33)

*"'

/A

C

MB

22.山西特产专卖店销售核桃，进价为40/kg元，按60/kg元出售，平均每天可售出100kg,

后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg,若该专卖店

试卷第5页，共6页

销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

(1)每千克核桃的售价应为多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，该店应按原价的几折出售？

(3)每千克核桃降价多少元时，获利最大？并求出最大利润.

23.已知：如图，在V/8C中，ABAC=90°,AB=3cm,8c=5cm,点尸从点/出发，

沿/C方向匀速运动，速度为lcm/s；同时点。从点C出发，沿方向匀速运动，速度为lcm/s,

设运动时间为，秒，解答下列问题：

(1)当•为何值时，VN2C与△尸QC相似？

(2)是否存在某一■时亥Utf使20尸。•S四边形480P=1：4,若存在，求出，的值；若不存在，请说明

理由.

(3)是否存在某一时刻，使△尸。。为等腰三角形？若存在，请直接写出f的值；若不存在，

请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案CBDDCADCAC

1.C

【分析】本题考查了二次根式.熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.形如后（。20）的

式子是二次根式.

根据二次根式的定义判断作答即可.

【详解】解：由题意知，正，人,2-2不是二次根式，行是二次根式，

：.卜、B、D不符合要求；C符合要求；

故选：C.

2.B

【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当A=〃-4“c=0时，方程有两个相

等实数根；当△=〃-4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当△=〃-4ac<0时，方程无

实数根；该一元二次方程A=4+4=8>0,即有两个不相等实数根，可得答案B.

【详解】解：：一元二次方程X2-2X-1=0,

，判另1J式A=/-4ac=4+4=8>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选B

【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键.

3.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

根据DE〃3C推出AADEs^ABC,再利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：〃夕C,

LADEs-BC,

•：DE=-BC,

3

VADEABC的对应高线之比为1,

故选：D.

答案第1页，共15页

4.D

【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边,

余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.根据题意画出图形，再根据tanN=需解答即可.

ACz

【详解】解：如图所示：RtZiNBC中，/，、NB、NC的对边分别为a、b、c,

5.C

【分析】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键.

将x=l代入方程即可得到关系式的值.

【详解】解：•.•方程依2+乐+。=0（。彳0）有一个根为1,

a+b+c=0,

故选：C.

6.A

【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键.根据不可能事件

的定义判断即可.

【详解】解：A.摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意；

B.摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意；

C.摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意；

D.摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意；

故选：A.

7.D

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的

关键.根据平行线分线段成比例定理得到名=登，当=黑，即可得到答

BCEFACDFABDE

案.

答案第2页，共15页

【详解】解：••・一组平行线被直线。、b所截，交点分别为4、B、。、D、E、F,

,ABDEAB_DEAC_DF

,,茄一育'~AC~^F"~AB~^E"

所以选项A,B,C不正确，选项D正确，

故选：D.

8.C

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得至！Jx；+x；=（玉+、2）2-2再/

3

是解题的关键.先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到再々=3,再由

2

x；+xf=（占+x2）-2%1%2进行求解即可.

【详解】解：.•・关于x的一元二次方程2/_必+3=0的两根分别为3，/，

3

..x{x2=—,

石+%2=4,

二（占+%2）2—2再工2

=42-2X-

2

=13,

故选：C.

9.A

【分析】本题侧重考查相似图形的性质，掌握其性质是解决此题的关键.4纸和4纸相似,

那么4纸和4纸的对应边成比例.设4纸的宽为尤，长为＞，则4的宽为;y,长为无，

再根据相似多边形的性质求解即可.

【详解】解：设4纸的宽为x，长为了，则4的宽为;＞，长为x,

・.♦得到的两个矩形都和原来的矩形相似，

11

y:x=x:—y,即x2=~y2，

:.x:y=l:也,

答案第3页，共15页

y:尤=V2:1,

即4纸的长与宽之比是后：1.

故选：A.

10.C

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌

握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

3

先证明尸，进而求得Gb=—,再利用勾股定理即可求解.

2

【详解】解：过点尸作尸GL8C交于点G,如图，

CF平分NBCD,

：.ZFCG=；x（180。—90。）=45。，

u：FG1BC,

：.ZB=ZFGE=90°,

：.ZFCG=ZCFG=45°,

：.GC=GF,

・・•四边形为矩形，

工ZB=ZBCD=90°,

EFLAE,

：.ZAEF=90°,

:・NBAE+NAEB=90。,ZFEG+ZAEB=90°,

：./BAE=ZFEG,

・・・△ABEs.GF,

.AB_BE

•・茄—谈’

.3二1

••4-l+GF~GF'

答案第4页，共15页

3

解得G/

,EG=EC+GF=-9,

2

由勾股定理，得EF=dEG?+GF。=屈,

故选：C.

1

11.x>-

2

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.

【详解】解：由二次根式用二i在实数范围内有意义可得：

2x-l>0,解得：x>~；

2

故答案为xwg.

2

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关

键.

12.k>——

8

【分析】若方程2x?+x-左=0有实数根，则方程对应的根的判别式大于等于0,据此解答.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程2/+x-左=0有实数根，

.­.12-4X2X(-A:)>0,

解得k;

O

故答案为：k>；

O

【点睛】本题考查的是根的判别式，关键是明白方程有实数根的条件.

13.1673-16

【分析】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值、直角三角形的性

质等，此题比较简单，关键是设出=尤，便于解决此题.先设4D=x,根据/。是2C

边上的高，/C=45。，得出CD=/D=x,再根据BC=8,表示出AD的长，再在

中，根据/3=30。，即可求出x的值，从而得出4D的长，再求出S./BC.

【详解】解：过点/作NO18C,

答案第5页，共15页

vAD1BC,ZC=45°,

CD=AD=x,

Q5C=8,

BD=8—x,

在中，•••=30°,

.-.tan30°=^—,即@=

8-x38-x

x=4^/3—4,

AD=4V3-4，

S“BC=^BC-AD=lx8x(454卜16枢-16,

故答案为：16V3-16.

14.4/+2/2+4近

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

先证得40=8。，利用勾股定理得40=50=4e，CD=yjAC2-AD2=2»即可求解.

【详解】解：过点/作AD工BC交于点

Z5=45°,AD1BC

：./B=NBAD=45。,

：.AD=BD,

由勾股定理，得/笈=3加+4)2=23。2,

答案第6页，共15页

AD=BD=472，

,?AC=6,

CD=yjAC2-AD2=2，

BC=BD+CD=4亚+2，

故答案为：472+2.

15.8

【分析】本题考查三角形中位定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关

键.取的中点G,连接。G,根据三角形中位线性质得EC=2OG,DG〃8C,再证明

2

△BEFSADGF,得BE=3DG,从而求得即可求得答案.

【详解】解：如图，取4E的中点G,连接。G,

:ABEFS^DGF,

,BE_BF

'^G~~DF"

•・.BF:FD=3:1,

/.BE=3DG,

22

EC=-BC=-x20=S.

55

故答案为：8.

2

16.(1)4A/2-1;(2)芭=1,

【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及实数的混合运算.

(1)先化简绝对值，求特殊三角形函数的函数值，计算0指数塞，负指数累，然后去括号,

最后再算加减法；

(2)用因式分解法解一元二次方程即可.

(BY?

【详解】解：(1)V18-|V2-V3|+tan60o-+(TT-3.14)°

答案第7页，共15页

=3A/2-(V3-V2)+V3-2+1

=3近-G+收+百-2+1

=472-1

(2)3--5x+2=0

(x-l)(3x-2)=0

x-l=O或3x—2=0

17.添加乙4cD=/B（答案不唯一），理由见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.利用相

似三角形的判定可求解.

【详解】解：添加N4CD=NB（答案不唯一），

理由如下：

又=N4CD=NB,

：.AACD^AABC.

18.（1）7,5；7；25%

⑵甲

⑶上

10

【分析】本题考查了中位数和众数、概率的计算，熟练掌握中位数、众数和概率的计算是解

题的关键.

（1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可；

（2）比较优秀率解答即可；

（3）根据概率的计算公式计算即可.

【详解】（1）解：：甲组成绩从小到大排列为：3,7,7,7,8,9,10,10,

._7+8__.

・・Q=-------/.J

2f

・・•乙组成绩出现最多的是7分，

:・b=1,

2

优秀率：c=—xl00%=25%,

8

答案第8页，共15页

故答案为：7.5；7；25%.

(2)解：V37.5%>25%,

..•甲组成绩较好，

故答案为：甲.

(3)解：甲组成绩优秀的有：9、10、10,乙组成绩优秀的有：9、9,共5名同学，所有可

能如下：(9,10),(9,10),(9⑼,(9,9),(10,10),(10,,9),(10,9),(10,⑼,(10,9),(9,9),

则从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，共有10种，恰好选中初赛成绩

最高的2人有1种，

.••一,

10

恰好选中初赛成绩最高的2人的概率为《.

19.(1)作图见解析

⑵10

(3)作图见解析

⑷是，(-4,2)

【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本

题的关键.

(1)按要求作图即可；

(2)利用“割补法”即可求解；

(3)按要求作图即可；

(4)连接对应点，对应点所连直线经过同一个点，由交点可得位似中心，从而可得答案.

【详解】(1)解：如图所示，AGU4即为所求.

(2)解：SAOAA=4x6-1x4x2-ix4x2-lx6x2=10,

故答案为：10.

(3)解：如图所示，层即为所求.

答案第9页，共15页

(4)解：•••对应点所连直线经过同一个点,

，由作图可知，AO481与AOzd???是位似二角形,

点"为所求位似中心，点M的坐标为(-4,2).

20.(1)137.5°；(2)55和143

【分析】本题考查了黄金分割的应用，解决本题的关键是熟练掌握黄金分割的概念.

(1)根据黄金角是恰好把圆周分成10618的两条半径的夹角进行计算即可；

(2)设89的前面一项为x,89的后面一项为了,根据斐波那契数列广泛存在于自然界中，

其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，进行计算即可求解.

【详解】解：(1)・••黄金角是恰好把圆周分成1：0.618的两条半径的夹角，

其中较小的黄金角为”1*360。引37.5。，

l.Olo

故答案为：137.5°；

(2)设89的前面一项为x,89的后面一项为了,

V斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，

x=89x0.618b55,y=89+0.618a143,

•••89的相邻两项分别是55和143.

21.点N到地面的距离NB的长约为27米

【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三

角形成为解题的关键.

如图：延长CD交43于点根据矩形的性质得到CM=〃B=20,再解直角三角形得到

C*祟、CH。整;设=无，贝|E"=x+9,然后列关于x的方程求解即可・

【详解】解：如图：延长co交于点石，则四边形CA必”为矩形，

答案第10页，共15页

:.CM=HB=20,

在中，ZAHC=90°,N4C〃=18.4。，

tmZACH=—,

CH

…AHAHAH

CH-------------------~----,

tanZACHtan18.4°0.33

在Rt/\ECH中，NEHC=90°,ZECH=37°,

FH

tan/ECH=——,

CH

.CH=EH_EH=EH

——tanZECH~tan37°~0.75'

设AH=x.

•・・/£=9,

:.EH=x+9,

AB=AH+HB=7.1+20=27.1^27（米）.

答：点4到地面的距离的长约为27米.

夕"

/A

。产厂“

MB

22.（1）54元或56元

（2）九折

（3）每千克核桃降价5元时，获利最大，最大利润为2250元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的

等量关系列出方程.

（1）设每千克核桃降价x元，利用“销售量x每件利润=2240”列出方程求解即可；

（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折；

（3）确定乎和y之间的关系，再利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）解：设每千克核桃应降价x元，

答案第11页，共15页

根据题意，得（60-40-x）^100+|x20j=2240,

解得再=4,x2=6,

.♦.60-4=56（元），