人教版九年级数学上册期末试卷（一）

人教版九年级上册期末试卷（1）

一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个

答案，其中只有一个是正确的）

1.（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3(x+1)2=2(x+1)B.、+2=0C.ax2+bx+c=0D.X2+2X=X21

PA

2.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,将其折叠，使AB边落在对角

线AC上，得到折痕AE,则点E到点B的距离为（）

22

3.（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，

则对角线AC与BD需要满足条件是（）

A.垂直B.相等C.垂直且相等D.不再需要条件

（分）已知点（、（丫、（）都在反比例函数丫=的

4.3A-2,yQB-1,2）C3,y32

X

图象上，则（）

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

5.（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在

的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（）

A.9%B.8.5%C.9.5%D.10%

6.（3分）甲、乙两地相距60km,则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）

与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（）

第1页（共28页）

7.（3分）二次三项式x2-4x+3配方的结果是（）

A.（X-2）2+7B.（x-2）2-IC.（x+2）2+7D.（x+2）2-1

8.（3分）函数y=K的图象经过（1,-1）,则函数y=kx-2的图象是（）

9.（3分）如图，矩形ABCD,R是CD的中点，点M在BC边上运动，E,F分别

是AM,MR的中点，则EF的长随着M点的运动（）

A.变短B.变长C.不变D.无法确定

10.（3分）如图，点A在双曲线y=2上，且OA=4,过A作AC，x轴，垂足为C,

X

OA的垂直平分线交OC于B,则aABC的周长为（）

A.2有B.5C.4行D.V22

二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分）

11.（4分）反比例函数尸些■的图象在一、三象限，则k应满足—.

X

12.（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的1倍,

2

第2页（共28页）

那么边长应缩小到原来的一倍.

13.（4分）已知一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零，则a

的值为—.

14.（4分）已知旦=卜=£_,则a+2b+c=.

5343a+b+2c

15.（4分）如图，双曲线尸&&卉0）上有一点A，过点A作AB_Lx轴于点B,△

X

AOB的面积为2,则该双曲线的表达式为—.

16.（4分）如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,CD^AB于D,若AD=1,BD=4,

则CD=.

17.（4分）如图，在梯形ABCD中,AD〃BC,AC,BD交于点0,SAAOD：SACOB=1：

9,贝!JS^DOC：SABOC=-

18.（4分）如图，在aABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC.若AD=4,

BC

第3页（共28页）

三、解答题：（共9道题，总分88分）

19.（8分）解方程

（1）2x2_2扬-5=0；

（2）（y+2）2=（3y-1）2.

20.（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m,某一

时刻AB在阳光下的投影BC=3m.

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算

DE的长.

21.（10分）如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点

作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.

（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当^ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.

22.（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字工，1,1的卡片，乙同学

24

手中藏有三张分别标有1，3,2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任

取一张卡片，并将它们的数字分别记为a,b.

（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.

（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a,b能使得ax2+bx+l=0有两个不

相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你

用概率知识解释.

23.（10分）如图，分别以RgABC的直角边AC及斜边AB向外作等边4ACD及

第4页（共28页）

等边^ABE,已知：NBAC=30°,EF±AB,垂足为F,连接DF.

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.

24.（10分）如图，已知A（-4,n）,B（2,-4）是一次函数y=kx+b的图象

和反比例函数行史的图象的两个交点；

X

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;

（3）求不等式kx+b-我<0的解集（请直接写出答案）.

25.（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可

售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措

施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售

出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

26.（10分）如图，Pi、P2是反比例函数修（k>0）在第一象限图象上的两点,

X

点Ai的坐标为（2,0）,若△PQAi与△P2A1A2均为等边三角形.

（1）求此反比例函数的解析式；

（2）求A2点的坐标.

第5页（共28页）

27.（12分）如图，在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,动点E（与点A,C不重

合）在AC边上，EF〃AB交BC于F点.

（1）当4ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；

（2）当4ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；

（3）试问在AB上是否存在点P,使得4EFP为等腰直角三角形？若不存在，请

简要说明理由；若存在，请求出EF的长.

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参考答案与试题解析

一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个

答案，其中只有一个是正确的）

1.（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3(x+1)2=2(x+1)B.2=0C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-1

x2AV

【考点】一元二次方程的定义.

【分析】一元二次方程有四个特点:

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）是整式方程.

（4）二次项系数不为0.

【解答】解：

A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x-4=0,是一元二次方程，故正确;

B、方程不是整式方程，故错误；

C、若a=0,则就不是一元二次方程，故错误；

D、是一元一次方程，故错误.

故选:A.

【点评】判断一个方程是不是一元二次方程：

首先要看是不是整式方程；

然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

这是一个需要识记的内容.

2.（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,将其折叠，使AB边落在对角

线AC上，得到折痕AE,则点E到点B的距离为（

BEC

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A.』B.2C.AD.3

22

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质.

【专题】几何图形问题.

【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF,BE=EF,设出未知数，在RtaEFC中利

用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案.

【解答】解：设BE=x,

VAE为折痕，

.•.AB=AF,BE=EF=X,ZAFE=ZB=90",

RtAABC中，AC=^+2=^22+^2=5,

.,.Rt/XEFC中,FC=5-3=2,EC=4-X,

/.（4-x）2=x2+22,

解得x=2.

2

故选A.

【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量

是正确解答题目的关键.

3.（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，

则对角线AC与BD需要满足条件是（）

A.垂直B.相等C.垂直且相等D.不再需要条件

【考点】中点四边形.

【分析】因为菱形的四边相等，再根据三角形的中位线定理可得，对角线AC与

BD需要满足条件是相等.

【解答】解：•••四边形EFGH是菱形，

EH=FG=EF=HG=1BD=1TXC,故AC=BD.

22

故选B.

第8页（共28页）

D

G

【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质.解题的关键

在于牢记有关的判定定理，难度不大.

4.（3分）已知点A（-2,yi）、B（-1,丫2）、C（3,y3）都在反比例函数y=8的

X

图象上，则（）

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可.

【解答】解：..3〉。，函数图象在一，三象限，由题意可知，点A、B在第三象

限，点C在第一象限，

•••第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，

丫3最大，

•••在第三象限内，y随x的增大而减小，

yz<yi.

故选：D.

【点评】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各

点是否在同一象限内.在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一

象限内，按坐标系内点的特点来比较.

5.（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在

的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（）

A.9%B.8.5%C.9.5%D.10%

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】增长率问题.

第9页（共28页）

【分析】设平均每次降价的百分数是X,则第一次降价后的价格是100（1-X）,

第二次降价后的价格是100（1-x）（1

-x）,根据“现在的售价是81元”作为相等关系列方程求解.

【解答】解：设平均每次降价的百分数是x,依题意得100（1-x）2=81,

解方程得xi=0.1,X2=1.9（舍去）

所以平均每次降价的百分数是10%.

故选D.

【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题.若设变化前的量为a,变化后

的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a（l±x）2=b.（当

增长时中间的"±"号选"+",当降低时中间的"土"号选"-"）

6.（3分）甲、乙两地相距60km,则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）

与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（）

【考点】反比例函数的应用.

【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取

值范围即可进行判断.

【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数

关系式为：丫=毁（x>0）,所以函数图象大致是B.

X

故选B.

【点评】主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关

系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范

第10页（共28页）

围作图.

7.（3分）二次三项式x2-4x+3配方的结果是（）

A.（X-2）2+7B.（X-2）2-IC.（x+2）2+7D.（x+2）2-1

【考点】配方法的应用.

【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数

-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1,然后再按完全平方公式进行

计算.

【解答】解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1.

故选B.

【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1,然后将常数

项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方.

8.（3分）函数y=K的图象经过（1,-1）,则函数y=kx-2的图象是（）

【考点】一次函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】待定系数法.

【分析】先根据函数y=k的图象经过（1,-1）求出k的值，然后求出函数y=kx

X

-2的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答.

【解答】解：•••图象经过（1,-1）,

/.k=xy=-1,

•••函数解析式为y=-x-2,

所以函数图象经过（-2,0）和（0,-2）.

故选A.

【点评】主要考查一次函数y=kx+b的图象.当k<0,b<0时，函数y=kx+b的

图象经过第二、三、四象限.

第11页（共28页）

9.（3分）如图，矩形ABCD,R是CD的中点，点M在BC边上运动，E,F分别

是AM,MR的中点，则EF的长随着M点的运动（）

A.变短B.变长C.不变D.无法确定

【考点】三角形中位线定理；矩形的性质.

【专题】压轴题；动点型.

【分析】易得EF为三角形AMR的中位线，那么EF长恒等于定值AR的一半.

【解答】解：：E,F分别是AM,MR的中点，

...EF=LXR,

2

••・无论M运动到哪个位置EF的长不变，故选C.

【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质.

10.（3分）如图，点A在双曲线y=2上，且OA=4,过A作AC，x轴，垂足为C,

X

OA的垂直平分线交OC于B,则^ABC的周长为（）

A.2A/TB.5C.4V?D.V22

【考点】反比例函数综合题.

【专题】综合题；压轴题；数形结合.

【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB,由此推出^ABC的周长=OC+AC,

设OC=a,AC=b,根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组

ab二6

2,解之即可求出^ABC的周长.

22

la+b=4

【解答】解：：OA的垂直平分线交OC于B,

第12页（共28页）

，AB二OB,

「•△ABC的周长=OC+AC,

设OC=a,AC=b,

（

则nil：\ab2=622^

[a2+b2=42

解得a+b=2/y,

即aABC的周长=OC+AC=2/F.

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合

应用，关键是一个转换思想，即把求^ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问

题.

二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分）

11.（4分）反比例函数尸些■的图象在一、三象限，则k应满足k>-2.

X

【考点】反比例函数的性质.

【分析】由于反比例函数泮1的图象在一、三象限内，则k+2>0,解得k的取

X

值范围即可.

【解答】解：由题意得，反比例函数厂至2的图象在二、四象限内，

X

则k+2>0,

解得k>-2.

故答案为k>-2.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=K（kWO）中k的取值，

X

①当k>0时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当k<0时，反比例函数的

图象位于二、四象限.

12.（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的2倍,

2

那么边长应缩小到原来的电倍.

2

第13页（共28页）

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.

【解答】解：•.•改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的1倍，

2

边长应缩小到原来的返倍.

2

故答案为：返.

2

【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是

解题的关键.

13.（4分）已知一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零，则a

的值为-4.

【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相

等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程

即可求得a的值.

【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0,

可得a2+3a-4=0,

解得a=-4或a=l,

•••二次项系数a-1#0,

二.a¥1,

a=-4.

故答案为：-4.

【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方

程成立的条件a-1#0,因此在解题时要重视解题思路的逆向分析.

14.（4分）已知娶旦=£,则&+2b+c=丝.

5343a+b+2c

【考点】比例的性质.

【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式

中，化简即可得到结果.

第14页（共28页）

【解答】解：设委也■=£=%

534

.*.a=5k,b=3k,c=4k,

•a+2b+c=5k+6k+4k=15k=15

…3a+b+2c-15k+3k+8k-261T26，

故答案为：11.

26

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

15.（4分）如图，双曲线产上&0。）上有一点A,过点A作AB，x轴于点B,△

X

AOB的面积为2,则该双曲线的表达式为v=-4.

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【专题】压轴题；数形结合.

【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据求

kSAAOB=2

出k的值即可.

【解答】解：•••反比例函数的图象在二、四象限，...k<o,

SAAOB=2,.*.|k|=4,k=-4,即可得双曲线的表达式为:y=-―,

X

故答案为：y=-A.

X

【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意

一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是

且保持不变.

2

16.（4分）如图，在RtZkABC中，NACB=90。，CD，AB于D,若AD=1,BD=4,

则CD=2.

第15页（共28页）

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】首先证△ACDs^CBD,然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD

的长.

【解答】解：Rt^ACB中，NACB=90°,CD±AB；

AZACD=ZB=90°-NA；

又：NADC=NCDB=90°,

/.△ACD^ACBD；

.*.CD2=AD»BD=4,即CD=2.

【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质.

17.（4分）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AC,BD交于点O,SAAOD：SACOB=1：

9,则SADOC：SABOC=1：3.

【考点】相似三角形的判定与性质；梯形.

【专题】压轴题.

【分析】根据在梯形ABCD中，AD/7BC,AC,易得△AODs^cOB,且S^AOD：S

△COB=1：9,可求电1则SAAOD：SADOC=1：3,所以S^DOC：SABOC=1：3.

OC3

【解答】解：根据题意，AD〃BC

/.△AOD^ACOB

SAAOD：SACOB=1：9

AO.1

0C--3

则SAAOD：SADOC=1：3

所以SADOC：SABOC=3：9=1：3.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的

第16页（共28页）

平方.

18.(4分)如图，在aABC中，点D、E分别在AB、AC±,DE〃BC.若AD=4,

DB=2,则迈的值为3.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】由AD=3,DB=2,即可求得AB的长，又由DE〃BC,根据平行线分线段

成比例定理，可得DE：BC=AD：AB,则可求得答案.

【解答】解：VAD=4,DB=2,

，AB=AD+BD=4+2=6,

：DE〃BC,

△ADE^AABC,/.AD__DE_£_2_,

AB-BC6-3

故答案为：z.

3

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题比较简单，注意掌握比例线

段的对应关系是解此题的关键.

三、解答题：(共9道题，总分88分)

19.(8分)解方程

(1)2x2_2扬-5=0；

(2)(y+2)2=(3y-1)2.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【分析】(1)利用求根公式计算即可；

(2)利用因式分解可得到(4y+l)(3-2y)=0,可求得方程的解.

【解答】解：

(1)'."a=2,b=-2./2>c=-5,

第17页(共28页)

.*.△=(-2圾)2-4X2X(-5)=48>0,

•••方程有两个不相等的实数根，

)屈_&±

••A----------2--7--2----±-----------------2--a--,

_2X22

即丫］=&+2立勺立二叵,

22

(2)移项得(y+2)2-(3y-1)2=0,

分解因式得(4y+l)(3-2y)=0,

解得yi=-―，Y2=—.

42

【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解

题的关键.

20.(8分)已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m,某一

时刻AB在阳光下的投影BC=3m.

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算

DE的长.

L1

【考点】平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定.

【专题】计算题；作图题.

【分析】(1)根据投影的定义，作出投影即可；

(2)根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系延二邑计

DEEF

算可得DE=10(m).

【解答】解：(1)连接AC,过点D作DF〃AC,交直线BC于点F,线段EF即为

DE的投影.

(2)：AC〃DF,ZACB=ZDFE.

VZABC=ZDEF=90"AAABC^ADEF.

第18页(共28页)

AAB工金.•.DE=10(m).

DE-EFDE-6

说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF,再连接

EF即可.

【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比

例.要求学生通过投影的知识并结合图形解题.

21.(10分)如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点

作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.

(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)当aABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.

【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等求出NAFE=NDCE,然后利用“角角边"

证明4AEF和ADEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD,再利用等量

代换即可得证；

(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平

行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知NADB=90。，由等腰

三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC.

【解答】解：(1)BD=CD.

理由如下：依题意得AF〃BC,.*.ZAFE=ZDCE,

是AD的中点，；1£=口£,

第19页(共28页)

在AAEF和ADEC中，

'/AFE=/DCE

<NAEF=NDEC，

,AE=DE

/.△AEF^ADEC(AAS),...AF=CD,

VAF=BD,.*.BD=CD；

(2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形.

理由如下：：AF〃BD,AF=BD,.,.四边形AFBD是平行四边形，

VAB=AC,BD=CD(三线合一)，，NADB=90°,，口AFBD是矩形.

【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定,

是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.

22.（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字工，1,1的卡片，乙同学

24

手中藏有三张分别标有1，3,2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任

取一张卡片，并将它们的数字分别记为a,b.

（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.

（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a,b能使得ax2+bx+l=0有两个不

相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你

用概率知识解释.

【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的

结果；

（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用

概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏

规是否公平.

【解答】解：（1）ffll树状图得：

第20页（共28页）

•••(a,b)的可能结果有(［，1)、(1,3)、(1,2)、(1,1)、(1,3)、(1,

222444

2)、(1,1)、(1,3)及(1,2),

I.(a,b)取值结果共有9种；

(2)*.*当a=—,b=l时，A=b2-4ac=-l<0,此时ax2+bx+l=0无实数根,

2

当a=_L,b=3时，442-4ac=7>0,此时ax2+bx+l=O有两个不相等的实数根，

2

当a=L,b=2时，A=b2-4ac=2>0,此时ax2+bx+l=O有两个不相等的实数根,

2

当a=—,b=l时，A=b2-4ac=0,此时ax2+bx+l=0有两个相等的实数根，

4

当a=L,b=3时，442-4ac=8>0,此时ax2+bx+l=O有两个不相等的实数根，

4

当a=L,b=2时，442-4ac=3>0,此时ax2+bx+l=O有两个不相等的实数根，

4

当a=l,b=l时，A=b2-4ac=-3<0,此时ax2+bx+l=O无实数根，

当a=l,b=3时,A=b2-4ac=5>0,此时ax2+bx+l=O有两个不相等的实数根,

当a=l,b=2时,A=b2-4ac=0,此时ax2+bx+l=O有两个相等的实数根，

.--P(甲获胜)=P(A>0)=$>P(乙获胜)=&,

99

•••这样的游戏规则对甲有利，不公平.

开始

1

甲11

24

/N/N

32132132

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的

概率，概率相等就公平，否则就不公平.

23.(10分)如图，分别以RQABC的直角边AC及斜边AB向外作等边4ACD及

等边AABE,已知：NBAC=30°,EF±AB,垂足为F,连接DF.

(1)试说明AC=EF；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.

第21页(共28页)

【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质.

【分析】(1)首先由Rt^ABC中，由NBAC=30。可以得到AB=2BC,又由4ABE是

等边三角形，EFXAB,由止匕得至UAE=2AF,并且AB=2AF,然后证得^AFE之4BCA,

继而证得结论；

(2)根据(1)知道EF=AC,而^ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD,并且AD

±AB,而EFLAB,由此得到EF〃AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四

边形ADFE是平行四边形.

【解答】证明：(1),.,内△ABC中,ZBAC=30",

.,.AB=2BC,

又•.,△ABE是等边三角形，EFXAB,

.\AB=2AF

.•.AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

(AF=BC；

lAE=BA，

ARtAAFE^RtABCA(HL),

，AC=EF；

(2)•••△ACD是等边三角形，

ZDAC=60°,AC=AD,

ZDAB=ZDAC+ZBAC=90°

XVEFlAB,

.♦.EF〃AD,

VAC=EF,AC=AD,

，EF=AD,

・•.四边形ADFE是平行四边形.

第22页(共28页)

【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判

定与性质.注意证得RtaAFETRt^BCA是关键.

24.(10分)如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象

和反比例函数严的图象的两个交点；

X

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;

(3)求不等式kx+b-皿＜0的解集(请直接写出答案).

X

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】计算题；压轴题；待定系数法.

【分析】(1)把A(-4,n),B(2,-4)分别代入一次函数y=kx+b和反比例

函数y=2,运用待定系数法分别求其解析式；

X

(2)把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计

算；

(3)由图象观察函数y=2的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范

X

围.

【解答】解：(1)VB(2,-4)在丫=史上,

X

/.m=-8.

...反比例函数的解析式为y=-苴.

X

•.•点A(-4,n)在y=一当上，

X

An=2.

第23页(共28页)

?.A(-4,2).

：y=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4),

.f-4k+b=2

'(2k+b=-4'

解之得

k=-1

b=-2

一次函数的解析式为y=-x-2.

(2)：(：是直线AB与x轴的交点，

当y=0时，x=-2.

.•.点C(-2,0).

：.OC=2.

：.SAAOB=SAACO+SABCO=A-X2X2+lx2X4=6.

22

(3)不等式kx+b-皿<0的解集为：-4Vx<0或x>2.

X

【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k,求出函数解析

式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积.同时

间接考查函数的增减性，从而来解不等式.

25.(10分)某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可

售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措

施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售

出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】经济问题；压轴题.

【分析】等量关系为：(原来每张贺年卡盈利-降价的价格)X(原来售出的张

数+增加的张数)=120,把相关数值代入求得正数解即可.

【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是(0.3-x)元，则商城多

售出100x4-0.1=1000x张.

(0.3-x)(500+1000X)=120,

第24页(共28页)

解得Xi=-0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1.

答：每张贺年卡应降价0.1元.

【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决

本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键.

26.（10分）如图，Pi、P2是反比例函数修（k>0）在第一象限图象上的两点,

X

点Ax的坐标为（2,0）,若△PiOAi与△P2A1A2均为等边三角形.

（1）求此反比例函数的解析式；

（2）求A2点的坐标.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；等

边三角形的性质.

【分析】（1）首先作PiBLOAi于点B,由等边△PQAi中，OAi=2,可得OB=1,

PiB=«,继而求得点％的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的

解析式；

（2）首先作P2C