人教版九年级数学重难点专项突破：旋转之“费马点”模型（13种题型）（原卷版+解析）

重难点专项突破06旋转之“费马点”模型13种题型

【知识梳理】

如图，以△ABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外

面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P,点

P就是原三角形的费马点.

最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而

来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

【考点剖析】

--一元一次方程的应用（共1小题）

1.（2020春•江北区期末）如图，己知直线A8与直线CD相交于点。，NBOE=90°,OF平分NBOD,Z

BOC-.ZAOC=1：3.

（1）求/DOE,NC。尸的度数；

（2）若射线。凡OE同时绕。点分别以2°Is,4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线。£,。尸的夹

角为90°时，两射线同时停止旋转.设旋转时间为试求t值.

二次函数综合题（共1小题）

2.（2018秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数y=/+bx-8的图象与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C,直线y=fcv+£（kWO）经过点A,与抛物线交于另一点R,已知0C=2O4,OB=

3OA.

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1,若点尸是x轴下方抛物线上一点，过点P作尸于点X,过点尸作「。〃左轴交抛物

线于点。，过点、P作PH'6轴于点"，K为直线PH'上一点，且PK=2«PQ,点/为第四象限内

一点，且在直线P。上方，连接/尸、IQ、IK,记/=3^PH-/P。，m=IP+IQ+IK,当/取得最大值时，

求出点尸的坐标，并求出此时机的最小值.

（3）如图2,将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M,过点M作MNLx轴，交抛物线于点

N,动点。为x轴上一点，连接M£）、DN,再将△MDN沿直线翻折为（点M、N、D、N'

在同一平面内），连接⑷V、AN'、NN',当△AMV'为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

三.全等三角形的判定与性质（共1小题）

3.（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以A8

为一边向外作等边三角形△ABE,将绕点8逆时针旋转60°得到BN,连接EN.

（1）求证：AAMB^AENB；

（2）若AM+8M+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点，试求此时/

AMB、/BMC、ZCMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的A3、AC为

一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为则点M即为△ABC的费马点.试说

明这种作法的依据.

四.角平分线的性质（共1小题）

4.（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点尸满足/AP8=/BPC=/CB4=120°,则称P为4

ABC的费马点.如图所示，在△ABC中，己知/A4c=45°,设P为△ABC的费马点，且满足/P8A=

45°,PA=4,则△E4C的面积为.

A

五.等腰三角形的判定与性质（共1小题）

5.（2017秋•义乌市月考）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫

△ABC的费马点（%>"也？山加）.已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当NAPB=NAPC=

ZBPC=120°Hf,P就是△ABC的费马点.若点尸是腰长为血的等腰直角三角形。EF的费马点，则

PD+PE+PF^（）

A.2MB.1+73C.6D.3M

六.等边三角形的性质（共1小题）

6.（2014秋•厦门期中）如图（1）,尸为△ABC所在平面上一点，且/4尸8=48尸。=/。4=120°,则点

尸叫做△ABC的费马点.

如图（2）,在锐角△ABC外侧作等边△ACB'连接88'.

求证：BB'过△ABC的费马点P,且38'=PA+PB+PC.

图(2)

七.等腰直角三角形（共1小题）

7.（2020•崇州市模拟）如果点尸是AABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则尸点叫^

A8C的费马点.已经证明：在三个内角均小于120°的△A8C中，当/APB=NAPC=N8PC=120°时，

P就是AABC的费马点.若点P是腰长为我的等腰直角三角形DEF的费马点，贝UPD+PE+PF

八.三角形综合题（共2小题）

8.（2023春•渠县校级期末）如图1,D、E、尸是等边三角形ABC中不共线三点，连接A。、BE、CF,三

条线段两两分别相交于。、E、F.已知A_F=8。，ZEDF=6Q°.

（1）证明：EF=DF；

（2）如图2,点M是瓦）上一点，连接CM,以CM为边向右作△CMG,连接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,ZGMC=ZGEC,证明：CG=CM.

（3）如图3,在（2）的条件下，当点M与点。重合时，若COLA。，G£）=4,请问在△AC。内部是否

存在点尸使得尸到△AC。三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试

说明理由.

9.(2017秋•祁江区期末)背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马

点

如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点尸在△A8C内部，此时

120°,此时，朋+P8+PC的值最小.

解决问题：

(1)如图②，等边△A8C内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求NAPB的度

数.

为了解决本题，我们可以将△A2P绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACPSABP,这样就可以利

用旋转变换，将三条线段抬，PB,PC转化到一个三角形中，从而求出/AP8=；

基本运用：

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,尸为8C上的点，且/EAE=45°,判断BE,EF,FC

之间的数量关系并证明；

能力提升：

（3）如图④，在RtZvlBC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,点尸为Rt^ABC的费马点，连接

AP,BP,CP,求24+PB+PC的值.

图③图⑷

九.正方形的性质（共1小题）

10.（2020•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形A2CZ）中，点M,N分别为A3、BC上的动点,

且始终保持8M=CN.连接MN,以MN为斜边在矩形内作等腰RtaMNQ,若在正方形内还存在一点P,

则点P到点A、点。、点。的距离之和的最小值为.

一十.四边形综合题（共1小题）

11.（2023•桐城市校级开学）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和

最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.

【基础巩固】

（1）如图1,在等腰Rt^ABC中，NA4c=90°,为BC边上的高，已知上一点E满足NOEC

=60°,AC=4&，AE+BE+CE=；

【尝试应用】

（2）如图2,等边三角形ABC边长为k/5,E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°

得到三角形AFG,连接ER请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

（3）如图3,在菱形ABC。中，过AB的中点E作AB垂线交的延长线于点R连接AC、DB,已知

ZBDA=15°,AB=6,求三角形APB“最近值”的平方.

一十一.轴对称-最短路线问题（共2小题）

12.（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角

（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足乙4尸8=/8~7=/81=120°.（例如：等

边三角形的费马点是其三条高的交点）.若4B=AC=夜,8C=2M，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC

=；若A8=2娟，BC=2,AC=4,尸为△ABC的费马点，贝!]PA+PB+PC=.

13.（2019秋•开福区校级月考）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P,使它到三角形顶点的距离

之和最小.人们称这个点为费马点，此时B4+PB+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角△ABC中，

费马点尸满足/4尸8=/8小7=/（7以=120°,如图，点P为锐角△ABC的费马点，且必=3,PC=4,

ZABC=60°,则费马距离为.

一十二.旋转的性质（共4小题）

14.（2023春•城关区校级期中）如图，在△ABC中，ZCAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'

C的位置，使CC'//AB,则旋转角的度数为（)

A.40°B.30°C.50°D.65°

（多选）15.（2023春•临胸县期中）如图，将一副三角板按如图方式叠放在一起，保持三角板A8C不动,

将三角板DCE的CE边与C4边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度.当这两块

二角板各有一条边互相平行时，NACE的度数可能是（）

A.45°B.90°C.120°D.135°

16.（2022秋•大冶市期末）如图，。是等边三角形ABC外一点，连接ADBD,CD,已知BD=8,CD=

3,则当线段的长度最小时，

®ZBDC=；

②4。的最小值是.

17.（2022秋•洪山区校级期中）如图，以等边△ABC的一边BC为底边作等腰△BCD已知4B=3，CD=BD=

且N8OC=120°,在△BCD内有一动点P,贝！JP8+PC+P。的最小值为.

A

一十三.几何变换综合题（共1小题）

18.（2023春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点A,点8分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA

=OB,△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为NAOB平分线上的动点，将OM绕点。逆时针

旋转60°得至UON,连接CN,AM,BM.

（1）求证：四△CNO；

（2）若A点坐标为（0,4）；

①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标；

②当AM+8M+0M的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由.

重难点专项突破06旋转之“费马点”模型13种题型

【知识梳理】

如图，以△ABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外

面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P,点

P就是原三角形的费马点.

最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而

来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

【考点剖析】

--一元一次方程的应用(共1小题)

1.(2020春•江北区期末)如图，已知直线A8与直线CD相交于点O,ZBOE=90°,。/平分/B。。，Z

BOC：ZAOC^l：3.

(1)求NDOE,NCOI的度数;

(2)若射线。凡OE同时绕。点分别以2°Is,4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线。£,。尸的夹

角为90°时，两射线同时停止旋转.设旋转时间为3试求t值.

E

C

A_________B

D

【分析】（1）根据平角的定义和/BOC：ZAOC=1：3可求NBOC的度数，根据对顶角相等可求/A。。

的度数，根据角的和差关系可求出的度数，根据平角的定义和角平分线的定义可求NB。尸的度

数，根据角的和差关系求出/COP的度数；

（2）先求出/EOF的度数，再根据射线。£、。产的夹角为90°,列出方程求解即可.

【解答】解：（1）,/ZBOC：ZAOC^l：3,

AZBOC=180°X-A_=45°,

1+3

...NAOO=NBOC=45°,

:NBOE=90°,

?.ZAOE=90°,

ZDOE^ZAOE+ZAOD^90°+45°=135°,

ZBOD=180°-ZAOZ）=180°-45°=135°,

平分NB。。，

.•.ZBOF=AzBOD=Axi35°=67.5°,

22

/.ZCOF=ZBOC+ZBOF=45°+67.5°=112.5°；

（2）ZEOF^ZEOB+ZBOF^90°+67.5°=157.5°,

根据题意得：4r-2t=157.5-90,

解得:f=33.75,

答：，的值为33.75s.

【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，解题的关键是根据题中等量关系列出方程.

二次函数综合题（共1小题）

2.（2018秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数丫=”^+公-8的图象与x轴交于4、2两

点，与y轴交于点C,直线y=fcv+£（kWO）经过点A,与抛物线交于另一点R,已知。C=2OA,OB=

3OA.

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1,若点尸是无轴下方抛物线上一点，过点P作尸于点X,过点尸作「。〃左轴交抛物

线于点。，过点尸作「打,”轴于点〃，K为直线PH'上一点，且PK=2FP0,点/为第四象限

内一点，且在直线尸。上方，连接/P、IQ、IK,记/=号强千。,m=IP+IQ+IK,当/取得最大值时，

求出点尸的坐标，并求出此时机的最小值.

(3)如图2,将点A沿直线4R方向平移13个长度单位到点M,过点M作尤轴，交抛物线于点

N,动点。为x轴上一点，连接M。、DN,再将△MDN沿直线翻折为(点M、N、D、N'

在同一平面内)，连接AN、AN'>NN',当LANN为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

【分析】(1)令二次函数x=0,解出C点坐标(0,-8),根据已知条件可知点A(-4,0)点、B(12,

0).代入解析式从而求得抛物线和直线解析式.

(2)设点尸坐标的横坐标为p,求出对称轴为直线尤=4,根据对称性求出点。的坐标，从而求出尸。的

长度，延长PK交直线4R与点利用一次函数解析式求出点M的坐标，PM线段长可表示，利用△

PHMs^AEO,求出尸8的长度，则/可用点p的代数式表示，从而求得最大值，点尸坐标也可求出，

由MI=/P+/Q+/K求其最小值可知，点/为△PQK的“费马点”.

(3)由点A平移13个单位可知点M的坐标，则点N的坐标可求为(8,-8)可求⑷V的长度，的

长度为13,因为翻折可知MN'的长度也为13,则M在以点M为圆心13个单位长度为半径的圆上运

动，再利用等腰三角形求出点。的坐标.

【解答】解(1):产/+法-8与y轴的交点为C,令x=0,y=-8

.,.点C(0,-8)

OC=8

VOC=2OA,OB=3OA

：.OA=4,OB=n

：.A(-4,0)B(12,0)

将点A代入直线解析式可得0=-必+竺

3

解得k=2

12

将点A和点B代入抛物线中

<f0=16a-4b-8

l0=144a+12b-8

解得—--

63

(2)设点P的坐标为(p,Lp2-9p-8)

63

-2a-

b

抛物线的对称轴为直线x=4

.,.点Q(8-p,5P4-^p-g)

bo

：.PQ=2p-8

'：PK=2-/3PQ

：.PK=4-/3p-16^3

如图1所示，延长PK交直线AR于点M,则M(p,*p+1)

：.ZHPM=ZMAH'

•••直线解析式为y=3xj，令尤=0,>=5■•

1233

：.OE=^~

3

VOA=4

根据勾股定理得

3

/.cosZEAO=0A=22

AE13

：.cosZHPM=^-PH12

PM1221~2913

6P52P+T

.ptT-2221116

♦"下PBF

-：I=^-PH-^-PQ

24

(__L2+214JJA)-1(2/7-8)=-(p-5)2+85

213p13p134

.•.当p=5时，/取最大值此时点P(5,卫)

2

：.PQ=2,PK=4A/3

如图2所示，连接0K,以PQ为边向下做等边三角形尸。。，连接KD在KD取/,

使/P/D=60°,以P/为边做等边三角形/PH连接/Q

一图2

"：IP=PF,PQ=PD,ZIPQ=ZFPD

.".△/PQ^AFPD

：.DF=IQ

：.IP+IQ+IK=IF+FD+IK=DK,此时机最小

过点。作。N垂直于KP

,/ZKPD=ZKPQ+ZQPD=150°

:./PDN=30°

•：DP=PQ=2

:.DN=1,根据勾股定理得

在△KDN中，KN=5遥，DN=1,根据勾股定理得KD=2

；•机的最小值为2丁通

（3）设NM与x轴交于点J

"."AM—13,cosZMAJ=-i^-

13

：.AJ^12,根据勾股定理得MJ=5

VOA=4,：.OJ=8

：.M(8,5)

当x=8时，代入抛物线中，可得y=-8

：.N(8,-8),MN=13

在△?1河中，根据勾股定理得AN=4\i~13

♦.•点。为x轴上的动点，根据翻折，MN'=13,所以点N'在以〃为圆心，13个单位长度为半径的圆

上运动，如图3所示

①当N'落在AN的垂直平分线上时

tanNMNA=』^=g

82

：.tanZMGJ=^-,"：MJ=5

2

：.JG=^-,根据勾股定理得MG=5后

33

'：MDi为/GMJ的角平分线

.MGGD

DiJ=-———-...Di(———"1"^—,0)

22

也为角平分线

.,.ZDIM£)4=90O

根据射影定理得MJ2=JDrJD4

：.孙=5江+15

2

.3(31+5^/75,0)

2

②当AN=AN'时

£>2与点A重合

：.D2(-4,0)

•••加。3为角平分线

.".JZ）3=—

3

：.D3（—,0）

3

综上所述n（3；1-5\G^,0）,。2（-4,0）,03（―,0）,。4（31+5,0）.

232

【点评】本题（1）考查了二次函数及一次函数的待定系数法，（2）考查了二次函数的最值问题及费马点

定理，（3）考查了等腰三角形及角平分线分线段成比例及射影定理.此题综合性较强.

三.全等三角形的判定与性质（共1小题）

3.（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角二角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以A8

为一边向外作等边三角形△ABE,将绕点8逆时针旋转60°得到BN,连接EN.

（1）求证：AAMB咨AENB；

（2）若AM+8M+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点.若点M为△ABC的费马点，试求此时/

AMB,/BMC、NCMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的48、AC为

一边向外作等边AABE和等边连接CE、BF,设交点为M,则点〃即为△A8C的费马点.试说

明这种作法的依据.

【分析】（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB0AEWB；

（2）连接MV,由（1）的结论证明为等边三角形，所以BM=MN,即AM+BM+CM^EN+MN+CM,

所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时NAMB、/BMC、NCMA的度

数；

（3）根据（2）中费马点的定义，又AABC的费马点在线段EC上，同理也在线段8尸上.因此线段EC

与BF的交点即为△ABC的费马点.

【解答】解：（1）证明：：△ABE为等边三角形，

:.AB=BE,ZABE=60°.

而NMBN=60°,

：.ZABM=ZEBN.

在AAMB与AENB中,

:.LAMBqAENB(SAS).

(2)连接朋N.由(1)知，AM=EN.

.：NMBN=60°,BM=BN,

；.4BMN为等边三角形.

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM^EN+MN+CM.

...当E、N、M、C四点共线时，AM+8M+CM的值最小.

此时，ZBMC=180°-ZNMB=120°；

ZAMB=ZENB^180°-/BNM=120°；

ZAMC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

（3）由（2）知，△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段8尸上.

因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费马点.

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大.

四.角平分线的性质（共1小题）

4.（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点尸满足/4尸8=/82。=/81=120°,则称P为4

ABC的费马点.如图所示，在△A8C中，已知/8AC=45°,设P为△ABC的费马点，且满足/产区4=

45°,PA=4,则△/HC的面积为47®.

【分析】如图，延长BP交AC于。，先说明△A3。是等腰直角三角形，尸是30°的直角三角形,

可得和A。的长，根据费马点的定义可得NAPC=120°,从而可知△POC也是30°的直角三角形,

可得。的长，根据三角形的面积公式可得结论.

【解答】解：如图，延长8尸交AC于

VZBAC=ZPBA=45°,

：.ZADB=90°,AD=BD,

•.,尸为△ABC的费马点，

AZAPB=ZCPA=nQ°,

AZBAP=180°-120°-45°=15°,

必C=45°-15°=30°,

AZAPD=60°,

RtZ\E4。中，；B4=4,

:.PD=2,AD=2^,

VZAPC=120°,

；./CPD=120°-60°=60°,

RtZkPDC中，ZPCD=30°,

：.CD=243,

：.AC=AD+CD=243+2V3=4/3,

,△fiAC的面积为告■AOPDugX4«X2=4/3.

故答案为：473.

【点评】本题考查了费马点的定义，三角形的面积，等腰直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三

角形的性质等知识，正确作出辅助线构建等腰直角三角形是本题的关键.

五.等腰三角形的判定与性质（共1小题）

5.（2017秋•义乌市月考）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫

△ABC的费马点（Fermatpoint）.已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当/AP8=/APC=

ZBPC=120°Ht,P就是△ABC的费马点.若点尸是腰长为近的等腰直角三角形。EF的费马点，则

PD+PE+PF=()

A.2V3B.1+F5C.6D.3M

【分析】根据题意首先画出图形，过点。作OMLEF于点M,在内部过E、/分别作//"=/

MFP=30°,则/防p=/b。=/"。=120°,点/3就是费马点，求出尸E,PF,0P的长即可解决问

题；

【解答】解：如图：过点。作DM,所于点在内部过£、E分别作NMEP=NMEP=30°,

则/后「尸=/尸尸。=/后尸。=120°,点？就是费马点，

在等腰中，DE=DF=®,DM±EF,

:.EF=HDE=2

：.EM=DM=\,

故cos30。=里L

PE

解得：PE=22匡，则PM=返，

33

故。P=I-返，同法可得尸尸=22Z1_

33

贝!]PD+PE+PF-2X近一叵="

33

故选：B.

【点评】此题主要考查了解直角三角，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键.

六.等边三角形的性质（共1小题）

6.（2014秋•厦门期中）如图（1）,尸为△ABC所在平面上一点，且乙4尸2=/取。=/04=120°,则点

「叫做△ABC的费马点.

如图（2）,在锐角△A8C外侧作等边△ACB'连接8夕.

求证：BB'过△ABC的费马点P,且^PA+PB+PC.

AB'

-------------B匕----------------

图（1）图（2）

【分析】根据费马点的定义，在BB'上取点尸，使N2PC=120°,再在尸8'上取尸E=PC,然后连接

CE,根据等边三角形的判定可以证明APCE是等边三角形，从而得到尸C=CE,/PCE=60。，根据角

的关系可以推出NPCA=N£CB',再利用边角边证明ACP与CE全等,根据全等三角形对应边相

等可得M=EB'，/APC=/CEB'=120°,从而可得点P为△ABC的费马点，并且BB'^PA+PB+PC.

【解答】证明：在BB'上取点P,使/8/^=120°,

连接AP，再在尸2'上截取PE=PC,连接CE,

'：ZBPC=120°,

：.ZEPC=60°,

.♦.△PCE为正三角形，

；.PC=CE,NPCE=60°,ACEB'=120°,

为正三角形，

：.AC^B'C,ZACB'=60°,

ZPCA+ZACE=ZACE+ZECB'=60°,

:./PCA=/ECB',

/.△ACP^AB,CE,

：.ZAPC=ZB'£C=120°,PA=EB',

/APB=/APC=NBPC=120°,

...P为△ABC的费马点，

：.BB'过△ABC的费马点P,且83'=EB'+PB+PE^PA+PB+PC.

【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，根据新定义，作出辅助线构

造出全等三角形是解题的关键.

七.等腰直角三角形（共1小题）

7.（2020•崇州市模拟）如果点P是AABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则尸点叫△

ABC的费马点.己经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当时，

尸就是△ABC的费马点.若点尸是腰长为血的等腰直角三角形。EF的费马点，则尸。+尸石+「尸=_\后

+1

【分析】过点。作。于点在内部过E、尸分别作NMEP=NMfP=30°,则

ZFPD=ZEPD=nQ°，点尸就是费马点，求出PE,PF,0P的长即可解决问题；

【解答】解：如图：过点。作。M_LEF于点在△8OE内部过E、F分别作NMEP=/MFP=30°,

则/£尸尸=/五尸。=/石尸。=120°,点尸就是费马点，

在等腰中，DE=DF=®,DM±EF,

：.EF=42DE=2

：.EM=DM=1,

故cos30。=四，

PE

解得：巨，则加=返，

33

故。p=l-返，同法可得尸尸=2巨

33

贝UPD+PE+PF-2X41一近出+1.

33

故答案为F+1.

【点评】此题主要考查了解直角三角，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键.

A.三角形综合题(共2小题)

8.(2023春•渠县校级期末)如图1,D、E、尸是等边三角形ABC中不共线三点，连接A。、BE、CF,三

条线段两两分别相交于。、E、F.已知ZEDF=60°.

(1)证明：EF=DF；

(2)如图2,点〃是上一点，连接CM,以CM为边向右作△CMG,连接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,ZGMC=ZGEC,证明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点M与点D重合时，若COLA。，G£)=4,请问在△AC。内部是否

存在点尸使得P到△AC。三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试

说明理由.

【分析】(1)可先推出再证△ACFg/XBAZ),即可得出结论;

(2)在EP上截取EN=EM,连接MN,可推出△EMN是等边三角形，可证△NCM0△EGM,然后推出

△CMG是等边三角形，从而问题得证；

(3)先求得人。=竺巨，将△£＞「(？绕点。顺时针旋转60°至△DQG,连接AG,可得△PDQ是等边三

3

角形，＞AP+PD+CP^AP+PQ+QG,故当A、P、0、G共线时，AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三

角形AOG,从而求得.

【解答】(1)证明：如图1,

图1

VAABC是等边三角形,

：.AC=AB,

ZACB=6Q°,

.,.ZCAF+Z£)AB=60o,

*：ZEDF=6Q°,

AZDAB+ZABD=60°,

AZCAF=NABD,

'：AF=BDf

AAACF^ABAD(SAS),

：.EF=DF；

(2)证明：如图2,

由(1)知，

EF=DF,ZEDF=60°,

•••△OE/是等边三角形，

；・/DEF=60°,

在E厂上截取EN=EM,连接MN,

CN=CE+EN=CE+EM=EG,

「•△EMN是等边三角形，

：.ZCNM=60°,

•：/GMC=/GEC,Na=N0,

・•・ZNCM=ZEGM,

•：CM=GM,

:•丛NCM沿丛EGM(SAS),

AZMEG=ZCNM=60°,

AZCEG=180°-ZMEG-ZFE£)=60°,

：.ZGME=ZGEC=60°,

•:CM=GM,

•••△CMG是等边三角形,

ACG=CM；

(3)解：如图3,

A

由(1)(2)知，

XDEF和△COG是等边三角形,

：.ZCFD=60°,CD=GD=4,

u：CDLAD,

：.ZCDF=90°,

CD

：.AD=CF=to

sin603

将△QPC绕点。顺时针旋转60°至△OQG,连接AG,

：.AD=DQ,CP=QG,

：.^PDQ是等边三角形，

：.PD=PQ,

：.AP+PD+CP^AP+PQ+QG,

.•.当A、P、Q、G共线时，AP+PO+CP最小=AG,

作GH±AD于H,

在RtZXOGH中，

GH=LDG=2,

2

DH=^-DG=2\/3,

2

：.AH~AD+DH~约回+2焉=31,

33

AAG=VGH2+AH2

J.AP+PD+CP的最小值是件图.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质和应用等知识，解决问

题的关键是掌握“费马点”模型及“截长补短”等题型.

9.（2017秋•祁江区期末）背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马

点”.

如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点尸在△ABC内部，此时

120°,此时，B4+P8+PC的值最小.

解决问题：

（1）如图②，等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求NAPB的度

数.

为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACP乌AABP,这样就可以利

用旋转变换，将三条线段抬，PB,PC转化到一个三角形中，从而求出乙4尸8=150°；

基本运用：

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，TXABC中，ZCAB=9Q°,AB=AC,E,尸为BC上的点，且/EAF=45°,判断BE,EF,FC

之间的数量关系并证明；

能力提升：

（3）如图④，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=1,/A3C=30°,点尸为Rt^ABC的费马点，连接

AP,BP,CP,求B4+P2+PC的值.

A

P'

图③图④

【分析】(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以

及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答;

(2)把△A2E绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',根据旋转的性质可得AE'=AE,CE'CE,Z

CAE'=NBAE,NACE'=NB,NEAE'=90°，再求出NE'AF=45°，从而得到NEAB=NE'AF,

然后利用“边角边”证明和AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E'F=EF,再利用

勾股定理列式即可得证.

(3)将AAPB绕点B顺时针旋转60°至P'B处，连接PP',根据直角三角形30°角所对的直

角边等于斜边的一半求出AB=2AC,即A'B的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根

据等边三角形的三条边都相等可得BP=PP',等边三角形三个角都是60°求出ZBP'P=

60°,然后求出C、P、A'、P'四点共线，再利用勾股定理列式求出A'C,从而得到B4+P8+PC=A,

C.

【解答】解：(1);△ACP咨AABP,

：.AP'=A尸=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由题意知旋转角NB4P=60°,

:AAPP'为等边三角形,

PP'=AP=3,ZAP'P=60°,

易证C为直角三角形，且/PPC=90°,

：.ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案为：150。；

(2)EF^^BE^+FC1,理由如下：

如图2,把aABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,ACAE'=ZBAE,ZACE'=NB,ZEAE'=90°

VZEAF=45°,

：.ZE'AF^ZCAE'+ZCAF^ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZE'AF,

在△£>1/和AF中，

，AE=AE,

-ZEAF=ZE?AF,

AF=AF

:.丛EAF"丛E'AF(SAS),

：.E'F=EF,

VZCAB=90°,AB^AC,

：.ZB^ZACB^45°,

：.ZE'CF=450+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2,即EF2=BE2+FC2.

(3)如图④，将△APB绕点8顺时针旋转60°至P'8处，连接PP',

A'

在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=l,NA8C=30°，：.AB=2,

BC=JAB2-AC2=M，

「△APB绕点B顺时针方向旋转60°,.♦.△A'P'B如图所示；

/A'BC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

.•.AB=2AC=2,

「△APB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△?!'P'B,

：.A'B=AB=2,BP=BP',A'P'=AP,

:.△BPP，是等边三角形，

：.BP=PP',ZBPP'=ZBP'P=60°,

VZAPC^ZCPB^ZBPA^120°,

：.ZCPB+ZBPP'=ZBP'A'+ZBP'P=120°+60°=180°,

；.C、P、N、P'四点共线，

在RtZkA'8c中，A'C=WB2+BC?={（V§）2+22=*，

：.PA+PB+PC^A'P'+PP'+PC=A'C=V7.

【点评】本题考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识,

解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

九.正方形的性质（共1小题）

10.（2020•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形ABC。中，点M,N分别为A3、BC上的动点,

且始终保持8M=CN.连接MN,以九W为斜边在矩形内作等腰RtZWNQ,若在正方形内还存在一点P,

则点P到点A、点。、点。的距离之和的最小值为3+3我.

【分析】根据勾股定理得到关于尤的一元二次方程，根据函数的性质求得当BM=8N=3时，。点到

距离最近，止匕时Q点是AC和BD的交点，过点Q作于点M',在△AOQ内部过A、D分别

作NM'DP=/M'AP=30°，则/4尸£)=/4尸0=/。尸0=120°，点尸就是费马点，此时B4+PD+P0

最小，根据特殊直角三角形才求出A。，PA,PD,PQ的长，进而得出答案.

【解答】解：设则BN=6-x,

'：MN2=BM2+BN2,

:.Ma=a+(6-X)2=2(尤-3)2+18,

.•.当x=3时，MN最小，

此时Q点离AD最近，

,:BM=BN=3,

二。点是AC和8。的交点，

:.AQ=DQ=^-AD=3®,

过点。作QM'_