苏科版七年级数学预习：有理数的乘方（解析版）

第08课有理数的乘方

预习目标|

1、学习乘方的定义；

2、能够进行简单的乘方运算；

3、掌握科学记数法并能还原用科学记数法表示的数。

知鹤汲取

有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕。

即有：a・a・aia=a"。在屋中，a叫做底数,n叫做指数。

【点拨】(1)乘方与幕不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果.

(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.

(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是5、指数1通常省略不写.

(4)特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。

乘方运算的符号法则

(1)正数的任何次幕都是正数；

(2)负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；

(3)0的任何正整数次寨都是0;

(4)任何一个数的偶次幕都是非负数,如an>Q.

【点拨】(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定寨的符号，然后再计算鬲的绝对

值.

⑵任何数的偶次导都是非负数.

科学记数法

把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中“是整数数位只有一位的数，6a|<10,〃是正整数)，这种

记数法叫做科学记数法，如42000000=4.2xlO7.

【点拨】(1)负数也可以用科学记数法表示，"―”照写，其它与正数一样，^n-3OOO=-3xlO3；

(2)把一个数写成axlO"形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少。

知识点对点训练

有理数的乘方

1.若一个算式中，-3是底数，4是指数，则这个算式是（）

A.-34B.（-3）4C.-43D.（-4丫

【答案】B

【分析】根据a"中，。叫做得的底数，”叫做得的指数，去列式即可.

【详解】解：-3是底数，4是指数，这个算式是（-3）L

故选：B.

【点睛】本题考查了幕的构造，底数，指数，正确理解幕的意义是解题的关键.

2-代数式2X2X'£.-2可以表示为（）

A.2+nB.2nC.2"D.n2

【答案】c

【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.

〃个2

【详解】解：代数式厂K——可以表示为2";

2x2x2x---x2

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.

3.4?表示的意义是（）

A.4+4+4B.4x4x4C.4x3D.3x3x3x3

【答案】B

【分析】根据有理数乘方的定义即可解答.

【详解】43表示的意义是4x4x4.

故选B.

【点睛】本题考查有理数乘方的意义.掌握求相同因数的积叫做乘方是解题关键.

4.已知：（a—2）2+忸+6卜0,则人―〃的值是（）

A.-8B.4C.8D.6

【答案】A

【分析】根据绝对值及偶次幕的非负性可知4=2,6=-6,然后问题可求解.

【详解】解：V(a-2)2+|/?+6|=0,K(a-2)2>0,|^+6|>0,

(0-2)2=0,卜+6卜0,

••ci—2,b——6，

h—a=-6—2=-8；

故选A.

【点睛】本题主要考查绝对值与偶次基的非负性及有理数的减法，熟练掌握绝对值与偶次幕的非负性及有

理数的减法是解题的关键.

5.下列各组数中，数值相等的是()

A.2?和3?B.一23和(一2yC.(-2x3)2和一2x3?D.(一5)2和一5?

【答案】B

【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题.

【详解】解：A、因为23=8,千=9,所以2,和3?不相等，故A不符合题意；

B、因为,3=-8,(-2)3=-8,所以-展和(-2丫相等，故B符合题意.

C、因为(—2x3)2=36,-2X32=-18,所以(-2X3『和—2x3?不相等，故C不符合题意.

D、因为(-5)2=25,-52=-25,所以(-5)?和-5?不相等，故D不符合题意.

故选:B.

【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键.

6.在-3"中，底数是指数是.计算：-34=.

【答案】34-81

【分析】根据导的定义：形如.”中。是底数，〃是指数，及乘方计算法则计算解答.

【详解】解:一3"中，底数是3,指数是4,-34=-81,

故答案为：3,4,—81.

【点睛】此题考查了幕的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键.

2

7.底数是-指数是2的幕可写成.

2

【答案】

【分析】根据导的书写规则即可求解.

【详解】解：•・•底数为指数为2,

故答案为:

【点睛】本题考查了幕的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号.

8.计算：-(-1)2=.

【答案】-1

【分析】根据乘方法则运算，可得结果.

【详解】解:-(-1)2=-1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握乘方法则，注意符号变化.

9.一根1米长的木棒，小明第一次截去全长的g,第二次截去余下的;，依次截去每一次余下的g,则第五

次截去后剩下的木棒长为米.

32

【答案】亚

【分析】根据题意可求出第一次截去全长的g,剩下Ixg米，第二次截去余下的;，剩下Ixj],从而即

可得出第五次截去余下的《，剩下1x[2]=卫米.

3243

【详解】解：第一次截去全长的;，剩下1x11-J=lxg米，

第二次截去余下的g,剩下1x11-j=lx(|)=1米,

第五次截去余下的《，剩下1x(2]=工_米.

3⑶243

故答案为：亲32

【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索.理解乘方的定义是解题关键.

10.计算:

⑴(-3)3；

⑵(一1.5):

(4)-(-3)2；

⑸-(-2儿

【答案】(1)-27

(2)2.25

⑶，

49

⑷-9

(5)8

【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可.

［详解】(1)(-3)3=(-3)x(-3)x(-3)=-27；

(-1.5)2=(-1.5)x(-1.5)=2.25；

(3)

(4)-(-3)2=-(-3)X(-3)=-9

(5)-(-2)3=-(-2)X(-2)X(-2)=8.

【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键.

科学记数法

1.据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为

10870元.10870这个数用科学记数法表示正确的是()

A.0.1087xl05B.1.087xl04C.1.087xl03D.10.87xl03

【答案】B

【分析】将10870写成“1。”的形式，其中1＜忖＜10,〃为正整数.

【详解】解：1087=1.087x104,

故选：B.

【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握axlO"中1＜忖＜10,"与小数点移动位数相同.

2.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青

团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为（）

A.7.358xlO7B.7.358xlO3C.7358xlO4D.7.358xlO6

【答案】A

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中14忖＜10,“为整数.确定"的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正数；

当原数的绝对值＜1时，”是负数.据此可得出结果.

【详解】7358Jj=73580000=7.358xlO7,

故选：A.

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法.正确确定。的值以及〃的值是本题的关键.

3.4月18日，国际统计局在国新办发布会上公布2023年一季度国民经济运行情况，初步核算，一季度国

内生产总值284997亿元，按不变价格计算，同比增长4.5%,比上年年四季度环比增长2.2%,将数据“284997

亿”用科学记数法表示为（）

A.2.84997xl05B.2.84997x10sC.2.84997xlO12D.2.84997xlO13

【答案】D

【分析】根据科学记数法的定义即可解答.

【详解】解：亿=10。

284997亿=284997x10s=2.84997x1013,

故选：D.

【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

4.一个整数60…，用科学记数法表示为axlO”的形式，若则原数中“0”的个数为（）

A.4B.6C.5D.7

【答案】B

【分析】根据科学记数法的中的。是IV。＜10,“为整数可得到。="=6即可求解.

【详解】解：由题意,当。=〃时，整数60…,用科学记数法表示为6x106,

原数为6000000,则原数中“0”的个数为6,

故选：B.

【点睛】本题考查科学记数法，能把科学记数法表示的数还原成原数是解答的关键.

5.用科学记数法表示数据：-504300=.

【答案】-5.043x10s

【分析】根据科学记数法直接进行求解即可.

【详解】解：用科学记数法表示数：-504300=-5.043x105.

故答案为-5043x105.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键，注意小数点移动的位数即为10的

指数.

6.截止到2022年，中国总人口数约为14.12亿，该数可用科学记数法表示为.

【答案】1.412X109

【分析】利用科学记数法表示，一般形式为。xlO"，其中1＜忖＜10,指数"由原数左边起第一个不为零

的数字前面的0的个数所决定.

【详解】14.12亿=1.412x109.

故答案为：1.412x109.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为0X10",其中1＜H＜10,〃为由原数

左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

7.一个整数815550...0用科学记数法表示为8.1555xl(y°,则原数中“0"的个数为个.

【答案】6

【分析】科学记数法的表示形式为0x10"的形式，其中14忖＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，

w是正整数；当原数的绝对值小于1时，”是负整数.

【详解】解:由8.1555x101°=81555000000可知原数中“0”的个数为6个；

故答案为6.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.

8.(1)用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027x104；@-70890.

(2)把下列用科学记数法表示的数还原成原数:①3.5x106；②1.20x105；③-9.3x104；④234x108.

(3)下列的数各是几位数?①6x108；②1.4x107；③10%④5.2x10%

【答案】(1)02.021xlO3；②5.76x106；@2.7xl02；@-7.089xl04；(2)03500000；(2)120000；(3)-93000；

@-234000000；(3)①是9位数；②是8位数；③是20位数；④是。7+1)位数.

【分析】(1)科学记数法的表示形式为4X10”的形式，其中上同<10,“为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，”是正数；

当原数的绝对值<1时，”是负数；

(2)将科学记数法axlOn表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；

(3)将科学记数法axlO〃表示的数，“还原”成通常表示的数，就得出这个数是几位数.

【详解】解：(1)用科学记数法表示各数分别为：

①2.021x103；②5.76x106；③2.7xl()2；@-7.089xl04；

(2)把科学记数法表示的数还原成原数为：

①3500000；②120000；③-93000；@-234000000；

(3)①还原成原数是600000000,是9位数；

②还原成原数是14000000,是8位数；

③还原成原数是10000000000000000000,是20位数；

④还原成原数是5200...0[有01)个0],是5+1)位数.

【点睛】此题考查了科学记数法表示数的方法和还原原数.解题的关键是明确科学记数法的表示形式为

的形式，其中l<|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

1.任何一个有理数的偶次幕必是()

A.负数B.正数C.非正数D.非负数

【答案】D

【分析】根据乘方的性质：正数的任何次鬲都是正数；负数的奇次易是负数，负数的偶次幕是正数，。的任

何次幕都是。，从而可判断.

【详解】解：正数的任何次累都是正数；负数的奇次累是负数，负数的偶次鬲是正数；0的任何次黑都是0,

故任何一个有理数的偶数次鬲必是非负数.

故选：D.

【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握.

2.在(-IO)'中，—10是()

A.底数B.指数C.幕D.乘方

【答案】A

【分析】根据“幕”的意义可得答案.

【详解】解：(-IO。中表示8个(-10)相乘,其中(-10)是底数,8是指数,

故选：A.

【点睛】本题考查有理数的乘方，理解基的意义是正确判断的关键.

3.(-3)4表示的意义是()

A.-3与4相乘B.-3与4相加C.4个-3相乘D.4个-3相加

【答案】C

【分析】根据有理数乘方的意义，屋表示〃个。的积，即可得出答案.

［详解］解：：(-3)4=-3x(-3)x(-3)x(-3),

(-3)4表示的意义是4个-3相乘.

故选：C

【点睛】本题考查了有理数乘方，解本题的关键是理解屋(九为正整数)的意义.

4.一2?与(一2)2()

A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.它们的积为16

【答案】B

【分析】根据有理数的乘方法则，算出-2?与(-2)2的值，即可得到结果.

【详解】解：-22=-4,(_2『=4,-4+4=0,-4x4=-16,

•••-22与(-2)2互为相反数.

A,C,D选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查有理数的乘方运算.熟练掌握有理数的乘方法则，是解题的关键.

5.比较-33与（-3）3,下列说法正确的是)

A.它们的底数相同，指数也相同B.它们所表示的意义相同，但运算结果不相同

C.它们底数相同，但指数不相同D.虽然他们底数不同，但是运算结果相同

【答案】D

【分析】根据有理数事的概念解答即可.

【详解】解：-33的底数是3,指数是3,表示3个3的乘积的相反数，运算结果为-33=-27,

（-3）3的底数是-3,指数是3,表示3个-3的乘积，运算结果为（-3丫=-27,

故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同，

所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查有理数的乘方，解答的关键是熟练掌握有理数幕的概念：屋表示〃个。的乘积，a为底数，

w为指数.

6.2023年2月，中国旅游研究院发布的《中国旅游经济蓝皮书》预测，2023年我国国内旅游人数将达到

45.5亿人次，将45.5亿用科学记数法表示应为（）

A.455xlO7B.45.5xl08C.4.55xlO9D.0.455xlO10

【答案】C

【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可.

［详解］解：45.5亿=4550000000=4.55x109;

故选C.

【点睛】本题考查科学记数法.熟练掌握科学记数法的表示方法：。*10",14时＜10,"为整数，是解题的

关键.

7.2022年是我国“奋斗者”号万米级载人潜水器常规化运营第二年，累计在海上作业天数202天，共完成75

个潜次，科学潜次平均下潜深度5912.8米，新增了4次万米级下潜.其中数据5912.8用科学记数法表示为

（）

A.59.128xl03B.59.128xl02C.5.9128xl03D.0.59128xl04

【答案】C

【分析】科学记数法的表现形式为。X1O”的形式，其中14忖＜10,〃为整数，确定w的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n

是正整数，当原数绝对值小于1时，W是负整数.

【详解】数据5912.8用科学记数法表示为5.9128x103,

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为。xlO”的形式，其中1＜忖＜10,

n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值.

8.北京奥运会体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.6x108

帕的钢材，那么它的原数是（）

A.4600000B.46000000C.460000000D.4600000000

【答案】C

【分析】用科学记数法。xlO"表示的数还原成原数时，〃是几，小数点就向后移几位.把数据4.6x108写成

原数，就是把4.6的小数点向右移动8位，据此即可解答.

【详解】解：4.6xl08=460000000,

故选：C.

【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数写成原数，熟练掌握和运用把科学记数法表示的数写成原数的

方法是解决本题的关键.

9.若片=4*2=9,且仍＜0,则a—6的值为（）

A.±1B.±5C.5D.-1

【答案】B

【分析】利用平方根的定义得出a,b的值，进而利用ab的符号得出a,b异号，即可得出a-b的值.

【详解】解：：。2=4,b2=9,

a=±2,b=±3,

ab＜0,

a=2,贝I]b=-3,

a=-2,贝IJ6=3,

则的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5.

故选:B.

【点睛】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a,b的值是解题关键.

10.某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个.经过3分钟，这种细胞由2个分裂成（）个.

A.210B.211C.212D.213

【答案】C

【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解.

【详解】解：；3分钟=3x60=12x15秒,

，经过3分钟，这种细胞由2个分裂成2匕个，

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键.

11.-2,的底数是.

【答案】2

【分析】根据幕的定义：屋叫幕，。叫底数，”叫指数，根据幕的定义解答.

【详解】解：一2"的底数是2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了幕的定义，熟记定义并掌握各部分的名称是解题的关键.

12.计算：-22=.

【答案】-4

【分析】根据有理数的乘方运算法则进行计算即可.

【详解】解：—2W,

故答案为：-4,

【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，在计算时要注意底数的符号.

13.2023年5月22日，我国神州十六号载人飞船发射取得圆满成功，在距离地面约400000米外的中国空

间站中，神州十五号乘组和神州十六号乘组六名航天员一起工作和生活.400000这个数用科学记数法可以

表示为.

【答案】4xl05

【分析】利用科学记数法的定义解决.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1<|a|<10,"为整

数.确定”的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，"是正整数；当原数的绝对值<1时，”是负整数.

［详解1解：400000=4xl05.

故答案为:4xl05.

【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法.

14.用科学记数法表示的数-123x1()7,化为原数是.

【答案】-0.000123

【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，w小于。时，"的绝对值是几，小数点就向左移几位.

【详解】解：-123x1()7=-0.000123,

故答案为：-0.000123.

【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数.将科学记数法。义10一”表示的数，“还原”成通常表示的数，

就是把a的小数点向左移动〃位所得到的数.把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两

个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法.

15.把一张厚度为0.1mm的纸对折8次后，厚度为.

【答案】25.6mm

【分析】根据题意，对折1次厚度为2x0.1mm,对折2次为22x0.1mm,……所以对折8次后厚度为X0.1

mm,计算即可求解.

【详解】解：对折1次厚度为2x0.1mm,对折2次为2?xO.lmm,……所以对折8次后厚度为2'x0.1mm,

28=256,

0.1mmx256=25.6mm.

故答案为：25.6mm.

【点睛】本题主要考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算是解题的关键.

16.计算:

3

(1)-(-9);

3

(2)