山东省青岛市市南区2024-2025学年上学期九年级期末数学模拟试卷 （解析版）

2024-2025学年山东省青岛市市南区九年级期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A.﹣1 B.0 C.1 D.22.在中，，，，那么的值为（）A. B. C. D.3.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为A B. C. D.4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B.k＜1且k≠0 C.k≥﹣1且k≠0 D.且5.反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，的在函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.6.如图，在中，对角线与相交于点，在DC的延长线上取一点，连接交于点，已知，，，则的长等于（）A.1 B.1.5 C.2 D.37.已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C D.8.如图，小强从热气球上A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（）米．A.45 B.60 C.75 D.909.如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（）A.﹣3 B.﹣ C.3 D.10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.若，则_________．12.一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是______．13.在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值．14.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____．15.在平面直角从标系中，的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线经过点A，双曲线经过点B，则_______16.如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于____．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17.已知：和一边上的点．求作：，满足是它的一个内角，且对角线．四、解答题18.（1）解方程：；（2）计算：．19.如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）20.某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．21.如图，在中，，边上一点，为边上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．22.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.我们知道，函数（，，）的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到；类似地，函数（，，）的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．理解应用函数的图象可由函数的图象向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______．灵活应用如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，？实际应用某老师对一位学生学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系为，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？24.如图，在矩形ABCD中，AB＝14cm，AD＝12cm，E是CD边上的一点，DE＝9cm，M是BC边的中点，动点P从点A出发．沿边AB以1cm/s的速度向终点B运动，过点P作PH⊥AE于点H，连接EP．设动点P的运动时间是t（s）（0＜t＜14）．（1）当t为何值时，PM⊥EM？（2）设△EHP的面积为y（cm2），写出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式．（3）当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值．（4）是否存在时刻t，使得点B关于PE的对称点B'落在线段AE上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．25.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．

2024-2025学年山东省青岛市市南区九年级期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A.﹣1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．2.在中，，，，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在中，，，，则，故选：A．3.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B.k＜1且k≠0 C.k≥﹣1且k≠0 D.且【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得且△，解得且．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．5.反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，的在函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴，∴点在第二象限，∴，∵，∴，两点在第四象限，∴，∵函数图象在第四象限内为增函数，∴．∴，，的大小关系为．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象增减性，当时，该反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大．6.如图，在中，对角线与相交于点，在DC的延长线上取一点，连接交于点，已知，，，则的长等于（）A.1 B.1.5 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】过O作OMBC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO=DO，CD=AB=4，AD=BC=6，根据三角形的中位线的性质得到CM=2，OM=3，通过，根据相似三角形的性质计算即可得到结论．【详解】解：过O作OMBC交CD于M，∵在▱ABCD中，BO=DO，CD=AB=4，AD=BC=6，∴，∵OMCF，∴，∴，即，∴．故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．7.已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．8.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（）米．A.45 B.60 C.75 D.90【答案】B【解析】【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可．【详解】解：∵∴米∵∴米∴米故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据特殊角的正切值进行求解．9.如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（）A.﹣3 B.﹣ C.3 D.【答案】A【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．【详解】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝1，∴−＝1，∴b＝−2a＞0，∵图象与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①说法正确，由图象可知抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac＞0，∴②错误，由图象可知，当x＝−2时，y＜0，∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，∴③正确，由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，∵对称轴是x＝1，∴另一个根为x＝5，∴④正确，∴正确的有①③④，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11.若，则_________．【答案】【解析】【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得．故答案为：．【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．12.一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是______．【答案】12【解析】【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可．【详解】解：，∴盒子中棋子的总个数是．故答案为：．13.在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值．【答案】8【解析】【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴当x=8时，y有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．14.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____．【答案】【解析】【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE=∠DCE=α，求出AC的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC=∠AED=90°，∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°∴∠DAE=∠CDE又∵∠DCE+∠CDE=90°∴∠ADE=∠DCE=α∴cosα＝=又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=在中满足勾股定理有故答案：．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．15.在平面直角从标系中，的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线经过点A，双曲线经过点B，则_______【答案】【解析】【分析】作轴于M，轴于N，由反比例函数系数k的几何意义得到，，解直角三角形求得，通过证得，得到，进而得到．【详解】解：作轴于M，轴于N，∴，，∵，，∴，，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16.如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于____．【答案】【解析】【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．【详解】解：过点P作，垂足为G、H，由折叠得：是正方形，，，∴，中，，∴，在中，设，则，由勾股定理得，，解得：，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∵四边形为正方形，四边形为矩形，∴，∴，解得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17.已知：和一边上的点．求作：，满足是它的一个内角，且对角线．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．先过B点作的另一边的垂线得到，再分别以B、D为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C，可得，则四边形是平行四边形，且．【详解】解：如图，为所作．四、解答题18.（1）解方程：；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程，实数的混合运算，（1）运用因式分解的方法解一元二次方程即可；（2）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，负指数幂，去括号运算，再根据实数的混合运算即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，∴或，解得，；（2）．19.如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）【答案】【解析】【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，在中，，，∵∴(cm)，在中，，，∵，∴(cm)，∵，，，∴四边形是矩形，∴，∵，∴(cm)．答：点与桌面的距离约为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．20.某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【答案】（1）（2）99（3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为【解析】【分析】（1）用“礼仪”人数除以占比得到总人数；（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；（3）用画树状图法求得概率即可求解．【小问1详解】解：（人）故答案为：．【小问2详解】“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，故答案为：99．【小问3详解】把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．21.如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）2或4【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证；（2）直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可．【小问1详解】证明：，，，，，．【小问2详解】解：，，由（1）知，，，即，或4，经检验，符合题意；答：或4．22.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）（3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元【解析】【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．【小问1详解】解：在中，令得，，故答案为：；【小问2详解】解：根据题意得，，即w与x之间的函数关系式为：；【小问3详解】解：，∵，∴当时，w取最大值，最大值为，即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．23.我们知道，函数（，，）的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到；类似地，函数（，，）的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．理解应用函数的图象可由函数的图象向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到，其对称中心坐标为______．灵活应用如图，在平面直角坐标系中，请根据所给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，？实际应用某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系为，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【答案】理解应用：1，1，；灵活应用：图形见详解,当时，；实际应用：当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．【解析】【分析】理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：灵活应用：根据平移规律作出图象；实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．【详解】解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，其对称中心坐标为．故答案是：1，1，灵活应用：将的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数的图象，其对称中心是．图象如图所示：由，得，解得x=-2由图可知，当时，实际应用：解：当时，，则由，解得：，即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，∴点在函数的图象上，则，解得：，∴，当，解得：，即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．【点睛】本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．24.如图，在矩形ABCD中，AB＝14cm，AD＝12cm，E是CD边上的一点，DE＝9cm，M是BC边的中点，动点P从点A出发．沿边AB以1cm/s的速度向终点B运动，过点P作PH⊥AE于点H，连接EP．设动点P的运动时间是t（s）（0＜t＜14）．（1）当t为何值时，PM⊥EM？（2）设△EHP的面积为y（cm2），写出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式．（3）当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值．（4）是否存在时刻t，使得点B关于PE的对称点B'落在线段AE上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当t=s时，PM⊥EM；（2）y=6t-t2；（3）当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值为；（4）存，t=．【解析】【分析】（1）证明△MEC∽△PMB时，进而根据求得结果；（2）根据△APH∽△EAD表示出AH和PH，从而表示出三角形APH的面积，再表示出三角形APE的面积，从而得出y与t的关系式；（3）表示出三角形PHE和三角形PEM的面积，列出方程求得；（4）当EP平分∠AEB时，点B′落在AE上，根据角平分线性质求得结果．【小问1详解】解：当t=时，PM⊥EM，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=14，BC=AD=12，∠B=∠C=90°，∴AB=14，CE=CD-DE=14-9=5，CM=BM=BC=6，∵PM⊥EM，即∠EMP=90°，∴∠BMP+∠CME=90°，∠CEM+∠CME=90°，∴∠CEM=∠B