数学分析三试题及答案

数学分析三试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，可导函数是：

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=e^x

2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(a)=f'(b)，则：

A.f(x)在[a,b]上单调增加

B.f(x)在[a,b]上单调减少

C.f(x)在[a,b]上有极值

D.f(x)在[a,b]上无极值

3.设函数f(x)在x=a处连续，则：

A.f(a)必须存在

B.f'(a)必须存在

C.f''(a)必须存在

D.f(x)在x=a处可导

4.若函数f(x)在x=a处可导，则：

A.f(x)在x=a处连续

B.f'(a)存在

C.f''(a)存在

D.f(x)在x=a处有极值

5.设函数f(x)在x=a处连续，且f'(a)=0，则：

A.f(x)在x=a处有极值

B.f(x)在x=a处无极值

C.f(x)在x=a处有拐点

D.f(x)在x=a处无拐点

6.设函数f(x)在x=a处可导，且f'(a)≠0，则：

A.f(x)在x=a处有极值

B.f(x)在x=a处无极值

C.f(x)在x=a处有拐点

D.f(x)在x=a处无拐点

7.设函数f(x)在x=a处连续，且f'(a)=0，则：

A.f(x)在x=a处有极值

B.f(x)在x=a处无极值

C.f(x)在x=a处有拐点

D.f(x)在x=a处无拐点

8.设函数f(x)在x=a处可导，且f'(a)≠0，则：

A.f(x)在x=a处有极值

B.f(x)在x=a处无极值

C.f(x)在x=a处有拐点

D.f(x)在x=a处无拐点

9.设函数f(x)在x=a处连续，且f'(a)=0，则：

A.f(x)在x=a处有极值

B.f(x)在x=a处无极值

C.f(x)在x=a处有拐点

D.f(x)在x=a处无拐点

10.设函数f(x)在x=a处可导，且f'(a)≠0，则：

A.f(x)在x=a处有极值

B.f(x)在x=a处无极值

C.f(x)在x=a处有拐点

D.f(x)在x=a处无拐点

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设函数f(x)=x^3-3x，则f'(1)=________。

2.设函数f(x)=e^x，则f''(0)=________。

3.设函数f(x)=ln(x)，则f'(1)=________。

4.设函数f(x)=sin(x)，则f'(π/2)=________。

5.设函数f(x)=x^2+2x+1，则f'(0)=________。

三、计算题（每题5分，共25分）

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数。

2.求函数f(x)=e^x-x^2在x=0处的二阶导数。

3.求函数f(x)=ln(x)在x=1处的导数。

4.求函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的导数。

5.求函数f(x)=x^2+2x+1在x=0处的导数。

四、证明题（每题8分，共16分）

1.证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在至少一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.证明：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)≠0对所有x∈(a,b)成立，则f(x)在[a,b]上单调。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求函数在x=1处的切线方程。

2.设函数f(x)=e^x-x，求函数的极值。

六、综合题（每题15分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^3-9x+1，求函数f(x)的导数f'(x)，并求f'(x)=0的所有实根。

2.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x+1，求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.B

解析思路：x^2是一个多项式函数，其导数存在且为2x，故B选项正确。

2.D

解析思路：根据罗尔定理，若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

3.A

解析思路：函数在一点连续是导数存在的必要条件，故A选项正确。

4.B

解析思路：可导意味着连续，故B选项正确。

5.A

解析思路：根据费马定理，若函数在某点可导且为极值点，则该点的导数为0。

6.A

解析思路：与第5题解析思路相同。

7.A

解析思路：与第5题解析思路相同。

8.A

解析思路：与第5题解析思路相同。

9.A

解析思路：与第5题解析思路相同。

10.A

解析思路：与第5题解析思路相同。

二、填空题答案及解析思路：

1.0

解析思路：对f(x)=x^3-3x^2+2x求导得到f'(x)=3x^2-6x+2，代入x=1得到f'(1)=3*1^2-6*1+2=0。

2.1

解析思路：对f(x)=e^x求导得到f'(x)=e^x，代入x=0得到f''(0)=e^0=1。

3.1

解析思路：对f(x)=ln(x)求导得到f'(x)=1/x，代入x=1得到f'(1)=1/1=1。

4.1

解析思路：对f(x)=sin(x)求导得到f'(x)=cos(x)，代入x=π/2得到f'(π/2)=cos(π/2)=0。

5.1

解析思路：对f(x)=x^2+2x+1求导得到f'(x)=2x+2，代入x=0得到f'(0)=2*0+2=2。

三、计算题答案及解析思路：

1.f'(1)=1-6+2=-3

解析思路：对f(x)=x^3-3x^2+2x求导得到f'(x)=3x^2-6x+2，代入x=1得到f'(1)=-3。

2.f''(0)=1-0=1

解析思路：对f(x)=e^x-x^2求导得到f'(x)=e^x-2x，再对f'(x)求导得到f''(x)=e^x-2，代入x=0得到f''(0)=1。

3.f'(1)=1

解析思路：对f(x)=ln(x)求导得到f'(x)=1/x，代入x=1得到f'(1)=1。

4.f'(π/2)=0

解析思路：对f(x)=sin(x)求导得到f'(x)=cos(x)，代入x=π/2得到f'(π/2)=0。

5.f'(0)=2

解析思路：对f(x)=x^2+2x+1求导得到f'(x)=2x+2，代入x=0得到f'(0)=2。

四、证明题答案及解析思路：

1.（略）

解析思路：使用罗尔定理证明。

2.（略）

解析思路：使用中值定理证明。

五、应用题答案及解析思路：

1.切线方程为y=-3x+4

解析思路：求出切点坐标(1,-2)，然后使用点斜式求出切线方程。

2.极值为x=1，f(x)=e-1

解析思路：求出f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，解得x=1，再求出f(1)=e-1，得到极值。

六、综合题答案及解析思路：

1.f'(x)=3x^2-6x，f'(x)=0的实根为x=0，x=2

解析思路：求出f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0，x=2