第3章金融市场均衡和资产估值两期模型

第三章金融市场均衡和资产估值：两期模型第一节市场均衡金融市场均衡，是经济学一般均衡理论向不确定性经济的延伸。一般均衡，即瓦尔拉斯（Walras）均衡，同时又是帕累托（Pareto）最优配置。一个经济体中有C种商品，I位消费者，J家厂商。

表示消费者i=1，2，…，I的消费集；

所有的都是C维向量；每位消费者的偏好关系定义为在他自己的消费集上，偏好关系是理性的，满足理性选择公理；

表示厂商j=1，2，…，J的生产集，且初始禀赋为

是一项消费/生产配置

是价格向量在I位消费者的福利分配水平下，使得以上均为C维向量假定消费者同时是投资者（即，私有产权经济）

表示第i位消费者拥有的第j家厂商的股份比例，所以有定义3.1（Walras均衡即竞争性均衡）：

构成一个竞争性均衡，如果满足以下条件：1.对于每个厂商j，其生产集合中的技术因素实现利润最大化2.对每个消费者i，在预算约束集中消费对于偏好关系是最优的。3.市场结清，即有在金融经济学里，把交易各种金融资产的金融市场看作完全竞争市场，因此，金融市场的均衡是Walras的竞争性均衡。定义3.2（帕累托最优）：由I位消费者i=1,2,…,I的消费向量和J家厂商j=1,2,…,J的生产向量如果满足：则称为可行配置。一个可行配置称为帕累托最优的，即不存在任何其他的可行配置使得，而且至少对其中某个i，有福利经济学两大基本定理：（第一定理）：如果是一个竞争性均衡（即，Walras均衡），则配置是帕累托最优配置。（第二定理）：假设每个消费集和生产集都是凸集，偏好关系都满足理性选择公理，则对每个帕累托最优配置，存在一个价格向量

使得是一个竞争性均衡。第二节Arrow-Debreu经济和状态

或有要求权一、Arrow-Debreu经济t=0时期的事件都是已经发生的、确定的t=1时期发生的事件是不确定的，且t=1时期发生的不同事件就是不同的状态，假定可能发生S种不同的状态：w=1,2,…,S。是所有可能状态的集合，即状态空间。状态w出现的概率记为有定义3.3：一个状态w的或有要求权是这样一种证券，到t=1时期，如果出现状态w，则支付1个单位的消费品；如果不出现状态w，则不支付任何东西。状态或有要求权被称为Arrow-Debreu证券或基本证券。把交易Arrow-Debreu证券的市场经济称为Arrow-Debreu经济。定义3.4：在两期模型中，到t=1时期，如果对每一个可能发生的状态w，市场上都相应地存在w的状态或有要求权，则这样的市场称为Arrow-Debreu经济中的完全市场，或称其具有完全性。以记状态w的或有要求权的价格。这是在t=0时期的价格，t=1时期可能得到支付，也可能得不到支付，所以也称为状态价格。Arrow-Debreu经济中市场的均衡和定价机制在t=0时期，每位投资者通过最大化如下效用函数（t=0时期的确定性效用函数与t=1时期的期望效用函数之和）进行金融决策：其中，是第i位投资者的消费计划（包括在t=0和t=1两个时期）。

，其中是各人的时间偏好参数，因此有另外，每位投资者在t=0和t=1时期具有禀赋分别为

和，后者是t=1时期获得的不确定的资源投入（禀赋）。二、投资者的优化模型投资者i=1,2,…,I通过解如下优化规划来金融决策：

是投资者i到t=1时期能够获得的不确定的禀赋，依赖于可能出现的不同的状态。把未来不确定性的收入现金流证券化，相当于（t=0）持有一个基本证券的投资组合：

份基本证券1，份基本证券2,…,份基本证券S，这个投资组合现在的市场价值就是

是投资者i在t=0拥有的初始禀赋，所以，投资者ｉ拥有的财富总共是消费者／投资者ｉ的消费计划所要消耗的财富总量就是是消费者／投资者ｉ现在ｔ＝０的消费量是现在投资于基本证券的组合（份基本证券１，份基本证券２,…,份基本证券s）现在t=0的市场价值。持有这样一个投资组合，可以保证到t=1时期，如果状态w出现，将可获得的消费。所以，这样的消费计划当然必须服从现在所拥有的财富（禀赋）的约束。优化模型涵义：目标函数中，显示了在时间维度上优化投资者（消费者）的消费计划；约束条件中，显示了按照风险维度配置资源。三、优化解：构造拉格朗日函数

分别是t=0和t=1时期投资者的边际效用。表面上看，状态或有要求权的价格直接与个别投资者的偏好效用相联系，但实际上，是金融市场均衡定价的结果，不因个别投资者的偏好效用不同而同时定出许多不同的状态或有要求权的市场价格。即：金融资产通过市场交易定价，与投资者个人偏好无关。四、Arrow-Debreu经济的均衡定义3.5：一个Arrow-Debreu经济的市场均衡是满足以下两大条件的一组状态或有要求权的价格1.每位投资者i，i=1,2,…,I都实现自己消费计划的优化注：arg是后面规划问题的解。2.市场结清

分别看作在t=0时期和t=1时期的w状态下市场的总供给和总需求。因此，Arrow-Debreu经济的一般均衡是存在的；Arrow-Debreu经济的均衡是帕累托最优的。第三节复合证券和无套利定价一、复合证券及其在Arrow-Debreu经济中的无套利定价由于任何一个t=1时期的不确定性现金流都可以用一个Arrow-Debreu证券的组合来刻画，所以，真实存在的证券都可以看作是由Arrow-Debreu证券合成的，称为复合证券。假定现在t=0时期市场上共有k=1,2,…,N种复合证券在交易。到t=1时期，复合证券k面对不同状态的现金流支付可以用如下行向量表示如果现在t=0时期市场是完全的，存在所有状态w的状态或有要求权(Arrow-Debreu证券)，则可以用这样一个Arrow-Debreu证券组合来刻画

份基本证券1，份基本证券2,…,份基本证券S。即，可以说，这个证券组合就成为复合证券k的一个复制品。按照无套利原理，这个复制品组合现在t=0时期的市场价格就是复合证券k的市场定价。复合证券k的市场定价可以表示为：记住：套利关系就是复制关系，无套利原理是指证券和它的复制品的市场均衡价格必须相等。二、金融市场的完全性只考虑复合证券的数目N和t=1时期可能出现的状态的数目S相等，并且支付矩阵Z满秩的情况，即有rank(Z)=N=S，因此，支付矩阵Z是方阵，且可逆.用复合证券构造组合x：x1份复合证券1，x2份复合证券2,…,xN份复合证券N，则x表示为市场上所有在交易的N种复合证券的价格表示为P就是这种情况下市场的均衡价格体系。于是，复合证券的组合x的价格为：到t=1时期，面对各种可能出现的状态，复合证券的组合x的支付T可以表示为：即，复合证券的组合x的支付T是组合x的行向量与支付矩阵Z的乘积。构造复合证券的组合使得它到t=1时期的支付就是状态w的或有要求权的支付，即有所以，状态w（w=1,2,…,S）的或有要求权可以用复合证券的组合来复制，因为支付矩阵Z可逆，可以通过下式求出根据无套利原理，状态w的或有要求权在t=0时期的价格应该等于复合证券的组合的价格，所以有这样，就在一个满秩的金融市场结构和Arrow-Debreu经济之间建立了一一对应关系，就说这个金融市场是完全的金融市场。定理3.3：在两期模型中，当且仅当t=1时期具有独立支付的证券的数目与可能出现的状态的数目相等时，金融市场是完全的。这里，独立支付的证券的数目与可能出现的状态的数目相等时，支付矩阵是满秩的。三、在完全金融市场中复合证券的定价如果Arrow-Debreu经济中的市场是完全的，则有对于任何复合证券k来讲，就有

（3.3.2）上式被称为基本定价方程。上式变形得

（3.3.3）由于，其中是时间偏好参数，所以相当于将t=1时期的效用函数的导数的值折算到t=0时期。其中，表示在t=0时期的预期值。人们在t=0时期对未来预测，依据的是当时能掌握的信息。以F0表示t=0时期投资者能够掌握的信息集，则有，该式对所有的N种复合证券都成立。进一步，将上式推广到多时期模型，则有具有这样性质的随机过程被称为鞅。所以，服从鞅过程。下面引入无风险资产：如果金融市场是完全的，则由基本定价方程，可以到t=1时期构筑收入现金流：对所有的状态都有，所有，现金流就是确定的、无风险的。这种复合证券就被称为“无风险资产”或“无风险证券”。结合基本定价方程和，就有如果用状态或有要求权的组合复制无风险证券，由无套利原理，无风险证券的价格就是令为无风险利率，则无风险证券在t=0时期的定价应该是在t=1时期的现金流价值（为1）用无风险利率折现得到的现值，即：所以，有最终，基本定价方程可以改写为：COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),COV(aX,bY)=abCOV(X,Y)改写后的基本定价方程的经济解释：证券的定价可以通过将未来的收入现金流用无风险利率折现后再乘以一个调整因子得到，这样的模型也被称为“风险调整折现模型”。四、不完全金融市场的均衡即rank(Z)<S的情况，此时金融市场不完全。实际的金融市场是不完全的。五、冗余证券如果某种证券在t=1时期的支付与其他证券的支付互相间不独立，可以用其他证券的组合复制出来，市场上有没有这样的证券无关紧要，不会影响市场的均衡定价机制，这样的证券称为“冗余证券”。根据无套利原理，冗余证券的均衡价格就等于复制组合的价格。第四节风险中性定价和等价鞅测度一、风险中性定价如果金融市场是完全的，则所有的状态或有要求权的价格一定非负。原因：市场均衡时，由于投资者的非厌足性假设，所以一定有因此，如果金融市场是完全的，由基本定价方程可知因为所有的状态或有要求权的价格，并且有

由可知，，所以，令

，显然，所有的于是，可以看作是某种概率分布，这样的概率分布被称为“风险中性概率”。于是，

表示到t=1时期的收入现金流在风险中性概率上的预期值（即，风险中性的概率平均值）因此，在风险中性的环境下，金融资产的定价是未来收入现金流的预期值用无风险利率折现后的现值。二、两期模型的金融经济学基本定理第一基本定理：风险中性概率存在的必要而充分的条件是金融市场不存在无风险套利机会。第二基本定理：风险中性概率是唯一的，其必要而充分的条件是：金融市场是完全的。三、等价鞅测度风险中性概率被称为真实概率的等价鞅测度，因为：第一，它可以作为鞅过程的概率测度；第二，和之间具有这样的“等价性”，即，对于任何一个状态空间的子集合E，E代表的是一个事件，如果E的概率为0，则它的概率也一定为0，反之亦然。即：第五节帕累托最优和风险共享一、帕累托最优由于代表了财富在所有的投资者之间的分配，因此，对于每个帕累托最优配置，相对于财富分配而言，存在一个竞争性均衡的价格体系。即，福利经济学第二定理：在Arrow-Debreu经济的完全市场中，任一个帕累托最优配置，都可以通过相对于财富分配的竞争性均衡实现。二、风险分享三、线性风险分享法则必要性证明（略）第六节总量分析一、完全市场和代表性经纪人定义代表性经纪人的效用函数如下：其拉格朗日函数为：进一步得到：由前面可知，Arrow-Debreu证券的均衡定价在总量分析下有：由基本定价方程：以及上述表达式，可以得到：该式表明，市场上金融资产的定价可以利用代表性经纪人的边际效用给出，而代表性经纪人的边际效用只与总量消费有关。二、HARA型偏好与总量性可得：定理3.10的经济含义：首先，其效用函数是HARA型的；并且，它意味着，如果所有消费者/投资者的个体都具有该式HARA型效用函数，并且其中的参数取值都相等，则经济呈现总量性。而经济如果具有总量性，社会计划者在全社会资源约束下优化配