线性规划与不等式应用-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题7-2线性规划与不等式应用

目录

【题型一】画图求面积..................................................................2

【题型二】画图：含参..................................................................4

【题型三】线性：z=ax+by..............................................................................................................................6

【题型四】距离型......................................................................9

【题型五】斜率型......................................................................11

【题型六】不等式组含参型.............................................................15

【题型七】线性目标含参...............................................................17

【题型八】最优解无数个型.............................................................20

【题型九】含绝对值型.................................................................22

【题型十】均值型.....................................................................25

【题型十一】向量型...................................................................26

【题型十二】与函数结合型.............................................................29

【题型十三】与概率命题等结合综合应用.................................................32

【题型十四】双最值求参型.............................................................33

真题再现..............................................................................35

模拟检测..............................................................................42

综述：

线性规划在新课标老高考中，最近几年以容易题形式出现。考察线性z=ax+by形式较多。属于基础题。所

以要把z=ax+by中a、b分别为正负的基础形式练习好。

线性规划综合问题中，几种常见形式有：

①截距型：z=ax+by,将问题转化为a?在，轴截距的问题；

V=——X+—

bb

②斜率型：z=三，将问题转化为(元,y)与S，。)连线斜率的问题；

③两点间距离型：z=(x-a)2+(y-b)2,将问题转化为(x,y)与两点间距离的平方的问题；

④点到直线距离型：Z=IAx+珍+C],将问题转化为（x,y）到直线4+助+C=0的距离的4TF倍的问

题.

热点题型归纳

【题型一】画图求面积

【典例分析】

2x+y-2<0

（2022•浙江浙江•高三阶段练习）若满足约束条件1-y-GO，则点尸（九,2y）所在区域的面积S=（

y+l>0

33

A.—B.—C.1D.3

24

【答案】A

【分析】根据点P（尤,2y）所在区域面积是点。（x,y）区域面积的2倍，求出点。伍y）区域的面积即可.

【详解】易知点P（x,2y）所在区域面积是点。（％y）区域面积的2倍.

【提分秘籍】

基本规律

画图时，要注意所求约束条件的点的坐标形式。如（x,y）与（a+b,a-b）的转化

【变式演练】

x—y+120

1.（2022・安徽•定远县民族中学高三阶段练习）不等式组所表示的平面区域的面积为（）

23

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】画出可行域,不等式组表示的区域为直角三角形A3C,求出面积即可.

【详解】画出可行域,如图阴影部分为直角三角形ABC,

其中8C=AC=2,则面积为S=2x2+2=2故选：B

2.(2021•江西•芦溪中学高二开学考试(理))已知集合A=[(尤,y)|(y-x)(y-：)20：,

B={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2wi},则A3所表示平面图形的面积为()

人兀。兀C71f71八2兀

A.—B.一C.一或一D.—

24423

【答案】A

【分析】由集合A,3的元素满足的条件，找出如图所示的阴影部分，再利用圆和函数>=工的对称

JQ

性即可求出面积.

22

【详解】解：由5={(x,?)|(x-l)+(y-l)„l},可知集合5表示的图形是以(U)为圆心，1为半径的圆面.

y..x%x

由二)..得＜

(y-%)(yo,1,或＜1。

y…一%~

X

•••集合彳P所表示的平面图形如图所示的阴影部分：

由于圆和函数y=:的对称性可知：圆面的阴影部分的面积和剩下的部分面积相等，故与影=；万.

故选：A.

[l<x+y<3

3.(2018・全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，不等式组八表示图形的面积等于

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】画图可行域，可得对应的区域为正方形，利用交点的坐标计算得正方形的边长，由此计算得图像

的面积.

【详解】不等式组对应的平面区域如图，

对应的区域为正方形ABC。，其中A(0,1),£)(1,0),边长4。=应，则正方形的面积S=0■义应=2.

故选B.

【题型二】画图：含参

【典例分析】

x+y<4

(2022•河南•模拟预测(文))已知不等式组<依->>5,表示的平面区域不包含点(3,1)则实数。的取值范

x+ay>2

围是()

A.B.(-oo,2]C.[2,+oo)D.(―1,+co)

【答案】B

【分析】由题意列不等式组，即可求解.

x+y<4

【详解】因为不等式组y>5,表示的平面区域不包含点(3,1),

x+ay>2

所以纭-1W5或3+〃<2,解得：〃”故选：B

【提分秘籍】

基本规律

含参讨论，注意参数所在位置，对不等式区域的影响。

一般情况下，不等式组中，参数在X系数位置，y系数位置，和常数系数位置，可以借助代特殊值法

来研究。可以避免繁琐的分类讨论。

【变式演练】

/、\x-ay>0

1.(2022.全国•高三专题练习(文))已知尸依+3与函数/(x)=21nx+5相切，则不等式组1+(4+1),>0

确定的平面区域在f+y2=24内的面积为()

A.12兀B.6兀C.3兀D.2兀

【答案】c

2

尸(%)=二=。

入0

【解析】设切点为（尤0,%）,可得/%=%+3解方程可得。=2,然后作出不等式组在V+y2=24内

y0=2lnx0+5

的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.

2

f'M=—=a

xo

【详解】由丫=依+3与函数〃x）=21nx+5相切，设切点为（毛,%）,贝小%=axo+3，解得4=2,

%=2lnxQ+5

所以不等式组为匕[x—32y5>。0

则不等式组确定的平面区域在V+y2=24内的面积为阴影部分,

所以阴影部分的面积为：S=（x£xR2=！x£x24=37r.故选：C

2424

x<0

2.（2019•浙江•高三专题练习）若关于工，》的不等式组卜+丁>0,表示的平面区域是等腰直角三角形

kx-y+l>0

区域，则其表示的区域面积为（）

A.1或;B.5或9C.1或!D.:或!

424228

【答案】B

尤W0

【分析】由已知可知，若不等式组，x+yzo表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则％=。或笈=1,

kx-y+\>Q

由此作出可行域，代入三角形面积公式得答案.

尤W0

【详解】解：•••不等式组，x+yNO表示的平面区域是等腰直角三角形区域，

kx-y+l>0

x<0

由约束条件，尤+>2。作出平面区域如图，

Ax-y+l>0

y

x少一1:0

当A=1时，平面区域为以角A为直角的等腰直角三角形，面积为』'也乂也=!；

2224

当人=0时，平面区域为以角B为直角的等腰直角三角形，面积为］xlxl=g.

22

故选B.

x>0

3.(2017.福建・闽侯县第二中学高二期中(理))已知〃>0,不等式组<^<0表示的平面区域面积为2,

y>a(x-2)

则。的值为

A.-B.5C.1D.2

42

【答案】c

【详解】分析：先作可行域，根据直角三角形面积求a的值.

x>0

详解：作可行域，因为不等式组，y4。表示的平面区域为直角三角形，所以gx2x2a=2，a=l

y>6r(x-2)

选C.

【题型三】线性：z=ax+by

【典例分析】

2x+y-5>0

(2022.四川省成都市第八中学校高三阶段练习(理))已知实数x,y满足约束条件丁-1(0,则

x+2y-7<0

z=-3%+y的最大值为（）.

A.3B.0C.-5D.-7

【答案】B

【分析】先作出约束条件所表示的可行域，再结合图像即可求得目标函数的最大值.

2x+y-5>0

【详解】根据题意，作出，x-y-iw。所表示的可行域，如图，其中A（2,l）,8（3,2）,C（l,3）,

x+2^-7<0

而z=-3x+y表示平行直线y=3x+z经过可行域内过截距为z,

当z=-3x+y经过点C（l,3）时，截距最大，即z取得最大值z=—3xl+3=O.

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

形如2=6+勿，将问题转化为v=_?x+=在y轴截距的问题。要注意斜率正负，截距与z的正反比

bb

例关系。

【变式演练】

x+y-2„0

1.（2021.陕西.安康市教学研究室高一期末）已知X,y满足约束条件X-%。，贝!Jz=2x+y的最大值

X..0

为（）

A.0B.2C.3D.4

【答案】c

【4析】画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求解作答.

x+y-2<0

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：

x>Q

平移直线2%+y=0,当直线过可行域内的点A时，直线在>轴上的截距最大,

即目标函数z=2x+y取得最大值，联立《+；_2=0,解得A。」），

故目标函数z=2尤+y的最大值为z=2xl+l=3.故选：C.

x+2y>\

2..已知变量x,y满足约束条件,x-yW1,则z=x-3y的最小值为（）

y-l<0

A.2B.-4C.-3D.-2

【答案】B

1z1

【分析】先作出可行域，由Z=x-3y,得y=作出直线y=向上平移过点A时，目标函数取

得最小值，求出点A的坐标，代入目标函数可求得结果.

x+2y>l

【详解】作出不等式组表示的平面区域，

y—1<0

1T1

由2=无一3y,得y=作出直线y=向上平移过点A时,目标函数取得最小值,

\x=­l

，得，，即

由1I[y=l

所以z=x-3y的最小值为_l_3xl=T,

x+y>2

3.（2022•全国•高三专题练习）已知实数x,y满足，x-"2,则z=x-2y（）

0<y<3

A.最小值为-7,最大值为2B.最小值为-2,最大值为7

C.最小值为-7,无最大值D.最大值为2,无最小值

【答案】c

【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目标函数的最大最小值.

【详解】作出可行域，如图所示阴影部分:

z的取值越小，当直线往上平移至经过点4(-1,3)时，z取最小值,

此时z1111n=-1-2X3=-7,当直线往下平移至经过点3(2,0)时，z=2,因为该点取不到，所以z无法取到

最大值，即z=^-2y的最小值为一7,无最大值.

故选：C.

【题型四】距离型

【典例分析】

2x-y+2>0

(2022・全国•高三专题练习)如果点在平面区域卜-2y+lW0上，则Y+丁+2》的最小值是()

x+y-2<0

49

A.-B.-C.1D.2

55

【答案】A

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再根据V+y2+2y表示的几何意义即可求得答案.

2x-y+2>0

【详解】如图，作出卜-2》+1工0表示的平面区域，图中，ABC区域，

x+y-2<0

.0\x—2y+l=0

即Y+y2+2y表示的是p®y)和定点Q(0,_l)的距离的平方减去1,由图可知，联立)八，解得

[x+y—2=0

A(l,l),而B(T,0),则|30=至下=0,|40="^梦=6，Q到直线AB的距离为4="=乎，

亭〈拒〈君，

2

故当PQ垂直于AB时，\PQ\最小，则/+/+2丫的最小值为军-l=g,故选：A

【提分秘籍】

基本规律

形如：z=(x-a)2+(y-b)2,可以将问题转化为a,、)与两点间距离的平方的问题。需要注意的

是,如果配方后有常数，则需要多走一步。如z=(xi)2+(y-b『+t=d2+t,d=J(x-a)，+(i)2。

距离型也可以转化为“动圆”型来解释。

距离型还要注意，最值处是“到点的距离”，还是“到线的距离”

【变式演练】

x<2

1.(2022・全国•高三专题练习)若实数x,y满足约束条件<yTW0,则z=炉+丁的最小值为()

x+2y-2>0

A.毡B.-C.旦D.-

5555

【答案】B

【分析】画出不等式组表示的平面区域，由z=x2+V的几何意义，计算目标函数的最小即可.

x<2

【详解】作出不等式组7-140所表示的区域如下图：则Z=/+y2的几何意义为区域内的点到原点

x+2y-2>0

的距离的平方，

由图象知，。点到直线无+2y-2=0的距离最小，由点到直线距离公式，可得d2;正,所以

712+225

/q

的最小值

为()

A.1B.立C.叵D.也

23

【答案】B

【分析】画出可行域，而z=J(x-iy+y2的几何意义表示区域内的点到定点”(1,0)的距离,观察图可知z

的最小值即为点M到直线尤-，=0的距离，然后利用点到直线的距离公式求解即可

【详解】可行域如图

z=7(%-1)2+/的几何意义表示区域内的点到定点^(1,0)的距离，

所以由图可知z的最小值即为点M到直线无7=。的距离=

A/22

故选：B.

2y—x—2<0

3.(2022・云南师大附中高三阶段练习(理))设实数x,y满足约束条件<4x+3y-12W0,则目标函数

x+2y+2>0

Z=(x-4y+(y一2)2的最小值为()

A.40B.2C.4D.6

［答案］c

【彳析】画出可行域，将问题转化为点到区域内一个点的距离的平方即可

【详解】约束条件所满足的区域如图所示

目标函数2=(*-4)2+()；_2)2的几何意义是点(4,2)到区域内一个点的距离的平方

由图知此最小值为以点(4,2)为圆心，与直线4x+3y-12=。相切的圆的半径的平方

根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为r=^=|4^4+^3-12|=)

故最小值为4

故选：C.

【题型五】斜率型

【典例分析】

x+y<4

（2022•甘肃.瓜州一中高三期中（文））已知动点尸（S"）在不等式组卜-yNO表示的平面区域内部及其边

y>0

界上运动，则Z=〃一73的最小值（）

m-5

A.4B.-C.-D.3

33

【答案】B

〃一3

【分析】作出不等式组表示的平面区域,明确z=24表示的几何意义，数形结合，即可求得答案.

m-j

【详解】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分：

由图可知当连线经过区域内的A点时，斜率最小，即z=—九一3取到最小值；

m-5

（x+y=43-21n-31

解可得A（2,2）,此时％，即z==的最小值为：，故选：B

[x-y=O5-23m-53

【提分秘籍】

基本规律

_y-b

形如z-二，将问题转化为（用力与（”力）连线斜率的问题。要注意以下几点

bb

1.如果分子分母x,y有系数，提出来再用斜率型。如2=生心=2—上=2k。k=—二

x—ax—ax—a

2.注意斜率的范围，与倾斜角的关系。简单称之为“直线旋转”时斜率的范围。

【变式演练】

x+l>0

1.（2022・全国•高三专题练习）若实数x,y满足的约束条件x+y+120,贝的取值范围是（）

x-y-2<0

A.[-3,1）B.（-oo,-3]J（l,+co）

C.[-3,3]D.（一8,-3].[3,—）

【答案】B

【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.

x+l>0

13

【详解】作出约束条件x+y+120表示的可行域，如图中阴影区域，其中点A（T0）,B（w，-R,

x—y—2W0一一

Z=2+3

〜》表示可行域内的点a，）与定点尸（°，-3）确定直线/

的斜率左,

过点尸的直线平行于直线尤->-2=0,其斜率为-1,过点P的直线由经过点A（-l,0）,其斜率为-3,

直线/从直线/。（不含直线绕点尸逆时针旋转到直线4的位置，直线4均符合条件，贝IUW-3或%>1,

所以z=5的取值范围是（口，-引1（1,+8）.故选：B

x

x-y+120

2=工的取值范围为（）

2.（2022•全国•高三专题练习）已知实数无，y满足尤+y-120,则目标函数

3x-y-3<0

A.(-oo,-1][3,+00)B.(―oo,—3]o[1,+oo)

C.[-1,3]D.[-3,1]

【答案】B

【分析】作出可行域，将z=34化简为z=—r-看作点

34与可行域内点（羽内连线的斜率，求解

2

斜率的范围.

【详解】作出约束条件的可行域，如图阴影部分所示,

1

y+-

2

2=答1

x—

其中A(l,0),3(0,l),C(2,3),2表示定点

114

“M4

M

与可行域内点连线的斜率，因为22

所以Z的取值范围是(一8,一］3。口，+8).故选：B

3x+y-3>0

2x+3y-9<0,贝壮=正匕*片2)的

3.(2021.贵州•贵阳一中高三阶段练习(理))己知实数x,y满足

x-2y-l<0无—2

取值范围是()

A.(^»,0]u(1,3]B.[0,1)|i(l,3]

C.[3,+co)D.[0,1)U[3,-KO)

【答案】C

析】画出可行域，根据斜率型表达式的取值范围的求法求得正确答案.

【详解】^+y-i^-2+y+i3*

z===1+2±l

x-2x-2x-2

表示(x,y)与(2,-1)连线的斜率加1

画出可行域如下图所示，由图可知ze(-oo,l+凝C]U[1+%AC，+Q0).

k=]

Ac-^-^-=^kBC=^^-=-l,所以ze(F,0]33，y)・

J—zz—1

故选：c

【题型六】不等式组含参型

【典例分析】

2x-y>Q

（2022•浙江・镇海中学模拟预测）若实数x,y满足<y>x,且z=3x+y的最大值为8,则实数机的

y<-x+2m

值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

-2无-”0

【分析】画出不等式组，y>x表示的可行域，利用线性规划去求实数根的值即可.

y<-x+2m

2m4m

表示的可行域如图所示，。（0,。），B

33

当直线y=-3x+z向上平移时，依次经过点O,B,A.

故经过点A时，z有最大值4机，由4m=8,得m=2.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

不等式组含参，是“旋转型”还是“平移型”，与参数位置有关。要随时根据参数范围确定不等式所

对应的范围区域。

【变式演练】

x>\

1.（2022•全国•高三专题练习）已知点（x,y）是不等式组x+y<4表示的平面区域内的一个动点，且目

ax+by+c>0

标函数z=2x+y的最大值为7,最小值为1,则竺竺的值为（）

a

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】作出可行域，把目标函数z=2x+y化为直线y=-2尤+z,利用几何法判断出经过8时，z最小;

经过C时，z最大.建立方程组，求出小从c的关系，代入即可求解.

【详解】把不等式组表示的平面区域画出来.

X=1

（x=l（x=l[ax+by+c-Q<a+

联立方程组，求出三个顶点坐标：由L+y=4解得：[y=3,所以“（1,3）；由[x=l解得」'。

4b+c

x=-----

b-a

a+cx[ax+by+c^Q_4a+c4&+c4a+c.

8（1,；-）Ir-4-A;-4/-T~C（-------，------）

所以b油[X+N-4解得：Ia-b,所以b-aa-b；

把目标函数z=2x+y化为直线y=-2x+z,平移直线，经过8时，纵截距最小，z最小；经过C时，纵截

距最大，z最大.

2-£±£=1

b[〃+c=Z?Q+Z?+C竺=-2.故选：C

所以

2（4/?+c）+4〃+c_7b=-aan-----a-----

b-aa-b

x-y-3<0,

2.（2021・河南开封•高三阶段练习（文））曲线>=2大上存在点（%,y）满足约束条件<x+y-320,则机的最小

y<m,

值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】作出可行域和函数y=2’的图象，进而通过数形结合求得答案.

【详解】如图所示，当>=2,过点。时，机有最小值.

联立>=2'nx+2-3=o,设〃x）=x+2,—3,易知函数在R上是增函数（增+增），且/⑴=0,

[x+y-3=0

则点。的坐标为（1,2）,所以机的最小值为2.

故选：B.

x>2

3.（2021•河南省杞县高中高二阶段练习（理））已知实数x,y满足条件若目标函数z=3x+y

-2x+y+c>0

的最小值为5,则。的值为（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【分析】由约束条件画出可行域，根据目标函数最小值的几何意义确定其在取最小值时所过的点，进而求

参数c的值.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.

作直线/：y=-3x,平移/可知：当x=2,y=4-c时，z取得最小值,

•*-zmin=3X2+4-C=10-C=5,所以c=5,

故选：A

【题型七】线性目标含参

【典例分析】

尤+yNO

(2022.安徽•寿县第一中学高三阶段练习(理))若动直线办->+。=0与区域有交点，贝匹的最

尤一140

大值为()

A.-1B.-2C.1D.2

［答案］C

【3•析】先求出动直线过的定点，再画出可行域，旋转直线即可求出。的最大值.

将动直线ax-y+a=0化为。(x+l)-y=0,易知动直线过定点(-1,0),又。表示动直线在y轴上的截距,

如图所示，当动直线经过点(1,2)时，此时。最大，有。-2+。=0,解得。=1,故”的最大值为1.

故选：C.

【变式演练】

1.(2022•浙江省义乌中学模拟预测)已知X，，满足不等式组一，4°,若依+y中有最大值，则实

数。的取值范围是()

A.—l<a<lB.Q<a<lC.a<-\D.a>\

【答案】A

【5析】根据题意，作出可行域，然后利用线性规划进行数形结合求解

【详解】c■等价于，则可行域如图所示，令依+y=t,y=-ax+t,

［y<2［y<2

当-IWaWl时，y=-办+/过(-3,2)或(1,2)点时，t能够取得到最大值，而。在［-1』之外时，t无最大值，

故选：A

y

2.

x-2y<2,

（2021•河南洛阳•高二阶段练习（文））设x,y满足约束条件，2尤-y22,,若z=x-q取得最大值的最优

x+j<4,

解不唯一，则a的值为（）

A.-1B.-1或2C.2D.-工或1

2

【答案】B

【分析】先画出可行区域，再根据z=x-做取得最大值的最优解不唯一即可求解.

17

【详解】作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由2=工-冲，得y=一三.

aa

1z

由图可知，当。<。时，直线>=—X与直线无+y=4重合，此时a=—l；

aa

]z

当〃>0时，直线y=—x——与直线1—2丁=2重合，止匕时〃=2.故选：B.

aa

x>l

3.（2022・浙江•高三开学考试）若实数％,V满足约束条件<x+yW2,若2%+yW机恒成立，则实数机的

x-2y<4

取值范围为（）

141411

A.m>一B.m<—C.m>—D.m<—

3322

【答案】A

【分析】作出满足约束条件的可行域，由2x+y<机恒成立转化为m>（2x+y）1mx,结合可行域求出2x+y的

最大值可得答案.

X>1

【详解】作出满足约束条件x+y<2的可行域如图所示:

Jx+y=2

平移直线2%+k°到点A时，2%+,有最大值，止匕时由2y=4得

8

x=—

3

=_2/8_2^