中考数学复习重难点强化训练：图形的变换综合检测（基础版）解析版

专题06图形的变换综合检测

考试范围：图形的变换；考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人得分

----------------一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋

转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180。后与原图重合是关键.

2.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（）

A.B.

【答案】C

【分析】根据从左面看所得到的图形即可解答.

【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示:

故选：C.

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在

左视图中.

3.（跨学科试题）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm,像距为18cm,则当火焰高度为3cm

时，火焰倒立的像的高度是（）

A.4B.4.25C.4.5D.5

【答案】C

【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物

距与像距的比值，设火焰倒立的像的高度为xcm,

则代

解得：x=4.5,

即火焰倒立的像的高度是4.5cm,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形.

4.如图，图1是由5个完全相同的正方体搭成的几何体，现将标有E的正方体平移至图2所示的位置，下列

说法中正确的是（）

图1图2

①左、右两个几何体的主视图相同

②左、右两个几何体的俯视图相同

③左、右两个几何体的左视图相同

A,①②③B.②③C.①②D.①③

【答案】B

【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案.

【详解】解：由题意可画出图1、图2的三视图，

图1：

上03

主视图左视图俯视图

图2：

丑出可

主视图左视图俯视图

・•・左、右两个几何体的左视图和俯视图相同，主视图不相同，

②③正确.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键.

5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是

A.③①④②B.③②①④

C,③④①②D.②④①③

【答案】C

【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东，影长由长变短，再变长，由此

判断出时间先后顺序.

【详解】团从早晨到傍晚物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东，影长由长变短，再变长，

回①为东北，②为东，③为西，④为西北，

团将它们按时间先后顺序排列为③④①②.

故选C.

【点睛】本题考查平行投影，解题的关键是知道太阳光是平行光线以及太阳光下物体影子的变化规律.

6.李师傅做了一个零件，如图，请你告诉他这个零件的主视图是（）

【答案】A

【分析】根据主视图的定义，从前面看即可得出答案.

【详解】根据主视图的定义，从前面看，得出的图形是一个正六边形和一个圆，

故选A.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和观察图形的能力,

同时也培养了学生的空间想象能力.

7.如图是一个圆锥体的三视图（图中尺寸单位：cm）,则它的侧面展开图的圆心角为（）

A.60°B.90°C.120°D.135°

【答案】D

【分析】由圆锥体的三视图可得底面圆的半径为3,然后根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长可进

行求解.

【详解】解：由三视图可得：圆锥底面圆的半径为3,

团li2cx3c加=——871n

180

解得：n=135。；

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图、三视图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图、三视图及弧长公

式是解题的关键.

8.如图，在菱形ABC。中，AB=2,EIA=120°,过菱形ABC。的对称中心。分别作边A8,BC的垂线，交各

边于点E,F,G,H,则四边形斯G8的周长为（）.

A.3+遮B.3+2A/3C.2+V3D.1+2次

【答案】A

【分析】证明回是等边三角形，求出ER同法可证自OGH,SEOH,回。尸G都是等边三角形，求出

GF,FG即可.

【详解】解：如图，连接8。，AC.

A

团四边形A5c。是菱形，回840=120°,

^\AB=BC=CD=AD=2,团3A。二团DA0=60°,BDBAC,

回朋50=回C5O=30°,

IS0A=jAB=l,OB=V3OA=V3,

团。国45,OF^\BC,

团团3E0二团5/0=90°,

在团3E0和团5R9中，

Z-BE0=Z.BF0

Z.EB0=乙FB0,

BO=B0

^\BEO^BFO(AAS),

^\OE=OF,BE=BF,

团团E5尸=60°,

幽尸是等边三角形，

0EF=BE=V3x^=|,

同法可证，SDGH,^OEH,E10PG都是等边三角形，

aEF=GH=2,EH=FG坦

22

团四边形EFGH的周长=3+百，

故选：A.

【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

9.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=§(x>0)的图象和矩形4BCD在第一象限，4D平行于x轴，

且4B=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的

图象上，则矩形的平移距离a和左的值分别为()

A.a=2.5,/c=5B.a=3,k=6C.a=2,々=4D.a=2,k=6

【答案】B

【分析】设矩形平移后A的坐标是（2,6-a）,C的坐标是（6,4-cz）,得出仁2（6/）=6（4/）,求出a,

即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可.

【详解】解：由题意可得A、C落在反比例函数的图象上，

设矩形平移后A的坐标是（2,6-a）,C的坐标是（6,4-a）,

她、C落在反比例函数的图象上，

瞅=2（6-a）=6（4-a）＞a=3,

即矩形平移后A的坐标是（2,3）,

代入反比例函数的解析式得：心2x3=6,

故选：B

【点睛】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生

的计算能力.

10.如图，四边形ABCD中，0DAB=3O°,连接AC,将AABC绕点B逆时针旋转60。，点C与对应点D重合，

得到AEBD,若AB=5,AD=4,则AC的长度为（）

A.5B.6C.V26D.V41

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得BA=BE,回ABE=60。，AC=DE,进而可得回ABE是等边三角形，然后根据等边

三角形的性质和已知条件可得回EAD=90。，根据勾股定理可求出DE的长，即为AC的长

【详解】解：EBEBD是由EIABC旋转得到，

0BA=BE,团ABE=60°,AC=DE,

H3ABE是等边三角形，

EHEAB=60°,

EHBAD=30°,

EHEAD=90°,

®AE=AB=5,AD=4,

E1DE=y/AE2+AD2=V52+42=V41,即AC=V41.

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌

握上述知识是解题的关键.

第II卷（非选择题）

评卷人得分

11.给出如下5种图形：①矩形，②等边三角形，③正五边形，④圆，⑤线段.其中，是轴对称图形但

不是中心对称图形的有—.（请将所有符合题意的序号填在横线上）

【答案】②③

【分析】根据中心对称和轴对称图形的定义，逐一判断每个图形，即可得到答案.

【详解】①矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，

②等边三角形是轴对称图形，但不是中兴对称图形，

③正五边形是轴对称图形，但不是中兴对称图形，

④圆是轴对称图形，也是中心对称图形，

⑤线段是轴对称图形，也是中心对称图形，

故答案是：②③.

【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键.

12.如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点4落在长边CD上的点力处，并得到折痕DE,小宇测得长

边CD=8,则四边形AEBC的周长为

【答案】16

【分析】可证Z2DE="ED,从而可得再证四边形4EBC是平行四边形，可得C®TEBC=

2(4C+AE),即可求解.

【详解】解：•••四边形48CD是平行四边形，

•••ABWCD,

.­.Z.AED=/.A'DE,

由折叠得：^ADE=AA'DE,

AD=A'D,AE=A'E,

Z.ADE=Z.AED,

AD=AE,

AD=AE—A'D—A'E,

AB-BE=CD-A'D,

：.A'C=BE,

.•.四边形4EBC是平行四边形，

1',^BA'EBC~2(4C+A'E)

=2(.A'C+A'D)

—2CD-16.

故答案：16.

【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

13.一段公路路面的坡度为？=1:2.4,如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了米.

【答案】100

【分析】

本题考查解直角三角形的应用.设他沿着垂直方向升高了尤米，根据坡度的概念用尤表示出他行走的水平宽

度，根据勾股定理计算即可.掌握坡度等于铅直高与水平距离的比值，是解题的关键.

【详解】解：设此人升高了尤米，

回坡度为i=1:2.4,

回他行走的水平距离为2.4x米，

由勾股定理得，X2+(24x)2=2602,

解得：%=100(负值舍去)，

即他沿着垂直方向升高了100米，

故答案为：100.

14.如图，已知。为原点，点4的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),。。过4B,。三点，点C为优弧04B上一点

(不与点。重合)，则cost：的值为.

【答案】|

【分析】连接AB,利用圆周角定理得回C=团。4B,将问题转化到RtHABO中，利用锐角三角函数定义求解.

【详解】解：如图，连接2B.

回乙4。8=90°,0A=4,0B=3

团在Rt^AOB中ZB=VOX2+OB2=5.

国乙C=4OAB,

AO4

故答案为：|

【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理及锐角三角函数的定义.关键是运用圆周

角定理将所求角转化到直角三角形中解题.

15.在中，乙4cB=90。，AC=BC,点E、F分别是边CZ、的中点，已知点P在线段EF上，联

结AP,将线段/P绕点P逆时针旋转90。得到线段DP,如果点P、D、C在同一直线上，那么tan4sp=

【答案】V2-1.

【分析】分两种情形：①当点。在线段PC上时，延长4。交8C的延长线于从证明AD=DC即可解决问

题.

【详解】解：①如图2中，当点。在线段PC上时，延长4）交8c的延长线于从

H

^\CE=EA,CF=FB,

^EF^AB,

^AC=AB,MC3=90°

团团CEF=IECA8=45°,

BPD=PA,国4Po=90°

圆U%D=mP0么=45°,

回回HDC=囱PDA=45°,

团点E是边心4的中点，

@EA=EP=EC

团团EPC=MEP,

加"OC=回。CA+回£>AC=45°,

团。£1尸=回0cA+回EPC=45°,

^\DAC=BEPC=^\ECP,

团ZM=OC,设A尸=〃，则ZM=OC=鱼a,

团PC=(V2+l)a

0tanzC71P=g=^^=V2+l

②如图3中，当点尸在线段CD上时,

由①可知，EfWAB,团CA3=I3PD4=45°,

团团CA£>=180叱朋。。.45。,

13C0A=180o-aACO-45o

^\CAD=BCOA,

回£7同AB,

mCPE=BCOA,

团团。尸£=E1cAO,

团点E是边心4的中点，

回EA=EP=EC

^\ECP=BCPE,

^\ECP=BCAD,

团0A=OC,设AP=〃，贝!JPO=〃，DA=DC=V2a,

国PC=(V2-l)a

团tan4czp=—=(—T)°=V2-1

PAa

:点P在线段EF上，情况①不满足条件，情况②满足条件，

综上所述，tanzC4P的值是或一L

【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾

股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键.

16.如图，在矩形纸片力BCD中，AB=3,BC=4,E、F分别为边力B、BC中点，G、H分别为边力D、CD上

的一点，且笠=)，连结线段EG、FH,现折叠纸片，点A、C的对应点分别为4,。，G4的延长线交边BC于

CH4

点P,FC'的延长线交PG于点Q,若黑=%则4G=

【答案］呼

6

【分析】先证明AAEGs△CFH,得N4EG=NCFH,由折叠得4E=AE=BE,zAEG=^A'EG,乙CFH

Z.CFH,/.EA'G=Z.A=90°,贝ikPA'E=90°,/.AEA'=Z.CFC,Z.A'EB=180°-Z.A'PB,而zQPF=180°-

乙A'PB,所以“PF=乙/BE=“"，贝l|FQ=PQ,即可由黑=%推导出亲=亲=|

作QM1BC于点M,PN1AD于点N,则FM=PM=-PF=-(2-BP),再证明△QFM^△PGN,得小="=

22GNGP

(则GN=(FM=：x[(2—BP)=|(2—BP),所以GN=AG—AN=4G—BP,于是得4G—BP=

2(2—BP),贝lj8P=34G—4；连接PE,证明△AEG”△BPE,得竺=竺，则AG•BP=AE•BE=三x三=2

3BEBP224

于是得2G(34G—4)=9,即可求得4G=匕弃，得到问题的答案.

46

【详解】解：回四边形4BCD是矩形,

0Z4=NB=NC=90°,BCWAD,

5\AB=3,BC=4,E、/分另lj是AB、BC的中点，

113II

BAE=BE=-AB=-x3=-,BF=CF=-BC=-x4=2,

22222

/E3

13—=i—=A—B=

CF-BCBC4

2

AG3

0—=

CH4

"EAG

0—=—,

CFCH

0AAEG^△CFH,

应XEG=乙CFH,

由折叠得4E=AE=BE,/-AEG=4/'EG,(CFH=乙C'FH,LEA!G==90°,

团乙4E4=2^AEG,ACFC=2/.CFH,APA'E=180°-Z.EA'G=90°,

^Z.AEA'=Z.CFC,/.A'EB=360°-ZB-Z.PA'E-WPB=180°-/.A'PB,

0ZQPF=180°-^A'PB,

I3NQPF=Z-A'EB,

EIzQFP=180°-乙CFC'=180°-/.AEA'=Z.A'EB,

ElNQPF=4QFP,

B1FQ=PQ,

作QM1BC于点M,PNLAD于点、N,则NQMF=/PNG=90。，FM=PM==久2-BP),

I?1AQFM^△PGN,

型="=三，

GNGP4

团GN==(x*2-BP)=|(2-BP),

团NPN/=z.A=Z.B=90°,

团四边形ZBPN是矩形，

回/N=BP,

^\GN=AG-AN=AG-BP,

EL4G-BP=式2-BP),

整理得BP=3AG-4,

连接PE,

0P£=PE,BE=A'E,

EIRt△BEPmRt△4'EP（HL）,

EINBEP=Z-A'EP,

1

团乙PEG=乙A'EG+^AfEP=乙AEG+乙BEP=-x180°=90°,

2

团匕A=乙B,/.AEG=乙BPE=90°-乙BEP,

0AAEG〜△BPE,

回竺=丝，

BEBP

339

^\AG-BP=AE•BE=-x-=-

224f

q

EL4G（3AG-4）=/

解得4G=空场或AG=刀（不符合题意，舍去），

66

故答案为：空竺.

6

【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形的判

定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

评卷人得分

17.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABC。的四个顶点都在小正方形的顶点上，点、E

在3c边上，且点E在小正方形的顶点上，连结AE.

（1）把线段AE向右平移2个单位（A点对应点为。，E点对应点为C）为CD,画一画.

（2）在图中画出EAEF,使S4E尸与EL4EB关于直线AE对称,点尸与点2是对称点;

（3）求0AEP与四边形ABC。重叠部分的面积.

A

4——

E

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6

【分析】（1）将点4E向右平移2个单位得到D,C,连接CD,则线段CD即为所求；

（2）根据网格的特点找到B关于4E的对称点F,连接4F,EF,则△4EF即为所求作三角形;

（3）根据网格的特点，0AEF与四边形ABC。重叠部分的面积为S-HE-SADHG-

【详解】（1）如图，点4E向右平移2个单位得到D,C,连接CD,则线段CD即为所求，

（2）如图，找至IJB关于力E的对称点F,连接4F,EF,贝必4EF即为所求作三角形,

（3）如图，EAE尸与四边形A2C。重叠部分的面积为SAAHE—SADHG=|x4x4-|x2X2=6,

F

【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，格点中求三角形的面积，掌握平移的性质与轴对称的性质是

解题的关键.

18.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆42的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡

AC的坡度为1：10(即AE：C£=l：10),学生小明站在离升旗台水平距离为30m(即CE=30m)处的C

点,测得旗杆顶端2的仰角a=30°,已知小明身高CD=1.7m,求旗杆A3的高度.(参考数据：tan30°=0.58,

结果保留整数)

【答案】旗杆48的高度约为16m

【分析】过。作ZX泡4E于G,由锐角三角函数定义求出BG=17.4(m),则(m),再由坡度的定

义求出AE=3(m),即可解决问题.

【详解】解：过。作DGfflAE于G,如图所示：

贝腼3OG=a,四边形OCEG为矩形.

^DG=CE=30m,EG=CD=1.7vr\

在中，a=30°,

RC

团atna=—=tan30°=0.58,

DG

团3G之0.58x30=17.4(m),

团3E=8G+EG=17.4+1.7=19.1(m),

团斜坡AC的坡比为1：10,CE=30m,

SAE：CE=1：10,

I-1

E1AE=—CE=—x30=3（m）,

ioio

fflAB=2E-AE=19.1-3=16（m）.

答：旗杆AB的高度约为16m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，借

助仰角构造直角三角形是解题的关键.

19.在平面直角坐标系中，AABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1,以原点O为位似中心，在第

一象限内，对AABC进行位似变换，得到△OEP（点A,B,C分别对应点。，E,F）,且AABC与△£»£下的

相似比为2：1

（1）画出ADEF；

（2）线段AC上一点（x,y）经过变换后对应的点的坐标为；

（3）求△£）£产的周长.

【答案】⑴见解析；（2）（7,1）；（3）1+V2+V5

【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出答案;

（2）利用（1）中所画图形得出答案；

(3)根据勾股定理解答即可.

【详解】解：⑴ADEF如图所示.

(2)由(1)得：(x,y)经过变换后对应的点的坐标为：(|.r)|y)

⑶由题意得：DE=1,EF=V12+I2=V2,DF=V12+22=V5,

ElAnEF的周长是。£+跖+。/=1+/+4.

【点睛】本题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键.

20.(1)如图①，在8x6的网格图中，每个小正方形边长均为1,原点。和A4BC的顶点均为格点.点C坐

标为(2,4),以。为位似中心，在网格图中作使△ABC与△ABC位似，且位似比为1:2,(保留作

图痕迹)，则点C'的坐标为,周长比CA4WC，：CAABC=.

(2)如图②，AB和OE是直立在地面上的两根立柱.AB=6m,某一时刻力B在阳光下的投影BC=4m,DE

在阳光下的投影长为6cm.请你在图中②画出此时DE在阳光下的投影EF.根据题中信息，求得立柱DE的

图①图②

【答案】(1)图见解析，(1,2),1:2；(2)图见解析，9

【分析】(1)利用位似图形的性质得出4,B',厂的位置，进而得出答案；由所画图形可得；

(2)根据已知连接4C,过点。作DF||AC,即可得出EF就是OE的投影；禾U用三角形△力BC-△得出比

例式，求出DE即可.

【详解】解：(1)如图，△4夕L即为所求作三角形，

团位似比为1:2,

团C"B'C"CAABC=12

故答案为：(1,2),1:2；

(2)连接AC,过点。作DFII4C,交直线8E于R

回太阳光线是平行的，

WF||AC,

国乙4cB=乙DFE,

又ELBBC=乙DEF=90°,

ElAABCs△DEF,

"BBC

回--=--,

DEEF

团48=6m,BC=4m,EF=6m,

「64

0--=一,

DE6

WE=9m,

故答案为：9.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及位似变换，利用位似比得出对应点的位置是解题关

键.

21.如图，在矩形ABC。中，点E在边4。的延长线上，DE=DC,连接BE,分别交边DC、对角线4c于点尸,

G,AD=FD.

⑴求的度数;

/r\［、.、TCFAC

(2)求证：—=—

【答案】(1)乙4GE=90°

⑵见解析

【分析】(1)先根据"ASA"证明ACZM三AEDF,得N4EG=N2CD进而得出N4EG+ADAC=90。，可得答

案；

⑵根据矩形的性质说明ABCFsAEDF,再根据相似三角形的性质得会=能进而得出哈=总然后根

DFDEDFCD

据两角相等的两个三角形相似得△GMsAEAB,即可得出曝再结合4B=CD,得噤=冬最后综

BEABBECD

合两个比例式得出答案.

【详解】(1)解：WE=DC,AD=FD,乙EDF=4CDA=90°,

0ACZL4三△EDF(ASA),

团乙4EG=Z.ACD.

回乙ACD+乙DAC=90°,

^AEG+匕DAC=90°,

也上AGE=90°.

(2)证明：在矩形ABC。中，BC\\ADfAADC=^LDAB=90°,

MC||DE,

0ABCF~△EDF,

回BC=AD,DE=CD,

0M-F=-AD

DFCD

由（1）得N/EG=Z.ACD,

又MAB=Z.CDA=90°,

[?]△CDA^LEAB,

0^-AC=—AD

BEAB

胤48=CD,

I「E-CF=-AC

DFBE

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等，灵活的选

择判定定理是解题的关键.

B,C,。为格点，48交CD于点。.请直接写出tan/AOC的值」

图1

（2）如图2,点P是线段上的动点，分别以AP,8P为边在4B的同侧作正方形APCD与正方形PBEF,连

接DE分别交线段BC,PC于点M,N.

①求ADMC的度数；

②连接4C交DE于点H,直接写出器的值.

【答案】（1）|；（2）@LDMC=45°；②亨

【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理与勾股定理的逆定

理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）将线段CD平移至AE处，使点C与点4重合，连接BE,贝北。||AE,则NAOC=NEAB,由勾股定理和勾

股定理逆定理得出N4EB=90°,再由tan乙4OC=tan/EAB=笠计算即可得出答案；

AE

（2）①平移线段BC至DG处，连接GE,证明△4GD三ABEGCAS）得出DG=EG,^ADG=AEGB,推出

Z.EGD=90°,从而得出NGDE=/GED=45。，即可得解；②先根据正方形的性质推出△2DH^。氏

再由相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：（1）如图，将线段CD平移至4E处，使点C与点力重合，连接BE,

则CD||AE,

Z.AOC=Z.EAB,

由勾股定理得：AB=V32+42=5,BE=Vl2+22=V5,AE=V42+22=2小,

•••AB2=AE2+BE2,

4AEB=90°,

・•・tan乙4OC=tanZ,EAB=—=一，

AE2

故答案为：|；

（2）①如图，平移线段BC至DG处，连接GE,

则乙DMC=4G0E,四边形DGBC是平行四边形，

DC=GB,

,・•四边形4DCP与四边形PBEF都是正方形，

DC=AD=AP,BP=BE,乙DAG=Z-GBE=90°,

•••DC=AD=AP=GB,

•••AG=BP=BE,

在△/GO和△BEG中，

AG=BE

Z-DAG=Z.GBE,

、AD=BG

AGD三△BEG(SAS),

DG=EG,Z.ADG=Z-EGB,

・•.Z,EGB+^AGD=AADG+/.AGD=90°,

・••乙EGD=90°,

・•.Z.GDE=乙GED=45°,

・•・乙DMC=(GDE=45°；

②如图，

图2-2

•••力。为正方形ADCP的对角线,

AD=CD,/.DAC=/.PAC=/.DMC=45°,

・•・△4CD是等腰直角三角形,

AC=>J2AD,

•・•4"CM=乙BCA,

・.・"HD=Z.CHM=Z.ABC,

.*.△ADH〜AACB,

.AH_AD_V2

"AB~AC~2,

23.直角三角板ABC中，M=30。,8C=1.将其绕直角顶点。逆时针旋转一个角灯(0。<aV120。且aH90°),

得到Rt团4'8'C.

备用图备用图

(1)如图，当边49经过点3时，求旋转角a的度数;

⑵在三角板旋转的过程中，边4c与A8所在直线交于点。，过点。作。丸48'交。夕边于点。连接8E.

①当0。<仇<90。时，设AZ)=%,BE=y,求y与％之间的函数解析式及自变量％的取值范围；

②)当=]SAABC时,求AZ)的长.

【答案】⑴〃=60。

⑵①y=^-x(0<x<2)；②AO=1或4D=1+鱼.

【分析】(1)由旋转的性质可得出的=aB'CB=60。；

(2)①当0。《90。时，点。在AB边上(如图).根据平行线。碗AB'分线段成比例知詈=掾、及由旋

转性质可知，CA=CA',CB=CB',0AC£)=I3BCE由此证明EICWEBCBE；根据相似三角形的对应边成比例、直

角三角形的性质及她=30。求得方等(0<x<2)；

②先求得EABC的面积,再由EICADEBCBE,求得BE,分情况讨论：当点。在边上时,AD^x,BD^AB-AD^2-x；

当点。在A2的延长线上时，AD=x,BD=x-2.进而问题可求解

【详解】(1)解：在RtflABC中，00A=3O°,

^Z-ABC=60°.

由旋转可知：B'C=BC,^B'=^ABC=60°,Zcr=

盟B'BC为等边三角形.

0Zcr=4B'CB=60。.

(2)①当0。<a<90。时，点。在AB边上(如图).

团。£团4'8',

团「——CD=——CE.

CArCB'

由旋转性质可知，CA=C4,CB=CB',^ACD^BCE.

团「-C-D=--C-E,

CACB

「CDCA

0一=—.

CECB

团团CA。回团C5E.

的4=30°

求=些="

xAC3

团y=yx(0<%<2)

②回朋3C为直角三角形，BC4朋=30。,

^\AB=2BC=2,

由勾股定理得：AC=V22-I1=V3,

^ABC=\BC-AC=^-,

当0。＜仇＜90。时，点。在A3边上时,

AD=x,BD=AB-AD=2-x,^\DBE=90°.

此时，SXBDE=XBE=1(2-%)X亨=一七2辰

当SABDE=[SAABC时，3产=今整理，得/一2x+l=0.

3oo

解得X1=%2=1，即AD=1.

当90。<a<120。时，点。在AB的延长线上时(如图).

V5/-2旧X

6

V3X2-2V3XV3

当SABDE=^SAABC时,

—6~二丁

整理，得x2-2x-1=0.

解得=1+V2,x2=1-42(负值，舍去).

即2。=1+V2.

综上所述：AO=1或4。=1+V2.

【点睛】本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识.解决本题的关键

是结合图形，分类讨论.

24.如图1,在矩形A8CD中，AB=6,AD=8,E、尸分别为A8、A。边的中点，四边形AEGF为矩形，连

接CG.

(1)如图1,请直接写出m=；如图2,当矩形AEGP绕点A顺时针旋转至点G落在AB上时,芸=

(2)当矩形AEGE绕点A旋转至图3的位置时，图2中。尸与CG之间的数量关系是否还成立？说明理由.

(3)如图4,在nABC。中，回8=60。，AB=6,A£)=8,E、尸分另U为43、边的中点，四边形AEGP为

平行四边形，连接CG,当。AEGF绕点A顺时针旋转60。时(如图5),请直接写出CG的长度.

【答案】（1）（噎；（2）成立；（3）V39

【分析】（1）①如图1中，由此EG交CD于则四边形FGH。是矩形.在RtZXCGH中，利用勾股定理

即可解决问题；

②如图2中，作叮，AZ）于尸.利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、。尸即可解决问题；

（2）成立.理由如下：连接AG、AC.只要证明△AObs2\ACG,可得器=翌=二即可解决问题；

（3）利用图4中，证明CG=Wz）P,在图5中，连接AG、AC.同法可证:AACG^AADF,可得:"=竺=退，

4DFAD4

可得CG^—DF.求出。尸即可解决问题.

4

【详解】解：（1）①如图1中，由此EG交C。于H,则四边形是矩形.

在RtEICGH中，GH=DF=4,CH=DH=AE=3,

0CG=VCH2+GH2=5,

胫二

CG5

②成立.理由如下：

如图2中，作打包4。于P.

在矩形AEGP中，0AE=3,EG=4,

0AG=5,BG=AB=AG=1,

在RfflCBG中，CG=V82+l2=V65

由她打砸AEG,可得爷=|

^APPF4

IE—=—=-

345

1228

^AP=—,PF—,DP=AD-AP=8--=

555

在RtElP。/中，DF=A/PD2+PF2=|V65

^DF4

ID---=—

CG5

故答案为:1

(2)成立