中考数学几何图形专项训练：最值模型（含答案与解析）

:值模型专项训练

本专题主要包含最值模型：将军饮马模型、将军遛马（造桥）模型、费马点模型、瓜豆原理（直线轨迹）、

胡不归模型等。（共40题）

1.（2023•山东•统考二模）如图，矩形ABC。的边AB=?,BC=3,E为A8上一点，且AE=1,F为AD边

上的一个动点，连接EP,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,E/=EG,连接CG,则CG的最小

值为（）

2.（2023上•广东广州•九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，。是直线＞=x+2上的一个动

点，将。绕点P。,。）顺时针旋转90。，得到点。‘，连接。0,则。。'的最小值为（）

3.（2023上•河南新乡•九年级校考期中）如图，RtQABC中，ZACB^90°,ZA=30°,8C=5,点E是边AC

上一点，将8E绕点5顺时针旋转60。到8F,连接CF,则CF长的最小值是（）

A.2B.2.5C.亚D.亚

2

4.（2023・陕西榆林•九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长是4,点£是。C上一个点，且

=1,尸点在/C上移动，则PE+PD的最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

5.（2023上•山东•九年级专题练习）如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点,

连接尸4PD、PQ,则PA+PD+PQ的最小值为（）

A.4B.3C.3+73D.2+73

6.（2022•湖南湘西•统考中考真题）如图，在RtA48C中，乙4=90。，”为8c的中点，H为AB上一点、,过

点C作CGII/8,交的延长线于点G,若NC=8,AB=6,则四边形NCG"周长的最小值是（）

A

G

A.24B.22C.20D.18

7.（2023下•江苏苏州•九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，NA=60。,A8=6.折叠该菱形，使

点/落在边8c上的点M处，折痕分别与边A2,A。交于点£,F.当点”的位置变化时，。厂长的最大值

为（）

A.3B.6-2A/3C.2A/3D.6-373

8.（2023下•浙江宁波•八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,点E为AB上一点,连

接DE,将VADE沿DE折叠，点A落在B处，连接FC,若H,G分别为/C,的中点，则H3的最小值

9.（2023上•广东佛山•九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,

点2G分别是CD,BC上的动点，连接A”，GH.E,F分别为AH,GH的中点，则EF的最小值是（）

AD

E\'H

BGC

A.2B.V2c变D.2V2

2

10.（2023上•四川达州•九年级校考期末）如图，正方形ABCD中，AB=A6,。是8C边的中点，点E是

正方形内一动点，。后=2,连接。E,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得。下，连接AE、CF,则线段OF

11.（2023上•陕西西安・九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD边长为5,点区厂为对角线30上两点,

且2石=2。尸，89=8,连接AE,A尸，则2A/+AE的最小值是

12.（2023上广东深圳•九年级校联考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=25点E在8C上,

连接DE,在点E的运动过程中，+的最小值为.

13.（2023•陕西榆林,九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形ABCD的对角线8。上一动点，若

ZABC=30°,则PA+PB+PC的最小值为

14.（2023上•湖北•九年级校考周测）如图，已知菱形ASCD的周长为8,面积为26,E为A8的中点，若P

为对角线BO上一动点，记尸C-PE的最大值为冽，记PC+PE的最小值为〃，则一=

n

15.（2023•重庆・九年级专题练习）如图，在YABCD中，点E,厂分别在边AB，AD上，折叠△AEP使得点

A落在C£＞上，若ZABC=120。，AD=4y/3,AB=8,则BE长度的最大值为

16.（2024上•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，在菱形ABCD中，AB=2,/BAD=60°,点P，。分

别在边A。，AB上，连接尸。，点A关于PQ的对称点在线段BC上，则£＞尸的最大值为

17.（2023下•山东烟台•八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=6,点尸、点0分别在边

AB.CD上，且OQ=P8,连接AQ和。尸，则AQ+OP的最小值是

18.（2023上•广西•九年级专题练习）如图，正方形ABCD中，AB=8,点E为AD的中点，点厂在AB上，

且AF=3,点G,H分别为BC,C。上的动点，连接EG,过点尸作EPLEG,垂足为点尸，连接P”，则PH

的最小值为.

19.（2023下•四川成都•八年级统考期中）如图，在Rt^MC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=86如

果在三角形内部有一条动线段MN〃3C,且MN=G，则4V+HW+CV的最小值为.

20.（2023上•湖北黄石,九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，OA=2,将线段Q4绕点。进

行旋转，8（2,0）,取A8中点C,典4,0）,连接CE,已知点Z）的坐标为（-⑷，那么将线段。4绕点。的

21.（2023上•陕西西安•八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点/的坐标为，P

是x轴上一动点,把线段PA绕点尸顺时针旋转60。得到线段PF,连接。/，则线段OP长的最小值是.

22.（2023•江苏南通•统考一模）平面直角坐标系xQy中，已知点尸（加，〃?+2）,点。0）,点

1）,则尸。+加最小值为.

23.（2023•江苏南通,九年级校考阶段练习）如图，在矩形N8CD中，^5=10,BC=5.若点M、N分别是

线段/C,上的两个动点，当aW+MN取最小值时48九W的周长为.

24.（2023•江苏•八年级专题练习）在边长为2的菱形/BCD中，乙4=60。，M是4□边的中点，若线段M4

绕点”旋转得线段M4'.（1）如图①，线段朋4的长=.（2）如图②，连接4C,则4c长度的最小

值是.

DD.

图①国②

25.（2023•北京昌平•八年级校考期中）己知：如图，边长为4的正方形N2CD中，点E为边。C上一点,

且。£=1,在NC上找一点尸，则DP+EP的最小值为

26.（2019•江苏宿迁•统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB

边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

27.（2023•四川•中考模拟）如图，在矩形N2CD中，42=4,40=3,矩形内部有一动点尸满足S△为庆gs短

"BCD,则点尸到/、3两点的距离之和我+尸2的最小值为

28.（2023•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，四边形ABCD是菱形，A5=6,且乙43c=60°,M是菱形

内任一点，连接/〃，BM,CM,则/M+2M+CM的最小值为.

D

29.（2024上•陕西咸阳•九年级统考期末）如图，尸为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，0为AD边上的

一个动点，AP的垂直平分线分别交AB,AP于点£,G,ZZMfi=30°,若的最小值为2,则AE的长

30.（2023下•江苏宿迁•八年级校考期末）如图，菱形ABCD的8C边在x轴上，顶点C坐标为（-3,0）,顶

点。坐标为（0,4）,点E在〉轴上，线段轴，且点尸坐标为（8,6）,若菱形ABCD沿x轴左右运动,

连接AE、DF,则运动过程中，四边形ADBE周长的最小值是

31.（2023•浙江•九年级专题练习）如图，正方形ABC。的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边

上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.

32.（2022•江苏•八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E为AB的中点，F为EC上一动点，P

为。F中点，连接PB,则PB的最小值是

33.（2023•河南新乡•统考一模）如图，在菱形A8CD中，NB=45。,E、尸分别是边C。,8c上的动点，连

接AE、EF,G、〃分别为AE、的中点，连接G”.若G”的最小值为3,则8c的长为.

34.（2023・四川雅安•统考中考真题）如图，在:中，ZC=90°,AC=BC=6.P为边AB上一动点，作

PDLBC于点D,PELAC于点E,则DE的最小值为.

35.（2024•广东深圳,八年级校联考期末）龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题"时抽象出数学模型：直

线/同旁有两个定点4B,在直线/上存在点P,使得刃+P2的值最小.

解法：如图1,作点/关于直线/的对称点4,连接©2,则48与直线/的交点即为P,且B4+P5的最小

值为4瓦

图1图2图3

请利用上述模型解决下列问题：⑴格点应用：如图2,边长为1的正方形网格内有两点/、B,直线/与4

8的位置如图所示，点P是直线/上一动点，则刃+P8的最小值为；⑵几何应用：如图3,AABC

中，ZC=9O°,AC=4,BC=6,E是的中点，P是边上的一动点，则为+PE的最小值为；

⑶代数应用：代数式J/+4+J（6-x>+36（04x46）的最小值为；

36.（2023・陕西咸阳•校考一模）【问题提出】（1）如图1,点48在直线/的同侧，点N到直线I的距离AC=2,

点8到直线/的距离8。=4,A,8两点的水平距离CD=8,点P是直线/上的一个动点，则AP+8P的最

小值是;

【问题探究】（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是4D的中点，线段E尸在边A8上左右

滑动，若EF=1,求GE+CF的最小值；

【问题解决】（3）如图3,某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BO

（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点尸），并在A。和8C上分别选取点M、N,沿PM、PN和脑V修

建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小.

已测出NACB=45。，ZADB=60°,ZCPD=75°,PD=40m,PC=50及m，管理人员的想法能否实现，

若能，请求出PM+PN+MN的最小值，若不能，请说明理由.

图1图2图3

37.（2023•广东广州,八年级统考期末）在长方形N8C。中，48=4,BC=8,点、P、。为边上的两个动

点（点尸位于点0的左侧，P、。均不与顶点重合）,

图③

（D如图①，若点£为CD边上的中点，当。移动到8c边上的中点时，求证：AP=QE；

⑵如图②，若点£为CD边上的中点，在P0的移动过程中，若四边形4尸。£的周长最小时，求AP的长;

⑶如图③，若〃、N分别为40边和CO边上的两个动点（V、N均不与顶点重合），当BP=3,且四边形

P@W的周长最小时，求此时四边形尸QW的面积.

38.（2023•重庆•九年级校考阶段练习）已知如图，在YA3CD中，点E是AD边上一点，连接

BE,CE,BE=CE,BELCE,点F是EC上一动点，连接昉.

（1）如图1,当8B_LAB时，连接。尸，延长BE,CD交于点K,求证：FD=DK；

（2）如图2,以8尸为直角边作等腰放△F8G,/尸8G=90。，连接GE,若DE=^,CD=6当点产在运

BB

图1图2

39.（2023,江苏苏州,八年级校考期中）背景资料：在已知nAFC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点

被人们称为"费马点”.如图L当UABC三个内角均小于120。时，费马点尸在DABC内部，当

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。时，贝1|P4++PC取得最小值.

（1）如图2,等边nABC内有一点P,若点P到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求的度数，为

了解决本题，我们可以将口4取绕顶点A旋转到△ACP处，此时nACP三口A5P这样就可以利用旋转变换，

将三条线段总、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出ZAPS=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与口ASC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.（2）如图3,DABC三个内角均小于120。，在ABC外侧作等边三角形口AM，,连接C?,求证：CB'过

□ABC的费马点.⑶如图4,在R兀ABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，点P为口ABC的费马点，

连接AP、BP、CP,求丛+P3+PC的值.⑷如图5,在正方形ABCD中，点£为内部任意一点，连接AE、

BE、CE,且边长A8=2；求AE+3E+CE的最小值.

40.（2023上•福建厦门•九年级校考期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在

同一条直线上的三个点4B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理

学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为"费马点"或"托里拆利点

⑴下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：

①当2ABC的三个内角均小于120°时,

如图1,将△回（7绕点C顺时针旋转60。得到口4尸'。,连接PP,

•••AAPC绕点C顺时针旋转60°得到nAPCPC=PC,ZPCP'=60°

△尸CP为三角形，二PP'=PC

•••AAPC^A^rCP'A'=PA.-.PA+PB+PC=PP'+PB+AP'

由几何公理：可得：PP'+PB+A'P'>A'B

.•.当B,P,P',A在同一条直线上时，以+P3+PC取最小值，

如图2,丛+依+尸。最小值为48,此时的P点为该三角形的“费马点"，且有===

②当DASC有一个内角大于或等于120。时，"费马点”为该三角形的某个顶点，证明略.

（2）如图3,在ABC中，三个内角均小于120。，且/ABC=60。，AB=5,BC=3,若P为口45c的“费马点”，

求上4+P3+PC的值；⑶如图4,设村庄48,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,3c=2瓜m,

ZACB=60°.现欲建一中转站尸沿直线向4B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄4B,C

的铺设成本分别为1万元/km,1万元/km,&万元/km,则总的铺设成本最少是万元.

:值模型专项训练

本专题主要包含最值模型：将军饮马模型、将军遛马（造桥）模型、费马点模型、瓜豆原理（直线轨迹）、

胡不归模型等。

1.（2023•山东•统考二模）如图，矩形ABCZ）的边AB=:,BC=3,E为A8上一点，且AE=1,F为AD边

上的一个动点，连接EP,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EP=EG,连接CG,则CG的最小

D.20

【分析】过点G作GH_LAB于H,过点G作MN||AB,由"AAS"可证△GEH三ZkEFA,可得GH=AE=1,可得点G

在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解.

【详解】解：如图，过点G作GH1AB于H,过点G作MNIIAB,

•••四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=3,.4=90。，CD=2,AD=3,

9

•.•AE=1,.-.BE=2,•.•ZGHE=ZA=ZGEF=90°,

.••ZGEH+Z.EGH=90°,NGEH+NFEA=90°,.-.ZEGH=ZFEA,

又•；GE=EF,.1.AGEHSAEFA(AAS),.-.GH=AE=1,

.・•点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动,

・••当F与D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3,

-1-3^1+22=-

2

.■•CG的最小值=）,故选B.

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键.

2.（2023上•广东广州•九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，。是直线y=-：x+2上的一个动

点，将。绕点P。,。）顺时针旋转90。，得到点Q',连接。Q',则。Q'的最小值为（）

5V5

cr.------D.述

25

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后°的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数

的性质即可解决问题.

Q[

【详解】解：作QM'x轴于点M,Q'N,无轴于N,设

p/iOA/=—zn+2

则尸加=冽-1,2,

ZPMQ=ZQ'NP=NQPQ'=90。...ZMPQ=90°-ZNPQ'=ZNQ'P

ZPQM=ZQ'NP

<NMPQ=ZNQ'P

在口心。和A2VQ7中，.{QP-PQ：JMPQ珏N0P（AAS）

PN=QM=-^m+2QN=PM=m_xON=OP+PN=-^m+2+\=3-^m

。，3j,〜59

=/-2）、5

当机=2时，°。2有最小值为5,二。。'的最小值为石，故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与

图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键.

3.（2023上•河南新乡•九年级校考期中）如图，RtQABC中，/ACB=90°,ZA=30°,BC=5,点、E是边AC

上一点，将8E绕点5顺时针旋转60。到8F,连接CF,则CF长的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.且

2

【答案】B

【分析】取A8的中点为点D,连接过点D作。归,AC,垂足为H,在RC1ABC中，利用含30度角

AD=BD=-AB=5

的直角三角形的性质可求出AB的长，NABC的度数，再根据线段的中点定义可得2,从

DH=-AD=2.5

而可得2,然后利用旋转的性质可得：BE=BF,NEBF=60。,从而利用等式的性质可得

ZABE=ZCBF,进而利用SAS证明△3DE乌最后利用全等三角形的性质可得小=。尸，再根据

垂线段最短，即可解答.

【详解】解：取A8的中点为点D,连接DE,过点D作DH'AC,垂足为H,••・乙狂分=9。°,

■.ZACB=90°ZA=30°BC=5.AB=2BC=10,N4BC=90°-NA=60°

AD=BD=-AB=5DH=-AD=2.5

•・•点D是AS的中点，2，:2

由旋转得：BE=BF,ZEBF=60°,ZEBF=ZABC=60°,

...ZEBF-ZEBC=ZABC-ZEBC,ZABE=ZCBF,

...BD=BC=5BDE旬BCF(SAS),DE=CF,

当时，即当点E和点H重合时，OE有最小值，且最小值为2.5,

•••5长的最小值是2.5,故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

4.（2023・陕西榆林•九年级校考阶段练习）如图，正方形/BCD的边长是4,点E是DC上一个点，且DE

=1,P点在NC上移动，则PE+P。的最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】连接BE,交AC于点N',连接DW,N，即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股

定理求出BE的长即可.

【详解】解：如图,

••・四边形ABCD是正方形，.•.点B与点D关于直线AC对称，

连接BE,交AC于点N',连接DN',.-.DN^BN',DN'+EN'=BN'+EN'»BD,

则BE的长即为DP+PE的最小值，；.AC是线段BD的垂直平分线，

又•.♦CE=CD-DE=4-1=3,在Rtz^BCE中，BE2=CE2+BC2=25,

・•・BE>0,；.BE=5,即DP+PE的最小值为5,故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的

最小值转化为BE的长是解题的关键.

5.(2023上,山东•九年级专题练习)如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，。为边8c上一动点，

连接P4PD、PQ,贝lJPA+PD+尸。的最小值为()

A.4B.3C.3+73D.2+73

【答案】D

【分析】将绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,贝U知口4尸尸是等边三角形，转化为两定点之间的折线,

再利用"垂线段最短"求最小值.

【详解】如图，将公,绕点A逆时针旋转60°得到△4FE,则3AFP是等边三角形，

._AG=GD=1,ZAEG=3O。，GH=AB=2,...EG7AE?-AG?=6,：.EH=2+6

..PA+PD+PQ=EF+FP+PQ>EH.PA+PD+PQ>2+y/3

•f9

...PA+PD+PQ的最小值2+g.故选：

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确

定，解本题的关键是确定取最小值时的位置.

6.（2022•湖南湘西•统考中考真题）如图，在Rt&48C中，乙4=90。，”为8c的中点，”为A8上一点，过

点C作CG||4B,交即1的延长线于点G,若/C=8,4B=6,则四边形/CG8周长的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通过证明△BMHmACMG可得BH=CG,可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH,进而可确定当

MH1AB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解.

【详解】rCGIIAB,.,.Z_B=NMCG,是BC的中点，；.BM=CM,

ZB=ZNCG

<BM=CM

在aBMH和△CMG中，=...△BMHmaCMG（ASA）,.・.HM=GM,BH=CG,

vAB=6,AC=8,四边形ACGH的周长=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,

.•.当GH最小时，即MH1AB时四边形ACGH的周长有最小值，

•••ZA=90°,MH1AB,.-.GHIIAC,二四边形ACGH为矩形，；.GH=8,

二四边形ACGH的周长最小值为14+8=22,故选：B.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键.

7.（2023下,江苏苏州•九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折叠该菱形，使

点4落在边8C上的点M处，折痕分别与边A2,A。交于点£,F.当点”的位置变化时，长的最大值

为（）

A.3B.6-2A/3C.2月D.6-373

【答案】D

【分析】先根据菱形的性质得到仞=8=.=6,ZC=ZA=60°,可知当AF的长最小时，。尸的长最大,

由折叠性质得A尸=松，故当RW3C时，FM的长最小，即A尸的长最小，如图，过点D作DG,BC于

G,证明四边形以孙田是矩形得到FN=DG,然后解直角三角形求得DG即可求解.

【详解】解：••・四边形"CD是菱形，

.AD=CD=AB=6,"=NA=60。，...当河的长最小时，£>产的长最大，

由折叠性质得A尸=R0,故当FW3C时，的长最小，即A尸的长最小，

如图，过点D作OG_LBC于G,则NEMG=N£>G版■="»?=NGZ»=90。，

...四边形DGMF是矩形，...RWuDG,在Rt^DGC中，ZC=60°,CD=6,

...Z）G=C£>sin60o=3/，..5产长的最小值为36，此时。月长的最大值为6-3力，故选：D.

【点睛】本题考查菱形的性质、折叠性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂线段最短，熟练掌握菱

形的性质和折叠性质，将问题转化为求人尸即FM的最小值是解答的关键.

8.（2023下•浙江宁波•八年级校考期中）如图，在矩形A8CD中，AB=6,BC=3,点E为AB上一点,连

接。E,将VADE沿DE折叠，点A落在/处，连接FC,若H,G分别为/C,BC的中点，贝ljH3的最小值

【答案】C

【分析】如图所示，连接828尸，当点尸在线段2。上时，BF的值最小，则也有最小值，根据矩形的性

质，勾股定理的知识可求出2。的长，再根据题意可得H5是中位线，根据中位线的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，连接9,3尸,

在VBOF中，2尸.•.当点下在线段上时，3F的值最小，则H5有最小值,

如图所示，点尸在线段8。上，•••四边形的8是矩形，.=6,BC=3,

2222

.ZDAB=90°,AD=BC=3,...在Rt/XABO中，BD=y）AB+AD=76+3=3A/5；

•.、4上沿。£折叠，点人落在尸处，；.仞=田=3,...瓦7=刖-。/=3逐-3,

HG=-BF=-........

：H，G分别为FC,2C的中点，...在△BCF中，HS是中位线，:22,故选：C.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，三角形三边的数量关系，勾股定理求线段长度，三角形

中位线的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键.

9.（2023上•广东佛山•九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,

点”,G分别是CD,BC上的动点，连接A”，GH.E,F分别为AH,GH的中点，则EF的最小值是（）

A.2B.-^2C.———D.2y

【答案】C

“c,“EF=-AG

【分析】作AQ'BC,根据中位线定理可推出2，进一步可得当AG,BC时，AG有最小值，此

时E尸的值也最小.据此即可求解.

【详解】解：作AQ'BC,如图:

•••E,F分别为胆G”的中点...2

-AQ

故：当4G_L8C时，/G有最小值，此时E尸的值也最小尸的最小值是2

vZC=135°>AB=2,ZB=180°—135°=45°

也

二40=ABxsin45o=逝...E尸的最小值是2故选：c

【点睛】本题考查了中位线定理、平行四边形的性质、解直角三角形等.掌握相关结论即可.

10.（2023上四川达州•九年级校考期末）如图，正方形JSCD中，AB=4贬,。是8C边的中点，点E是

正方形内一动点，皴=2,连接。£,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得OF,连接"、CF,则线段。尸

【答案】475-2

【分析】连接将线段加绕点D逆时针旋转为。得连接。尸，小OM,证明【皿运二皿,

nj■得EM=OE=2,由条件可得0M=4石，根据。尸+M/二。W，即可得出OF的最小值.

【详解】解：连接心。，将线段衣绕点D逆时针旋转90°得。河，连接OF,FM,OM,

...DE=DF,DO=DM,,0EDO^FDM(SAS):FM=OE=2,

•••正方形4B8中，48=心历，O是BC边的中点，

OD=J(4码Z+(2应『=25OM=#亚)2+仅亚y=46

...仍+的上31,二。尸二班-2,...线段0F长的最小值为4百-2.故答案为：44-2

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，以及三角形三条边的关系.解题的关键是掌

握图形旋转的性质.

11.(2023上陕西西安九年级校考阶段练习)如图，菱形48边长为5,点E、尸为对角线8。上两点，

旦BE=2DF,BD=8,连接贝!124F+4E的最小值是.

【分析】取4民BE的中点p,Q,连接尸0,尸C,QC,连接4c交5D于点H,过点p作尸G_LBC,交BC于

点G,证明口5C0”]M(SAS),得到CQ=4F,推出当点p,Q,c三点共线时，02+尸2有最小值，最

小值为PC长的2倍，利用菱形的性质及勾股定理求出尸。的长即可.

【详解】解：取四，鹿的中点p,Q,连接尸。，尸。，℃,连接/C交8。于点也过点p作尸G_LBC,交BC

于点G,贝=BQ=-BE.8是菱形，...川=3。，AD//BC,："F=NCBQ,

4--------------------------“

BQ=DF.'QBCQ^\DAF(SAS),CQ=AF

■.■2AF+AE=2AF+-AE=2(CQ+PQ)>2PC

当点P,Q,C三点共线时，°Q+尸。有最小值，最小值为尸。长的2倍,

_____BH=—BD=4

■CD是菱形，且边长为5,二助_140,2,AB=BC=5,

1

AH=yjAB^-BH=3,;./C=6,「西团一广口亚'

:.-BCPG=-x-ACBH-x5PG=-x6x4,-.PG=—

,即2

743

...CG=BC-BG=5——=—

1010,

2A/+AE的最小值为质，故答案为：屈.

【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，动点问题求最小值，三角形中位

线定理，正确作出辅助线构造全等，灵活运用勾股定理是解题的关键.

12.（2023上•广东深圳•九年级校联考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=26，点E在8c上,

连接DE,在点E的运动过程中，笈石+夜。石的最小值为

［答案］2+2^3/2A/3+2

【分析】在线段BC下方作/CBM=45。，过点E作所于点P,连接。尸，求出此时。尸的长度便可.

【详解】解：•••四边形MCD是矩形，AB=2,AD=20

...ZDC£=90°,CD=AB=2,BC=AD=26,...BE=2C-CE,

在线段BC下方作NCBM=45。，过点E作所于点B，连接

A._____________________D

/

/

/

/

/

;尸,「

X

rx

、

、

EF=—BE—BE+DE=EF+DE>DF

2,2,

BE+DE=EF+DE=DF

当D、E、尸三点共线时，2的值最小，此时NDEC=NBEF=45。,

■_CE=CD=2,..BE=2y/3-2,DE=722+22=272,...跖=3班=后,

—BE+DEr-r-

2的最小值为：EF+DE=^+戈,

（五、

B£+V2D£=A/2—BE+DE=2+2立

...3E+&OE的最小值为（2J.故答案为：2+2道.

【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是

—BE+DE

作辅助线构造2的最小值.

13.（2023•陕西榆林•九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形ABCD的对角线2D上一动点，若

ZABC=30°,则B4+Pfi+PC的最小值为.

【答案】4应

【分析】将口48尸逆时针旋转60。得到nABP,根据题意证明出△P'BP是等边三角形，得到PP=5P,进而

得到B1+P3+PC=A'P+PP+尸C4AC,证明出当点A,P,,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最

小，即为AC的长度，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】如图所示，将口AB尸逆时针旋转60°得到口42尸'，

...PA+PB+PC^AP'+PP'+PC<AC

当点A,P',p,C四点共线时，尸A+PB+PC的值最小，即为AC的长度,

・菱形的边长为4«,«BC=AB=A!B=4

...ZABC=30°,ZABA=60°...ZABC=90°...AC=yjAB2+BC2=4血

...PA+PB+PC的最小值为40.故答案为：4A/2.

【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键

是将nABP逆时针旋转60。得到口42口.

14.（2023上•湖北•九年级校考周测）如图，已知菱形ABCD的周长为8,面积为2也,E为的中点，若P

为对角线BO上一动点，记尸C-PE的最大值为相，记PC+PE的最小值为"，则一=.

【分析】过点C作CE'^AB,交A8与点£,再根据菱形的面积求出CE',根据勾股定理求出BE,可得点

E和点E'重合，即可得出PC+PE的最小值为CE,然后根据点C和点A关于2。对称，可知

PC-=PA-PE,进而当点P与点B重合时，得出尸。一尸£的最大值为AE,即可得出答案.

【详解】解：过点C作CEUA8,交A8与点£,

•••菱形的周长为8,面积为2出，...48=3。=2,...加,翦=2向，...CE'=石.

在RtABCE'中，BE'=y]BC2-CE'2=1....点E是A8的中点，,BE=1,...点E和点£重合.

根据三角形的三边关系可知PC+PENCE,=6.

•••点C和点A关于8。对称，.•.以=PC,即比一团=期一困.

m=1V3

当点P与点B重合时，得出尸C-PE的最大值为AE,V33.故答案为：T.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，三角形三边关系等，确定点

的位置是解题的关键.

15.（2023•重庆•九年级专题练习）如图，在YABCD中，点£/分别在边AB，AD±,折叠即使得点

A落在。上，若NABC=120。，AD=A6AB=8,则8E长度的最大值为.

AEB

【答案】2

【分析】由折叠的性质可知钻=