中考数学模型复习讲义：半角模型（解析版）

大招:半角模型

k_____________________

(ika

成j模型介绍

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三

角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型o解决类似问题的常见办法主要有两种：

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三

角形角含半角模型;正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

(1)如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°，点D,E在BC上，且NDAE=45°,

贝1］：BD2+CE2=DE2.

图示(1)作法1：将AABD旋转90°作法2：分别翻折

△ABD,AACE

(2)如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,点D在BC上，点E在BC延长线上,

且NDAE=45°,贝I：BD2+CE2=DE2.

翻折法

图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=45°,连接EF,

过点A作AGJ_于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD.

图示（1）作法:

（2）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，NEAF=45°,

连接EF,

贝U：EF=DF-BE.

图示（2）作法:将4ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD,

ZBAD+ZC=180°，点E,F分别在边BC,CD上，NEAF=1

ZBAD,连接EF,则：EF=BE+DF.

2

BB,

C

图示（3）作法：将aABE绕点A逆时针旋转/BAD的大小

【专题说明】

半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，

掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

【知识总结】

过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为

半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形

通过旋转到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,

再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

声方政提娃

一、半角模型特征

1、共端点的等线段；2、共顶点的倍半角；

二、半角模型辅助线的作法

1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角;

2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；

3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。

film

瑞例题精讲

【例1].如图，正方形A3C。的边长为4,点E,尸分别在AB,上，若CE=5,且/ECF

=45°,则CF的长为—20M

解：如图，延长月9到G,使QG=8E；

连接CG、EF-,

•••四边形ABCQ为正方形，

'CB=CD

在△BCE与△DCG中，，NCBE=/CDG，

BE=DG

:ABCE沿△DCG(SAS),

:.CG=CE,/DCG=NBCE,

：.ZGCF=45°,

'GC=EC

在△GCF与中，，NGCF=/ECF，

CF=CF

AGCF^A£CF(SAS),

：.GF=EF,

:CE=5,CB=4,

:.BE=3,

：.AE=1,

设贝!]Z)F=4-x,GF=3+(4-x)=7-x,

EF=VAE2+X2=V1+x2'

/.(7-x)2=l+x2,

7

即A尸=21,

7

尸=4-处=2，

77

•••CF=7CD2+DF2=^42+(y)2='故答案为：[2-

G.、

A变式训练

【变式17】.如图四边形ABC。中，AO〃BC,NBC£)=90°,AB=BC+AD,ZDAC^45°,

E为CD上一点,且/BAE=45°.若CZ)=4,则△ABE的面积为()

B.

B谓48

T嗒

解法一：作交CB的延长线于R在C尸的延长线上取一点G,使得PG=QE.

,JAD//BC,

：.ZBCD+ZADC=1SO°,

：.ZADC^ZBCD^ZAFC^90°,

四边形AOCF是矩形，

VZCAD=45°,

：.AD=CD,

四边形AOCP是正方形，

：.AF=AD,ZAFG=ZADE=90°,

AAFG^AAD£,

J.AG^AE,NFAG=NDAE,

：.ZFAG+ZFAB=ZEAD+ZFAB=45°=ZBAE,

：./\BAE^/\BAG,

：.BE=BG=BF+GF=BF+DE,

设BC=a,则AB=4+a,BF=4-a,

在RtZXABB中，42+(4-a)2=(4+a)2,解得a=l,

：.BC=1,BF=3,设BE=b,贝UOE=6-3,C£=4-(b-3)=7-b.

在RtZ^CE中，12+(7-b)2=/,解得b=空，

7

，8G=8E=至，

7

5AABE=5AABG=—X—X4=—.

277

【变式1-2].如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且/BDC=

120°,以点。为顶点作一个60°的角，使其两边分别交A3、AC于点M、N,则△AMN

的周长为10.

D

解：:△BDC是等腰三角形，且NB£)C=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

•••AABC是边长为3的等边三角形，

AZABC=ZBAC=ZBCA^60°,

：.ZDBA^ZDCA^90°,

延长AB至凡使BF=CN,连接DF,

在△8。产和△口)"中，

'BF=CN

,ZFBD=ZDCN>

DB=DC

ABD%△CDN(SAS),:.NBDF=NCDN,DF=DN,

\'ZMDN=60°,

:./BDM+NCDN=60°,：.ZBDM+ZBDF=60°,

在和中，

'JMD

<ZFDM=ZMDN>

DF=DN

:ADMNQADMF(SAS)：.MN=MF,

：.AAMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=5+5=10.故答案为:

10.

【变式1-3].如图，在正方形A8CD中，点。是对角线8。的中点，点P在线段。。上，

连接AP并延长交CD于点E,过点P作PF1AP交BC于点F,连接A尸、EF,AF交BD

于G,现有以下结论：

®AP=PF；

②BG?+Dp2=Gp2；

③PB-PD=MBF；

®S四边形PEFG=S^APG.

图1

•：AP±PF,四边形A2C£＞是正方形,

AZABF=ZAPF=90°,ZABD=ZCBD^45°,

'：AT^TF,

：.BT=AT=TF=PT,

：.A,B,F,尸四点共圆,

：.ZPAF=ZPBF=45

：.ZPAF=ZPFA=45°,

：.PA=PF,故①正确，

②如图2,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到过点5作8N_L5D,交AM于

N,连接NG,

VZADE=ZABM=90°,ZABC=90°,

/.ZABC+ZABM=180°,

图2

VZEAF=45°,ZDAB=90°,

：.ZDAE+ZBAF=45°,

•；NDAE=NBAM,

：.ZBAM+ZBAF=45°=ZEAF,

*：/GBN=90°,ZABZ)=45°,

/.ZABN=45°=ZADP9

*：AB=ADf/DAP=/BAN,

：.ADAP^ABAN(ASA),

：.AP=AN,

\'AG=AGf

：.AAGP^AAGN(SAS),

:・PG=NG,

VZNBG=90°,

：.BN1-^BG1=NG1,

：.BG2^-PD2=GP2,故②正确；

③如图3,连接尸C,过点尸作PQJ_b于。，过点尸作尸WJ_C。于W,则四边形尸。CW

是矩形，

图3

在和PBC中，

'PB=PB

<ZPBA=ZPBC>

AB=BC

:.4PBA2APBC(SAS),

：.PA=PC,

'JPF^PA,

：.PF=PC,

'JPQLCF,

：.FQ=QC,

,:PB=y[^BQ,PD=®PW=®CQ=®FQ,

:.PB-PD=M(BQ-FQ)=42BF,故③不正确；

④如图2,ZABF+ZAPF=180°

/.A,B,F,尸四点共圆,

ZAPG=ZAFB,

:AAFE^AAFM,

ZAFE=ZAFB,

：.ZAPG=/AFE,

:ZPAG=ZEAF,

：./\PAG^/\FAE,

S

.AAPG=(AP)2=(AP)2=

"SAAFE后(&AP)爹

5Hii®PEFG=S^APG,故④正确，故答案为：①②④.

【例2】.如图，ZXAE/中/EAP=45°,AG±EF^G,且GF=2,GE=3,求SMEF.

解：如图，将AAEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿A尸折叠得到△AF。，延长BE

和。月相交于点C.

：.AD=AG=AB,ZD=ZAGF=90°,ZB=ZAGE=90°,NDAF=NGAF,/BAE

=ZGAE,

VZEAF=45°^ZFAG+ZGAE,

：.ZDAF+ZBAE=45°,

AZDAB=45°+45°=90°,

即N8=NO=NOA8=90°,AD=AB,

四边形ABC。是正方形.

由折叠知，RtAABE^RtAAGE,RtAADF^RtAAGF,

:.BE=EG=3,DF=FG=2,

,:EF=5,

设AG=x,贝ijAB=BC=C£)=AG=x,CE=CB-BE=x-3,CF=x-2.

VCE2+CF2=£F2,

(x-3)2+(x-2)2=52.

解得Xl=6,X2=-1(舍去).

；.AG=6.

/\AEF的面积=1E>AG=1X5X6=15.

22

A变式训练

【变式2-1].如图，等边△ABC中，D、E为BC边上的点，BD=2CE,NZME=30°,DE

=3,CE的长为苫互.

—7―

解：将△A2£)绕点A逆时针旋转60°得到△ACR作尸H_L2C于H.

,?AABC是等边三角形，

J.AB^BC^AC,NB=/BAC=NACB=60°,

VZDAE=30°,

AZCAF+ZCAE=ZBAD+ZCAE=30°,

.\ZEAD=ZEAF=30°,

\'AE=AE,AD=AF,

：./\EAD^AEAF,

：.DE=EF=3,设EC=x,则BD=Cf=2无

VZACF=ZACB=60°,

ZFCH=60°,

：.CH=^CF=x,FH=®c,

在RtZXEFH中，EF2=EH2+FH2,

.,.9=4/+37,

.-3V7

••Ar-----,

7

故答案为宜

7

【变式2-2].如图，在梯形ABC。中，AD//BCCBOAD),ZD=90°,BC=CD12,

NABE=45°,若AE=10.求CE的长度.

延长DM到G,使MG=CE,连接BG,

易知四边形BCDM是正方形，

则△BEC与△BGAf中，

，BC=BM

<ZC=ZBMG=90°，

EC=GM

：./\BEC^/\BMG(SAS),

：.ZMBG=ZCBE,BE=BG,

"：ZABE=45°,

ZCBE+ZABM=ZMBG+ZABM=45°,

BPZABE=ZABG=45°,

在△ABE与△ABG中，

'BE=BG

<ZABE=ZABG-

AB=AB

AAABE^AABG(SAS),

：.AG=AE=10,

设CE=x,贝i」AM=10-x,

AD—12-(10-x)—1+x,DE—12-x,

在RtZXADE中，AE1=AD2+DE2,

.,.100=(x+2)2+(12-x)2,

即x2-10x+24=0；

解得：xi=4,X2=6.故CE的长为4或6.

【变式2-3].如图①，在△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点。和点E均在边3C上,

且/ZME=45°.

(1)如图②，把△A3。绕点A顺时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合，连接

EG,求证：△DAEWXGAE；

(2)试猜想80、DE、EC应满足的数量关系，并写出推理过程.

：.AD=AG,

VZBAC=90°,ZZ)AE=45°,

：.ZEAG=45°,

在△D4E和AGAE中，

'AD=AE

<ZDAE=ZEAG>

,AE=AG

AADAEVAGA£(SAS)；

(2)由△D4E且△GAE,

：.BD=EG,

由旋转，BD=CG,ZACG=ZB,

\'ZBAC=90°,

：.ZECG^90°,

在RtZ\CEG中，EG2=EC2+CG2,

C.DE^CEr+BD1.

实战演练

1.如图，已知等边三角形△ABC边长为a,等腰三角形△BOC中N8OC=120°,ZMDN

=60°,角的两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN的周长为（

A

D

A.aB.2aC.3aD.4〃

解：•..△BDC是等腰三角形，且/8£^=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

:AABC是边长为a的等边三角形，

AZABC=ZBAC=ZBCA=60°,

：.ZDBA^ZDCA^90Q,

延长AB至R使BF=CN,连接。F,

在尸和Rtz\CND中，BF=CN,DB=DC,

.•.RtABDF^RtACDA^(HL),

:.NBDF=NCDN,DF=DN,

；NMDN=60°,

：.ZBDM+ZCDN=60°,

AZBDM+ZBDF=60°,ZFDM=60°=ZMDN,0M为公共边，

:.ADMN”丛DMF(SAS),

:.MN=MF

：.AAMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a,

故选：B.

2.如图，菱形ABC。的边48=20,面积为320,ZBAD<90°,。0与边A8,4D都相切,

A.5B.6C.2A/5D.3V2

解：如图作ZM/_LA2于H,连接BZ),延长A。交2。于E.

:菱形ABC。的边AB=20,面积为320,

：.AB'DH^32.0,

：.DH=16,

在Rtz\AZW中，AH=VAD2-DH2=121

：.HB=AB-AH=S,

在Rtz^BD”中，BD=I/DH2+BH2=8V5>

设0。与AB相切于R与A。相切于J,连接OF,OJ,贝!]OFLAB,OJ±AD,OF=OJ,

.♦.OA平分//MB,

'：AD=AB,

：.AE.LBD,

'：ZOAF+ZABE=90°,ZABE+ZBDH=9Q°,

：.NOAF=NBDH,,:NAFO=/DHB=90°,

AAOFsADBH,

.OA=OF

"BD而，

.10-OF

,寺F

：.OF=2疾.

故选：C.

3.如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=6,点、E、尸分别在BC、CD±,若AE=QZ

EAF=45°,则AF的长为2\/76.

解：取AB的中点M,连接ME,在A。上截取设DF=DN=x,

•••四边形ABC。是矩形,

：.ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=6,

：.NF=yj2x,AN=6-x,

VAB=2,

：.AM=BM=1,

VAE=V5，AB=2,

；・BE=1,

AM£=VBM2+BE2=V12+12=V2,

VZEAF=45°,

AZMAE+ZNAF=45°,

VZA/AE+ZAEM=45°,

/.NMEA=NNAF,

：.AAMEsAFNA,

•・•—AM二ME,

FNAN

.1V2

••—--=-，

V2x6-x

解得尤=2.

2222

AF=VAD+DF=VS+2=2A/I5.

故答案为：2标.

AYD

BEC

4.PA,依切O。于A、B两点,CO切。。于点E,交E4、PB于C、D,若。。的半径为

r,△PCQ的周长等于3r,则tan/APS的值是段.

—5―

解：连接。4、OB、OP,延长BO交必的延长线于点况

'：PA,PB切。。于A、8两点，CO切0。于点E

：.ZOAF^ZPBF^90°,CA=CE,DB=DE,PA^PB,

,/APC£>^J^^z=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

：.PA=PB=^-r.

在RtAPBF和RtAOAF中，

(NFAO=NFBP,

1ZOFA=ZPFB，

.".RtAPBF^RtAOAF.

•AF.LAQ_r_2

"FB萨3后，

2r

：.AF^—FB,

3

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

：.(B4+AF)2-PB2=FB2

2

：.(旦r+Z^P)-(2.r)2=2/2,

232

解得BF=^-r,

5

18

5.如图，在正方形ABC。中，点M,N在CB,CD上运动，且NAMN=45°,在MN上截

取一点G,满足BM=GM,连接AG,取AM,AN的中点RE,连接GRGE,令AM,

AN交BD于H,/两点,若AB=4,当GF+GE的取值最小时，则HI的长度为8-4J5.

BMC

解：如图1中，将△A£W绕点A顺时针旋转90°得到△AR7,则AN=A7,NDAN=N

BAJ,

：.ZDAB=ZABC=90°,

VZMAN=45°,

：.ZMAJ=ZMAB+ZBAJ=ZMAB+ZDAN=45°,

・•・/MAJ=/MAN,

,：AM=AM9AJ=AN,

：.AAMJ^/XAMN(SAS),

・・・ZAMB=/AMN,

\9MA=MA,MB=MG,

：.AMAB^^MAG(SAS),

・・.A5=AG=4,ZABM=ZAGM=90°,

VAF=FM,AE=EN,

：.FG=^AM,EG=LAN,

22

:.GF+GE=L(AM+AN),

2

下面证明当AM=AN时，AM+AN的值最小，如图2中，过点A在直线/〃MN,作点N

关于直线/的对称点N，,连接AM,MN'.

图2

•：N,N1关于直线对称，

:.AN=AN',

：.AM+AN=AN'+AM,

.•.当A,M,N'共线时，AM+AN的值最小，

此时：AN=AN',

:./ANN'=ZAN'N,

〃直线/,NN'1.直线/,

：.NN'±MN,

：.ZMNN'=90°,

ZAMN+ZAN'N=90°,

ZANM+ZANN'=90°,

：.NAMN=Z.ANM,

；.AN=AM,

：.当AM=AN时，AM+AN的值最小，

如图1中，当AM=AN时，可知8/7=。/,过点H作HP_LA8于P,在AP上截取一点K,

使得AK=K〃，连接K”，设PH=PB=x,

VZBAM=ZDAN=22.5°,KA=KH,

:.NKAH=NKHA=225°,

AZPKH=ZKAH+ZKHA=45°,

:.PK=PB=PH=x.AK=KH=®x,

'：AB=4,

.,.2x+yf2x—A-,

...x=4-25

:.BH=DI=®1PB=4如-4,

,:BD=4®

:.HI=4近-2(472-4)=8-472-故答案为8-4近.

6.如图，正方形被两条与边平行的线段ERGH分割成四个小矩形，P是与G”的交

点，若矩形PPCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定的大小并证明你的

结论.

解：如图，连接网，延长CB到使BM=DH,连接AM,

"?RtAABM^RtAADH,

：.AM=AH,ZMAB=ZHAD,

：.ZMAH=ZMAB+ZBAH=ZBAH+ZHAD=90°,

如图设正方形边长为“，AG=m,GP—n,则尸C=〃-〃，CH=a-m,

因为面积是二倍所以列式得到：/-(m+n)a+mn=2mri9

2

在直角三角形尸CH中方"2=(〃_〃)2+(a-m),将上面的式子联立得到:

FH2=MF2=(m+n)2,即得到FH=MF,

'：AF=AF,AH=AM,

：.AAMF^AAHF,

：.ZMAF^NHAF,

：.ZHAF=ZMAF=45°.

B

7.如图，正方形ABC。的边长为1,点M、N分别在3C、CD±,且的周长为2,

：.NC=1-x,MC=1-y,CANCM=NC+CM+NM=2,

.\NM=x+y.

将△OVA绕点A顺时针旋转90°至AAB凡

F

则NM=M尸，AM^MA,AN=AF,

：./\ANM^/\AFMCSSS).

：.ZNAM=45°,NDNA=NAFB=/ANE.

过点A作垂足为E,

■:/AEN=ND,ZDNA=ZANE,AN为公共边，

:.△DANQ△EAN(A4S),

.\AE=AD=l,

•・•在RtZXCMW中，由勾股定理得：Cm+C序=Nhfi,

(1-x)2+(1-3；)2=(x+y)2,

・••化简得：xy+x+y-1=0,①

S/\ANM=(x+y)②.

•・・(x-y)220,

(x+y)224孙，

二孙W6四)2,③

4

・・・将②③代入①并整理可得S2+2S-1^0,④

(5+1)222.

VS>0,

;心我-1,

△MAN的面积的最小值为&-1.

8.如图，E是正方形ABC。中C。边上一点，以点A为中心把△AOE顺时针旋转90°.

（1）在图中画出旋转后的图形；

（2）若旋转后E点的对应点记为M,点尸在BC上，且NEAP=45°,连接EF.

①求证：AAMF式AAEF；

②若正方形的边长为6,AE=3代，求E?

解：（1）如图，为所作;

(2)①如图，连接EF.

•••四边形ABCO是正方形，

AZBAD=90°,

:/\ADE点A顺时针旋转90°得到4加阳,

：.AM=AE,ZMAE=90°,

又；/EAF=45°,

：.ZMAF=ZEAF,

在△AM尸和△AEF中，

M=AE

-ZMAF=ZEAF>

AF=AF

(SAS).

@VAAMF^AAEF,

:・EF=MF,

即EF=MF=BM+BF,

而BM=DE,

：.EF=BF+DE,

在中，DE=/一皿2J(3粕)2一6?=3,

：.CE=CD=DE=6-3=3,

设EF=x,则8b=x-3,

.\CF=6-(x-3)=9-x.

在RtZSCEF中，CF2+CE1=EF2,

即(9-x)2+32=X2,

解得：x=5.

即EF=5.

9.如图，边长为1的正方形ABC。中，点E、尸分别在边CD、A。上，连接BE、BF、EF,

且有AP+CE=EF.

(2)探究NEBF的度数是否为定值，并说明理由.

解：(1)设CE=x,AF=y,贝lj£)E=l-x,DF=l-y,

'：AF+CE=EF,

*.EF=x+y.

•・•四边形A5c。是正方形,

：.ZD=90°,

：.EF2=DE1+DF2,即(x+y)2=(1-X)2+(1-y)2,

xy+x+y—1,

(AF+1)(CE+1)=(y+1)(x+1)=孙+工+丁+1=1+1=2；

(2)NEB尸的度数为定值，理由如下：

如图，将△ABb绕点3顺时针旋转90°得到△BCM,此时AB与C8重合.

由旋转，可得：AB=CB,BF=BM,AF=CM,ZABF=ZCBM,ZBCM=ZA=90°,

：.ZBCM+ZBCD=900+90°=180°,

...点M、C、E在同一条直线上.

,：AF+CE=EF,CM+CE=EM,

；.EF=EM.

rBF=BM

在△BEP和△BEM中，<BE=BE>

EF=EM

.♦.△BEF"ABEM(SSS),

ZEBF=NEBM=NCBM+NCBE=ZABF+ZCBE,

XVZABC=9Q°,ZABC=ZEBF+ZABF+ZCBE,

：.ZEBF=^ZABC=45°.

10.在正方形ABC。中，连接80.

（1）如图1,AE±BDE,直接写出/BAE的度数；

（2）如图2,在（1）的条件下，将AAEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得

到△AB1E1,ABi与BD交于M,AE1的延长线与BD交于N.求证：BW+NbJMN2.（提

示，将△AN。绕点A顺时针旋转90°,得到△AEB,并连接）

（3）如图3,E、尸是边BC、CD上的点，△（;£1/周长是正方形ABCZ）周长的一半，AE,

AF分别与BD交于M、N,写出线段3M、DN、MN之间的数量关系，并证明.

•:BD是正方形ABCD的对角线,

：.ZABD=ZADB=45,

'：AE±BD,

：.ZABE=ZBAE=45°；

(2)将△4VD绕点。顺时针旋转90°,得到

AZADB=ZFBAf/BAF=/DAN,DN=BF,AF=AN,

•・•在正方形ABC。中，AELBD,

：.ZADB=ZABD=45,

JZFBM=ZFBA+ZABD=ZADB+ZABD=90°,

在RtZkBFM中，根据勾股定理得，FB1+BM2=FM1,

•・・旋转△ABE得到△ABiEi,

：.ZE\ABi=45°,

：.ZBABi^ZDAN=90°-45°=45°,

*//BAF=DAN,

：.ZBABi+ZBAF=45,

/.ZMM=45°,

：.ZFAM=ZE1AB\,

9：AM=AM.AF=AN,

：.AAFM^AAW,

:・FM=MN,

■:BW+F"FM2,

:.BM2+DN2=MN2.

(3)结论：BM2+DN2=MN2.

将△4£＞尸绕点A顺时针旋转90,得到△A3G,

：.DF=GB,

•・,正方形A5CO的周长为4AB,

△CEF周长为EF+EC+CF,

:△CE尸周长是正方形A5CZ)周长的一半，

：.4AB=2(EF+EC+CF),

：・2AB=EF+EC+CF

•:EC=AB-BE,CF=AB-DF,

：.2AB=EF+AB-BE+AB-DF,

・・・EF=DF+BE,

■:DF=GB,

；.EF=GB+BE=GE,

由旋转得到AF=AG,

'：AE=AE,

：.AAEG^AAEF,

：.ZEAG=ZEAF=45°,

同理可得BA^+DN2=MN2.

11.如图，四边形A8C0为正方形，若点A坐标为（0,5）.

（1）如图1,直接写出点B的坐标⑸5）；

（2）如图1,点。为线段OA上一点，连接BD,若点A到8。的距离为1,求点C到

BD的距离；

（3）如图2,若。为x轴上一点，且0D=2,M为y轴正半轴上一点，且/O8M=45°,

直接写出点/的坐标（0,」回）或（0,至）.

--------4----------6-

解：（1）•四边形A8CO为正方形，点A坐标为（0,5）,

：.B的坐标（5,5）,

故答案为：（5,5）；

（2）如图1,作AE_LBO于E,于尸，

VZABE+ZFBC^90°,ZABE+ZEAB^90°,

：.ZFBC=ZEAB,

又；AB=BC,NAEB=/BFC=9Q°,

.'.△ABE出ABCF(A4S),

.•.2F=AE=1,

又•.•BC=OA=5,

CF=>/BC2-BF2=2^6，

即点C到瓦)的距离为2遍；

(3)①当点。位于x轴正半轴时，如图2,在x轴上截取CF=AM,

M

I______，»

()\DCFx

图2

"：AB=CB,ZMAB=ZFCB=90°,

:.AABM出ACBF(SAS),

:.BM=BF,ZABM=ZCBF,

"：ZDBM=45°,

；./DBF=NDBC+NCBF=NDBC+NABM=90°-ZDBM=45°,

ZDBM=ZDBF,

又，；BD=BD,

:.ADBM-DBF(SAS),

设OM^y,则AM=CF=5-»DF=DM=CD+CF=5-2+5-y=8-»

在Rt/XMOD中，MD2=OM2+OD2,

即(8-y)2=『+22,

解得：尸工，

4

此时用■点坐标为(0,正)；

4

②当点。位于X轴负半轴时，如图3,在无轴上截取C/=AM,

图3

同理可得之△CBE,ADBM%LDBF,

设OM=y,贝l|AM=y-5=C尸，DF=2+5-(y-5)=12-y=DM,

在RtZ\MO。中，MD1=OM2+OD2,

即(12-y)2=y2+21,

解得：尸更，

6

此时M点坐标为(0,翌)，

6

综上，M点坐标为（0,—）或（0,—

46

故答案为：（0,生）或（0,更）.

46

12.（1）【探索发现】

如图1,正方形A8C。中，点M、N分别是边BC、CD上的点，NMAN=45°,若将△

D4N绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN0ZkAMG,若△A/CN的周长为

6,则正方形A8C。的边长为3.

（2）【类比延伸】

如图（2）,四边形ABC。中，AB^AD,/区4。=120。，ZB+ZD=180°,点、M、N分

别在边8C、CD上的点，ZMAN=60°,请判断线段8ALDN,MN之间的数量关系，

并说明理由.

（3）【拓展应用】

如图3,四边形A5CD中，AB=AD=10,ZAZ）C=120°,点、M,N分别在边5C,CD

上，连接AM,MN,AABM是等边三角形，AM±AD,DN=5请直接写出

MN的长.

图1

：.MN=GM,

,:DN=BG,GM=BG+BM,

：.MN=BM+DN,

「△CA/N的周长为：MN+CM+CN=6,

：.BM+CM+CN+DN=6,

：.BC+CD=6,

.•.BC=C£>=3,

故答案为3.

(2)如图2中，结论：MN=NM+DN.

延长CB至E,使BE=DN,连接AE,

VZABC+ZD^180°,ZABC+ZABE^180°,

ZD=/ABE,

在△ABE和△AON中，

'AB=AD

-ZABE=ZD-

BE=DN

AABE咨AADN,

：.AN=AE,ZDAN=ZBAE,

'：NBAD=2NMAN,

：.ZDAN+ZBAM=ZMAN,

：.NMAN=NEAM,

在△AMN和中，

'AN=AE

<ZMAN=ZMAE-

AM=AM

/\MAN^/\MAE,

：.MN=EM=BE+BM=BM+DN,即MN=BM+DN；

(3)解：如图3,把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△AOG,连接AN.作NH_L4£>

于H,在AH上取一点K,使得NNKH=30°

G

图3

在Rt/XOHN中，VZNDH=60°DN=5

：.DH-'DN—5(立二1).,HN=MDH=15-5®,

222

在Rt^KNH中，KN=2HN=15-5如,HK=MHN=美丐一英,

：.AK=AH-HK=15-573，

：.AK=KN,

:./KAN=/KNA,

:ZNKH=ZKAN+ZKNA,

：.ZNAK=15°,

/.ZMAN=150=L/BAD,

2

由(2)得，MN=BM+DN=10+5(«-1)=5+5如.

13.请阅读下列材料：

问题：正方形ABC。中，M,N分别是直线CB、0c上的动点，ZMAN=45°,当/MAN

交边C3、OC于点M、N（如图①）时，线段BM、OV和MV之间有怎样的数量关系？

小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=ON,并连接AE,构造全等三角形经过推理使

问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中，线段ON和MN之间的数量关系；

（2）当/肱4N分别交边CB,OC的延长线于点M/N时（如图②），线段BW,DN和MN

之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；

（3）在图①中，若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用（1）中的结论，试求MN

的长.

解：⑴BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

理由如下：

如图，在QC上截取。尸连接AF.

"：AB=AD,ZABM=ZADF=90°,

4ABM丝△4。尸(SAS)

J.AM^AF,ZMAB=ZFAD.

：.ZMAB+ZBAF=ZFAD+ZBAF=W1,

即/M4P=NA4r)=90°.

又/〃AN=45°,

：*NNAF=/MAN=45°.

:AN=AN,

：.小MAN学工FAN.

：.MN=FN,

即MN=DN-DF=DN-BM；

(3):正方形的边长为16,DN=4,

：.CN=12.

根据(1)可知，BM+DN=MN,

设MN=x,则4,

.'.CM—16-(尤-4)=20-x.

在RtZXCMN中，

•：MN2=CM2+CN1,

(20-x)2+122.

解得x=13.6.

.\MN=13.6cm.

14.问题背景:

如图1,在四边形ABC。中，AB^AD,ZBAD=120°,NB=NADC=90°,E,尸分

另1J是BC,CO上的点，且NEAB=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小

王同学探究此问题的方法是：延长ED到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE丝

△AOG,再证明会ZkAGR可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF.

实际应用：

如图2,在新修的小区中，有块四边形绿化ABC。，四周修有步行小径，且AB=A。，Z

B+ZD=180°,在小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与E之间有一池塘，不

能直接到达经测量得到BE=10米，。尸=15米，试求两凉亭之间的

2

距离EF.

解：问题背景：VZADC=90°,ZADC+ZADG=ISO°,

：.ZADG=9Q°,

在△ABE和△ADG中，

'BE=DG

<ZB=ZADG，

AB=AD

；.AABE经AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=