中考数学难点突破与训练：固定面积的存在性问题（含答案及解析）

专题53固定面积的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.【探索发现】

⑴如图1,是一张直角三角形纸片，NB=90，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经

过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正

确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.

【拓展应用】

（2）如图2,在ABC中，BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC±,

顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值（用含a、h的代数式表示）；

【灵活应用】

⑶如图3,有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明从中剪出了一个面积

最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），直接写出该矩形的面积.

2.已知二次函数>=办2+版-4（a>0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OACOB）,与y

轴交于点C.

（1）求C点坐标，并判断b的正负性；

（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D,已知DC：CA=1：2,直线BD与y轴交于点E,

连接BC,

①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出0A的取值范围.

3.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几

何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题

目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边形项8=5^^+5^^+5。班得

-(a+b)2=2x-ab+-c2,化简得：a2+b2=c2.

222

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程/+依=加的图解法是：画Rt.ABC,使NACB=90。，

BC=|,AC=\b\,再在斜边A2上截取3C=£,则AO的长就是该方程的一个正根(如实例二图).

根据以上阅读材料回答下面的问题：

(1)如图1,请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是,乙图要证明的数学

公式是,体现的数学思想是;

(2)如图2,按照实例二的方式构造戊ABC,连接C£>,请用含字母。、b的代数式表示AD的长，AD的

表达式能和己学的什么知识相联系；

(3)如图3,已知(O,AB为直径，点C为圆上一点，过点C作COLAS于点。，连接CO,设D4=q,

BD=b,求证：^^->y[ab.

2

a

-

2

实例一图实例二支

2

4.【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，?B90?,小明想从中剪出一个以-3为内角且面积最大的矩形，经过

多次操作发现，当沿着中位线OE、E尸剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确

性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.

如图②，在AABC中，BC=a,8C边上的高=矩形尸QVW的顶点P、N分别在边A3、AC上，

顶点Q、"在边上，则矩形PQMN面积的最大值为.（用含。,/7的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最

大的矩形（/3为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料A3C。，经测量AB=60a”，BC=105cm,CD=70cm,且tan8=g,

tanC=2,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边8C上且面积最大的矩形尸QMN,求该矩形的

面积.

5.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（ABVBC）的对

角线的交点O旋转（①一②—③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的

交点.

3

(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与CC重合)，BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的

数量关系：CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

(2)在图③中(三角板一直角边与0D重合)，试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接

写出你的结论.

(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由.

6.如图1,在RdABC中，NACB=90。，AC=BC,点。为边上一点，连接CO,/AZ)C=120。，把△AZJC

绕点A逆时针旋转得到△AD'C'(旋转后点C、D的对应点分别为C'、Ot),设旋转的度数为m(0°<m<360°).

(1)当机=30。时，如图2,连接CC并延长，交于点E.请直接写出NACC的度数；

(2)在(1)的条件下，请判断AOCE的形状，并说明理由；

(3)①小明在探究的过程中发现：当初=90。时，如图3,四边形ACBC'为平行四边形，请证明小明的结

论的正确性；

②请你再探究：在△AOC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C四点组成的

四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出机的值；若不能，请说明

理由.

7.如图示AB为。。的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上,

且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.

①求证：CE〃:BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：石，求△BCD的面积(注：根据圆的对称性可知OCLAB).

4

2

8.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2,抛物线y=-§

x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是0C上的动点(不与C重合)连接EB,过B点作BFLBE

交y轴与F

(1)求b,c的值及D点的坐标；

(2)求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；

(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问：当m为何值时S最小，并求出这个

最小值.

9.在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断:

MN

图1：小韩：若直线x=m(m>0)分别交x轴，直线产x和y=2x于点P、M、N时，有丽二

23

图2：小苏：若直线x=m(m>0)分别交x轴，双曲线y二一(x>0)和y=—(x>0)于点P、M、N时,

XX

*MN

有——=..

PM

图③

(1)填空：图2中，小苏发现的：

5

(2)若记图1,图2中MN为山，d2,分别求出山，d2与m之间的函数关系式.并指出函数的增减性;

(3)如图3,直线x=m(m>0)分别交x轴，抛物线y=x2-4x和y=x2-3x于点P,M,N,设A,B为抛物

线y=x2-4x,y=x2-3x与x轴的非原点交点.当m为何值时，线段OP,PM,PN,MN中有三条能围成等边

三角形？并直接写出此时点A,B,M,N围成的图形的面积.

10.如图：已知直线/：y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于A、8两点，抛物线y=-x?+6x+c经过点8,且

与x轴交于点C(2,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的横坐标为〃z,四

边形。4MB的面积为S,求S与相的函数表达式，并求出S的最大值；

(3)若点尸在平面内，点。在直线A3上，平面内是否存在点尸使得以O,B,P,。为顶点的四边形是菱形.若

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数尸底+6x+c交x轴于点A(-4,0),『(2,0),交y轴于点C(0,6),

在y轴上有一点仪0,-2),连接AE.

6

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求VADE的面积的最大值；

(3)抛物线的对称轴上存在着点P,使AAE尸为等腰三角形.符合条件的点P坐标有若干个，请求出任意一

个符合要求的点尸的坐标.

12.如图，抛物线＞=f2+6x+c与x轴交于4(2,0),3(-4,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出

。点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P,使得..PBC的面积最大？若存在，求出点尸的坐标及PBC

的面积最大值；若不存在，请说明理由.

13.如图，已知抛物＞=-/+加:+。与轴交于4(-1,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

⑵若点尸为线段8C上的一动点(不与2、C重合)，轴，且交抛物线于点交x轴于点N,求

的面积的最大值；

(3)若点。为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点E,使E到点B的距离与点E到点。的距离之差最大？若

存在，请直接写出点£的坐标；若不存在，请说明理由.

7

14.如图1,抛物线y=f一4x与X轴相交于原点。和点A,直线y=无与抛物线在第一象限的交点为8点,

抛物线的顶点为c点.

⑴求点B和点C的坐标；

(2)抛物线上是否存在点使得NDOB=NOBC?若存在，求出所有点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点尸是直线下方的抛物线上的动点，EF与直线0B

交于点G.设二MG和.BEG的面积分别为加和邑，求浓的最大值.

15.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC:3c=4:3,点尸从点A出发沿AB方向向点8运

动，速度为Icm/s,同时点。从点B出发沿3T■C-A方向向点A运动，速度为2cm/s,当一个运动点到达

终点时，另一个运动点也随之停止运动.

(1)AC=cm.BC=cm.

⑵设点P的运动时间为x秒(x>0),一出。的面积为yen?,当PB。存在时，求y与x的函数关系式，并

写出自变量x的取值范围；

(3)当点。在BC上运动时，多少秒时PBQ的面积为15cm2?

16.如图，AC.BD是。的两条弦，且M_LAC于点E

8

(1)如图1：若AE=BE,求证DE=CE；

(2)如图2：若AC=8,BO=6,OE=JTT,求弓形BAD的面积.

(3)连结AB,BC,C。，若C4=CD,

①-ACS与/ACD具有怎样的数量关系，并证明.

②在上存在点尸，满足3/=2AB,点M是AO的中点，连结MF,已知AB=2后,=2,求。的半

径.

17.如图，直线4：y=丘+1与X轴交于点£>,直线4：y=r+b与X轴交于点A,且经过定点3(-1,5),直

线乙与4交于点C(2,〃z).

⑴填空：k=；b-；m=;

(2)在x轴上是否存在一点E,使‘3CE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)若动点尸在射线。C上从点。开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP,设点尸的运动时间为f秒.是

否存在/的值，使△ACP和ZVIDP的面积比为1:2?若存在，直接写出f的值；若不存在，请说明理由.

18.如图，一次函数必=彳+1的图像与反比例函数%='的图像相交于点A(巩2),3两点，分别连接。4,0B.

X

9

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点8的坐标为,当%>%，则自变量x的取值范围

是;

(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点尸，使以点。，A,B,尸为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

10

专题53固定面积的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.【探索发现】

⑴如图1,是一张直角三角形纸片，4=90,小明想从中剪出一个以NB为内角且面积

最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，

随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为

【拓展应用】

（2）如图2,在ABC中，BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在

边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值（用含a、h的代数

式表示）；

【灵活应用】

⑶如图3,有一块“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明从中

剪出了一个面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），直接写出该矩形的面积.

1ah

【答案】⑴⑵7（3）当x=21时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.

11___乙____________

【分析】（1）由中位线知EF=3BC、ED=JAB、由-I。「可得；

2

PNAEa

（2）由△APNs^ABC知三7；=7可得PN二a-7尸。，设PQ=x,由S矩形PQMN=PQ・PN=

nCADh

一打一，,据此可得；

h24

（3）结合图形过DE上的点P作PGLBC于点G,延长GP交AE延长线于点I,过点P作

pipjQ

PHXAB,设PG=x,知PI=28-x,由△EIPs/\EKD知一=—，据此求得EI=36-—X,

EKDK7

999

PH=54--x,再根据矩形BGPH的面积S=x（54-二应=-三。-21）2+567可得答案.

777

【详解】解：（1）EF、ED为1ABe中位线，

.-.ED//AB,EF//BC,EF=-BC,ED=-AB,

22

又/B=90,

11

四边形FEDB是矩形,

S矩形FEDB_EF・DE_

则S-1-2，

3ABe-ABBCN

2

故答案为5；

（2）PN//BC,

/.APNS-ABC,

PNAEf,口__a-

二.——=——,可得PNT=a——PQ,

BCADh

设PQ=x,由S矩形PQ：=PQPN=-^-（X-^）2+^-,

二.当PQ=3时，S矩形PQMN最大值为彳.

（3）如图，过DE上的点P作PGLBC于点G,延长GP交AE延长线于点I,过点P作PHLAB

则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形,

设PG=x,则PI=28—x,

AB=28,CD=14,BC=36,AE=18,

/.DK=14,EK=18,

由,-EIPs母］）知,EI=PI

EKDK

EI28-x4曰9

18147

99

,-.PH=AI=AE+EI=18+36——x=54——x,

77

则矩形BGPH的面积S=x154_qxJ=_：（x_21）2+567,

・・・当x=21时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.

【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握三角形中位线定理（三角形的中位线

平行于第三边并且等于第三边的一半），相似三角形的判定与性质（相似三角形任意对应线

段的比等于相似比），矩形的判定与性质（对边平行且相等）等知识点.

2.已知二次函数>=依2+区-4（a>0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且

OA<OB）,与y轴交于点C.

12

(1)求C点坐标，并判断b的正负性；

(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D,已知DC：CA=1：2,直线BD

与y轴交于点E,连接BC,

①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出0A的取值范围.

【答案】(1)C(0,-4),b<0；(2)@y=^x2-x-4；②2应<OA<4

【分析】(1)把x=0代入,=++法一4,即可求得点C坐标，根据OA<OB,可知-丁>0,

2a

由a>0即可求得b<0；

⑵①过点D作DMJ_y轴，垂足为M,则有D箸M=除MC=奇DC=q1,由此可得。1

Cz/iCCzCzALL

设A(-2m,0)m>0,贝ljAO=2m,DM=m,继而可得D(m,-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

再由DN//OE,可得△BNDs/^BOE,继而根据相似三角形的性质可得OE=8,再根据

S-BCE=；x4x4m=8,可求得相=1,由此可得A(-2,0),B(4,0),设y=a(x+2)(x-4),

继而可得C(0,-8a),再根据C点(0,-4)可求得a值，即可求得答案；

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),/CBD一定为锐角，利用勾股定理求得

CB?=16疗+16,8?=苏+4,082=9疗+36,然后分两种情况进行讨论即可得.

【详解】(1)当x=0时，y=ax2+/?x-4=-4,

AC(O,-4),

b

VOA<OB,J对称轴在y轴右侧，BP-->0,

2a

Va>0,.'.b<0；

(2)①过点D作DM，y轴，垂足为M,则有DM//OA,

AADCM^AACO,

.DM_MCDC

9，~OA~~CO~~CA~2f

13

・・・DM=-AO

2f

设A(-2m,0)m>0,则AO=2m,DM=m,

VOC=4,・・・CM=2,

.,.△BND^ABOE,

.DNBN

••一,

OEOB

口门63m

即——=——，

OE4m

AOE=8,

ACE=OE-OC=4,

•e-5BCE=1X4X4/7?=8,

m=l,

・・・A(-2,0),B(4,0),

设y=〃(x+2)(x-4),

即y=ax2—lax—8。，

令x=0,则y=-8a,

AC(0,-8a),

.'.-8a=-4,

14

y=L2-x-4；

-2

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),NCBD一定为锐角,

由勾股定理可得：CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,

当ZCDB为锐角时，CD2+DB->CB2,

nr+4+9>+36>16m2+16，

解得一2cm<2；

当NBCD为锐角时，CD1+CB->DB2，

m2+4+16w2+16>9m2+36>

解得m>友或mV-夜(舍)，

综上：V2<m<2>

2V2<2m<4，

■-2A/2<OA<4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，待定系数法，勾股定理以

及不等式等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解

题的关键.

3.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题

目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这

时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事

半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边形

15

ABCD=^/\ABC+S/XADE+S/XABE得5（。+力产=2*5〃力+5。2,化简得：+/?2=C2.

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于%的方程/+依=从的图解法是：画RtABC,

使NACB=90。，BC=W，AC=\b\,再在斜边A3上截取BC=g则AD的长就是该方程

22

的一个正根（如实例二图）.

根据以上阅读材料回答下面的问题：

（1）如图1,请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是,乙

图要证明的数学公式是,体现的数学思想是;

（2）如图2,按照实例二的方式构造RABC,连接8,请用含字母。、6的代数式表示AO

的长，AO的表达式能和己学的什么知识相联系；

（3）如图3,已知：O,A3为直径，点C为圆上一点，过点C作CDLAfi于点O,连接CO,

设DA=a,BD=b,求证："+"

乙

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想；（2）AD=痴~。,工AD

2

的表达式能和一元二次方程的求根公式相联系；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据大正方形面积=各个部分面积之和，即可得到完全平方公式和平方差公式,

进而即可得到答案;

（2）根据勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案;

(3)连接AC,CB,易证八4862^皿，CD2=ADBD,结合OC=；(a+b)CO2cD,

16

即可得到结论.

【详解】(1)如图1中，图甲大正方形的面积=(。+力2=/+2B+从,

图乙中大正方形的面积=a?=(〃—Z?)2+Z?2+2b(a—b),即：

a1-b2=(Q-b)(a-b+2b)=(Q+b)(a-b).

它们都体现了数形结合的思想.

故答案是：完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想；

(2)•.•在Rt_A5C中，8c=|,AC=\^,

解好+6=62,由求根公式可得x=N±6°+4匕,

2

答：AO的表达式能和一元二次方程的求根公式相联系；

(3)由已知，可得OC=」4B=L(a+6),连接AC,CB.

22

A3为直径，

•*.ZACB=90°,

ZACZ)+ZDCB=90°,

'：CD±AB,

：.ZCAD+ZACD=90°,ZCDA=NCDB,

NDCB=NCAD,

：.AACDs/\cBD,

CD2=ADBD,即。>=益，

在RtACOD中，CO2=OD2+CD2,

CO2>CD2,即CO2CD,

【点睛】本题主要考查乘法公式与几何图形的面积，勾股定理，一元二次方程的求根公式,

圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理，勾股

定理以及圆周角定理的推论，是解题的关键.

17

4.【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，？390?,小明想从中剪出一个以为内角且面积最大

的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线OE、所剪下时，所得的矩形的面积最大，随

后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为

如图②，在AABC中，BC=a,BC边上的高AD=/z,矩形尸QVW的顶点尸、N分别在边

AB,AC上，顶点。、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为.(用含

的代数式表示)

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形"ABCDE,钻=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪

出了一个面积最大的矩形(N3为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABC。，经测量AB=60a〃，BC=105cm,CD=76cm,

A

且tanB=§,tanC=2,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边上且面积最大

的矩形PQVW,求该矩形的面积.

【答案】【探索发现】；；【拓展应用】半；【灵活应用】720；【实际应用】2205cm2.

24

S矩形FEO-_EF•ED

【分析】⑴【探索发现】：由中位线知EFUBC、EDUAB、由一—。一可

//A以一/Yn•£)c

2

得结论；

(2)【拓展应用】：设PN=b,证明△APN-AABC,表示PQ的长，根据矩形的面积公式得：

S=b・PQ=@〃-曲.包+bh,根据二次函数求最值即可；

aa

(3)【灵活应用】:添加如图1辅助线，取BF中点LFG的中点K,由矩形性质知AE=EH=20、

CD=DH=16,分别证△AEF丝Z\HED、△CDG也得AF=DH=16、CG=HE=20,从而

判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；

(4)【实际应用】：延长BA、CD交于点E,过点E作EHLBC于点H,由tanB和tanC得

BH和CH、EH的长，继而求得BE和CE的长，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD

上，利用【拓展应用】结论解答可得.

18

【详解】(1)【探索发现工设EF=x,ED=y,

VEF>ED为AABC中位线，

；.ED〃AB,EF〃BC,EF=yBC,ED=yAB,

；.AB=2ED=2y,BC=2EF=2x,

又/B=90。，

四边形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF•ED_刈_

贝！Jq-1-i—2,

入JABC-AB-BC--2x?yz

22

故答案为：g；

(2)【拓展应用】：设PN=b,

VPN/7BC,

AAAPN^AABC,

.AE_PN

*AD~BC

VBC=a,BC边上的高AD=h,

.h-PQ_b-cth-bh

PQ=---------

haa

・cuncabh-hb1hb2i「

..S=b・PQ=----------------+bh

—h2ah

s的最大值为：4x(_t)4；

a

则矩形PQMN面积的最大值为华；

故答案为：牛；

(3)【灵活应用】：如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、

CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,

由题意知四边形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

，EH=20、DH=16,

19

・・・AE二EH、CD=DH,

在^AEF和^HED中,

ZFAE=ZDHE

・.・[AE=AH,

NAEF=NHED

.'.△AEF^AHED(ASA),

AAF=DH=16,

同理△CDG^AHDE,

.•.CG=HE=20,

VBI=24<32,

・•・中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KLLBC于点L,

由【探索发现】知矩形的最大面积为《xBG・gBF=gx(40+20)x|(32+16)=720,

答：该矩形的面积为720；

(4)【实际应用】：如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EHXBC于点H,

E

A/：\

BMHNC

图2

VtanB=—

BH3

设EH=4x,BH=3x,

*/tanC=2=,

CH

ACH=2x,

VBC=BH+CH=105=3x+2x,x=21,

・・・BH=63,CH=42,EH=84,

22222

由勾股定理得：BE=Y/EH+BH=V63+84=105,CE=Jc“2+EH2=也4+42=426，

VAB=60,

AAE=45,

ABE的中点Q在线段AB上，

VCD=70,

20

ACE的中点P在线段CD上，

，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上,

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为:BC・EH=；xl05x84=2205cm2,

44

答：该矩形的面积为2205cm2.

【点睛】此题考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等

腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键.

5.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形

ABCD(ABVBC)的对角线的交点O旋转(①一②—③)，图中的M、N分别为直角三角形的

直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.

(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与CC重合)，BN、CN、CD这三条线段

之间存在一定的数量关系：CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

(2)在图③中(三角板一直角边与OD重合)，试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的

数量关系，直接写出你的结论.

(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明

理由.

【答案】⑴见解析；(2)BN2=NC2+CD2；(3)CM2+CN2=DM2+BN2,理由见解析.

【分析】(1)连结AN,由矩形知AO=CO,ZABN=90°,AB=CD,结合ON_LAC得NA=NC,

由NABN=90。知NA2=BN2+AB2,从而得证；

(2)连接DN,在RtACDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2,再根据ON垂直平

分BD,可得：BN=DN,从而可证：BN2=NC2+CD2；

(3)延长MO交AB于点E,可证：ABEO四△DMO,NE=NM,在RtABEN和RtAMCN

中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2.

【详解】(1)证明：连结AN,

:矩形ABCD

.,.AO=CO,ZABN=90°,AB=CD,

21

VONXAC,

ANA=NC,

•・•ZABN=90°,

・・・NA2=BN2+AB2,

・・・NC2=BN2+CD2.

图2

・・•四边形ABCD是矩形，

.'.BO=DO,ZDCN=90°,

VON±BD,

・・・NB二ND,

ZDCN=90°,

・・・ND2=NC2+CD2,

・・・BN2=NC2+CD2.

(3)CM2+CN2=DM2+BN2

理由如下：延长MO交AB于E,

图3

•・•矩形ABCD,

ABO=DO,ZABC=ZDCB=90°,AB〃CD,

AZABO=ZCDO,ZBEO=ZDMO,

.,.△BEO^ADMO(ASA),

.'.OE=OM,BE=DM,

VMO±EM,

・・・NE=NM,

VZABC=ZDCB=90°,

・・・NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM2,

22

，CN2+CM2=BE2+BN2,

即CN2+CM2=DM2+BN2.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性

质等知识点.

6.如图1,在中，ZACB=90°,AC=BC,点。为A8边上一点，连接CD,ZADC

=120。,把AAOC绕点A逆时针旋转得到(旋转后点C、O的对应点分别为C'、£»C),

设旋转的度数为相(0°<m<360°).

(1)当机=30。时，如图2,连接CC'并延长，交于点E.请直接写出NACC'的度数；

(2)在(1)的条件下，请判断AOCE的形状，并说明理由；

(3)①小明在探究的过程中发现：当机=90。时，如图3,四边形AC8C'为平行四边形，请

证明小明的结论的正确性；

②请你再探究：在AAOC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、

C'四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接

写出机的值；若不能，请说明理由.

【答案】(1)75°；(2)等边三角形，理由见解析；(3)①见解析；②存在，画图见解析，

m=90°或根=270°

【分析】(1)由旋转知AC=AC',根据NC4C'=30。得/4CC'=180->或。=75。；

2

(2)在放△ABC中，NAC2=90。，AB=AC知NA2C=Na4C=45。，结合NACC'=75°

知NBCE=90。-ZACC=15°,继而知/AEC=/ABC+/BCE=60。，根据/AOC+/CZJE

=180°,乙4£^=120。得/。£=60。，继而知NCOE=NQEC=NECD=60。，即可得证；

(3)①机=90°时，由/ACB=90°,ABAC'=90°知/ACB+N8AC'=180°,据此得AC'〃3C,

23

再由AC'=4C,AC=8C知AC'=BC,即可得四边形AC8C'为平行四边形；

②加=270。时，由/C'4C=90。知NC'AC=/AC8,从而得AC'=BC,结合AC'=CB证得

四边形AC'CB为平行四边形.

【详解】解：(1)由旋转知AC=AC,

'：ZCAC=30°,

ZACC=I®。-"AC=75°；

2

(2)ZkOCE是等边三角形，

理由：在R/AABC中，ZACB=90°,AB=AC,

：./ABC=NBAC=45。，

由(1)知，ZACC'=75°,

/BCE=90°-ZACC=15°,

ZAEC=ZABC+ZBCE=60°,

'：ZADC+ZCDE=180°,ZADC=120°,

：.ZCDE=6Q°,

：.ZCDE=ZDEC=ZECD=60°,

...△OCE是等边三角形；

(3)①当机=90。时，四边形AC8C为平行四边形，如图3所示：

图3

VZACB=90°,ZBAC'=90°,

：.ZACB+ZBAC=^0°,

：.AC//BC,

'：AC=AC,AC=BC,

：.AC'=BC,

四边形4C8C'为平行四边形；

②当机=270。时，四边形ACBC为平行四边形，如图4所示:

24

图4

当优=270°时，ZC'AC=90°,

：.ZC'AC=ZACB,

：.AC'=BC,

"：AC=CB,

四边形4C'CB为平行四边形，

综上所述，当〃2=90。或%=270。时，以A、B、C、C'四点组成的四边形为平行四边形.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、平行四边形的判定定理、等腰直角三

角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨

论的思想思考问题，属于中考压轴题.

7.如图示AB为。。的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE

的延长线上，且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.

①求证：CE//BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：下，求△BCD的面积（注:根据圆的对称性可知OCLAB）.

【答案】①证明见解析；②4BCD的面积为：2.

【分析】①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出/F=g/AEB,由

圆周角定理得出/AEC=/BEC,证出/AEC=/F,即可得出结论；

AZ）3RDRF

②证明△ADEs/iCBE,得出一=下，证明ACBEs^CDB,得出一=一,求出CB=2

Cn75CBCE

G，得出AD=6,AB=8,由垂径定理得出OCLAB,AG=BG=|AB=4,由勾股定理求出

CG=JcB23G2=2,即可得出△BCD的面积.

【详解】①证明：连接AC,BE,作直线OC,如图所示：

25

:BE=EF,

.•.ZF=ZEBF；

,?ZAEB=ZEBF+ZF,

AZF=^-ZAEB,

：C是AB的中点，

AC=BC，

.,.ZAEC=ZBEC,

,?ZAEB=ZAEC+ZBEC,

AZAEC=yZAEB,

NAEC=NF,

；.CE〃BF；

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,

.,.△ADE^ACBE,

.AD_AEA£A

,•CBCE'PnPCB=正，

•?ZCBD=ZCEB,ZBCD=ZECB,

/.△CBE^ACDB,

.旦些

"CBCE'即pC2B=X卮

；.CB=2B

/.AD=6,

；.AB=8,

:点C为劣弧AB的中点，

/.OCXAB,AG=BG=yAB=4,

ICG7cB2-BG=2,

.,.△BCD的面积=；BD・CG=gx2x2=2.

8.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,

26

2,,

抛物线y=-^x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是0C上的动点(不与C重合)

连接EB,过B点作BFLBE交y轴与F

(1)求b,c的值及D点的坐标；

(2)求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；

(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问：当m为何值时S最

小，并求出这个最小值.

4

【答案】(1)b=y,c=2；D点坐标为(3,0).(2)点