浙江省金华十校2024届高三年级上册11月模拟考试数学试题（解析版）

数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定

用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共60分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合{L2,3},'={-1,0,1},则（）

A.{1}B.{0,1,2,3}C.{-1,0,1,2,3)D.{-1,0,2,3）

【答案】C

【解析】

【分析】由并集运算的定义即可得出答案.

【详解】由4={1,2,3},3={—1,0,1}得，AB={-1,0,1,2,3),

故选：C.

2.已知i为虚数单位，则一()

3-4i

4+3i-4+3i4+3i-4+3i

A.-------B.---------C.-------D.

552525

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法法则计算可得.

i（3+4i）_-4+3i

【详解】

3-4i（3—4i）（3+4i）—25

故选：D

3.己知向量d=(l")出=(〃,一2),且4与人共线，则()

-2Bj

A.C.九N——2D.M=2

4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的共线的坐标运算可得解.

【详解】«=(1,A),人=(〃,—2),又。与6共线，

lx(-2)-4f/=0,化简得=—2.

故选：C.

4.有一组样本数据l,3,2,a,3,5,4,〃，则C)

A.这组样本数据的极差不小于4B.这组样本数据的平均数不小于4

C.这组样本数据的中位数不小于3D.这组样本数据的众数等于3

【答案】A

【解析】

【分析】根据极差、平均数、中位数和众数的概念判断即可.

【详解】样本数据1,3,2,a,3,5,41中,

对于A,显然这组样本数据的极差大于等于5-1=4,故A正确；

1+2+3+3+4+59

对于B,若。=。=0,则平均数为-----------------=-＜4,故B错误；

84

2+3

对于C,若a=b=0,则0,0,1,2,3,3,4,5中位数为——=2.5＜3,故C错误；

2

对于D,若a=b=L贝也,1,1,2,3,3,4,5众数为1,故D错误.

故选：A

,11

5.条件p:|x|＞|y|,,条件q：「＜一,则。是夕的()

IxIy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】举反例即可说明充分性，根据不等式的性质，即可判断必要性，进而可求解.

【详解】当》＞。＞y且时，0＜工一＜0,所以P是4的不充分条件，

1111|x|y

11,,,,

而「(一时，贝Hx|〉y＞0,所以x〉y,故P是q的必要条件，

|x|y1111

因此。是q的必要不充分条件,

故选：B

6.己知抛物线C：y2=2“x（p〉0）,F为抛物线。的焦点，P为抛物线C上的动点（不含原点），；，口的

半径为告，若。。与.尸外切，则（）

A.0P与直线x=0相切B.0P与直线y=。相切

C.0尸与直线X=-弓相切D.。尸与直线>=一汽相切

【答案】A

【解析】

【分析】设动点,771WO,由P与：尸外切得出I尸目=|PQ|+|Q同，结合抛物线焦半径公式得出

P的半径为机，即可得出结论.

【详解】设动点P（%〃）,m^Q,如图所示，，尸与©I外切于点。,^\PF\=\PQ\+\QF\,

由抛物线焦半径公式得，附=加+孑，/的半径为勺即依司="|,

所以忙。|=|叱|—|。刊=m+^—5=加，即才的半径为加，

所以点尸到y轴的距离为加，则OP与直线x=o相切，

故选：A.

7.已知a>0,〃>0,2a+b=a〃，则——+----的最小值为（）

a-1b-2

A.4B.6C.4A/2D.3+20

【答案】D

【解析】

b2ab2

【分析】由己知可得a=——且Z?>2、a>l，再由——+——=3+——+a-l,应用基本不等式求

b-2a-1b-2a-1

其最小值，注意取值条件.

h

【详解】由。>08>0,2。+/?=。〃，a=--->0,即力>2,易知a>l,

b-2

所以2-+)-=屈-+。=3+/-+。—123+2)2-.("1)=3+2忘，

u—1b—2u—1u—1V。-1

当且仅当。=0+1时等号成立，此时b=2+J5,

所以上+—L的最小值为3+20.

a-1b-2

故选：D

8.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心。到水面的距离为1m,筒车的半径是3m,盛水筒的初始位置为

jr

玲，。玲与水平正方向的夹角为若筒车以角速度2rad/min沿逆时针方向转动，，为筒车转动后盛水筒

6

()

c.cos2c=_2逐+1D.sin2r=—8+2虚

66

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离d与时间，的函数关系式，令d=O即可求解.

【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为，，

由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系如下:

d=3sinf2/+-^-1+1,

令d=。,即3sin^2^+—j+l=O,解得sinf2z+—j=——,

又0<Y，可得"呜...cos［吟］一亭

兀］(c兀、兀.兀、.兀

二.cos2/=cos2t+——=cos2t+—cos—+sin2t-\■—sin—

I66jI6I6

276+1

故C正确;

6

亚-

26故D错误;

6~

Xcos2?=l-2sin2?)解得sinf=®^，故B错误;

6

cos2t=2cos2?—1>解得cost=~逅^，故A错误.

6

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.在正方体ABC。—A4G2中，AC与5D交于点。，则（）

A.AC〃平面网GB.。。〃平面BAG

C.平面AC2〃平面54clD.平面。平面网£

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据线面平行和面面平行的判定定理逐一证明即可.

【详解】对于A,因为A4//CG且M=CG,

所以四边形ACG4时平行四边形，所以AC〃AC，

又4Gu平面网£,AC仁平面R41c］,

所以AC〃平面BAG，故A正确;

对于B,连接42交4G于点。1，连接BO，

由正方体ABC。—44GR的。。分别为3D,耳2的中点,

因为因为B8//D2且BB]=DD],

所以四边形时平行四边形，所以3。〃与2,

则OBHOQi且OB=OQ],

所以四边形OBOQI时平行四边形，所以OD\IIBO[,

又ODX(Z平面3AG，BO[u平面841c1,

所以。。〃平面网£,故B正确；

对于C,因为AB//GR且AB=CQi，

所以四边形ABG2为平行四边形，所以ADJ/BQ,

又BC[u平面BAG,AR<Z平面B\C{,

所以A，〃平面网G，

又ACAD}=A,AC,AD,u平面ACDt,

所以平面AC。//平面网£,故C正确；

对于D,平面ODD]即为平面BDDR,

而平面BDD]Bi与平面841a相交，

所以平面。与平面网Ci相交，故D错误.

故选：ABC.

B

1a

10.已知函数/（%）=§兀3-4%+4（%£［0,3］）,则（）

A.函数在区间。2］上单调递减

B.函数，（%）在区间［0,3］上的最大值为1

C.函数/⑺在点（1,/（1））处的切线方程为y=-3x+y

D.若关于尤的方程/（x）=a在区间［0,3］上有两解，则g,41

【答案】AC

【解析】

【分析】利用导数分析函数Ax）的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画出函

数〃尤）大致图象，结合图象即可判断D选项.

1、

【详解】因为/=4x+4,xc［0,3］,

所以f'（x）=x2-4=（x+2）（x-2）,

令r（x）>0,即X>2；令r（x）<0,即0Vx<2,

所以函数/（尤）在区间［0,2］上单调递减，在［2,3］上单调递增，故A正确；

因为/（0）=4,/（3）=1,

所以函数fM在区间［0,3］上的最大值为4,故B错误；

因为尸（1）=一3,/（1）=1,

所以函数JG）在点（1,/（1））处的切线方程为y-1=-3（x-l）,

即y=-3x+v,故C正确；

4

因为/（2）=—函数大致图象如图，

4

则——<a《l,故D错误.

3

故选：AC.

II.对于给定的数列｛q,｝,如果存在实数，4,使得4+1=.为+q对任意“cN*成立，我们称数列

｛%｝是“线性数列”，数列｛g｝满足q=l,c”+i=C"+〃("wN*),则()

A.等差数列是“线性数列”B.等比数列是“线性数列”

C.若｛〃｝是等差数列，则｛%｝是“线性数列"D.若｛2｝是等比数列，则｛%｝是“线性数列”

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,B根据“线性数列”的定义进行判断，C,找特例伪=1也=2您=3也=4,代入即可判断;

D,结合定义，设出等比数列，代入求的%,再结合线性数列的定义，看是否存在实数，q即可.

【详解】对A,数列｛4｝为等差数列，则an+l-an^d,即。用=+d,

满足“线性数列”的定义，A正确；

对B,数列｛%,｝等比数列，则4包=4,即。“+|=的.，

满足“线性数列”的定义，B正确;

对c，｛0"｝是等差数列，设4=1,d=2也=3也=4,

则q=1,C?=2,C3=4,C4=7,若[cn｝是“线性数列”，

c,=pc,+q2=p+qp=2

则cc，则应有。4=203+4=8,7,

c3=pc2+q[4-=2p+q国=0

故｛g｝不是“线性数列”，C错误；

对D,也,｝是等比数列，设首项为伪，公比为，，

若/=1时，bn=bx,则C1=l,c,M=c”+4(〃eN*),满足“线性数歹广的定义;

若/W1时，由q=Lg+i=g+%("wN*),得g+「q,=b”,

。2—=4，。3—。2=，2'…'J,=Cnl+bnl,

累加的g—q=+b2+…+*="：-->

1-r

则c=1+可-N)=W+IT,

"1-ti-t

经验证当”=1时，q=1+幺匕二)=1满足c“，则°=JW1T,

1-t1-t

若｛%｝是“线性数列”，则存在实数p，q,使得。“+1=。。“+夕成立，

则-——-------二p-——------------+q,

1-t1-t

n

bx-brt+\-t=p(bx-伪尸+1-0+q(l-1),

b、—b、tn+1—t—pb]—pb#+p—pt+Q—Qt,

-bt=-ph[P=t

则717，则一，

/?!+1-r=pbx+p-pt+q-qt[q=伉+1T

则｛g｝是“线性数列”，D正确.

故选：ABD

12.已知函数AM和其导函数g(x)的定义域都是R,若/(x)-x与g(2x+l)均为偶函数，贝IJ()

A./(0)=0

B.取关于点(0,1)对称

x

C.g(2023)=l

D.(g⑴-1)x(g(2)+1)+(g(2)-1)x(g(3)+1)++(g(2023)-1)x(^(2024)+1)=0

【答案】BD

【解析】

【分析】用特殊值法，假设/(x)=l+x,可判断选项A；

对/(x)-x=/(-x)+x进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；

对/(%)-%=/(—x)+x两边求导，可得g(x)+g(—X)=2,根据g(2x+l)=g(—2x+l)可判断g(x)的周

期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；

由特殊值关系得到g(2)+g(4)=2,g(l)+g(3)=2,化简

(g(l)-1)x(g(2)+1)+(g(2)-1)x(g(3)+1)++(g(2023)-l)x(g(2024)+l),即可判断选项D.

【详解】假设/(x)=l+x,则/(x)—x=l,g(2x+l)=l都为偶函数，则所设函数/(x)=l+x符合题

意，此时/(0)=1,所以A错误；

因为/(尤)―工为偶函数，所以/(x)—x=/(—x)+x,即△立+上立=2,

X-X

令丸(力=以2，则/Z(X)+MT)=2,所以&⑺关于点(0,1)对称,故B正确;

因为g(2x+l)均为偶函数，所以g(2x+l)=g(—2x+l),所以函数g(x)的图象关于直线x=l对称，即

g(l+x)=g(l-x)，

因为F(x)—x=/(—x)+x，所以/'(X)T=-/'(一%)+1,所以g(x)+g(—x)=2,

所以g(x+4)=g(x),g(2023)=g(3),又g(—l)=g(3),g(0)=g(4),

所以g(l)+g(3)=g(l)+g(—l)=2,所以无法确定g(2023)的值，所以C错误；

又g(2)+g(—2)=2,g(2)=g(—2),所以g(2)=g(—2)=0,又g(4)=g(0)=1,所以

g(2)+g(4)=2,

由g(x+4)=g(x)知函数g(x)周期为4,则g(x>g(x+l)的周期也为4,则

(g⑴—1)x(g⑵+1)+(g⑵-1)x(g⑶+1)++(g(2023)—1)x(g(2024)+1)

=g⑴g⑵+g(2)g⑶++g(2023)g(2024)—g(2024)+g⑴—2023

=506[g(l)g(2)+g(2)g⑶+g(3)g(4)+g(4)g(5)]-g(2024)g(2025)—g(2024)+g(l)—2023

=506](g⑵+g(4))(g(l)+g(3))]-g(0)g⑴-g(0)+g(l)-2023

=506x4-g⑴-1+g⑴-2023=0,所以D正确.

故选：BD

【点睛】对称性有关结论：

若/(a—x)=/(a+%),则/a)关于直线x=a对称；

若/(2«一%)=/(%),则fix)关于直线x=a对称；

若f(a-x)+于(a+x)=2b,则/(%)关于点(a,。)中心对称;

f(2a-x)+/(x)=2b,则/(x)关于点(a,Z?)中心对称；

周期性结论：

若/(x+T)=/(%),则函数/⑴的周期为7.

非选择题部分(共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在二项式1%+9]的展开式中，必的系数为.

【答案】10

【解析】

,3

【分析】求得二项展开式的通项1+1=C"5"结合通项公式，确定r的值，代入，即可求解.

【详解】由二项式1X+9]展开式的通项为《+i=C"5f(十厂=©)“*

令5—■|r=2,解得厂=2,所以展开式中炉的系数为C；=10.

故答案为：10.

14.己知梯形ABCD满足AD//3C且其中5c=3,A3=S',AD=2,将梯形ABC。绕边

旋转一周，所得到几何体的体积为.

【答案】7兀

【解析】

【分析】根据题设确定所得几何体的构成，再应用圆锥和圆柱体积公式求组合体体积.

【详解】如下图，梯形ABCD绕边旋转一周，所得几何体为圆锥和圆柱的组合体,

其中圆锥及圆柱底面都是半径为也的圆，圆锥的高为1,圆柱的高为2,

所以几何体体积为gx兀义(石)2义1+兀x(J§yx2=771.

故答案为：7兀

15.一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6,则称这是一次成功试验.现进行四次试验，则恰

出现一次成功试验的概率为.

【答案】西

【解析】

【分析】首先分析出做一次成功试验的概率，设出现成功试验的次数为X,则X计算

P(X=1)即可.

【详解】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种,

两枚骰子点数之和为5的情况有4种，

两枚骰子点数之和为6的情况有5种，

在一次试验中，出现成功试验的概率3+4+5=1,

363

设出现成功试验的次数为X,则x

1132

所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为P(X=1)=C：x(—)x(1—-了=—,

3381

32

故答案为：—

81

22

16.己知尸为椭圆。：=+==1(。〉6〉0)上一点，耳,耳分别为其左右焦点，A为其右顶点，。为坐

ab

标原点，点A到直线OP的距离为4(4。0)，点尸到x轴的距离为4，若出=,且

|P£|,|POlJP^I成等比数列，则椭圆C的离心率为.

【答案】巫##』0

22

【解析】

73

【分析】设P(x,y),耳(―c,0),F2(C,0),由已知得出|0叶再由椭圆定义得出

|P^|2+|P^|2+2|P^||P^|=4fl2,由忸耳|,|。。|,|尸耳|成等比数列，得出归耳|忖闾=不2,结合两

点之间距离公式，代入化简整理即可求得离心率.

【详解】设P(x,y),片(-GO),F2(C,0),

过点尸作尸轴于点N,过A作于点如图所示，

\PN\\PO\d\PO\

则PNOAMO,所以匕$=上4，即7今一

\AM\\A0\&a

又因为&=#4,所以归。|=乎。，BP|OP|2=X2+/=|«2,

由椭圆定义得，|尸制+|尸闾=2a,则忸片「+归囚?+2|「用忸闾=4/,

又因为|。片|,|。0,忸周成等比数列，

所以|P与卜归闾=|P。『=彳3/,则p司92+户入『9+：3/=4",

3

22222

所以(x+c)2+y2+(X-c)2+y+_a=4a,即2c=tz,

所以e=£=Y2,

a2

故答案为：叵.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，角A3,C所对的边分别是a,所c,Msin2A+sin2B—sin2C-sinAsinB-

(1)求角C；

(2)。为边BC上一点，且CD=BD=2AC,求cosNZMB的值.

jr

【答案】(1)-

3

⑵亚

13

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理进行角化边，结合余弦定理即可；

(2)法一，在一ABC中，由余弦定理可求得A3,在C4D结合余弦定理求AD,在0Aos中，应用余弦

定理即可；法二在，CAD,结合余弦定理求得NC4O,NC4D,A。，在△A3。，应用余弦定理求得A3,

再由ABC中结合正弦定理先求sinNC43,进而结合诱导公式求得cosNZMB.

【小问1详解】

因为sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB，由正弦定理可得a?+b2—c~=ab

由余弦JE理可得cosC=---------=—,C6(0,7t),所以C=—.

lab23

【小问2详解】

方法一：不妨取AC=1,则。。=5。=2,ABC中，由余弦定理可求得

AB=7AC2+BC2-2AC-BC-cosB=屈■

在/C4。中，由余弦定理可求得AD=Jc©2+402—2ACCDcosB=6-

在ADB中，由余弦定理可得cosNZM3=0二+一左=上叵.

2DADB13

方法二：不妨取AC=1,则05=50=2,

在1104n中，AD=，+4—

则AQ2+AC2=。2,则NC4Z)=90°,ZCDA=30°,ZBDA^150°,

△ABD中，AB=JAD?+BD?—2•AD•BD•cosl50=V13，

BCAB

在一ABC中由正弦定理可得:

sinZG45sinZACB

解得：sinZCAB^

13

又因为NC4D=90°,所以cos/DW=cos(NC43—90)=sinNC43=t.

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A3CD为正方形，侧棱24,底面A3CD,且R4=A5,点

及尸分别为P5尸。的中点.

(1)证明：尸C_L平面AEE；

(2)求平面AM与平面A3CD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵B

3

【解析】

【分析】(1)先证明线面垂直，再证明线线垂直，可得AELPC,AF±PC,再利用线面垂直的判定定

理可得尸CJ_平面A£F；

(2)AB为x轴正方向，A。为y轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向

量，利用夹角公式求解公式.

【小问1详解】

因为底面ABC。，BCu底面ABCZ),所以

因为A3CD为正方形，所以

因为AB=A,PA,ABI平面7^45,所以3cl平面巴45，

又因为AEu平面R43,所以3CLAE,

又因为？A=AB，点E为PB的中点，所以

因为PBBC=B,P3,BCu平面P5C,

所以AEL平面尸5C,因为尸Cu平面尸3C,所以AELPC.

同理可得AFLPC,因为AbcAE三A，AE,Abu平面AEF，所以尸CJ_平面

【小问2详解】

如图，以点A坐标原点，A3为无轴正方向，为》轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标

系，设AB=2,则各点坐标分别为5(2,0,0),Z)(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),£(1,0,1),尸(0,1,1).

由(1)可知PC是平面AEE的一个法向量，记为〃1=(2,2,-2),

乂平面A3CD的一个法向量为“2=(0,0,1).

几「几2

所以平面A石厂与平面ABC。夹角的余弦值等于cos(m,n2

12Ali3

z

p

19.设正项数列｛4｝的前几项和为S"，若S"=

(1)求数列｛4｝的通项公式；

11112

(2)若不等式有+大++--二〉彳一丁对任意正整数〃均成立，求X的取值范围.

3风4s2(〃+2电2Sn

【答案】(1)

(2)2>-

2

【解析】

【分析】(1)应用4=得出等差数列再求数列通项公式即可；

(2)应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.

【小问1详解】

2

当”=1时，£L±£L,所以％=1；

2

22

当论2时，S'幺且=,两式相减并整理可得(4+%-)(%—4T—1)=0.

因为｛a.｝为正项数列，所以。“一a,i=l,所以%

【小问2详解】

七八、„n~+nn(n+1)

有(1)可知S..=-----=—----

22

1211

(〃+2电〃(〃+1)(〃+2)〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

11111

——+-------+---------------=---------------1----------------F----------------------------------

3sl4s2(〃+2电22x32x33x4+(〃+1)(〃+2)

11

2(〃+1)(〃+2)

11112n

故----1----------1--------------------->------,可化为丸n>--------

3S]4s2(〃+2电2」12(〃+2)

1

因为-----------------恒成立,所以

2(〃+2)2H+22

20.2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行.火炬传递

首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路一湖滨路一环城西路一北山街一西泠桥一孤山路传递，

在“西湖十景”之一的平湖秋月收火.杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与.

(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：

年龄

性别总计

满50周岁未满50周岁

男154560

女53540

总计2080100

a0.10.050.010.0050.001

6635

%2.7063.8417.87910.828

根据小概率值£=0.1的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联;

(2)在全省的火炬手中，男性占比72%,女性占比28%,且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢

观看足球比赛.某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多

少？

【答案】(1)全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立(没有关联)

【解析】

【分析】(1)根据2x2列联表中的数据，求得/2的值，结合附表，即可得到结论；

(2)设A表示火炬手为男性，8表示火炬手喜欢足球，结合条件概率和全概率公式，即可求解.

【小问1详解】

解：零假设为：“°：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立(没有关联)，

根据2x2列联表中的数据，计算得第2=100x(15x35-5x45)3234<2706=招，，

20x80x40x60

所以根据小概率值微=0.1的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认定为“0成立，

全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立(没有关联).

【小问2详解】

解：设A表示火炬手为男性，8表示火炬手喜欢足球，

n尸(AB)_P(3|A)P(A)__0.360.36；36

人P(B)~P(B\A)P(A)+P(B\A)P(A)~0.36+0.07~0.43~43,

所以这位火炬手是男性的概率约为史.

43

22

21.已知双曲线c：±—2L=1,直线/过双曲线C的右焦点户且交右支于两点，点S为线段A3的

22

中点，点T在x轴上，STLAB.

(1)求双曲线C的渐近线方程；

QA

(2)若TSTB一,求直线/的方程.

9

【答案】(1)y=±x

(2)y=2x-4或y=-2九+4或x=2

【解析】

【分析】(1)根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，

280

(2)联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为=B=—,

9

由坐标运算即可求解.

【小问1详解】

b

由题知，a=b=6,所以双曲线C的渐近线方程为y=±-x=±x.

a

【小问2详解】

22

双曲线C：]—]_=1的右焦点坐标为(2,0),

由题知，直线AB的斜率不为0,设直线A3方程为X=ty+2,代入双曲线。：工—汇=1中,

22

化简可得：,2—1)/+49+2=0”2可，

—412

设A(4%)，5(%2,%),则M~7，~~

t—1t-

则%+々=%(x+y2)+4=5^7+4=^p

t—it—i

•••线段A3中点S的坐标为［/j,言"；

2t(2)

直线ST方程为y+/I=T卜+瓦］.

(4小、或T12—述,0

(i)当/=0时，S点恰好为焦点少，此时存在点7[2+口一,0

I3J使得

7

-280

TSTB=TS=—.

9

此时直线AB方程为尤=2.

-4(-4](2-It

(ii)当"0时，令丁=。可得%=亍：，可得点T的坐标为，TS=亍7，亍々

由于TS_LTB,所以75.73=752,

由旧"卷，即心/吟也眠示HM+言与

化简可得201—49/+11=0,解出/=±1/=±叵，

25

由于直线A3要交双曲线右支于两点，所以三匕>0,即/<1，故舍去。=土应.

?-15

可得直线AB的方程为x=+^y+2.

综上：直线AB方程为y=2x—4或y=—2x+4或％=2.

11_

22.已知/(九)二奴9-ax-----lnx+ex(a>0).

x

(1)若当X=1时函数/(%)取到极值，求。的值;

(2)讨论函数/(X)在区间(1,+8)上的零点个数.

【答案】(1)1(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)求得_f(x)=2ax—a+《—工—ei,由/'⑴=0,得到。=1,进而结合函数极值点的定

XX

义，即可求解；

(2)当Q'1时，求得f(x)—cix^—ux----Inx+e1xx2—x-----Inx+e1x,令

/z(x)=x2-x---lnx+e1^,利用导数的/i(x)单调性，结合/(x)>0,得到了(%)在区间(1,y)上没

X

有零点；当0<”1时，求得/''(x)=2ax—a+[—)―ei,令心)=/'(x)*求得

XX

〃⑺〉+V,令9(%)=(%一2)6日+%3,利用导数求得/(x)在(1,y)单调递增.，结合

X-e%

r(i)<o,/”+：)>o,得出函数/(%)的单调区间，由/(i)=。，得出了(%)在。,不)没有零点，在

由/(1+：)〉0,得到存在唯一巧，使得/(々)=0,即可得到答案.

【小问1详解】

解：函数/(%)=以2―融―工_lnx+e「x,BJf'(x)=lax-a+\-—~e1-x

XXX

因为x=l时函数取到极值，可得/'⑴=0,解得1=1,

当a=l时，可得了'(%)=2%—1H—z-----』"，