中考数学难点突破与训练：三角形的存在性综合问题（含答案及解析）

专题50三角形的存在性综合问题

【题型演练】

一、解答题

1.如图，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=3C,点。为AB边上一点，连结8,过点8作3EJ_CD交

CD的延长线于点E.

图1图3

(1)如图1,若ZBCE=2ZDBE,BE=4,求,ABC的面积;

⑵如图2,延长£B到点歹使£F=CE,分别连结CF,AF,AF交EC于点G.求证：BF=2EG.

(3)如图3,若AC=AD,点M是直线AC上的一个动点，连结将线段绕点。顺时针方向旋转90。

得到线段点尸是AC边上一点，AP=3PC,。是线段8上的一个动点，连结PQ,QM'.^PQ+QM'

的值最小时，请直接写出NPQM'的度数.

2.已知正方形A3co，点尸为直线AC上的一点，连接尸3,过点尸作射线尸加，尸3,交直线CD于点E,

连接BE,取BE的中点产,连接尸尸、CF.

(1)如图1,点尸在线段AC的中点时，直接写出PB与CT的数量关系；

(2)如图2,

①点尸在线段AC上时，试判断(1)中的结论是否成立，并说明理由;

②若点P在直线AC上，AB=4,AP=^-AC,直接写出CF的长；

4

(3)设4?=4,若点尸运动到某一位置时使△BCF为等边三角形，请直接写出AP的长.

3.在中，。为直线AC上一动点，连接3D,将瓦)绕点B逆时针旋转90。，得到BE,连接OE与AB

相交于点F.

(1)如图1,若。为AC的中点，/班C=90。，AC=4,8£»=回，连接AE,求线段AE的长；

(2)如图2,G是线段班延长线上一点，。在线段AC上，连接。G,EC,若N54Cv90。，ECLBG,

ZADE=ZDBC,ZDBC+ZG=ZEBF,证明08c=2AO+OC;

(3)如图3,若ABC为等边三角形，48=60，点M为线段AC上一点，且2cM=AM,点P是直线BC上

的动点，连接£P,MP,EM,请直接写出当EP+MP最小时一的面积.

4.在RtZXABC中，ZABC=90°,AD平分NBAC,E为AC上一点.

图1

图3

(1)如图1,过。作。尸A5交AC于点尸，若DE=DF=3,AB=4,求。的长；

(2)如图2,若CE=CD,过A作交DE的延长线于点尸，H为D4延长线上一点，连接过尸作

FGLHE交DH于点G,交HE于点、M,且AH=AG,猜想线段形与区)之间的数量关系并证明你的猜想；

(3)如图3,将(2)中△皿;1沿。户翻折得至k4。尸，N为DF上一点、,连接AN,过N作尸NLA7V交4。

于点P,AD=10,PD=6,再将二⑷VF沿AN翻折得到..AN。，AQ交PN、分别于点S、R,请直接

写出焉的值•

5.如图1,ABC中，AC=5,5c=12,以A3为直径的。恰好经过点C,延长8C至O,使得8=3。，

连接AD.

2

(2)求证：ZB=ZD；

(3)如图2,在AZ)上取点P,连接PC并延长交。于点Q,连接AQ交3C于点E.

①当P0〃A3时，求AExAQ的值；

②设AP=x,CE=y,求y关于尤的函数表达式.

6.在一一ABC中，/班C=90。，AB=AC.点。是平面内一点，连接AD,将AD绕着点A逆时针旋转90。得

到线段AE,连接CE,DE.

(1)如图1,若点。为线段BC的中点，且BC=8,求CE的长;

(2)如图2,若点。为，ABC内部一点,过点A作/LFLBZ)交3。的延长线于点E针交EC于点G,求证:

EG=CG；

(3)如图3,在(1)的条件下，点M是射线AO上的一点，点N是线段A3上一点，S.AM=BN,连接CM,

CN.当C/0+CN最小时，直接写出VCW与△CBN的面积的和.

7.【问题发现】

(1)如图①，一ABC是等边三角形，点。，E分别是2C,AB边上一点，且加)=2,理=1,点尸在线段AE

上运动，以PD为边向右作等边△PDF.

①求证：DEJ.AB

②过点/作FGL8C于点G,连接DE,请判断尸G的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请

说明理由.

【类比探究】

(2)如图②，长方形ABCD中，AB=4,BC=5,E为3C上一点，且班=1,尸为边上的一个动点，连

3

接收，将所绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，当点P从点2运动到点A时，请求出点G运动的路

图①图②

8.如图，等腰中，AB^AC,AD平分N54C.点E为上的动点，连接8E,将一/睡沿助折

叠得到4PBE.

(1)若3。=3,试求出BC的长度；

(2)若3E=3C,设必与AC相交于点

①请求出/BbC的度数；

②连接所，过点C作CGLEF交所的延长线于点G.若BF=10,EG=6.试求线段CF的长.

9.在等边三角形A3C中，点。为AC上一点，连接3。，将3。绕。逆时针旋转角度。得到OE,连接BE,

已知AB=4,BG1AC；

(1)如图1,若。=60。，tanNDBG=2-B连接CE,求CE的长；

(2)如图2,若a=120。，分别取CD的中点M8E的中点F连接“尸，DF,求证：HG=HF；

3

(3)如图3,若AO=],P为AE上一点，且满足AP=2PE,连接BP,BP沿着BG所在直线翻折得到BP',

4

连接GP,当GP最大时，直接写出.出£的面积.

10.【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,

AC=5cm.沿过点2的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为3D.求△AED的周长.

解：是由一8DC折叠而得到

:.4BDE沿4BDC:.BC=BE=6cm,DC=DE

AB=8cmAE=AB-BE=8cm-6cm=2cm

AC=5cm.〔VADE的周长为：AD+DE+AE=AC+AE=lcm

【知识应用】在Rt^ABC中，NC=90。沿过点8的直线折叠这个三角形，使点C落在B边上的点E处，折

痕为30,过点E作N3ED的平分线交于点尸连接AP.

图1图2

(1)如图1,若CD=3cm,AB+BC=16cm,求‘ABC的面积;

(2)如图2,求证AP平分NC4B；

【拓展应用】如图3,在Rt^ABC中，NC=90。沿过点8的直线折叠这个三角形，使点C落在A3边上的点

E处,折痕为8。，过点E作N3ED的平分线交8。于点连接AP,过点尸作尸以LAB.

5

D

P

AEHB

图3

(3)若AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm,直接写出尸//长；

(4)若AC2+BC2=AB2,求证JAC3c.

11.(1)已知一ABC中，AB=AC,ABAC=120°.

①如图1,点M,N均在边BC上，ZANB=45°,ZMAN=ZNAD=60°,AD^AM,连接NE>,C£>；请直

接写出创/与CN的数量关系

②如图2,点M在边8C上，点N在8C的上方，且NMBN=ZMAN=60。,求证：MC=BN+MN；

(2)如图3,在四边形ABCD中，ZCAB=a,5。平分/ABC,若—ADC与—ABD互余，则/D4C的

12.如图，在(0中，半径03,弦AC于点E,连接AB,BC,点。为。上一点，连接B。、CD.

(1)如图1,求证ND+NABE=90。；

(2)如图2,点、F为。上一点，连接CF,DF,若ZABC=NBCF,求证：DC平分ZBDF；

(3)如图3,在(2)的条件下，CG平分NDCF,交DF于点K,连接0K,设3。与AC交于点H,CE:HE=5:3,

BH=4,DK=8,求0K的长.

6

13.如图，四边形ABC。内接于。，对角线AC、3D交于点E,连接AO交即于点RAB=BF.

⑴如图(1)求证：ZACD=2ZACB.

(2)如图(2)若AOBC,求证：AC=CD.

⑶如图(3)在(2)的条件下，作EG〃A。交C。于点G,于点M,若5CG=6GM,OM=10,

求线段。尸的长.

14.在四边形ABCD中，AB=BC,ZB=60°；

图1图2

(1)如图1,已知ND=30。，求得ZA+NC的大小为；

(2)已知AD=3,CD=4,在(1)的条件下，利用图1,连接并求出的长度；

(3)问题解决：如图2,已知N£>=75。，BD=6,现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符

合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四

边形A3co面积的最小值；如果不能，请说明理由.

15.问题探究：

(1)如图(1)，在一ABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。为边3C上的一动点，以4。为边在右侧作VADE,

且/ZME=90。，AD=AE,连CE.若CD=2BD=4,求。E的长；

7

(2)如图(2),边长为4的等边ABC,点。为边BC上的一动点，以AD为边在右侧作VADE,连接CE,

则①/DCE=；®DC+CE=；③一。CE的周长最小值是.

问题解决：

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=AD,8=1,ZA=ZC=90°,NABC=60。，点Af,N分别为边AD,

0c上的动点，S.DM+DN=2,是否存在点M,N,使得四边形HWDN面积最大且OWN的周长最小？

若存在，求出四边形3AQN面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由.

16.如图1,已知，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,3c=3,点。在A8上且8。=个，点尸，。分

别从点。，8出发沿线段。8,BC向终点8,C匀速移动，P,。两点同时出发，同时到达终点.^BQ=x,

AP=y.

⑴求AD的值.

(2)求y关于尤的函数表达式.

(3汝口图2,过点P作PELAC于点E,连接尸Q,EQ.

①当为等腰三角形时，求x的值.

②过。作用，3C于点尸，作点/关于EQ的对称点p,当点P落在△PQ8的内部(不包括边界)时,

则x的取值范围为.

17.问题提出如图1,点E为等腰ABC内一点，AB=AC,ZBAC=a,将AE绕着点A逆时针旋转a得

到AD,求证：..ABE空ACD.

尝试应用如图2,点。为等腰外一点，AB=AC,BDLCD,过点A的直线分别交D3的延长线

和8的延长线于点N,M,求证：5"期+SAACM=)AN，凡似.

8

\f

问题拓展如图3,.ABC中，AB=AC,点。，£分别在边AC,8C上，ZBDA=ZBEA=60°,AE,BD

交于点若CE=a,AH=b,直接写出8E的长度（用含a,b的式子）.

18.如图，在二A5c中，ZA=90°,D、E分别是AB、8c上的点，过8、D、E三点作（O,交CO延长线

（2）当二。与a＞相切于点。时，求：。的半径；

⑶若sCDE=3sBDF，求DP的值.

19.【模型建立】如图，在等腰直角三角形ABC中，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作于点

D,过点B作3E_L£E＞于点E.求证：BEC—CDA.

【模型应用】

9

4

(1)如图，直线乙：y=§x+4与坐标轴交于点A、B,将直线4绕点A逆时针旋转45。至直线4,求直线4

对应的函数表达式.

(2)如图，四边形ABCO是长方形，。为坐标原点，点8的坐标为(&-6),点A、C分别在坐标轴上，P

是线段8C上的动点，。是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限.若是以。为直角顶点的等腰直

角三角形，请直接写出点。的坐标.

10

专题50三角形的存在性综合问题

【题型演练】

一、解答题

1.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。为A3边上一点，连结C。，过点

B作BELCD交CD的延长线于点E.

(1)如图1,若NBCE=2NDBE,BE=4,求,ABC的面积；

⑵如图2,延长EB到点下使EF=CE,分别连结CP,AF,AF交EC于点G.求证：BF=2EG.

(3)如图3,若AC=AD,点〃是直线AC上的一个动点，连结将线段绕点D顺时

针方向旋转90。得到线段点P是AC边上一点，AP=3PC,Q是线段上的一个动

点，连结PQ,QM'.当PQ+QM'的值最小时，请直接写出NPW的度数.

【答案］⑴32

(2)见解析

(3)45°

【分析】(1)过点C作CF1AB于点尸，利用8字型图，得至UNDCF=NDBE,易得

ZBCE=30°,从而得到47=3。=2破=8,再利用面积公式进行计算即可；

(2)延长FE到T,使ET=EF,连接AT和CT,证明一ACT组3CF(SAS),得至ljAT=BF,

连接7G,推出AAGT是等腰三角形，过点G作GMLAT,得到AT=2MT,根据平行线

间距离处处相等，得到VT=EG,从而得到AT=2GE,即可得证；

(3)过点。作交AC的延长线于点E,作点尸关于CD的对称点P，连接

AM',CP',QP',P'M',证明MDE^MZM(SAS),推出点〃在直线AC上运动时，点”在

过点A且垂直于AC的直线上运动，根据轴对称和三角形的三边关系以及垂线段最短，得到

P'Q+QM'>P'M',得到尸',。,/'三点共线时，且时，有最小值，根

据尸'”_L8C,PM'//AC,求出/CPM'=45。，证明尸。〃CP,进而得到

ZPQM'=ZCP'M',即可得出结论.

【详解】(1)如图1,过点C作CF人AB于点/，

11

A

图1

・.・ZACB=90°,AC=BC,

・•・ZABC=ZA=45°,

・.・CFLAB,BELCD,

：.ZCFD=ZE=90°,NSC尸=45。，

・・・ZCDF=ZBDEf

NDCF=180°-ZCFD-NFDC,ZDBE=180°-/BED-ZBDE,

:.ZDCF=ZDBE9

■:/BCE=2/DBE,ZBCE+ZDCF=ZBCF=45°,

ZBCE+-ZBCE=45°

2

・•・ZBCE=30°,

・.,BELCD,BE=4,

JAC=BC=2BE=8,

J.ABC的面积为工AC5C=工x8x8=32；

22

(2)如图2,延长FE到T,使ET=EF,连接AT和CT,

・・・ZECF=ZEFC=45°,

,:ET=EF,

：.CF=CT,

：.NFTC=NEFC=45。,

：."CT=90。,

ZACB=90°,

:.ZACT=ZBCF=90°-NBCT,

在,ACT和中，

12

AC=BC

<ZACT=ZBCF,

CT=CF

：.£ACT^BCF(SAS),

.・.ZATC=ZBFC=45°,AT=BF,

ZATF=ZATC+ZFTC=450+45°=90°,

连接7U,

CELFT,FE=ET,

CE是FT的中垂线，

:・TG=GF,

J/GTF=/GFT,

,/Z.GTF+ZATG=AGFT+Z.TAF=ZATF=90°,

JZATG=ZTAF,

：.AG=TG,

：.AG=FG,

过点G作GMLAT,贝U：AT=2MT,

VZATF=90°,

ETYAT,

:.ET//GM,

又•；GELET,

:・GE=MT,(平行线间的距离处处相等)

AT=2EG,

：.BF=2EG；

(3)如图3,过点。作。石工AB交AC的延长线于点£,作点尸关于的对称点P，连

接AM',CP,QP,PM',

・.,ABAC=45°,DELAB,

：.ZADE=90°,ZE=ABAC=45°,

：.AD=ED,

・・•将线段MD绕点、D顺时针方向旋转90°得到线段MD,

：.DM=DMf,NMDM'=90。，

13

ZMDE=ZMZM=90°-ZADM,

在和JWZM中，

MD=M'D

<ZMDE=ZM'DA,

DE=DA

：,:MDE密MDA(S网,

：.ZDAM'=NE=ABAC=45°,

NEAM'=ZDAM'+ABAC=45°+45°=90°,

点M在直线AC上运动时，点M'在过点A且垂直于AC的直线上运动;

:点尸关于8的对称点尸'，

PQ=P'Q,

•：P'Q±QM'>P'M',

.•.PQ+QW'的最小值为PM"

，当PM'JLAM'时，PQ+W有最小值：

此时，PM」BC,PM'//AC,如图4,

ZACD=ZADC=I8。-45=",

675

2

:点尸关于8的对称点P，

/.ZDCP'=ZACD=67.5°,PC=CP',

：.ZACP=ZDCP'+ZACD=135。，

?.ABCP=ZACP'-AACB=135°-90°=45°,

•/P'M'A.BC,

：.NC7y"=45°,

/.ACQP'=180°-ZCP'M'-ZDCP1=180°-45°-67.5°=67.5°,

：.ZCQP=ZCQP'=67.5°

ZCQP=ZDCP',

：.PQ//CP',

：.ZPQM'=ZCP'M'=45°.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线

段和最小问题.本题的综合性强，难度大，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全

14

等.本题中蕴含手拉手全等模型，将军饮马问题.

2.已知正方形ABCD,点P为直线AC上的一点，连接依，过点P作射线尸3,交直

线于点E,连接8E,取跖的中点尸，连接PRCF.

(1)如图1,点尸在线段AC的中点时，直接写出PB与C/的数量关系；

(2)如图2,

①点尸在线段AC上时，试判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；

②若点P在直线AC上，AB=4,AP=-AC,直接写出CF的长；

4

⑶设AB=4,若点尸运动到某一位置时使ABC尸为等边三角形，请直接写出"的长.

【答案】⑴PB=&F;

⑵①成立，理由见解析；②CF的长为占或旧；

⑶AP的长为2指-2近或2指+20.

【分析】(1)先证明4AB仁_尸3(7,_团小是等腰直角三角形，因此可得

PB=PC=>/2BF=OCF;

(2)①过尸点作尸GLBC于G,PH_LDC于"，先根据AAS证明..PGCWC,则可

得PG=PH,再根据ASA证明PBG=PEH,则可得APBE是等腰直角三角形，因此可

得PB=6PF,再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半''可得PF=CF,因此

PB=&F.

②分两种情况,分P点在线段AC上和P点在CA的延长线上.作P。，54于。点,先求出AC

的长，则可知AP的长，再求出PN、AN的长，则可求出必的长，再根据。尸=哭求出FC

的长即可.

(3)分两种情况，尸点在BC上方和厂点在3C下方.①尸点在BC上方时，由△BCF是等

边三角形可求出8C、BE的长，再求出PB的长，设尸。=AQ=x,根据勾股定理列方程求

出x,即可知尸。的长，则可求出P4的长.②b点在8C下方时，△BCF是等边三角形可求

出3C、跖、CE的长，再求出PE的长，作PQJ_CE于。点，设PQ=C0=x,在Rt△尸QE

中据勾股定理列方程求出x,即可知PQ的长，进而可可求出PC的长和的长.

15

【详解】⑴PB=y[iCF，理由如下：

•••四边形ABCD是正方形

:.BA^BC,ZABC^9Q°

P是线段AC的中点

BP=|AC=PC,ZBPC=90°

:尸是BC中点

:.PF=^BC=BF=CF,NPFB=90°

:.PB?=P*BF2=2PF2

:.PB=y/2PF

:.PB=QCF

(2)①如图，点P在线段AC上时，(1)中的结论仍然成立，理由如下:

过「点作PG_LBC于G,PHJLDC于H

又'ZBCD=9Q°

四边形尸GC"是矩形

:正方形A3CD中，AC平分ZBCD

:.PG=PH

NBPG+ZGPE=ZEPH+Z.GPE=90°

:.ZBPG=ZEPH

又：ZPGB=ZPHE=90°

PGB^,PHE

:.PB=PE

ZiPBE是等腰直角三角形

•.•尸是乐中点

:.PF=；BE,PB=®F

VRtBCE中,尸是BE中点

:.CF^-BE

2

PF=CF

16

PB=42CF

②（i）如图，P点在线段AC上时，作尸于。

AB=4

AC=^2AB=4y/2

PA=-AC=y[i

4

PQ=^PA=1

AQ=PQ=1

：.BQ=4-1=3

.-.PB=712+32=y/10

由①知尸B=&C尸

（ii汝口图，若P点C4的延长线,

过P点作PG_L3C于G,PHJLDHH

又148=90°

四边形尸GC"是矩形

:正方形ABCD中，AC平分ZBCD

:.PG=PH

Z.BPG+ZBPH=Z.BPH+Z.HPE=90°

17

:.NBPG=NEPH

又*NPGB=NPHE=90。

PGB^.PHE

:.PB=PE

ZXPBE是等腰直角三角形

:尸是BE中点

:.PF=-BE,PB=y/2PF

2

VRtBCE中,尸是BE中点

:.CF^-BE

2

PF=CF

:.PB=也CF

延长54,作PQJ_8A于。点

ZPAQ=ZBAC=45°

：.PQ=AQ=^PA

PA=-AC=yf2

4

PQ=^Xy/2=l

AQ=1

：.BQ=4+1=5

：.PB=yl^~+^=>/26

PBV26

CF=H=H=^/13

综上，CF的长为君或屈

(3)

①如图，尸点在8c上方时

18

・・・ZX3C厂为等边三角形

:.ZFBC=60°

.•.NBEC=30。

:.BE=2BC=8

由①知△P5E是等腰直角三角形

:.PB=—BE=—xS=4y/2

22

延长54,作尸于。点

则NPAQ=/BAC=45。

AQ=PQ=^AP

设尸。=AQ=x,则BQ=4+x

由PQ2+BQ2=PB2

得尤2+（4+无）2=（4夜）2

解得尤1=26—2,%=—2A/§—2（舍去）

PQ=AQ=2yf3-2

PA=y/2PQ=夜（2抬'-2）=2娓-2夜

②①如图，/点在BC下方时

△3(4为等边三角形

:.ZCBE=60P

BC=4

CE=曲BC=4®BE=2BC=8

V是等腰直角三角形

;.PB=PE=—BE=^

2

19

过P点作于。点

则APQC=90°,NPCQ=ZACD=45°

.■.CQ=PQ

]^CQ=PQ=x,贝ljEQ=4有一x

在RtVPQE中PQ2+QE-=PE2

X2+(4V3-X)2=(4A/2)2

解得玉=2*\/^+2(舍去)，%,=2-^3—2

CQ=QP=2^-2

PC=(2百-2)0=2A/6-2&

AC=CAB=4V2

.­.AP=4A/2+(276-2A/2)=276+2A/2

综上，AP的长为220或2指+20

【点睛】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边

三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理.正确的画出图形，并且正确

的作出辅助线是解题的关键.注意分类讨论，不要漏解.

3.在.ABC中，£>为直线AC上一动点，连接3D,将5。绕点B逆时针旋转90。，得到3E,

连接DE与AB相交于点尸.

(1)如图1,若。为AC的中点，ZBAC=90°,AC=4,BD=后,连接AE,求线段AE的

长；

(2)如图2,G是线段及1延长线上一点，。在线段AC上，连接DG,EC,若NR4C<90。，

EC±BG,ZADE=ZDBC,ZDBC+ZG=ZEBF,证明&3c=2AD+DC;

(3)如图3,若一ABC为等边三角形，A2=60，点M为线段AC上一点，且2cM=4W,点

P是直线BC上的动点，连接EP,MP,包欣，请直接写出当EP+MP最小时二的面积.

【答案】(1)4£=后；

⑵证明见解析；

20

⑶9+26.

【分析】(1)根据题意由勾股定理可得A2长度，作EGLAB,交AB于G,利用旋转及互

余可证得四△GEB(AAS),则得EG=AB,BG=AD,可求出AG,再由勾股定理

可得AE的长度；

(2)由旋转可知，BDE为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得△EBC/△3DG

(AAS),则有8O=DG,NEBC=ZBDG,由/4£>E=ND3C,可证NADG=45。，由

ZADE=/OBC,利用三角形内角和定理可得ZACB=45。，作皿，3C,交C4延长线于H,

连接咫，易知，V&〃为等腰直角三角形，可得N3HC=45。，BH=BC=DG,CH=^BC，

易得BH〃DG,可证四边形BDG〃是平行四边形，即加=24),利用8=印)+8可得

证结论；

(3)作交AC于7/,将BC绕点3逆时针旋转90。，证明△3GE4△3CD(SAS),

进而证得EG〃9,作点加关于BC的对称点N,连接PN,CN,由对称易知CM=OV,

易知当EP+MP最小时，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直线，且NELEG,如图，

作BTLGE,交GE于T,易知四边形8QET是矩形，证得△PMC是等边三角形，求出

PE=3&+2叵,的高/；=而，根据S△皿=：EP/z可得答案.

【详解】(1)解：：。为AC的中点，AC=4,BD=V29,ZSAC=90°

：.AD=^AC=2,则由勾股定理，可得：AB=^BD2-AD2=5>

作EG_LAB,交A3于G,

由题意可知，ZDBE=90°,BE=BD,

：.Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

Z1=Z3,

又,?ZEGB=ABAC=90°,

；.AABD^AGEB(AAS),

AEG=AB=5,BG=AD=2,

则AG=AB—BG=3,

由勾股定理可得：AE=^EG2+AG2=A/34：

21

(2)证明：由旋转可知，为等腰直角三角形,

/.Z7=45°,ZEBD=9Q°,BE=BD,

"?ECLBG,

：.Z3+ZEBF=90°,

又；N4+NEBF=90°,Z3+Z1=9O°,

，N3=/4,Nl=NEBF=N2+NDBC,

又NDBC+NG=ZEBF,

N2=NG,

Z=Z4

在，E3c和30G中，1Z2=ZG,

BE=BD

：.AEBC^ABDG(AAS),

BD=DG,ZEBC=Z.BDG,

则：ZEBD+ZDBC=N7+ZADE+ADG,

,/ZADE=ZDBC,

:.ZEBD=4+ADG,即：90°=45°+ADG,

NADG=45。,

又：ZADE=ZDBC=Z5+Z,6,

由三角形内角和定理可得：ZDBC+Z2=Z6+Z7,

即：Z6+Z5+Z2=Z6+Z7,

ZACB=Z5+Z2=Z7=45°,

作交C4延长线于a,连接用，

；•VB以为等腰直角三角形，

AZBHC=45°,BH=BC=DG,CH=y/2BC，

,：NADG=45。,

BH//DG,

四边形5DG”是平行四边形，

AH^AD,即HD=2AD,

CH=HD+CD=2AD+CD=五BC;

22

(3)作BH_LAC,交AC于H,

：—ABC是等边三角形，

:.AB=AC=BC=6y/i，ZACB=ZABC=O)°,BH平分/ABC,

贝ijZABH=ZCBH=30°,

将3c绕点B逆时针旋转90。，则BC=3G=60，ZDBE=ZCBG=90°,

：.NEBG=ZDBC,ZGBH=ZCBG-ZCBH=60°

：.ABGE/ABCD(SAS),

NBGE=NBCD=60。

：.EG//BH,

作点M关于BC的对称点N,连接PN,CN,由对称易知CM=OV,NBCN=ZACB=60。,

PM=PN

：.EP+MP=EP+PN

V

N

当最小时，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直线，且NELEG,如图:

23

H

作BT上GE,交GE于T,则N5GT=60。，ZTBG=30°

22

GT=；8G=3夜，BT=y/BG-TG=376-

,?EG//BH,BH±AC,NELEG

：.BHLNP,NE//AC,四边形BQET是矩形，

则ZACB=/NPC=NB尸0=60°,EQ=BT=3娓,即NMPE=60°,

由轴对称可知，NCPM=ZNPC=60°,

，△产“€?是等边三角形，则：PM=CM=CP,

•.*2CM=AM,

:.PM=CM=CP=2叵,BP=4垃,ZABH=NCBH=30。

：,QP=-BP=2y[2,CH=-BC=3s/2,

22

则由勾股定理可得：BQ=2娓,BH=3娓,

'：NE//AC,BH±NP,

则Q8为A®,AC之间的距离，

/.QH=y[6,即的高〃=遥

/.PE=EQ+PQ=3瓜+2近,

：.S&EPM=；EPJi=gx[3«+2吟x«=9+26.

【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及

性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明NACB=45。，NADG=45。解决问题的关

键，第（3）问弄清E的运动轨迹是解决问题的关键.

4.在Rt^ABC中，ZABC=90°,AO平分NA4C,E为AC上一点.

24

图1

图2图3

⑴如图1,过。作。尸AS交AC于点尸，若DE=DF=3,AB=4,求的长；

⑵如图2,若CE=CD,过A作AF_L4）交DE的延长线于点/，H为ZM延长线上一点，

连接"E,过产作PGJLHE交于点G,交"E于点M,且=AG,猜想线段用与即

之间的数量关系并证明你的猜想；

（3）如图3,将（2）中△AZ）/沿。尸翻折得到ADF，N为DF上一点连接AN,过N作

PNLAN交AQ于点、p,AD=10,尸。=6,再将一㈤VF沿AN翻折得到一ANQ,AQ交PN、

。户分别于点S、R,请直接写出黑的值.

RN

【答案】（1）60

⑵HG=0DF

涯

136

【分析】（1）过点。作DGLAC于点G,根据角平分线的性质得出。5=DG,证明

CDFsCBA,得出“一=—=一，设CD=3x,则。G=£>B=x,在RtZiCDG中，

ABCB4

CG=y/CD2-GD2=2^2x^进而证明-。以"一CBA，根据相似三角形的性质得出x=20，

进而即可求解；

（2）连接mL过点E作EKLAD于点K,证明是等腰直角三角形，，.团）是等腰

直角三角形，证明△AFH/△AFG,设4HFA=AAFG=0,继而证明.AGP空KE”,得

出HF=KE,根据KE=A8=Y2OE,即可得出结论；

2

（3）过点N作MWLAF于点M,AKLFD交的延长线于点K,过点A作ATLOR于

点、T,由（2）可知是等腰直角三角形，则四边形4。4尸是正方形，得出..DNK是

等腰直角三角形，证明..ADN/PKN（SAS）,求得MN=,FN=2,在Rt.AMN中，设

/FAN=/QAN=e…e=RMN=31,继而解直角三角形，求得QS=3=,接下来求得RN的

AM42

长，设RV=a,勾股定理得出（3友-a『+（50『=AR2①，证明ADRs.NQR,得出

25

群=丝'理=1李=述“②，联立解关于。的方程，即可求解，进而求得比值即可求

NQ202

解.

【详解】（1）解：如图，过点。作DGLAC于点G,

图1

：AD平分NR4C,ZABC=90°,

：.DB=DG,

DFAB,

:・_CDFS£BA,

又DE=DF=3,AB=4,

.DFCD3

**AB-CF-4?

设CD=3x,贝-x,

在RtZXCDG中，CG=\lcU-Glf=2缶,

・.・ZDGC=NB=90°,ZDCG=ZACB,

工；CDG^CBA,

.DGCG

・x_2A/2X

44x

解得：x=2A/2，

CD=3x=672;

（2）HG=41DF）理由如下，

证明：如图，连接HR,过点E作铉上也于点长,

^ZBAD=ZDAC=a,

26

，ZC=90°-2cr,

*：CD=CE,

・・・ZCDE=ZCED=1[180-(90°—20]=45。+a,

・・・ZADF=ZDEC-ZDAC=45°^a-a=45°,

;AF±AD,

・•・△说是等腰直角三角形，

：.ZAFD=45°,

・・..KED是等腰直角三角形，

'/FA±AD,

：.ZFAH=ZFAG=90°

又AF=AF,AH=AG,

：.AAFH学AAFG,

：.ZHFA=ZAFG

设NHE4=NA/G=尸，

*.•FG1HE,

：.NGHE=AAFG=/3

：.ZHFD=ZHAF+ZAFD=/7+45°,

:,HF=HE,

在二AG尸与&KEH中，

'NKHE=NAFH=0

<NHKE=/FAH=9b。

HE=HF

:.LAGFAKEH

HF=KE

・.・AH=AG=；HG,KE=AH,

又・.・KE=—DE,

2

JHG=2KE=2x—DE=y[2DE,

2

・•・HG=^2DF

27

（3）解：如图所示,

过点N作于点M,NK_LFD交。4的延长线于点K,过点A作ATXDF于点T,

由(2)可知△ADB是等腰直角三角形，

依题意，则四边形AD41P是正方形，

：.AF=AD=10,DF=0AD=100,

：.ZNDK^ZNDA=45°,

.DNK是等腰直角三角形，

ND=NK

VAN1NP,DN±NK,

：.ZANP=ZDNK=90°

：.ZANP-ZDNP=ZDNK-ZDNP

即ZAND=NPNK

：./ADNgPTQV(SAS)

PK=AD=W,KD=PD+PK=16,

则DN=^DK=8g,

2

FN=FD-DN=2五,

•.•四边形AD41/是正方形，

...NATO=45。，

MNA.AF,

：.MN=—FN=2,

2

28

：.AM=AF-MF=\Q-2=?>,

在RtAAW中，AN=NAM2+MN?=2后,

,・,折叠，

/FAN=ZQAN

设/FAN=ZQAN=3

・nMN1

・・tan0—-----

AM4

在RtAAQ中,

AN4

AS=ylAN2+NS2=17

2

173

QS=AQ-AS=10--=-,

AT±FD,

AT=FT=—AF=542,

2

没RN=a，她RT=NT-RN=FT-FN-RN=5>/i-2y/i-a=3^-a

在Rt-A7?T中，RT2+AT2=AR2

即（30-af+（50『=AR2①

,・,折叠，

ZNQR=ZNFA=45°f

又丁/NRQ=/ARD

：,_ADRS「NQR

ARAD

NRNQ

ADxNR10xa=亭②,

AR=

NQ2V2

解得：a=———或Q=-2A/5（舍去）

23

・"警

29

3

,QS=2_69A/2

,,NIT34A历一136,

23

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形

的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，

构造全等三角形是解题的关键.

5.如图1,ABC中，AC=5,BC=12,以AB为直径的，。恰好经过点C,延长至。，

⑵求证：ZB=ZD；

(3)如图2,在AD上取点P,连接PC并延长交(。于点2,连接AQ交于点E.

①当PQ〃AB时，求AExAQ的值；

②设针=x,CE=y,求y关于x的函数表达式.

【答案】⑴。。的半径是6.5；

(2)见解析

(3)@AExAQ=；②

【分析】(1)由A3是。的直径，得NACB=90。，用勾股定理可得(。的半径是6.5；

(2)证明直线AC是8。的垂直平分线，有=故=

(3)①由尸Q〃A8,得NEAB=NQ,NB=NECQ,可得NEAB=NB,NECQ=NQ,

AE=BE,CE=EQ,^AE=BE=m,在Rt.ACE中，52+(12-/«)'=??z2,得加=烧，即

169119169

得AE=BE=*,CE=12-m=-=EQfAQ=AE+EQ=12,从而得AExAQ=*

24122

②过A作AK，尸。于K；连接2。，由CE=y,AC=5,得AE=抄+25,而AACES