中考数学难点突破与训练：相似三角形中由动点引起的分类讨论问题（含答案及解析）

专题26相似三角形中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在RtABC中，ZBC4=90°,CD,Afi于点。，下列结论错误的有（）个

①图中只有两对相似三角形；@BCAC=ABCD；③若BC=25AD=8,则0）=4.

A.1个B.2个C.3个D.0个

2.在RtABC中，ABAC=90°,45=AC,点。为线段8C上一点，以AD为一边构造及△?1£）£1,^DAE=90°,

AD=AE,下列说法正确的个数是（）

①图中和-54。相等的角有2个（不含NBAD）；②若不添加线段，图中共有5对相似三角形；③

AD2=OAAC；®DE2=BD2+CD2.

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃:BC,/ABC=90。，AB=7,AD=3,BC=4.点P为AB边上

一动点，若APAD与APBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,

若△PAD与小PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）

p

1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在矩形ABC。中，点E为A。上一点，且AB=8,A£=3,8c=4,点P为A8边上一动点，连接

PC、PE,若B4E与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（）

D___________________C

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8,AE=3,3C=4,点尸为上一动点，连接PCPE,

若APAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（）

7.如图，在矩形ABC。中，点E为4D上一点，且AB=8,AE=3,BC=4,点P为AB边上一动点，连接

PC、PE,若△B4E与△P8C是相似三角形，则满足条件的点尸的个数为（）

D___________________C

8.如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8,AE=3,BC=4,点P为AB上一动点，连接PC、

PE,若APAE与APBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有个.

2

9.如图，在四边形A8CD中，AD//BC,NA3C=90。，AD=2,BC=6,AB=7,点尸是线段BA上的一个

动点，连接PC、PD.若△与△尸8C是相似三角形，则满足条件的点P有个.

10.如图，在矩形ABC。中，点E为上一点，且AB=8,AE=3,8C=4,点P为AB上一动点，连接尸C、

PE,若小朋£与4BBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有个.

11.如图，△ABC的两条高A。、BE交于点H,则图中的相似三角形共有一对.

三、解答题

12.如图，正方形ABCD,点尸为射线。C上的一个动点，点。为A8的中点，连接P。，DQ,过点尸作

PELDQ于点、E.

（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；

（2）若48=4,以点P,E,。为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出。尸的长.

3

np

13.由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个

三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

(甲)(乙)

(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：

①已知，如图甲，AABC中，点E分别在AB、AC上，且DE〃BC.

问：A4DE与AABC相似吗？试证明.

②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形

(2)依据(1)中②的结论完成下列问题：

ADAr

已知，如图乙，在AABC和AB'C'中，ZA=ZA\

ABAC

①问：AB'C与AABC相似吗？试证明.

②你得到的结论是：的两个三角形相似.

14.如图，E是平行四边形A8C。的边延长线上一点，连结EC交AD于P.

(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；

(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.

15.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中

AB=AC,如图I,进行了如下操作.

4

第二步，分别以点E,尸为圆心，大于!EF的长为半径画弧，两弧相交于点。，作射线AD；

第三步，以。为圆心，D4的长为半径画弧，交射线AE于点G；

(1)填空：写出NCAO与/GAD的大小关系为；与8c的位置关系为；

AF)

(2)当AB=AC=6,8c=2时，连接DG,求出一的值；

AG

⑶如图III,根据以上条件，点P为4B的中点，点M为射线上的一个动点，连接尸PC当/CPM=/B

时，求AM的长.

16.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=8,点。是边BC上(不与2,C重合)一动点，ZADE=ZB

=a,DE交AC于点E,

(1)不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明；

(2)设CE=y,求出y与尤的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值范围；

(3)当AOCE为直角三角形时，8。的长为

17.如图，AB1BD,CD±BD,AB=3,CD=S,80=10,一动点P从点B向右。运动，问当点P离点B

多远时，△RLB与是相似三角形？

C

BPD

5

18.如图①，在△ABC中，AC=BC,点。是线段AB上一动点，NEDF绕点、D旋转,在旋转过程中始终保

持/4=/即尸，射线。E与边AC交于点M,射线。E与边8C交于点N,连接

（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；

（2）如图②，在上述条件下，当点。运动到的中点时，求证：在/即尸绕点。旋转过程中，点。到线

段MN的距离为定值.

图①图②

19.如图，在R3ABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,点D为AC边上一点，且AD=3cm,动点E从点A

出发沿线段AB向终点B运动.作NDEF=45。，与边BC相交于点F.

（备用图）

1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；

（2）当△BEF为等腰三角形时，求AE的长；

（3）求动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动的过程中点F的运动路线长.

20.问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图b己知AD是AABC

的角平分线，可证若=黑.小慧的证明思路是：如图2,过点C作CE〃A2,交的延长线于点E,

构造相似三角形来证明典=坦.

6

图1图2图3

(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明等=言；

(2)应用拓展：如图3,在RdABC中，ZBAC=90°,。是边8C上一点.连接AD,将△AC£＞沿AD所在直

线折叠，点C恰好落在边上的E点处.

①若AC=1,AB=2,求。E的长；

②若BC=m,ZAED—«,求DE的长(用含相，。的式子表示).

21.习过相似三角形后，刘老师布置了一道思考题.

问题情境：如图1,等腰三角形ABC中，AC=BC,C£＞为AB边上的中线，M为CD上一个动点，DEJ.BM

于点E,连接CE,若点N为AC上一个动点，连接EN,当AC=5,AB=6时，求EN的最小值.

小明在分析这道题时，发现思路不明显，他采用从特殊到一般的方法进行探究，以下是他的探究过程，请

仔细阅读，并完成下列任务.

原题中动点较多，小明准备先从动点的条件入手分析：

分析一：如图2,等腰三角形中，AC=BC,为AB边上的中线,

若CD=AB,点M为C。的中点，DE上BM于点、E,连接CE,

点N为AC上一个动点，连接硒，探究EN是否存在最小值；

过程：连接AE,垂直平分A3,CD=AB,M是C。的中点，

：.BD=MD,N①犯=90°,是等腰直角三角形，

'：DE±BM,,\BE=DE,ZDBE=ZEDC=45°,

7

,/AB=CD,BAE之DCE,

•••AE=CE，,•・•/BEA=/DEC，,

ZBEA-ZDEA=ZDEC-ZDEA,ABED=ZCEA=90°,

V。山是等腰直角三角形，当ENLAC时有最小值；

分析二：如图3,等腰三角形ABC中，AC=BC,CD为A8边上的中线,

若CDxAB,且加，N分别为C。、CA的中点，DEJ.BM于点E,

连接CE,EN,求证：AC=2EN.

任务：

(1)小明在分析一中判断EN的最小值时运用了原理；(填序号)

①两点之间线段最短；②垂线段最短；③平行线间的距离；④点到圆的距离.

(2)请完成分析二的证明；

(3)请直接写出问题情境中EN的最小值.

22.如图，在边长为6的等边ABC中，。是A3边上一点，A£>=4,E是BC边上一动点，NDEF=60。交

AC边于F.

(1)找出图中一对相似三角形，并说明理由；

(2)在点E从B点运动到C点的过程中：

①求”长的最小值；

②线段。尸的中点所经过的路径长为；线段EF的中点到BC的最大距离为.

23.定义：先将△ABC以点A为位似中心放大或缩小，接着将所得三角形以点A为旋转中心，逆时针旋转

一个角度a后，得到AADE,则我们称△ABC与AADE互为“旋转相似三角形”.

理解：

(1)如图1,△ABC与AADE互为“旋转相似三角形”.若a=20。,ZD=100°,NC=如。,则NBAE的度

数为一;

8

(2)如图2,在等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD是高，点E为DC上一动点，以线段AE为

斜边在右侧作R3AER使NAFE=90。，NAEF=30。，连接DF,求证：△ABE与△ADF互为“旋转相似

三角形”；

运用：

(3)如图3,AABC与4ADE互为“旋转相似三角形"，连接BD、CE,若NABC+NADC=90°,AB=2AC,

DE=3,CD=4,求BD的长

24.“如图1,在RtAABC中，NACB=90。，CQLAB于点D”这里，根据已学的相似三角形的知识，易

CDAC

证：建=芸・在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2,点E是直线AC上一动点，连接

BDBC

(2)数学思考：

DF

①如图3,若点E在线段AC上，则号=(用含加，〃的代数式表示)；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；

(3)拓展应用：若AC=下,BC=2y/5,DF=4近,请直接写出CE的长.

25.如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，4。是边BC上的高线，b是外角ACE的平分线，点P是

边BC上的一个动点(与点8,C不重合)，ZAPQ=60。，射线尸。分别与边AC,射线CF交于点N,Q.

(1)求证：AABPs^pcN；

(2)不管点尸运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第(1)小题中的一对相似三角形外，请写出图中

其它的所有相似三角形；

(3)当点尸从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点尸的运动而运动.在此过程中，试探究：能

9

否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由.

26.如图，在ABC中，ZC=90°,AC=6,8c=8.在它的内部作一个矩形。EFG,使得DE在边AB上,

F、G分别在边3C、AC上.设DE=x,矩形。£FG的面积为九

（1）写出图中的一对相似三角形；

（2）写出y关于x的函数关系式；

（3）若"［九!根］是平面直角坐标系中的两个点，判断线段与（2）中函数图象的交点情况,

并求出对应加的取值范围.

27.如图，在氏ABC中，NC=90,AC=BC=4cm,点。为AC边上一点，且AD=3cm,动点E从点A

出发沿线段AB向终点8运动.作NDEF=45,与边8C相交于点歹.

⑴找出图中的一对相似三角形，并说明理由;

⑵当广为等腰三角形时，求AE的长;

（3）求动点E从点A出发沿线段向终点8运动的过程中点F的运动路线长.

10

专题26相似三角形中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在RtABC中，ZBCA=90°,于点。，下列结论错误的有（）个

①图中只有两对相似三角形；@BCAC=ABCD；③若BC=2下,AD=S,则0=4.

A.1个B.2个C.3个D.0个

【答案】A

【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求

出8。，再利用勾股定理求出C。即可.

【详解】解：VZACB=90°,CDLAB,

：.ZACD=ZCDB=ZACB,

•.•彳无A,=

：./\ACD^/\ABC）^^CBD,故①错误，

,：SAACB=^AC-BC=^AB-CD,

：.BC'AC=AB>CD,故②正确，

,CBBD

"A£-BC'

.2A/5_BD

"S+BD~2^5'

：.BD=2^4-10（舍弃），

在RtACDB中，CD=^BC2-BD2=«2有丫-展=4，故③正确，

故选：A.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找

相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

2.在RtABC中，ZSAC=90°,AB=AC,点。为线段BC上一点，以AD为一边构造

RtAADE,^DAE=90°,AD=AE,下列说法正确的个数是（）

①图中和/A4D相等的角有2个（不含NA4D）；②若不添加线段，图中共有5对相似三角

形；@AD2=OAAC；®DE2=BD2+CD2.

11

E

o

B’-r----"

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质

及勾股定理进行证明即可得出答案.

【详解】在RtABC中，=90°,AB=AC,在用AWE,^DAE=9O°,AD=AE,

ZB=ZC=45°=ZADE=ZE=45°,

.-.AABCAADE,

.ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,即44£>=NC4E,

.-.AABDAAEO,

在AAOE和ADOC中，

NE=ZC,ZAOE=ZDOC,

:.ZCAE=ZODC,

:.ZODC=ZBAD,故图中和154。相等的角有2个（不含N&ID）,①正确；

\AOEADOC,

:.AABDADCO,

ZDAO=ZCAD,

:.AAODAADC,故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，②正确；

.•.丝=半，gpAD2=OAAC,故③正确；

连接CD,

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

:.\ABD=\ACE{SAS),

BD=CE,NB=ZACE=45°,

ZAC5=45°,

：,NDCE=9U。,

.\CD2+CE2=DE2,

:.DE2=BD2+CD2,故④正确；

12

综上，说法正确的由①②③④；

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定

和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃:BC,/ABC=90。，AB=7,AD=3,BC=4.点

P为AB边上一动点，若△PAD与APBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由于/PAD=NPBC=90。，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况

讨论：①△APDs/^BPC,②AAPDsaBCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的

比相等求出AP的长，即可得到P点的个数.

【详解】VAB1BC,

.•.ZB=90°,

：AD〃BC,

.,.ZA=180°-ZB=90°,

.,.ZPAD=ZPBC=90°,

设AP的长为x,则BP长为7-x；

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△APDS/^BPC,贝l|AP：BP=AD：BC,即x：(7-x)=3：4,

解得：x=3

②若AAPDS/XBCP,贝！1AP：BC=AD：BP,即x：4=3：(7-x),

解得：x=4或3.

满足条件的点P的个数是2个，

故选B.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键.

4.如图，在直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为

AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

13

【答案】c

【详解】试题分析：由于NPAD=/PBC=90。，故要使APAD与APBC相似，分两种情况讨

论：①△APDs/XBPC,②△APDs^BCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比

相等求出AP的长，即可得到P点的个数.

解：VABXBC,

：.ZB=90°.

：AD〃BC,

.•.ZA=180°-ZB=90°,

.•.ZPAD=ZPBC=90°.AB=8,AD=3,BC=4,

设AP的长为x,则BP长为8-x.

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

24

①若AAPPs^BPC,贝！1AP：BP=AD：BC,即x：(8-x)=3：4,解得x=7；

②若△APDsABCP,则AP：BC=AD：BP,即x：4=3：(8-x),解得x=2或x=6.

满足条件的点P的个数是3个，

故选C.

考点：相似三角形的判定；直角梯形.

5.如图，在矩形A8C。中，点E为上一点，且AB=8,AE=3,8C=4,点P为AB边

上一动点，连接PC、PE,若・朋E与11PBe是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（）

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】设=则3P=8-x,分APAEAPFC和△PAE/XCBP两种情况，根据相

似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：•••四边形A3。是矩形,

ZA=ZB=9Q°,

设AP=x,贝I]3P=8-x,

当△R4E-3c时,

14

AEPA

BC~PB1

prt3X

即ZK

解得％=半24，

当APAE△（?打尸时，

AEPA

访一拓，

目n3x

即G"

解得x=2或6,

AP=上24或2或6,

7

；•满足条件的点尸的个数有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，解

答时，注意分类讨论思想的灵活运用.

6.如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且A3=8,AE=3,BC=4,点p为上一

动点，连接PC、PE,若△24S与二PBC是相似三角形，则满足条件的点尸的个数有（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】设4尸=尤，贝l]BP=8-尤，分△和△尸两种情况，根据相似三

角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：设"=x,则3P=8-x,

当时，—,即9=

BCPB48-x

24

解得，x=y,

当△朋时，—,即六=3，

PBBC8-X4

解得，尸2或6,

可得：满足条件的点P的个数有3个.

故选：B.

15

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三

角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用.

7.如图，在矩形ABC。中，点E为上一点，且AB=8,AE=3,BC=4,点尸为A8边

上一动点，连接尸。、2£,若4出后与仆PBC是相似三角形，则满足条件的点尸的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】设AP=x,则BP=8-x,分4出£52\尸2。和4B4ES/XC2尸两种情况，根据相似

三角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：设AP=尤，贝1]8尸=8-彳，

当时，—,即/―，

BCPB48-x

24

解得，x=—f

当△朋Es^XcBP时，—,即2=9，

PBBC8-X4

解得，x=2或6,

可得：满足条件的点P的个数有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用.

二、填空题

8.如图，在矩形ABCD中，点E为AD卜一点，且AB=8,AE=3,BC=4,点P为AB卜.

一动点,连接PC、PE,若^PAE与APBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有—

【分析】设AP=x,则BP=8-x,分4PAE^APBC和小PAE^ACBP两种情况，根据相似

三角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：设AP=x,贝IJBP=8-x,

16

当APAEsZXPBC时，——=——，即/六，

BCPB48-x

24

解得，X=y,

当APAEs/^CBP时，—,即2=9，

PBBC8-x4

解得,x=2或6,

可得：满足条件的点P的个数有3个.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三

角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用.

9.如图，在四边形中，AD//BC,ZABC=90°,AD=2,BC=6,A8=7,点尸是线

段8A上的一个动点，连接PC、PD.若△刑。与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P

有个.

【答案】3

【分析】设APF,贝1]8尸=7-尤，分两种情况：①当三；=三;时；②当三；=篙时；分别

ADBCADBP

得出尤的方程，解方程得出AP的长，即可得出结论.

【详解】解：AD//BC,ZABC=90°,

：.ZPAD+ZABC=180°,

AZBAD=90°,

设贝i]8P=7-x,

分两种情况：

APBPj

①当时,

ADBC

7

解得：户]

②嗡噜时，

x6

即nn一=----

27-x

17

解得：x=3,或x=4,

故答案为：3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定、解方程；熟练掌握相似三角形的判定定理，通过分

类讨论得出比例式是解决问题的关键.

10.如图，在矩形ABCZ)中，点E为上一点，且AB=8,AE=3,BC=4,点、P为AB上一

动点,连接PC、PE,若4FAE与△P8C是相似三角形，则满足条件的点P的个数有

个.

【答案】3

【分析】设AP的长为x,则8P长为8-x,分△APES/XBPC与△两种情况讨

论即可得解.

【详解】解：

：.ZB=90°.

'：ADBC,

：.ZA=180°-ZB=90°,

ZB4£=ZPBC=90°.

AB=8,AE=3,BC=4,

设AP的长为x,则B尸长为8-x.

若AB边上存在尸点，使△以E与APBC相似，那么分两种情况：

…24

①若△APEs△spc,则4P：BP=AE：BC,即x：(8-x)=3：4,解得x=,；

②若AAPEsABCP,则AP：BC=AE：BP,即无：4=3：(8-x),解得尸2或x=6.

满足条件的点P的个数是3个.

故答案是：3.

【点睛】由于/B1E=NP8C=9O。，故要使△B4E与△P8C相似，分两种情况讨论：

①△APEsLBPC,②AAP-ABCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等

求出AP的长，即可得到尸点的个数.

11.如图，△ABC的两条高A。、BE交于点、H,则图中的相似三角形共有一对.

18

【答案】6

【分析】根据相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可.

【详解】解：；BELAC,

:.NADC=NBEC,

,/NC=NC,

：.；ADCs’BEC；

VZA=ZA,ZADC=ZAEH,

：.AADC^AAEH；

AAEHsABEC；

VZBHD=ZAHE,ZBDH=ZAEH,

：.ABDH^AAEH；

ABDH^ABEC-,

•.二ADCs’BEC,

：.ABDH^AADC；

综上所述：有6对相似三角形.

故答案为：6

【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理,

找出所有的相似三角形.

三、解答题

12.如图，正方形ABCD点尸为射线。C上的一个动点，点。为AB的中点，连接尸。,

DQ,过点尸作PE，。。于点E.

（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；

（2）若A8=4,以点尸，E,。为顶点的三角形与△A。。相似，试求出OP的长.

【答案】（1）△DPE^^QDA,证明见解析；（2）DP=2或5

【分析】（1）由/ADC=NDEP=/A=90。可证明△ADQS/\EPD；

（2）若以点P,E,Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两种情况，当△ADQ-AEPQ时,

EPDE

设EQ=x,则EP=2x,则DE=26-x,由^ADQs^EPD可得—，可求出x的值,

AD

则DP可求出；同理当△ADQs/\EQP时，设EQ=2a,则EP=a,可得"二幺=2=4

a42

19

可求出a的值，贝ijDP可求.

【详解】（1）△ADQ^AEPD,证明如下：

VPEXDQ,

・・・NDEP=NA=90。，

VZADC=90°,

・・・NADQ+NEDP=90。，NEDP+NDPE=90。，

・・・NADQ=NDPE,

AAADQ^AEPD；

（2）・・・AB=4,点Q为AB的中点，

・・・AQ=BQ=2,

DQ—yjAD2+AQ2=,4?+2?=2A/5，

VZPEQ=ZA=90°,

・・・若以点P,E,Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两种情况,

A。PE

①当AADQSAEPQ时，司=瓦=2,

设EQ=x,贝IjEP=2x,贝ljDE=2逐一x,

由（1）知aADasaEPD,

.EPDE

••而一而’

,2x2y[5-x

••—=------，

42

，x=非

DP=^DE2+EP2=5;

②当△ADQs^EQP时，设EQ=2a,贝1JEP=a,

同理可得"二网二2二工，

a42

..a

DP=<DE?+EP2=

综合以上可得DP长为2或5,使得以点P,E,Q为顶点的三角形与△ADQ相似.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

13.由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，

那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截,

所得的对应线段成比例.

20

（甲）（乙）

⑴请依据上面定义和事实，完成下列问题：

①已知，如图甲，AABC中，点。、E分别在A3、AC上，且DE〃BC.

问：AADE与AABC相似吗？试证明.

②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形

（2）依据（1）中②的结论完成下列问题：

An

已知，如图乙，在AABC和‘A'3'C'中，-v^=—；,NA=NA'.

ABAC

①问：一A'3'C'与AABC相似吗？试证明.

②你得到的结论是：的两个三角形相似.

【答案】（1）①相似；证明见解析；②相似

⑵①相似；证明见解析；②两边对应成比例，夹角相等

【分析】（1）①过点。作。/〃AC,利用三角形相似的定义证明即可；②由①可知平行于三

角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；

（2）①根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明；②由①中可知两边成比例

且夹角相等，可以判定三角形相似进而可得答案.

（1）

①相似.

证明如下：如图，过点。作。尸交BC于点尸

易得:四边形DEC尸是平行四边形，即£>£=尸。

由已知得/4=NA,ZADE^ZB,ZAED=ZC

'：DE//BC

.ADAE

"~AB~~AC

21

y."：DF//AC

.ADCFDE

.AD_AEDE

"AB~AC~BC

...由相似三角形定义得：AADE^AABC.

②解：由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相

似

故答案为：相似.

(2)

①相似.

证明如下：如图，在上取一点，使，过点。作DE交AC于点E

•=,D乜//,

ADAE

：./SADEsAABC

・・・ZA=ZA,ZADE=ZB,ZAED=ZC,

A3AC

,**=,,NA=NA，,AD=ABr

A!fB'fArCt

.ABABACAC

AD-AV-AE

・・・AC=AE

在AABC和A'3'C'中，

AE=A'C

<ZA=NA

AD=A'B'

:.AADEmAB'C'(SAS)

又：MDEsMBC

：.MBC^.AB'C.

②解：由题意知，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似

故答案为：两边对应成比例，夹角相等.

【点睛】本题考查相似三角形的定义及事实的应用，全等三角形的判定，平行线的性质.理

解题意综合运用知识是解决本题的关键.

14.如图，E是平行四边形ABC。的边D4延长线上一点，连结EC交于P.

22

ED

(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；

(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.

【答案】(1)△班Ps/XCBP,AAEPs^DEC,△BCPs^DEC

(2)AEAP^ACBP,理由见解析(答案不唯一)

【分析】(1)根据平行四边形的性质和相似三角形的判定，可得到△EAPs^cgp,

△AEPs^DEC,ABCPs/XDEC；

(2)根据平行线定理可求得NEAP=NB,进而可以求证△即可解题.

(1)

△EAPsMBP,AAEPsADEC,4BCPsADEC.

(2)

选AEAPs^CBP,

理由如下：在口ABCD中AD//BC,

:.NEAP=Z,B.

又；NAPE=/BPC,

:.△EAPS^CBP.

同理，利用“两角法”证得△AEPS/^OEC,KBCPsADEC.

【点睛】本题考查了相似三角形的证明，平行四边形的性质，利用相似三角形的判定是解题

的关键.

15.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰

ZABC中，其中AB=AC,如图I,进行了如下操作.

第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交8A的延长线和AC于点瓜R如图II；

第二步，分别以点E,E为圆心，大于;EE的长为半径画弧，两弧相交于点D,作射线AD；

第三步，以。为圆心，D4的长为半径画弧，交射线AE于点G；

23

⑴填空：写出/C4。与NGA。的大小关系为；与8C的位置关系为；

An

⑵当AB=AC=6,BC=2时，连接。G,求出厂的值；

⑶如图ni,根据以上条件，点尸为4B的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PW,

PC当时，求AM的长.

【答案】(1)NG4D=NGW,AD〃BC

(2)3

(3)9

【分析】(1)根据题目的尺规作图可得AD平分NC4G,由此即可得到/C4O=NG4D；根

据等腰三角形的性质可得/ABC=NACB,再根据三角形的外角性质、角的和差可得

ZCAG=Z.GAD+ACAD=ZABC+ZACB,从而可得/加)=/。4£>=/45。=448,然

后根据平行线的判定即可得出结论；

(2)先根据相似三角形的判定证出,ABCDAG,再根据相似三角形的性质即可得

ADAB

------=3•

AGBC'

(3)以加为圆心，的长为半径画弧，交射线54于点N,设AN=x,则A〃=MN=3x,

NP=x+3,由(2)可得NCPM=NB=NN,再根据三角形的外角性质、角的和差可得

ZBCP=ZNPM,然后根据相似三角形的判定可得_NMP,最后根据相似三角形的

性质可得了的值，由此即可得出答案.

(1)解：由尺规作图步骤可知，AD平分NC4G,/.ZCAD=ZGAD；VAB=AC,：.

ZABC=ZACB,ZCAG=ZGAD+ZCAD=ZABC+ZACB,：.

NGAD=NCAD=ZABC=ZACB,:.AD〃BC,故答案为：ZCAD=ZGAD,AD〃BC.

(2)解：VDA=DG,：.ZGAD=ZAGD,VZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB,：.

ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB=ZAGD,ABCDAG,:

AGBC

4F）

AB=AC=6,BC=2,：.——=3,

AGBC

(3)解：如图，以M为圆心，跖L的长为半径画弧，交射线&L于点N,

AMAB

由（2）^^ZNAM=ZCAM=ZB=ZACB=ZN,—=-=3,^AN=x,贝I]

24

AM=MN=3x,:点P为AB的中点，APA=PB=-AB=3,:.NP=AN+PA=x+3,'：

2

ZCPM=NB,：,NCPM=ZB=ZN,又ZCPN=ZCPM+ZNPM=NB+NBCP,：.

MNNP3XY+3

ZBCP=ZNPM,：.BPCNMP,：.—=—，即一=——，解得x=3,AM=3x=9.

BPBC32

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等

知识点，较难的是题(3),通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.

16.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点。是边8c上(不与8,C重合)一动点，

NADE=NB=a,DE交AC于点E,

(1)不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明；

(2)设2。=羽CE=y,求出y与x的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值

范围；

(3)当ADCE为直角三角形时，BD的长为

925

【答案】（1）△ADE^AACD,证明见解析；（2）—4AE<5；（3）4或一

A54

【分析】（1）SAB=AC,可得/8=NC,再由ZB+ZBAD=ZADC,

ZADC=ZADE+ZCDE,可得NBAD=/CDE,即可证明小BAD^ACDE；由/B=/ADE=/C,

可推出ZADC=ZADE+ZCDE=NAED=ZC+ZCDE,即可证明△ADE^AAC£）；

（2）由△BAOs/ic£）E,可得。£=啰独一，再由CE=y,BC=8,得到

AB

CD=BC-BD=8-x,即y=x（8-x）,则

-5

4£=4<?_35+工（丁）=尤2_8*16_16+5=*_4）2+|（0<彳<8）,然后利用二次

函数的性质求解即可；

（3）分当NDEC=90°,当NCDE=90。时，两种情况讨论求解即可.

【详解】解：⑴-：AB=AC,

：.ZB=ZC,

■:/ADE=/B,ZB+ZBAD=ZADC,ZADC=ZADE+ZCDE,

/BAD=/CDE,

:ABADsACDE；

'：ZB=ZADE=ZC,

25

ZADC=ZADE+ZCDE=ZAED=ZC+ZCDE,

：.AADEsAACD；

.ABBD

'~DC~~CE"

•。=吗生,

AB

:BD=x,CE=y,BC=S,

*.CD=BC-BD=S-xf

..„.„„„<x(尤-8)X2-8x+16-161/八29z

••A.E—AC-CE=5H------=----------------------i-5=y(x-4)+-^0*cx*c8),

>0,

3

9

.•.当x=4时，AE有最小值，最小值为g,

9

：.-<AE<5；

5

(3)如图所示，当NDEC=90。,

VABAD^ACDE,

：.