中考数学一轮复习重难点强化训练：平行四边形与多边形（知识串讲+8大考点）解析版

专题08平行四边形与多边形

考点类型

考点1：平行四边形的判定

考点2：平行四边形的性质

模块四图形的性质

08讲平行四边形与多边形

考点3：平行四边形判定与性质

考点4：三角形中位线

知识一遍过

(-)多边形及其相关计算

(1)多边形的相关概念：

①定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

②对角线：从〃边形的一个顶点可以引(〃一3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了5—2)个三角形;

〃边形对角线条数为一3.

2

(2)多边形的内角和、外角和：

①内角和：〃边形内角和公式为5—2)•180°

②外角和：任意多边形的外角和为360°.

(3)正多边形：

①定义：各边相等，各角也相等的多边形，

②正多边形每个内角为---------或180--------，每个外角为----

nnn

③正n边形有n条对称轴，

④对于正w边形，当w为奇数时，是轴对称图形；当〃为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(二)平行四边形的性质

平行四边形的性质：几何表达式举例：

(1)：ABCD是平行四边形

[(1)两组对边分别平行；

・・・AB〃CDAD〃BC

(2)两组对边分别相等；

(2)；ABCD是平行四边形

因为ABCD是平行四边形二•(3)两组对角分别相等；

.\AB=CDAD=BC

(4)对角线互相平分；

(3)：ABCD是平行四边形

⑸邻角互补.

JNABC=NADC

2「cNDAB二NBCD

(4)：ABCD是平行四边形

A0A=0C0B=0D

AB

(5);ABCD是平行四边形

二•NCDA+NBAD=180。

(三)平行四边形的判定

平行四边形的判定：几何表达式举例：

(1)：AB〃CDAD〃BC

(1)两组对边分别平行]DC

...四边形ABCD是平行四边形

(2)两组对边分别相等

(2)：AB=CDAD=BC

(3)两组对角分别相等ABCD是平行四边形

四边形是平行四边形

(4)一组对边平行且相等八BABCD

(3)VZA=ZBZC=ZD

(5)对角线互相平分

...四边形ABCD是平行四边形

(4)：AB=CDAB〃CD

四边形ABCD是平行四边形

(5),/0A=0C0B=0D

...四边形ABCD是平行四边形

(四)三角形中位线的性质

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

如图：DE=^BC

2

点一遍过

考点1:平行四边形的判定

典例1：(2023下•全国•八年级假期作业)如图，在四边形中，A8与C£＞相交于点。，ACSDB,49=

BO,E,歹分别是OC,。。的中点.求证：四边形AEBF是平行四边形.

AC

【答案】见解析

【详解】证明：0AC0OB,E0AC£)=0BZ)C.

EBAOC=EIBO。，AO=BO,^EAOC^SiBOD(AAS),

团0C=OD.

团石，尸分别是。c,0。的中点,

WE=-0C,OF=-0D,^OE=OF.

22

又0AO=B。，El四边形4EBF是平行四边形.

【变式1](2024上•重庆北倍・八年级西南大学附中校考期末)如图，四边形4BC。中，AB||CD,F为4B上

一点，DF与4C交于点E,AE=CE.

⑴求证：四边形AFCD是平行四边形；

(2)若BC=8,Z.BAC=60°,乙DCB=135°,求4C的长.

【答案】⑴见详解

(2)AC的长为竽

【分析】(1)证AAEF三ACEZHASA),得4尸=CD,再由平行四边形的判定即可得出结论；

(2)过点C作CMLAB于点M,证ABCM是等腰直角三角形，得CM==4鱼，再由含30。角的直角三

角形的性质得AC=24M,然后由勾股定理得CM='AC2一4时2=百=4vL求出4"=手，即可得

出结论.

【详解】(1)证明：ABWCD,

•••Z-EAF=乙ECD,

在和△CEO中，

\LEAF=乙ECD

AE=CE,

JLAEF=MED

・•.△AEF=△CED(ASA),

AF=CD,

XvABWCD,

团四边形AFCD是平行四边形；

(2)解：如图，过点。作CM148于点M,则NCM/==90。,

vABHCD,

・•・乙B+乙DCB=180。，

・•・乙B=180°-135°=45。，

SABCM是等腰直角三角形，

V2V2厂

CM=—BC=—X8=4vx

22

团乙BAC=60°,

^ACM=90°-乙BAC=30°,

刻C=2AM,

团CM=yjAC2-AM2=^(lAM^-AM2=4M=4A/2,

4A/6

AAM=-

3

8V6

・•.AC=2AM=—,

即AC的长为哈

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股

定理、平行线的性质以及含30。角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

【变式2】(2023下,浙江,八年级专题练习)已知：如图，在AABC中，点。、E分别是边力B、BC的中点,

点、F、G是边4C的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H.求证：

⑴四边形FBGH是平行四边形；

(2)四边形48CH是平行四边形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查平行四边形的判定；注意运用三角形的中位线的知识是解答本题的关键.

(1)由三角形中位线知识可得DFIIBG,GHWBF,所以四边形FBGH是平行四边形.

(2)连接利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH,OF=OG,又2尸=CG,所以。4=OC.再

根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形4BCH是平行四边形.

【详解】(1)证明：,・,点F、G是边4C的三等分点，

・•・F、G分别是4G、CF的中点，

•••点。是4B的中点，

DFWBG,即FHII8G.

同理:GHWBF.

.•・四边形F8GH是平行四边形.

(2)连接交FG于点O,

4q

•四边形FBG”是平行四边形,

OB=OH,OF=OG.

•••AF=CG,

OA=OC.

••四边形2BCH是平行四边形.

【变式3](2023•江苏镇江・统考中考真题)如图，B是AC的中点，点E在2C同侧，AE=BD,BE=CD.

⑴求证：△4BEEIABCD.

(2)连接DE,求证：四边形8CDE是平行四边形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)由8是AC的中点得力B=BC,结合4E=BD,BE=CD,根据全等三角形的判定定理"SSS"即

可证明△ABEElABm

(2)由(1)中得乙4BE=N8CD,进一步得BE||CD,再结合BE=CD,根据一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形即可证明.

【详解】(1)解：回2是4c的中点，

^\AB=BC.

在和中，

AE=BD,

BE=CD,

AB=BC,

IHAABE^LBCD(SSS).

(2)如图所示，

⑦乙ABE=KBCD,

回BE||CD.

又团

回四边形BCDE是平行四边形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性

质是解题的关键.

考点2：平行四边形的性质

典例2：（2023•江苏宿迁•统考中考真题）如图，在回力BCD中，AB=5,AD=3a,乙4=45。.

⑴求出对角线BD的长；

⑵尽那年图：将四边形4BCD沿着经过4点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕.（不

写作法，保留作图痕迹）

【答案】⑴回

（2）作图见解析

【分析】⑴连接BD,过。作。F148于F,如图所示，由勾股定理先求出4F=DF=贵=3,在RtABDF中

再由勾股定理，BD=y/DF2+BF2-V13；

（2）连接根据轴对称性质，过点力尺规作图作线段EB的垂直平分线即可得到答案.

【详解】（1）解:连接BO,过。作于F,如图所示：

•.,在12aBeD中，AD=3vL/.A=45°,

AD

・•.4F=OF=贵=3,

•・.AB=5,

・・・BF=4B-4F=5—3=2,

在中，Z.BFD=90°,DF=3,BF=2,贝1JBD=NDF2+BF2=+2?=VH；

(2)解：如图所示：

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾

股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键.

【变式11（2023•山东淄博・统考中考真题）如图，在回A8CD中，E,F分别是边8c和4。上的点，连接2E,CF,

且4EIICF.求证：

（1）/1=42；

（2）AABE=ACDF.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）证明四边形4ECF是平行四边形即可;

（2）用SSS证明△力BE三△CDF即可.

【详解】（1）证明：•••四边形4BCD是平行四边形，

•••AFWEC,

又•••AEWCF.

••・四边形4ECF是平行四边形.

Z1=42（平行四边形对角相等）

（2）•.・四边形ABCD是平行四边形，

AB=CDfAD=BC,

•・•四边形/EC尸是平行四边形，

・•.AE=FC,AF=CE,

BE=FD,

在△43岳和小CDF中,

BE=FD

AE=FC,

.AB=CD

.MABESACDF(SSS).

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键.

【变式2](2023•湖南•统考中考真题)如图，在团4BCD中，DF平分乙4DC,交BC于点E,交4B的延长线于

点、F.

⑴求证：AD=AF-,

(2)若AD=6,AB=3,N4=120。，求BF的长和△ADF的面积.

【答案】⑴见解析

(2)BF=3；△4DF的面积为

【分析】(1)根据平行线的性质得到NCDE=ZF,根据角平分线的定义得到乙4DE=ACDE,求得乙F=^ADF,

根据等腰三角形的判定定理即可得到4D=AF；

(2)根据线段的和差得到=4尸—48=3；过。作OH14F交E4的延长线于“，根据直角三角形的性

质得到力H=3,根据三角形的面积公式即可得到AaDF的面积.

【详解】(1)证明：在国ABCD中，ABWCD,

国匕CDE=乙F,

团。尸平分NZOC,

回乙4OE=Z.CDE,

团4F=Z-ADF,

BAD=AF.

(2)解：回40=AF=6fAB=3,

^\BF=AF-AB=3；

过D作OH14尸交兄4的延长线于H,

^BAD=120°,

田匕DAH=60°,

^ADH=30°,

i

^AH-AD=3,

2

WH=yjAD2-AH2=3V3,

0A力DF的面积=^AF•£)//=|x6X3V3=9/.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正

确作出辅助线是解题的关键.

【变式3](2023・广西・统考中考真题)如图，在回A8CD中，是它的一条对角线，

⑴求证：4ABD34CDB；

(2)尺规作图：作8。的垂直平分线ER分别交A。，BC于点、E,尸(不写作法，保留作图痕迹);

(3)连接3E,若NDBE=25。，求NAEB的度数.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)50°

【分析】（1）由平行四边形的性质得出4B=CD,AD=BC,可利用"SSS"证明三角形全等；

（2）根据垂直平分线的作法即可解答；

（3）根据垂直平分线的性质可得BE=DE,由等腰三角形的性质可得ADBE=ABDE,再根据三角形外角

的性质求解即可.

【详解】（1）•••四边形ABC。是平行四边形，

AB=CD,AD=CB,

BD=DB,

△4BD三△CDB（SSS）

（2）如图，即为所求；

（3）的垂直平分线为EP,

BE=DE,

•••乙DBE=乙BDE,

•・•Z.DBE=25°,

・•.Z.DBE=乙BDE=25°,

••・乙AEB=乙BDE+乙DBE=50°.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角

形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

考点3：平行四边形的判定与性质

典例3：（2023下•江西九江•八年级统考期末）如图，在团4BCD中，E,尸分别是2。，BC边上的点，且OE=CF,

BE和4F的交点为M,CE和DF的交点为N,连接MN,EF.

AED

BFC

⑴求证：四边形4BFE为平行四边形；

(2)若4。=6cm,求MN的长.

【答案】⑴见解析

(2)3cm

【分析】(1)由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形4BFE为平行四边形；

(2)由平行四边形的性质可得DN=FN,AM=MF,由三角形中位线定理可求解.

【详解】(1)解：证明：・••四边形48C。是平行四边形，

ADWBC,AD=BC.

■：DE=CF,

AE=BF.

••・四边形4BFE是平行四边形；

(2)•••DE=CF,ADWBC,

.•・四边形DEFC是平行四边形，

DN=FN,

•••四边形4BFE是平行四边形，

AM=MF,

•••MNWAD,MN=^AD=3cm.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是

解题的关键.

【变式1](2023•江西吉安•统考一模)如图，将AABC沿AD平移，得到△DEF,连接CD,已知DE1AC,

CD=BE.

A

D

G

⑴求证：AG=CG；

(2)若N4CD=15°,求NABE的度数.

【答案】⑴见解析

(2)75°

【分析】(1)根据平移的性质得AD=BE,根据CD=BE等量代换得AD=CD,根据DEI4C即可得；

(2)根据平移的性质得AD=BE,AD||BE,即可得四边形ABED为平行四边形，则〃BE="DG,根据

DE1AC,CD=BE得△4DC为等腰三角形，^ACD=ADAC,可得乙4CD=15。，即可得.

【详解】(1)证明：0AABC'^ADn,得到△1)£1/,

EL40=BE,

团CO=BE,

国AD=CD,

^DELAC,

团AG=CG；

(2)解：回△ZBC沿40平移，得至!]△DEF,

团AD=BE,ADIIBE,

团四边形力BED为平行四边形，

^Z.ABE=Z.ADG,

国DE1.AC,CD=BE,

团△ZDC为等腰三角形，^ACD=^DAC,

团乙ACD=15°,

B^ABE=乙ADG=90°-Z.ACD=90°-15°=75°.

【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌

握这些知识点.

【变式21(2023上•黑龙江大庆•八年级统考期末)如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线4C上两点||DF.

AD

⑴求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若4C=8,BC=6,N4CB=30。，求平行四边形2BCD的面积.

【答案】⑴见解析

(2)24

【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，含30。角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和

性质是解题的关键.

(1)根据平行四边形的性质可证△BECDFA(AAS),可得BE=DF,根据一组对边平行且相等可判定四

边形为平行四边形即可求解；

(2)过2点作4G交CB的延长线于G,根据含30。角的直角三角形的性质可求出4G的长，根据平行四

边形面积的计算方法即可求解.

【详解】(1)证明：平行四边形48CD中，AD||BC,AD=BC,

•••Z-ACB=Z.CAD,

又•・•BE||DF,

Z.BEC=Z-DFA,

在△BEC和△。凡4中，

2BEC=Z.DFA

Z.ACB=Z.CAD,

、BC=AD

・•・△BECOF/(AAS),

・•.BE=DF,

又BE||DF,

・•・四边形BEDF是平行四边形；

(2)解：过4点作471BC,交的延长线于G,

在RtUGC中，AC=8,/LACB=30°,

AG-4,

BC=6,

平行四边形4BCD的面积=BC•4G=4X6=24.

【变式3](2023下•吉林•八年级校考期末)如图是某数学教材中的部分内容.

平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分.

我们可以用演绎推理证明这个结论.

已知：如图加1BCD的对角线力C和BD相交于点。.

求证：。4=OC-,OB=OD.

观察图形，。2与OC、OB与。。分别属于哪两个三角形?

图①图②⑴请根据教材中的分析和图①，写出"平

行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；

(2)如图②，团4BCD的对角线力C,BD相交于点。，EF过点。且与力D,BC分别相交于点E,F,连接4F,CE.求

证：四边形4FCE是平行四边形；

(3)如图②，^EF1AC,AABC的周长是23,△ABF的周长是15,且AB比4F的长多1,比8F的长多1,

则四边形力FCE的面积是.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)24

【分析】(1)证明AEM。三ABC。即可求得答案.

(2)证明AEA。三AFC。即可求得答案.

(3)根据Aage的周长和AABF的周长可求得4c的长度，根据AylgF的周长及其三边的关系，可求得4F的

长度，进而可求得EF的长度，根据S蕃形即可求得答案.

【详解】(1)团四边形4BCD为平行四边形，

^AD=BC,ADWBC.

国乙DAO=^BCO,乙ADO=LCBO.

在△ZM。和△BC。中

(Z.DAO=乙BCO

jAD=BC

I。。=Z.CBO

[?!△DAO=△BCO.

团。。=OB,OA=OC.

团平行四边形的对角线互相平分.

(2)团四边形/BCD为平行四边形，

团。A=OC,AEWCF.

国乙EAO=乙FCO,Z.AEO=Z.CFO.

在△£;4。和△FC。中

Z.EAO=Z-FCO

OA=0C

Z.AEO=乙CFO

[?1AEAOFCO,

^\AE=CF.

团四边形4FCE是平行四边形.

(3)回EF14C,四边形2FCE是平行四边形，

回四边形4FCE是菱形.

EL4F=CF.

根据题意可知△ABC的周长C-BC=AB+BC+AC=23,△ABF的周长CA^BF=AB+BF+AF^15,BC=

BF+CF,

团-CAABF=+BC+AC—AB-BF—AF—BF+CF+AC—BF-AF—AC—8.

BAO=4.

回BF=AF-1,C^ABF=AB+BF+AF=15,

0CAi4BF=3AF=15.

^\AF=5.

回0F=y/AF2-AO2=3.

BEF=6.

ii

团S菱形4FCE=•EF=]X8X6=24。

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，牢记平行四边

形的性质、全等三角形的判定方法及性质、菱形的判定方法及性质是解题的关键.

考点4：三角形中位线

典例4：（2024上•重庆长寿•八年级统考期末）如图，将△4BC沿DE折叠，使点4与BC边的中点尸重合，

A

下列结论：

①EFII4B；

②4BAF=^CAF；

③S四边形4DFE=2AF,DE；

@^BDF+/.FEC=2/.BAC.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据中位线的性质可判断①，根据三线合一可判断②，根据折叠的性质可得到DE垂直平分力F,

进而可判断③，根据三角形的外角的性质，即可判断④.

【详解】①•••点F是8C边的中点，

要使EFII4B,则需EF是△ABC的中位线，根据折叠得4E=EF,显然本选项不一定成立；

②要使NBAF=NC4F,则需AD=AE,显然本选项不一定成立；

③根据折叠得到DE垂直平分2F,贝"四边形MFE=之力F.DE，故本选项正确；

④根据三角形的外角的性质，MZSOF=^DAF+^AFD,ACEF=AEAF+^AFE,又乙BAC=LDFE,则

乙BDF+Z.FEC=2^.BAC,故本选项成立.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质与判定，

掌握以上知识是解题的关键.

【变式1]（2023上•四川达州•九年级校考期末）如图，已知AD是AdBC的中线，E是线段4D上一点，且

AE-.AD=1:3,BE的延长线交4C于点，则铝的值为（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取BF的中点H,连接贝⑺”是

△BCF的中位线，可得=三（:凡DH||CF,再证明△AEFDEH得到竺="=工，则4F=工。"=工（:尸，

2DHDE336

据此可得答案.

【详解】解：如图所示，取BF的中点H,连接

团40是A48C的中线，即点。是BC的中点，

BC尸的中位线，

=-CF,DH||CF,

2

^EAF=AEDH,乙EFA=LEHD,

[?]△AEFDEH,

^AFAE1

[U—=—=-f

DHDE3

11

^AF=-DH=-CF,

36

回AF:CF=1:6.

故选D.

【变式2］（2023下•全国,八年级期末）如图所示，已知AABC的面积为1,连接AABC三边的中点构成第二

个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，第2013个三角形的面积为

（）

【答案】D

【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积=；SAABC=；，同理第三个三角形的面积=

44

；SADEF=（》2,总结规律，根据规律解答即可•

【详解】解：如图：过点A作4G1DE于G,交BC于H,贝UG=GH,

•••£）、E、尸分别为4B、AC.BC的中点,

DE,EF.DF分另!］为AABC的中位线，

DE=-2BC,2DF^-AC,2EF=-AB,2GH^-AH,

1i

^LABC=2BC4H，S^DEF=&DE,GH,

•••S^DEF=4^LABC="

同理：第三个三角形的面积==；SADEF=G）：

第四个三角形的面积=1第三个三角形面积=G）,

..9

团第2013个三角形的面积为嬴，

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键.

【变式3］（2023下•陕西渭南•八年级统考期末）如图、在平行四边形4BCD中，UBC=120°,BC=2AB,

DE平分乙4DC,对角线4C、BD相交下点。，连接。E,下列结论：①乙4DB=30。；②4B=2。£；③。E=AB；

④S平行四边形4BCD=AB■BD.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质得出NBCO=180。一乙4BC=60。，AB=CD,Z.ADC=120°,BO=OD,

根据角平分线的定义得出/项兀=N4DE=60。，得出△EQC是等边三角形，根据三角形中位线的性质得出

OE=^DC=^AB,进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：团在EL4BCZ）中，Z.ABC120°,

EINBCD=180°―/.ABC=60°,AB=CD,^ADC=120°,BO=OD,

EIDE平分乙4OC,

0ZFDC=^ADE=60°,

0AEDC是等边三角形，

SCD=CE,Z.EDC=60°,

团BC=2AB,

团BC=2CD=2CE,

旭是BC的中点，

团BE=CE,

又回DE=EC,

国BE=DE,

回NEBD=乙EDB=-ADEC=30°,

2

团NBOC=乙BDE+乙EDC=90°,

团4WB=30°；故①正确，

WE=EC,BO=DO,

WE=\DC=\AB,即48=20E,故②正确；

EIDE=DC=AB,

^\DE=AB■,故③正确，

SOD=^BD,CD=^BC,BD丰BC,

团。OWCD,

^Z.ABD=乙BDC=90°,

团S团ABCD="8,BD故@)正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握以上

知识是解题的关键.

考点5：多边形的内角和

典例5：(2023上•全国•八年级期末)在平面上给出七点4,B,C,D,E,F,G,联结这些点形成七个角.在

图(a)中，这七点固定，且令NC+ND+NE+NF+NG=a,在图(b),(c)中，A,B,C,G四点固定，

D,E,E变动，此时，令NC+AD+NE+NF+NG=0,则下述结论中正确的是()

(b)(c)

A.a>PB.a=P

C.a<0D.a比有时大有时小

E.无法确定

【答案】B

【分析】本题考查多边形的内角和.根据多边形内角和的计算方法分别求出各个图形中的a、0,再比较大

小即可.

【详解】解：如图a,连接BE、AF,

•••四边形8CDE的内角和为360。，

***Z.BEF+Z-ABE+Z.DEF+乙ABC+Z.C+4D=360°,

又4BEF+/.ABE=/.BAF+/.AFE,而/GAF+Z.GFA+NG=180°,

•••4ABe+NC+ND+A.GAB+4DEF+乙EFG+NG=360°+180°=540°,

即戊=540°,

如图b,连接BE,

•••五边形4BEFG的内角和为(5-2)X180°=540°,

•*-Z.A+Z.ABC+Z.CBE+乙BED+乙DEF+Z.F+Z.G=540°,

又Z.CBE+乙BED=Z.C+Z.D,

:.Z.X+Z.ABC+Z.C+Z.Z)+Z.DEF+4F+Z.G—540°,

即£=540°,

如图c,连接4E,

由图b可得，AGAB+NB+NC+ND+Z.DEF+zF+ZG=540°,

即£=540°,

••a=p,

故选：B.

(a)(b)(c)

【变式1］（2023上•云南德宏•八年级统考期末）如图，在四边形纸片4BCD中，+ZS=160°,将纸片折

叠，使点C、D落在边4B上的点»处，折痕为MN,则+ABNC，的结果为（）

A

BNC

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】根据折叠的性质可求得：乙DMN=乙D'MN,乙CNM=乙C'NM,利用四边形的内角和求出NDMN+

/.CNM=160°,由补角的定义可求解.

【详解】解：由折叠可知：4DMN=LD'MN,乙CNM=AC'NM,

0ZX+NB+NC+NO=360°,N4+NB=160°,

0ZC+ND=200°,

I34DMN+LCNM+NC+Z_D=360°,

EINDMN+乙CNM=160°,

0Z4M£),+Z.BNC+24DMN+2乙CNM=2X180°=360°,

团乙4MD'+NBNC'

=360°-2(NDMN+乙CNM)

=360°-2x160°

=40°,

0Z4MP,+Z.BNC=40°.

故选：D.

【点睛】本题考查四边形的内角和外角，折叠的性质，补角.掌握四边形的内角和为360。是解题的关键.

【变式2］（2023上•黑龙江齐齐哈尔•八年级克东县第三中学校考期末）将一个多边形切去一个角后所得的

多边形内角和为2880。.则原多边形的边数为（）.

A.15或16B.15或16或17C.16或17或18D.17或18或19

【答案】D

【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据

多边形的内角和即可解决问题.

【详解】解：多边形的内角和可以表示成（小2）・180。（应3且〃是整数），一个多边形截去一个角后，多边

形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，

根据题意得（w-2）•180°=2880°,

解得：n=18,

则多边形的边数是17,18,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少

【变式3］（2023下•河北石家庄•八年级统考期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做

手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板

的内角和为1800。，那么原多边形木板的边数是（）

A.11B.12C.13D.以上都有可能

【答案】D

【分析】先根据多边形的内角和公式⑺-2）.180。求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后

边数增加1,不变，减少1讨论得解.

【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n,

则（n-2）-180°=1800°,

解得n=12,

•・・截去一个角后边上可以增加1,不变，减少1,

••・原来多边形的边数是11或12或

故选：D.

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1,不变，减少1

三种情况.

考点6：多边形的外角、内角

典例6：（2024上•广东广州•八年级统考期末）如图，正五边形4BCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF,

则N4EF的度数为（）

【答案】A

【分析】本题考查的是正多边形的内角和，等腰三角形的性质，先分别求解正五边形与正方形的每一个内

角的大小，再证明DE=D尸，可得乙DEF=ZJ?FE,再利用三角形的内角和定理可得NDEF=NOFE=81。,

问题随之得解.

【详解】解：国正五边形4BCDE,

0ZCPE=乙AED=18。。；（5-2）=]08。，

回正方形CDFG,

E1ZCDF=90°,

回正五边形力BCDE和正方形CDFG的边CD重合，

0ZFDF=108°-90°=18°,DE=DF,

0ZDEF=Z.DFE=1（180°-18°）=81°,

回N4EF=乙4ED-乙DEF=108°-81°=27°,

故选：A.

【变式1]（2023下•江苏扬州•七年级统考期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章4BC0E上，若直尺

的下沿MN1DE于点O,且经过点B,上沿PQ经过点E,贝此力BM的度数为（）

A.152°B.126°C.120°D.108°

【答案】B

【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得乙4EO,乙4的度数，然后结合已知条件及四边形的内

角和求得乙48。的度数，从而求得的度数.

【详解】解：由题意可得乙4ED=N4=(5-2)X180°+5=108°,

EIMN1DE,

I3NBOE=90°,

团四边形4B0E中，乙48。=360°-90°-108°-108°=54°,

国乙4BM=180°-乙48。=180°-54°=126°,

故选：B.

【点睛】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得各角之间的关系和度数是解题的关键.

【变式2](2023下•四川乐山•七年级统考期末)如图，以正六边形4BCDEF的4B边向内作一个长方形

连结BE交G”于点I,贝ikB/G=()

C.126°D.135°

【答案】B

【分析】利用正六边形的轴对称性质，可得NBEF=4BED,然后根据正多边形内角的求法，可得出同旁内

角互补，则COIIBE.AF||BE,则4F||CD,同理可证4B||DE,再根据长方形对边平行的特点可得AB||GH,

则DE||GH,再结合CO||BE,利用同旁内角互补可得NE/H=ND=120°,则NB/G=120°.

【详解】由正六边形ABCDEF的轴对称性质可知，BE为对称轴,

^\Z-BEF=乙BED,

由多边形的内角和定理可求得：乙D=乙DEF=4尸=匚3——=120°,

6

1

EINBEF=乙BED=-^DEF=60°.

2

0Z£）+乙BED=120°+60°=180°,乙BEF+zF=60°+120°=180°,

BCD||BE,AF||BE,

EL4FIICD.

同理，如果连接CF,亦可证明||DE.

由长方形4BHG的性质可知，AB||GH,

WE||GH,

SZ.EIH+乙DEI=180°,

由CD||BE得乙D+乙DEI=180°,

0ZFZW=ND=120°,

又EINB/G=4E1H,

QZ.BIG=120°.

故选：B.

【点睛】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质、长方形的对边平行性质、平行线的性质

定理等知识点，解题的关键是熟知相关性质和定理.

【变式31（2023•云南昆明•统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，

如图所示，沿直线走6米后向左转仇接着沿直线前进6米后，再向左转8......如此走法，当她第一次走到A

点时，发现自己走了72米，。的度数为（）

【答案】A

【分析】小丽第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形.计算这个正多边形的边数和

外角即可.

【详解】解：团第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，

回多边形的边数为：72+6=

根据多边形的外角和为360。，

El他每次转过的角度6>=360。+12=30。.

故选：A.

【点睛】本题考查多边形的外角和.解题的关键时判断出小丽第一次返回点A时，所经过的路径构成一个

正多边形.

考点7：多边形的对角线

典例7：（2024上,河北保定,七年级校联考期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出小条对角线，它们将六

边形分成九个三角形.则（a+m的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】本题考查多边形的性质，从〃边形的一个顶点出发，能引出5-3）条对角线，这5-3）条对角线

把多边形分成5-2）个三角形.掌握这些规律是解题的关键.利用规律从而可求出答案.

【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对

角线，它们将六边形分成4个三角形.

0m=3,n=4,

则/n+几=3+4=7,

故选C.

【变式1］（2024上•辽宁丹东•七年级统考期末）边长为整数的正多边形的周长为13,则从该正多边形的一

个顶点出发的对角线条数为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】本题主要考查了多边形一个顶点出发的对角线条数问题，先根据题意求出该正多边形为正十三边

形，再根据多边形的边数=多边形从其一个顶点出发对角线条数+3进行求解即可.

【详解】解：回边长为整数的正多边形的周长为13,

团该正多边形为正十三边形，

回从该正多边形的一个顶点出发的对角线条数为13-3=10条，

故选C.

【变式2］（2024上•甘肃武威•八年级校联考期末）一个多边形的内角和为1800。，那么从这个多边形的一个

顶点出发所做的对角线的条数为（）

A.8条B.9条C.10条D.11条

【答案】B

【分析】先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数.

【详解】解：设此多边形的边数为小由题意得：

(n-2)X180=1800,

解得n=12,

从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：12-3=9(条)，

故选：B.

【点睛】此题考查了多边形的内角公式，关键是掌握多边形的内角和公式180。*(n-2).

【变式3](2023•广东深圳•坪山中学校考模拟预测)多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边

形边数的是()

A.n(n-2)=20B.n(n-2)=40C.n(n-3)=20D.n(n-3)=40

【答案】D

【分析】先由九边形从一个顶点出发可引出⑺-3)条对角线，再根据n边形对角线的总条数为空尸=20,

即可求出结果.

【详解】解：设多边形边数为九，

从一个顶点出发可引出5-3)条对角线，

再根据