圆的综合题型归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题9-2圆的综合题型归类

目录

【题型一】点与圆的位置关系............................................................2

【题型二】直线与圆1:到直线的距离为定值的点个数......................................3

【题型三】直线与圆2：弦心距..........................................................4

【题型四】直线与圆3：弦心角..........................................................5

【题型五】直线与圆4：圆心与弦三角形最值..............................................5

【题型六】两个圆公共弦与位置关系.....................................................6

【题型七】阿波罗尼斯圆................................................................7

【题型八】圆中的“将军饮马型”.......................................................8

【题型九】圆最值......................................................................9

【题型十】圆中的光学性质..............................................................9

【题型十一】圆切线1：切线长范围.....................................................10

【题型十二】圆切线2：切点三角形与四边形面积.........................................10

【题型十三】圆切线3：切点弦方程.....................................................11

【题型十四】圆切线4：切点弦含参.....................................................12

【题型十五】圆切线5：切点弦范围.....................................................12

【题型十六】圆切线6：两圆公切线.....................................................13

【题型十七】圆切线7：角度范围.......................................................13

【题型十八】圆有关的轨迹.............................................................14

真题再现..............................................................................15

模拟检测..............................................................................16

综述

1.圆的标准方程：

（x—a）2+（j—。）2=/（厂＞0）,其中（a,b）为圆心,心为半径.

2.圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0

该方程表示圆的充要条件是万十£"—4Q0,其中圆心为（一*—0,半径r=迦竽二竺

3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

⑴几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：交;4=代济目切;冷rTf离.

⑵代数法：利用判别式/=房-4ac进行判断：/沙相交；/且Tf切；/包3目离.

4.圆与圆的位置关系：设圆01：(x-al)2+(y-bl)2=rl(rl>0),圆02：(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r2>0).

则：

冷n+a♦卜离;d=厂］+卜切；I八一厂21<“<n+交；"=加一nlurt切;0Wd<ln—外=|^|

含

5.圆的切线方程常用结论

(1)过圆工2+产=户上一点p(x(),yo)的圆的切线方程为：苫9+加丫二尺

(2)过圆(x—。/+⑪-6)2=/上一点P(x0,yo)的圆的切线方程为：(x()—a)(x—a)+(yo—b)(y—6)=月

(3)过圆C：/+*+.+或+尸=0外一点M(xo,%)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：

①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；②用圆M的方程减去圆C的方程即得；

(X—a)2+(j—力2=户外一点尸(xo，州)做切线，切点所在直线方程(切点弦方程)为：(沏一a)(x—a)+(jo—

b)(y—b)=ri.

6.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：。条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4

条.

(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(N,*项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.

7.圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为彳，2,两圆连心线的长为%则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系外离外切相交内切内含

o@

图示

d与彳，4的关IGQ\>rx+r2\r,-r2\<\QC2\<r,+r2

IQC2\=rx+r2C|C2HC£>卜-引

系

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.

圆G方程〕

同二由护消元，一元二次方程fAn粕小

圆C2方程J△>£)=>相交一

<A=0=>内切或外切

A<0n外离或内含

热点题型归纳

【题型一】点与圆的位置关系

【典例分析】

若点在圆次2+,2一%+)+m=0外，则实数机的取值范围是()

A.；，+8B.o,1C.(-2,0)D.(0,2)

【提分秘籍】

基本规律

圆的标准方程（X—a）2+（j—。）2=/,一般方程N+V+o尤+或+尸=0,点M（xo，y0）,则有:

（1）点在圆上：（xo—。）2+（y（）—b）2=/,xo2+yo2+£）xo+£yo-\~F=O；

22）

（2）点在圆外：（乙一。）2+（丫0—匕）2>》,xo+yo+£.Xo+£1yo+F>O；

（3）点在圆内：。一。产十的一万）2<3,x^+yo^+Dxo+Eyo-\-F<O.

容易错误的点：

一定要把圆配成标准形式，保证右边是正数（半径平方有意义）

【变式演练】

1.已知点（如%）在无?+/=/（厂>。）外，则直线欠+%>=/与圆=产的位置关系为（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.相交、相切、相离三种情况均有可能

2.若坐标原点在圆犬+V+2ax+2ay+2a2+a-l=0内，则。的取值范围是.

【题型二】直线与圆1：到直线的距离为定值的点个数

【典例分析】

若圆（x-a『+（y+a）2=4上总存在两个点到原点的距离等于1,则实数。的取值范围是.

【提分秘籍】

基本规律

解决圆上点到直线距离为定值的点的个数，可以以下几个图形来理解和计算.注意，不同的数据，图

形会有出入，思维不变。

【变式演练】

1.若圆f+y2-4x-4y-10=。上至少有三个不同的点到直线依+勿=0的距离为2TL则该直线的斜率的

范围是.

2.若圆一+旷=4上恰有2个点到直线6x-y+m=0的距离等于1,贝打”的取值范围是.

3.设过点(0,2收)的直线/的斜率为％,若圆Y+y=4上恰有三点到直线/的距离等于1,则%的值为

【题型三】直线与圆2：弦心距

【典例分析】

/、iuuruuDilUUDi

若直线/：3%+分+。=0(«€1<)与圆0:/+；/=9交于不同的两点A、8,且『4+0q=卫卜目，则°=()

A.±5A/5B.±375C.±2石D.±5

【提分秘籍】

基本规律

圆的弦长的求法：

(1)几何法，设圆的半径为外，弦心距为d,弦长为L,则-储；

y=+HI

(2)代数法，设直线与圆相交于A&,%),3(%,%),联立直线与圆的方程/一、2/

(X-+(

消去y,得到一个关于尤的一元二次方程，从而可求出国+%,西无2,根据弦长公式

IA邳=J1+甘+9)2-，即可得出结果.

【变式演练】

o°A5I-

1.已知圆M：(x-a)-+(j-l)=r2(r>0),若圆M与x轴交于A,B两点，且前=J3,贝l]r=()

A.2A/3B.2C.73D.1

2.已知直线、=左(X-6)与圆。:了2+»2=4交于4,8两点，且Q4J_OB,则后=()

A.及B.+y/2C.1D.±1

3.直线/与圆（x-2）2+V=4相交于A,8两点，则弦长且在两坐标轴上截距相等的直线,共有

（）.

A.1条B.2条C.3条D.4条

【题型四】直线与圆3：弦心角

【典例分析】

3

已知直线/：x+my+l=O与圆O：尤?+_/=工相交于不同的两点A,B,若/AOB为锐角，则/"的取值范

围为（）

【提分秘籍】

基本规律

直线与圆相交有两个交点，则与圆心所构成的三角形，必是等腰三角形，此时，圆心到直线的垂线段

是等腰三角形底边上的高（中线，角平分线）

【变式演练】

1.已知直线"tv+by=1（其中。，匕为非零实数），与圆x+y2=1相交于A,B两点,O为坐标原点，_EAAOB

为直角三角形，则点+会的最小值为

A.4B.2&C.5D.8

2.若直线尤-y+a=O与圆Y+y2=4相交于A,B两点,且ZAOB=120。（O为坐标原点），则同=（）

A.1B.72C.2D.272

3..已知直线/：工一2丁+7=0与圆。：％2+丁2_4冗_4）=0相交于A,B两点,。为坐标原点，贝!JcosNAO5

等于（）

A.叵B.渔C.叵D.-

4444

【题型五】直线与圆4：圆心与弦三角形最值

【典例分析】

已知直线丁=工+£«>0）与圆0:/+必=4相交于A,3两点，当“108的面积最大时，/的值是（）

A.1B.&C.2D.2直

【提分秘籍】

基本规律

直线与圆相交，交点与圆心所构成的三角形最值范围，有以下几类:

1.圆圆心与半径确定，直线过定点，但不知道倾斜角（斜率位置）

2.直线已知，圆心或者半径未知。

【变式演练】

1.已知直线/：办+勿—"=。（。>。力>。）与尤轴，y轴分别交于A,B两点，且直线/与圆0:/+：/=1相

切，则”108的面积的最小值为（）

A.1B.2

C.3D.4

2.设根，/GR,若直线/：“2尤+">一1=0与x轴相交于点A,与〉轴相交于点3,且直线/与圆/+丁=4

相交所得的弦长为2,O为坐标原点，则AAO8面积的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

3.直线/：>="+1与圆O：必+产=4交于A,B两点,当AAOB的面积最大时，弦A3所对的劣弧长为

【题型六】两个圆公共弦与位置关系

【典例分析】

已知圆£:9+;/-8x—8百y+56=0,半径为20的圆C2的圆心沿着直线y=0自下往上运动，若

当圆Ci和圆G相交于A8两点，且第二次使得C£=AB时，则两圆的公共弦所在的直线方程为.

【提分秘籍】

基本规律

两圆的位置关系应考虑圆心距IC02I和两圆的半径之间的关系：

⑴两圆外离，IC,C2\>rx+r2

⑵两圆外切，则；

⑶两圆相交，则归一2|<|。1。2卜4+2；

⑷两圆内切，则|CC2H上司;

⑸两圆内含，则|cc|>k一目.

公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程（N,*项系数相同）相减便可得公共弦所在直线的方程.

【变式演练】

1.已知圆G：x2+y2-"+2y=0V/C2：V+产+3一4=0的公共弦所在直线恒过定点P（a,6）,且点尸在

直线g-〃>-2=0上，则/+”2的取值范围是（）

A.(；，+8)C.[g,+8)D.T)

B.(-00,7]

4

2.已知圆。/的方程为f+(y+l)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且48|=4,

则圆。2的方程为()

A.(x-2)2+(y-1)2=6

B.(x—2)2+(y—1)2=22

C.(x—2)2+(y—1)2=6或(x—2>+(y—1>=22

D.(X—2)2+。-1)2=36或(%—2)2+。一1)2=32

3.已知圆a：/+y2—2x+6y+2=0和圆。2：/+/+4%—2y—4=0,垂直平分两圆的公共弦的直线的一般

式方程为.

【题型七】阿波罗尼斯圆

【典例分析】

古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,8的距离之比为定值力(Xwl)的点的轨迹是圆,

此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(4,0)，点尸满足归="设点p的轨迹

\rDZ

为C,则下列说法错误的是()

A.轨迹C的方程为(x+4)2+/=16

PD1

B.在x轴上存在异于A,8的两点£>,E,使得寸=彳

PE2

C.在C上存在点〃，使得|MO|=2|M4|

D.当A氏P三点不共线时，射线PO是N4PB的角平分线

【提分秘籍】

基本规律

已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k,且K不等于1的点P的轨迹，是一个圆

心在A、B两个点的所在直线上的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,

故称作阿氏圆

即PA=KPB,k不等于1,则P点轨迹是一个圆，可直接设点推导

【变式演练】

1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A,B

距离之比是常数"X>。"片1)的点M的轨迹是圆，若两定点A,B的距离为3,动点M满足21M4|=,

则M点的轨迹围成区域的面积为()

A.3万B.47rC.9%D.18%

PAQAI—►—4

2.已知点A(-4,0),5(-1,0),C(-4,3),动点P,Q满足而『=为=2,则CP+网的取值范围()

rD(Jn11

A.[1,16]B.[6,14]C.[4,16]D.而,3向

3.已知边长为2的等边三角形ABC,。是平面ABC内一点,且满足2)3:£^=2:1,则三角形面积

的最小值是()

A.|(A/3-1)B.|(N/3+1)C.手D.与

【题型八】圆中的“将军饮马型”

【典例分析】

唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣

的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样

走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为尤2+(,+2)2<3,若将军从点A(-4,0)处

出发，河岸线所在直线方程为x+>-1=0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，贝厂将军饮马”

的最短总路程为.

【提分秘籍】

基本规律

圆中将军饮马型规律：

已知圆(X—a)2+(y—b)2=R2上任意一点P和坐标轴上任意两点A,B.

求;IR4土M(R4±4M)的最值问题，可逆用阿波罗尼斯圆转化为三点共线计算

【变式演练】

1.在平面直角坐标系尤0y中，A和8是圆。:(彳-1)2+9=1上的两点，且AB=&，点尸(2,1),则

|2丽-丽|的取值范围是()

A.|^-\/5—A/2,y/5+>/2JB.l,-\/5+1J

C.[6-2君,6+26]D.[7-2亚,7+2而]

2.2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形

的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，

假设月心位于坐标原点O,探测器在A(4000V7,0)处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000km的圆形轨

道上的某一点尸，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km/s的速

度匀速直线飞至8(0.3000),这一过程最少用时S.

3.已知点A(6,0),8(6,2),圆C：(x-8)2+y2=16,点尸在圆c上运动，则2PA-网的最大值为()

A.4+0B.12-2MC.2y/10D.8

【题型九】圆最值

【典例分析】

已知直线4与圆c相交于A,8两点，直线4与圆C相交于两点，圆心C到直线44的距离分别为4,

若4：4=0:1,贝iJcosNACB:cos"CE的取值范围是()

A.(力/)U(3,+°o)B.(-00,-1)51,+°°)C.(1,3)D.(-oo,l)

【变式演练】

1.已知直线/:〃吠+y-石=0与圆Y+y2=16交于A,B两点，过A8分别作/的垂线与了轴交于C,D

两点，则当|A国最小时，|8|=()

A.4B.4A/3C.8D.84

2.直线x+y-2=0分别与无轴，y轴交于A,B两点，点尸在圆/+丁+4彳+2=0,则APAB面积的取值范

围是()__

A.诋3在B.[2&,3后

C.[2,6]D.[4,12]

3.已知直线/与圆O：尤?+y2=9相交于不同两点尸，Q,点M为线段PQ的中点，若平面上一动点C满足

CP=2Ce(A>0),则说.丽的取值范围是()

A.[0,3)B,(0,3应]

C.[0,9)D.(0,6立]

【题型十】圆中的光学性质

【典例分析】

1Q

已知点？。/一1)/£尺，点£是圆％2+丁2=上的动点，点尸是圆。一3)2+(丁+1)2=上的动点，则

44

户丹-归目的最大值为

5

A.2B.—C.3D.4

2

【变式演练】

1.一束光线，从点&(-3,3)出发，经尤轴反射到圆。:(*-5『+(丫-5)2=4上的最短路径的长度是()

A.8夜-2B.8应+2C.50+2D.50-2

2.已知尸,。分别是直线/：.・>-2=0和圆C:/+y2=i上的动点，圆C与x轴正半轴交于点A(1,O),则

卜到+|尸。|的最小值为

A.6B.2C.V5-1D.夜;加一1

3.已知圆C的方程为(尤-1)。+(y-l)2=l,直线/：(3-2/卜+(/-1)尸2/-1=0恒过定点A.若一条光线从

点A射出，经直线彳-丫-5=。上一点M反射后到达圆C上的一点N,则+的最小值为()

A.6B.5C.4D.3

【题型十一】圆切线1：切线长范围

【典例分析】

已知点尸为椭圆，工+工=1上的一个动点，过点尸作圆0-1)2+/=1的一条切线，切点为A,则1尸川的

1615

取值范围是()__

A.[2,6]B.[2立2娓]C.[2A/2,6]D.[2,2#]

【变式演练】

1.由直线V=x+2上的点尸向圆C：(x-4)2+(y+2)2=l引切线PT(T为切点)，当『7]最小时，点尸的坐

标是()

A.(-1,1)B.(0,2)C.(-2,0)D.(1,3)

2.由直线x+2y-7=0上一点P引圆/+/-2x+4y+2=。的一条切线，切点为A,则|五川的最小值为

A.2A/3B.717C.2qD.2币

3.过圆G：炉-2x+V=o上的点尸作圆C?:Y+>2空龙+h+28=。的切线，切点为Q,则|尸0的最小值为

()

A.2B.2y/3C.V21-1D.276

【题型十二】圆切线2：切点三角形与四边形面积

【典例分析】

由直线y=x+i上的一点尸向圆C：(工-3)2+/=1引切线，切点分别为A,B,则四边形R4CB面积的最

小值为

A.1B.2V2C.不D.3

【变式演练】

1.已知P（尤。,%）是圆C:f+（y-4产=1外一点，过点P作圆C的切线，切点为A,3,记四边形的面

积为7（P）,当尸（％,%）在圆O：（x+4）2+（y-l）2=4上运动时，/（P）的取值范围为（）

A.[20,4石]B.[3A/2,4A/3]C.[3日36]D.[272,3^]

2.已知圆（7:（尤-1）2+（丫-1）2=4,尸为直线/：2尤+y+2=。上的动点，过点P作圆C的切线m,切点为A,

当AR4c的面积最小时，△PAC的外接圆的方程为（）

2

.(1Yf1Y5口।,(if9

A.x——+y——=—B.x—+y——=-

12)41<2JI2j4

,X2-2_

C.x2+|y-—|=—D.+/=-

12j4I2J14

3.过x轴上一点尸向圆C:Y+（y_2）2=l作圆的切线，切点为A、B,则△HW面积的最小值是（）

A.更B.垣C.73D.373

42

【题型十三】圆切线3：切点弦方程

【典例分析】

已知圆。:必+产=2,过直线/：2x+y=4在第一象限内一动点尸作圆。的两条切线，切点分别是A,B,

直线与两坐标轴分别交于N两点，则AOMV面积的最小值为（）

A.gB.1C.72D.2

【提分秘籍】

基本规律

切点弦方程求解，可以有如下两种思路

1.公共弦法：过圆C外一点作圆的切线PAPB,则切点与C,P四点共圆，线段”就是圆的一条

直径.两圆方程相减可得公共弦所在直线方程.

2二级结论法：（x—a）2+（y—6）2=3外一点P（xo,yo）做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：

（xo—a）（x—。）+（jo—b）（j—6）=r2.

【变式演练】

1.已知直线/：＞=尤+2,过直线/上的动点P作圆好+产=1的两条切线，切点分别为A,B,则点。（L0）到

直线A3的距离最大值为（）

Vx.-----

2

2.过点M(2,3)作圆/+,2=4的两条切线，设切点分别为A、B,则直线A3的方程为()

A.x+2y—2=0B.2x+3y-4=0C.2x—3y—4=0D.3%+2y—6=0

3.已知0C:尤2-10x+y2+i6=0,直线/：x-y+l=0.尸为/上的动点.过点尸作。C的切线PA、PB,切

点为A、B,当|PC|・|AB|最小时，直线AB的方程为()

A.x+y-5=0B.无一,一1=0C.2x-y-l=0D.x-y-2=0

【题型十四】圆切线4：切点弦含参

【典例分析】

已知圆C:/+y2=i,点产为直线x+2y-4=0上一动点，过点P向圆C引两条切线尸为切点,

则直线A3经过定点.

【变式演练】

L/C：必+产=2，点尸为直线：+5=1上的一个动点，过点尸向圆C作切线，切点分别为A、B,则

36

直线A3过定点

A.(|,1)B.(|,1)C.(|,1)D.(|,|)

2.已知圆C:/+y2=i,直线/：1=2,尸为直线，上的动点，过点P作圆。的切线，切点分别为A,B,则

直线过定点()

A.B.(0,2)C.(2,1)D.

3.已知圆C:/+(y-2)2=16.若动点Af在直线y+6=0匕过点M引圆C的两条切线M4、MB,切点分

别为A,氏则直线A3恒过定点N,点N的坐标为()

A.(-1,-1)B.(0,0)C.(1,1)D.(0,6)

【题型十五】圆切线5：切点弦范围

【典例分析】

若尸为直线x-y+3=0上一个动点，从点尸引圆/+V-2尤=0的两条切线PM,PN(切点为M,N),

则线段的长度的取值范围是()

看

A.[77,2),2

【变式演练】

1.已知圆C]:(X+1)2+丁=1和圆C?:(x-4)2+V=4,过圆C?上任意一点P作圆G的两条切线，设两切点

分别为A3,则线段长度的取值范围为()

2A/2迪W26^/34A/28A/32728A/3

亍，〒亍，〒r'~r

2.在平面直角坐标系xOy中，已知点尸（x,y）满足84（尤-以+（y-1?<32,过户作单位圆x2+y=1的两

条切线，切点分别为则线段A3长度的取值范围是.

3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人

称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作AABC,AB=AC,点点C（3,5）,过其“欧拉线”

上一点尸作圆。：必+产=4的两条切线，切点分别为M,N,则|肱V|的最小值为（）

A.近B.2aC.73D.

【题型十六】圆切线6：两圆公切线

【典例分析】

若圆。:必+产=5与圆。］：食-疗+〉2=20（加€11）相交于48两点，且两圆在点A处的切线互相垂直,

则线段A3的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式演练】

L已知圆C|：/+y2=9,圆C2：（x-4）2+（y-6）2=l,两圆的内公切线交于点A，外公切线交于点打，若

耳。=2曹，则4等于（）

A.--B.--C.--D.-

16233

2.两个圆G：x2+y2+2办+a2-4=0（aeR）与C2：V+J-2勿-1+62=。（万6R）恰有三条公切线，则

的最小值为（）

A.3亚B.C.一3忘D.-2杷

222

3.已知圆G：x+y-2ax+a-i=0^mC2：Y+丁一2切+/一4=0,恰有三条公共切线，贝I]

J(a-3)2+(b-4)2的最小值为()

A.1+6B.2C.3-72D.4

【题型十七】圆切线7：角度范围

【典例分析】

已知平面直角坐标系内一动点尸，满足圆。:@-4）2+9=：1上存在一点。使得/3。=45。，则所有满足

条件的点尸构成图形的面积为（）

3K3»

A.TB.冗cTD.2万

【提分秘籍】

基本规律

和圆的切线有关的角度问题，难度较难.圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方

式将角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围.

【变式演练】

1.在平面直角坐标系尤0y中，若圆C：(%-3)2+&-°)2=4上存在两点人、B满足：ZAOB=60°,则实

数。的最大值是.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C满足：圆心在x轴上，且与圆/+。-2)2=1相外切.设圆C与x轴

的交点为M,N,若圆心C在x轴上运动时，在，轴正半轴上总存在定点尸，使得4/PN为定值，则点尸

的纵坐标为.

3.已知圆C:x2+(y_iy=6,AB为圆C上的两个动点，且48=2夜，G为弦43的中点.直线/：x-y-2=0

上有两个动点PQ,且尸Q=2.当在圆C上运动时，ZPGQ恒为锐角，则线段尸2中点〃的横坐标取

值范围为.

【题型十八】圆有关的轨迹

【典例分析】

平面直角坐标系xQy中，已知圆C：(xT)-+V=l，点尸为直线＞=尤+2上的动点，以尸C为直径的圆交

圆C于A、8两点，点Q在PC上且满足AQ'PB,则点Q的轨迹方程是.

【提分秘籍】

基本规律

求轨迹思维：

①直译法：直接根据题目提供的动点条件，直接列出方程，化简可得；

②几何法：根据动点满足的几何特征，判断其轨迹类型，然后根据轨迹定义直接写出方程.

③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

【变式演练】

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点。恰好经过

坐标原点，设顶点B（x,y）的轨迹方程是y=/（x）,则〃19）=.

2.过x轴下方的一动点尸作抛物线C:无2=2y的两切线，切点分别为A,B,若直线AB到圆好+丁=i相切,

则点P的轨迹方程为

A.y2-x2=l(y<0)B.(y+2)2+.r2=1C.x2+^=l(y<0)D.x2=-y-l

4

3.已知圆G：尤2+y2=i与圆G：Q_2）2+（y_4）2=l,过动点P（a,力分别作圆G、圆G的切线PM、PN

（M、N分别为切点），若PM=PN,则J（a-5y+3+1）2的最小值是（）

B正R3A/5

■"I-

5

畋院真题再现

1.（2021.北京・高考真题）已知直线，=云+加（m为常数）与圆Y+y2=4交于点M,N,当人变化时，

若附M的最小值为2,则机=_

A.±1B.+-^2C.+5/3D.+2

2.（2020・全国•高考真题（文））已知圆V+丁—6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的

最小值为（）

A.1B.2

C.3D.4

3.（2020・全国•高考真题（理））已知。跖x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动

点，过点尸作。〃的切线尸A网，切点为4B,当1PMi-|AB|最小时，直线48的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x-^+1=0D.2x+y+l=0

4.（2018•北京・高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d为点P（cos0,sin。）到直线x-冲-2=0的距

离，当。、7”变化时，d的最大值为

A.1B.2

C.3D.4

5.（江西・高考真题（理））过点（后，0）引直线i与曲线y=m交于A,B两点，O为坐标原点,

当小AOB的面积取最大值时，直线i的斜率等于

A.3B.-3C.—3D-

6.（•重庆・高考真题（理））在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E（0.1）的最长弦和最短弦分别为AC和

BD,则四边形ABCD的面积为

A.572B.1班C.D.2Ch/2

7.（2021•全国•高考真题）已知直线/:依+力--=。与圆c：/+y2=r2,点儿风力,则下列说法正确的

是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与