圆锥曲线二级结论之第三定义十一大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题40圆锥曲线二级结论之第三定义与中点弦十一大题型汇

总

fllnii

题型1第三定义之离心率问题........................................................1

题型2第三定义之斜率问题...........................................................3

题型3第三定义之定点定值问题......................................................6

题型4第三定义之轨迹方程问题......................................................6

题型5中点弦之离心率问题...........................................................7

题型7中点弦之直线或曲线方程问题..................................................9

题型8中点弦之弦长问题............................................................10

题型9中点弦之斜率相关问题.......................................................10

题型10中点弦之轨迹方程问题......................................................12

题型11中点弦之定点定值问题......................................................12

题型1第三定义之离心率问题

驷』1重点

一、圆雉曲线第三定义（仅限于椭圆和双曲线）

平面内动点到两定点4（—a,0）,42（a,0）（或公（0,—a）M2（0,a））的斜率乘积等于常数

e2-l的点的轨迹为椭圆或双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0<e2<l时为椭

圆，当e2>l时为双曲线.

【例题1】（2022•全国•高三专题练习）椭圆《+f|=l（a>b〉0）,过原点的直线交椭圆于

P,4两点，其中p在第一象限，过p作久轴的垂线，垂足为c,连4C,并延长交椭圆于B,若

PALPB,求椭圆的离心率.

JA

【变式MJ1.（2020下•西藏拉萨・高三拉萨中学校考阶段练习）设a>。为常数，动点M（x,y）

（yK0）分别与两定点Fi（-a,0）,尸2（氏0）的连线的斜率之积为定值4,若点M的轨迹是离心率

为板的双曲线，贝氏的值为（）

A.2B.-2C.3D.V3

【变式1-1】2.（2020・全国•校联考一模）已知4B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭

圆C上存在点P,使得直线P4PB斜率的绝对值之和为1,则椭圆C的离心率的取值范围

是.

【变式1-113.（2019•四川成都•统考一模）设椭圆'=l（a>6>0）的左，右顶点为

4B,P是椭圆上不同于4B的一点，设直线力P,BP的斜率分别为机,4则当？+ln|m|+ln|可取得

最小值时，椭圆C的离心率为

A-IB-TD-T

【变式1-1】4.（2017・湖北武汉•校联考一模）已知4B分别为椭圆9+，=1（0<b<3）

的左、右顶点，BQ是椭圆上的不同两点且关于%轴对称，设直线4P,BQ的斜率分别为g电

若点a到直线y=71二^久的距离为1,则该椭圆的离心率为

A.|B.C.|D.f

27

【变式1-1】5.（2017下•浙江绍兴・高三诸暨牌头中学校考期末）已知4B是椭圆会+:

=l（a>b>0）长轴的两个顶点，M,N是椭圆上关于光轴对称的两点，直线力MBN的斜率分别

为初七,且卜水2手0,若同+|6|的最小值为1,则椭圆的离心率为

A.|B.孝C.空D.日

【变式1-116.（2018•全国•校联考一模）已知平行四边形4BCD内接于椭圆25+'=1

（a>6>0）,且AB,4D斜率之积的范围为1）,则椭圆。离心率的取值范围是

A.（泻）B,停考C.（泻）D,（1,0

题型2第三定义之斜率问题

wwwwwwwww/wwwwwwvwwwwwwwwwwwww*zwwvwwwwvwwwww/wwwwvwwwwwwwwwws

却）:一知#6

【结论1】4,B为椭圆C:《+=l（a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上异于4,B的任一点,

则有演4,kpB=e2—1=—^.

证明：设a（—a,O）,8（a,O）,PQo,y（））（yoAO）,^]kPA-kPB=^7,

又嗯+第=1，二五=/（1力）=吗咨,

代入上式可得演4•加8=券=以守=

【结论2】a,8为椭圆噂+g=i（fl>b>O）的短轴两端点，P是椭圆上异于a,B的任一点,

则有凝4,kpB=e2—1=—^7.

【结论3]A,8为椭圆+意=l（a>6>0）的长轴（或短轴）两端点，P是椭圆上异于4,

B的任一点，则有除4-8=62—1=—压

【结论4]A,B为双曲线-^=l（a>0,b>0）的实轴（或虚轴）两端点，P是椭圆上异

于4,B的任一点，则有34.kps=e2—1=5.

a乙

【结论5]在椭圆C：《+=l（a>6>0）中，A,8是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于

4,8的一点，右女尸/存在，则有：kpA，kpB=e-1=——.

【结论6]在椭圆+冬=l（a>6>0）中，A,B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于

2

4,8的一点，若口存在，则有：kPA-kPB=e-l=-^.

【结论7】在双曲线定=1（（1>0,》>0）中，48是关于原点对称的两点，P是双曲线

上异于4,B的一点，若kpA,kpB存在,则有：kpA-kpB=e2—1=誓

CL£

【结论8】在双曲线。《—餐=1俗>0,6>0）中，4B是关于原点对称的两点，P是双曲线

上异于A,B的一点，若kpA,kpB存在,则有：kpA-kpB=e2_L=q

【例题2】（2022•全国•高三专题练习）椭圆C，+9=l的左、右顶点分别为M、N,点P在C

上，且直线PN的斜率为-尢则直线PM斜率为（）

A.1B.3C.D.-3

【变式2-1】1.（2022・全国•高三专题练习）椭圆C5+q=l的左、右顶点分别为儿4,

点P在C上且直线242的斜率的取值范围是[-3,-1],那么直线P41斜率的取值范围是

（）

A.6,|]B.[1,|]C.[|,1]D.1,1]

【变式2-1]2.（2020下•江西宜春•高三校考阶段练习）"过原点的直线/交双曲皖-看=1

（a>0,6>0）于4,B两点，点P为双曲线上异于A,8的动点，若直线PA,PB的斜率均存在，

则它们之积是定值口类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线/交

椭圆《+餐=1（。>6>。）于4B两点，点P为椭圆上异于4,8的动点，若直线24,P8的斜

率均存在，则它们之积是定值（）

A.-§B.—^C.D.g

bzazazbz

【变式2-1]3.（2013•全国•高考真题）椭圆C:9+?=1的左右顶点分别为公,出，点P

在C上且直线P42斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线P公斜率的取值范围是

A.靛B.设]C,[|<1]D.[J1]

【变式2-1】4.（2021上•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆C：琶+看

=1,Fi,尸2分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点，已知定点Q（4,2）,点P是椭

圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（）

A.存在点P,使得NFiPF2=120。B.直线24与直线PB斜率乘积为定值

C.两y+而才有最小值彳D・|PQ|+|PFj的范围为[2717,12]

【变式2-1]5.（2019上•河南商丘•高三商丘市第一高级中学校考期中）设P为椭圆C:§+

g=l（a>6>0）上的动点，Fi,尸2分别为椭圆C的左、右焦点，/为△PFJ2的内心，

则直线/Fi与直线1尸2的斜率积（）

A.非定值，但存在最大值且为-与B.是定值且为-品

C.非定值，且不存在定值D.是定值且为-品

27

【变式2-1】6.（2021上•安徽•高三校联考阶段练习）已知直线广久=与与双曲线C表—襄=1

相交于M、N两点，双曲线C的左、右顶点分别为A、B,若直线AM与BN相交于点P,

则下列说法正确的有（填写正确命题的序号）

①实数Xo的取值范围为x<-a或x>a;②直线AM与直线BN的斜率之积为定值；③点P

在椭圆/+§=1±；④三角形PAB的面积最大值为ab.

【变式2-1】7.（2021上・江苏•高三校联考期末）已知双曲线C:§-§=1（a>0,b>0）

的上、下顶点分别为公，冬，点P在双曲线C上（异于顶点），直线P&,P4的斜率乘积为

1则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±B.丫=±争:C.y=±竽^D.y=±2x

【变式2-1】8.（2022•全国•高三专题练习）设椭圆/+/=1（。>6>0）长轴的两个顶点分

别为人B,点C为椭圆上不同于4B的任一点，若将44BC的三个内角记作人B、C,且满

足3tanA+3tanB+tanC=0z则椭圆的离心率为（）

A.亨B空C.D.|

题型3第三定义之定点定值问题

【例题3】（2018上江苏苏州高三阶段练习）椭圆E:9+?=1的左顶点为4,点B,C是椭

••4-D

圆E上的两个动点，若直线4B/C的斜率乘积为定值-£则动直线BC恒过定点的坐标

为

【变式3-1】1.（2020・高三课时练习）过抛物线俨=4x上一点P（4,4）作两条直线PA,

PB（点A,B在抛物线上），且它们的斜率之积为定值4,则直线AB恒过定点.

【变式3-1]2.（2022•河南郑州•统考三模）设4、B分别为椭圆唁+g=l（a>h>0）的

左、右顶点，设M（0,—1）是椭圆下顶点，直线M4与MB斜率之积为-

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若一动圆的圆心Q在椭圆上运动，半径为等.过原点。作动圆Q的两条切线，分别交椭圆

于E、F两点，试证明|0E『+|0F|2为定值.

题型4第三定义之轨迹方程问题

【例题4】(2021上•北京海淀•高三校考期末)设点4(-点0),S(V3,0),M为动点，已知

直线4M与直线的斜率之积为定值1点”的轨迹是()

A.y-y2=l(y*0)B.^-x2=l(y^0)

C.y-y2=l(y*0)D.y-%2=l(y*0)

【变式4-11(2021上福建厦门•高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习)已知点4(-2,0),

5(2,0),动点P满足直线P4与PB的斜率之积为-｝记动点P的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

(2)过点(1,0)作直线1交曲线E于&D两点，试问在x轴上是否存在点M,使就•而为定值？若

存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.

题型5中点弦之离心率问题

【结论1】为椭圆C:《+真=l(a>6>0)的不平行于对称轴的弦，P(x0,yo)为线段4B的

中点，。为原点，贝U岫P，用48=—次,即膜8=—

证明：设4Qi,yi),B(x2,y2)(xi#42,月)、2)，则)+n=1①,:+哈=1②，

由点差法，两式相减得3+X警1F)+.+"乎》)=0由线段中点坐标公式，得

,一丫2yo_b2

f%l+x2=2%o,.2%0。1一久2),2yo(yi-y2)

+、2=2yo，--~，x-i-x2x0

炉久0

a2yo

【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求.

同理可证如下结论：

【结论2]48为椭圆+真=l(a>6>0)的不平行于对称轴的弦，P(x0,处)为线段4B的

中点，。为原点，则C0P/4B=一条，即膜B=一念.

【结论3]4B为双曲线嗒—居=l(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，P(功,%)为线段

4B的中点，。为原点，则c”•膜B=?即%B=鬻.

【结论4]AB为双曲线—篙=l(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，P(x0,%)为线段

4B的中点，。为原点，则c”•膜B=ff,即右B=急.

【结论5]已知直线/与抛物线=2PMp>0)相交于A,B两点，点P(M,y0)为线段4B的

中点，。为原点，贝!!3=2.

【结论6]已知直线与抛物线C：y2=-2px(p>0)相交于a,B两点点PQo,如为线段4B的

中点，。为原点,则k»B=—。

【结论7]已知直线/与抛物线C：久2=2py(p>0)相交于4,B两点，点P0o,y0)为线段4B的

中点，。为原点，贝11膜8=彳.

【结论8]已知直线与抛物线。K2=—2py(p>0)相交于4,B两点点Pg,处)为线段4B的

中点，。为原点，贝收48=—彳.

【例题5】(2021•陕西咸阳•统考一模)已知双曲线C：《—f|=l(a>0,b>0)上存在两点A,

8关于直线y=x-6对称，且线段的中点坐标为M(2,—4),则双曲线C的离心率为().

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式5-1]1.(2021上•西藏昌都•高三校考期末)已知椭圆+着=l(a>6>0),D(2,l)

是椭圆M的一条弦4B的中点，点P(4,-1)在直线4B上，求椭圆M的离心率()

A.yB.|C.|D.辛

【变式5-1]2.(2021下河南•高三校联考阶段练习)已知双曲线I—f|=l(a>O,b>0),

斜率为第勺直线/交双曲线于M、N,。为坐标原点，P为MN的中点，若。P的斜率为2,则双曲

线的离心率为()

A.V2B.V5C.2V3D.4

【变式5-1】3.(2023上•陕西西安・高三统考期中)不过原点的直线

l-.y="+m(k<0,m丰0)与双曲线E:菖-g=l(a>0,/)>0)交于4B两点，”为4B的中点,

。为坐标原点，若直线0M的斜率小于则E的离心率的取值范围为()

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(V2,2)D.(VI+8)

【变式6-1】4.(2023上•云南•高三校联考阶段练习)已知椭圆，点F为左焦点，点P为下

顶点，平行于FP的直线/交椭圆于4B两点,且4B的中点为则椭圆的离心率为

()

A返B」C-D—

A.22J452

题型7中点弦之直线或曲线方程问题

【例题7】(2014•全国•高三专题练习)已知椭圆E：§+g=l,。>6>0的右焦点为尸

(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程

为

【变式7-1]1.(2021上福建龙岩•高三统考期末)过点P(l,l)的直线与双曲线/=1

交于M,N两点,且点P恰好是线段MN的中点，则直线1的方程为

【变式7-1】2.(2012・高三课时练习)已知中心在原点，一焦点为F(0,同)的椭圆被直线

l-.y=3%-2截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.

【变式7-1]3.(2021上河南驻马店•高三统考期末)已知双曲线喏—/=l(a>O.b>0)

的离心率为I，直线1与C交于4,B两点，若线段4B的中点为P(4,3),则直线珀勺方程为()

A.5%+3y—29=0B.5%—3y—11=0

C.3%—5y+3=0D.3x+5y—28=0

【变式7-1】4.(2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测)已知双曲线E:§-g=l(a>0,b>0)

的右焦点为F(5,0),过点F的直线交双曲线E于A、B两点.若4B的中点坐标为(6,-2),则E

的方程为()

A光—艺=1B身一些=1

〜520169

尤_正=亡一此=1

j9161510

【变式7-1]5.(2023•贵州•统考模拟预测)已知椭圆+g=l(a>fo>0)的右焦点为F

(4,0),过点F且斜率为1的直线交椭圆于4B两点.若4B的中点坐标为(3,-1),则E的方程为

()

A.丘45++出29_=11B0—36十+^20=1

兰+#=1D身+尤=1

c3216248

题型8中点弦之弦长问题

【例题8](2021上•贵州贵阳•高三统考期末)过抛物线y2=4%的焦点的直线与抛物线交于

A,B两点，若4B的中点的纵坐标为2,则|4B|等于()

A.4B.6C.8D.10

【变式8-1]1.(2019・湖北武汉・统考一模)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C:9-

y2=1相交于A,B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|=()

A.2V2B.2V3

C.3V3D.4V3

【变式8-1】2.(2021上•全国•高三阶段练习)已知点4,B在双曲线必=4上，线段的

的中点”(3,1),贝！]|4B|=()

A.V2B.2V2C.V5D.2V5

题型9中点弦之斜率相关问题

【例题9](2020下•河北石家庄•高三石家庄二中校考开学考试)过椭圆?+y2=4(4>1)

上一点P作圆C:(x—1)2+*=1的切线，且切线的斜率小于0,切点为M,交椭圆另一点Q,

若M是线段PQ的中点，则直线CM的斜率（）

A.为定值苧B.为定值VR.为定值2鱼D.随4变化而变化

【变式9-1】1.（2019•全国•高三专题练习）如图，P为椭圆EiA+\=l（a>b>0；LWq

一动点，过点P作椭圆&5+芸=4（。<4<1）的两条切线PA,PB,斜率分别为的，%若

H•©为定值，则"（）

A.IB.C.|D.f

【变式9-1】2.（2020上•安徽安庆・高三安庆一中校考期末）已知三角形力BC的三个顶点

都在椭圆：9+9=1上，设它的三条边力B,BC,AC的中点分别为D,E,M,且三条边所

在线的斜率分别为H,k2,七，且七，k2,电均不为0。为坐标原点，若直线。，OE,OM

的斜率之和为1.则看+上+看=（）

A.*B.-3C.—居D.—|

【变式9-1】3.（2017•全国校联考二模）已知4B,P为双曲线/—9=1上不同三点，且满

^PA+PB=2PO（。为坐标原点），直线P4PB的斜率记为犯凡则加+［的最小值为

A.8B.4C.2D.1

【变式9-1】4.斜率为k的直线I交椭圆9+9=1于A、B两点，线段AB的中点为

4-j

>0）,F是椭圆右焦点.

⑴证明：/c<-1.

（2）点P是椭圆上一点且/+而+而=。，证明：|可|,|屈|,|而|成等差，并求出公差.

【变式9-1】5.（2022・全国•高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是

椭圆?+?=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,4两点，其中点P在第一象限，过P作

X轴的垂线，垂足为c,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线P力的斜率为k

⑴若直线P4平分线段MM求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线的距离d;

（3）对任意k>0,求证：PA1PB.

题型10中点弦之轨迹方程问题

【例题10】（2022•全国•高三专题练习）直线运久—y—（a+5）=0（a是参数）与抛物线

=（x+l）2的相交弦是4B,则弦的中点轨迹方程是

【变式10-1】（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆9+*=1,求斜率为2的平行弦中点的

轨迹方程.

题型11中点弦之定点定值问题

【例题11】（2018•上海浦东新•统考一模）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，M、N是双

曲线9-9=1上的两个动点，动点P满足加=2OM-ON,直线。M与直线ON斜率之积为

2,已知平面内存在两定点％、尸2,使得IIPF1I-仍尸2||为定值，则该定值为

【变式11-111•（2020下•上海青浦•高三校考开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标

原点，M、N是椭圆9+£=1上的两个动点，动点P满足而=2而—而，直线。M与直

线。N斜率之积为-2,已知平面内存在两定点Fi、F2,使得|PFI|+IPF2I为定值，则该定值

为

【变式11-1】2.（2022•全国•高三专题练习）抛物线产=4乙过点（2,0）的直线AC

和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点.求证：直线MN过定点.

【变式11-1】3.（2022・全国•高三专题练习）双曲线着=1,过点P（5,0）的直线

AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点.求证：直线

MN过定点.

【变式11-1】4.（2022•全国•高三专题练习）椭圆?+9=1,过点F（l,0）的直线4B和CD

相互垂直（斜率存在），M、N分别是4B和CD的中点.求证：直线MN过定点.

27

1.(2021•吉林长春统考一模)双曲线E:放-标=l(a>0,b>0)被斜率为4的直线截得的弦4B

的中点为(2,1),则双曲线E的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.

2.(2017・吉林•统考三模)已知48是椭圆券+居=1和双曲线《―\=1的公共顶点，其中

a>b>0,P是双曲线上的动点,M是椭圆上的动点(P,M都异于4B),且满足而+PB=A(MA

+MB)(Ae/?),设直线力P,BP,AM,的斜率分另U为姮,电上3比4,若的+©=遮，则电+

3.(2022辽宁辽宁实验中学校考模拟预测)已知点4(-2或,0),B(2VX0),Q(2,0),动点P与

点4B连线的斜率之积为过点Q的直线(交点P的轨迹于C,D两点，设直线4C和直线BD

的斜率分别为七和七，记血琥

(1)求点P的轨迹方程

⑵小是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由.

4.(2022•重庆・统考二模)已知椭圆噂+g=l(G>/)>0)的左焦点为F(—2,0),不过坐标

原点O且不平行于坐标轴的直线I与椭圆C有两个交点A,B,线段4B的中点为Q,直线。Q

的斜率与直线I的斜率的乘积为定值-主

⑴求椭圆C的方程；

(2)若过点F的直线m交椭圆C于点M,N,且满足OM•ON=就需，求直线m的方程.

5.(2022・安徽蚌埠•统考三模)如图，椭圆E：§+g=l(a>fa>0)内切于矩形4BCD,其

中4B,